ÇSD SİSTEMLERİN ZORLANMIŞ TİTREŞİMİ

başlangıç koşulları etkisindeki bir N serbestlik

dereceli sistemin hareket denklemi matris formda;

şeklinde yazılabilir. Bu matris formdaki hareket denklemi, {u} ve

türevlerini içeren birbirine bağlı N adet denklemi göstermektedir.

Doğrusal sistemler için modlara ait ortogonallik koşulu, genel hareket

denklemini önemli derecede sadeleştirmek amacıyla kullanılabilir. Bu

sadeleştirme sonucunda hareket denklemi geometrik koordinatlar

yerine normal koordinatlar cinsinden yazılmaktadır.

Bu dönüşüm sayesinde birbirine bağlı N adet denklem takımı yerine,

N adet TSD sistem olarak ele alınabilecek birbirinden bağımsız N

adet denklem ortaya çıkacaktır.

)}({}]{[}]{[}]{[ tPuKuCuM

)}0({}{)}0({}{ uuuu

(1)

ÇSD SİSTEMLERİN ZORLANMIŞ TİTREŞİMİ

Normal koordinatlarda belirlenen tepki bileşenlerin süperpoziyonu

sonucunda başlangıçta tanımlanan geometrik koordinatlar cinsinden dinamik

tepkiler elde edilmektedir.

Dinamik analiz açısından N serbestlik dereceli doğrusal bir sistemin

yerdeğiştirmelerini serbest-titreşim mod şekilleri cinsinden ifade etmek

genelde daha avantajlı bir yaklaşımdır. Bu mod şekilleri N adet bağımsız

yerdeğiştirme şeklinden oluşur ki her bir moda ait genlik değerleri,

yerdeğiştirme durumunu ifade etmek için kullanılabilecek genelleştirilmiş

koordinatlar olarak dikkate alınabilir.

Normal Koordinatlar

Normal titreşim mod şekilleri, N serbestlik dereceli bir sistemde olduğu gibi

birbiri ile dinamik olarak ilintili olmayan bir dizi koordinatı tanımlamakta olup

bu modlar aslında birbirinden bağımsız N adet yerdeğiştirme şeklini

göstermektedir. Bu nedenle de bu mod şekillerinin genlikleri, herhangi bir

yerdeğiştirme şeklini tanımlamada kullanılan genelleştirilmiş koordinatlar

olarak dikkate alınabilir. Bu koordinatlar modal koordinat veya normal

coordinat olarak adlandırılmaktadır.

Normal Koordinatlar

Herhangi bir yerdeğiştirme vektörü {u}, her biri belirli bir modal genlik ile

ölçeklendirilen mod şekillerinin süperpozisyonu sonucu elde edilmektedir.

Söz konusu yöntem aşağıdaki gibi özetlenebilir.

Bu yapı sistemi için herhangi bir yerdeğiştirme vektörü, şekilde görüldüğü

gibi normal modların uygun genlikleri süperpoze edilerek belirlenebilir. {u(t)}i

modal bileşenine ait yerdeğiştirmeler, {y(t)}i modal genliği ile i mod şeklinin

çarpımı kullanılarak elde edilmektedir.

)(}{)}({)(}{)}({)(}{)}({)}(]{[)}({ 333222111 tytutytutytutYtu

Normal Koordinatlar

Bu durumda toplam yerdeğiştirme, modal bileşenlerin toplamına eşittir.

veya

Burada {Y} normal veya genelleştirilmiş koordinat vektörü, [] ise mod

şekillerinden oluşan matristir. [] matrisi, genelleştirilmiş koordinatları {Y}

geometrik (fiziksel) koordinatlara {u} dönüştürmek için kullanılmaktadır.

Tersi durumda da, mod şekillerinin ortogonallik koşulu kullanılmak

suretiyle modal koordinatlar kolaylıkla hesaplanabilir. (4) denkleminin

{}iT[M] ile ön çarpımı yapılarak,

elde edilir.

(3)

N

n

nnNN tytytytytu1

2211 )()(}{........)(}{)(}{)}({

}]{[)(}{)}({1

YtytuN

n

ii

(4)

}]{][[}{)}(]{[}{ YMtuM T

i

T

i

)(}{)}({ tytu iii (2)

Normal Koordinatlar

Mod şekilleri kütle matrisine göre ortogonal olduğundan, yukarıdaki

bağıntıda {}i’ye karşılık gelen terim dışındaki diğer tüm terimler sıfır

olacaktır. Bu durumda,

yazılabilir ki buradan,

elde edilir. {u(t)} vektörü zamana bağlı ise {Y}n koordinatları da zamana

bağlı olacaktır. Bu denklemin zamana göre türevi alınırsa,

(5a)

ii

T

i

T

i YMtuM }{}]{[}{)}(]{[}{

i

T

i

T

ii

M

tuMY

}]{[}{

)}(]{[}{}{

nn

T

iii

T

i

T

i

T

i

T

i

YMYMYMYM

tuM

}{}]{[}{...}{}]{[}{...}{}]{[}{}{}]{[}{

)}(]{[}{

2211

i

T

i

T

ii

M

tuMtY

}]{[}{

)}(]{[}{)}({

(5b)

Sönümsüz Sistemlerin Modal Denklemleri

Normal modlara ait ortogonallik özelliği, ÇSD sistemlerin hareket

denklemlerini sadeleştirmek amacıyla kullanılacaktır.

Bu eşitliklerin (6) denkleminde yerine yazılması durumunda,

Yukarıdaki bağıntının {}nT ile ön çarpımının yapılması durumunda,

elde edilir. Aşağıda verilen ortogonallik koşulları dikkate alınacak olursa,

(6) )}({}]{[}]{[ tPuKuM

}]{[)}({

}]{[)}({

Ytu

Ytu

)}({)}(]{][[)}(]{][[ tPtYKtYM

)}({}{)}(]{][[}{)}(]{][[}{ tPtYKtYM T

n

T

n

T

n

krKM k

T

rk

T

r 0}]{[}{0}]{[}{

(7)

Sönümsüz Sistemlerin Modal Denklemleri

(7) denklemindeki çarpımlar,

ve

şeklinde olacaktır. Yani mod şekillerine ait ortogonallik özelliğinden dolayı

n. mod dışındaki tüm terimler sıfır olacaktır.

n

T

n

T

T

n

TT

T

n

M

M

MMM

M

}]{[}{...00

............

0...}]{[}{0

}]{[}{...}]{[}{}]{[}{

]][[}{ 22

0

1

0

2111

n

T

n

T

T

T

n

K

K

K

K

}]{[}{...00

............

0...}]{[}{0

0...0}]{[}{

]][[}{ 22

11

Sönümsüz Sistemlerin Modal Denklemleri

Bu durumda,

Aşağıdaki gibi sembollerin kullanılması durumunda,

Bu durumda (8) denklemi,

Bu denklem n. moda ait TSD’li hareket denklemine karşılık gelmektedir.

Yukarıda anlatılan yaklaşım, sönümsüz bir yapı sistemine ait her bir

titreşim modu için bağımsız bir TSD denklem elde etmek amacıyla

kullanılabilir.

)()()( tPtYKtYM nnnnn

)}({}{)(

}]{[}{

}]{[}{

tPtP

KK

MM

T

nn

n

T

nn

n

T

nn

)(}{)(}]{[}{)(}]{[}{ tPtYKtYM T

nnn

T

nnn

T

n

Genelleştirilmiş kütle

n. mod için Genelleştirilmiş rijitlik

Genelleştirilmiş kuvvet

(8)

(9)

Sönümsüz Sistemlerin Modal Denklemleri

Yukarıdaki bağıntı,

şeklinde de yazılabilir. Bu diferansiyel denklem aşağıda belirtilen başlangıç

koşulları altında çözümlenir.

Böylelikle normal koordinatların kullanılması ile, kütle ve rijitlik matrislerinin

köşegen dışındaki terimlerinden dolayı birbirine bağımlı olarak ortaya çıkan

N adet diferansiyel denklemden oluşan hareket denkleminin birbirinden

bağımsız N adet normal koordinat denklemine dönüşümü sağlanmış

olmaktadır. Bu durumda da dinamik tepki, her bir normal (modal) koordinat

tepkisi için ayrı ayrı çözüm yapılarak sonrasında da bu çözümler

başlangıçtaki geometrik koordinatlarını elde etmek üzere (4) denklemi ile

süperpoze edilerek bulunabilir. Bu yaklaşım mod-birleştirme yöntemi olarak

adlandırılmaktadır.

n

nnnn

M

tPtYwtY

)()()( 2 (10)

i

T

i

T

ii

M

tuMY

}]{[}{

)}(]{[}{}{

i

T

i

T

ii

M

tuMtY

}]{[}{

)}(]{[}{)}({

Mod-Birleştirme Yönteminin Adımları

1. Yapı sisteminin serbestlik dereceleri tanımlanır: {u}

2. Yapı sistemi için [M], [K] ve verilen kuvvet durumu için {P(t)} belirlenir.

3. Serbest titreşim analizi ile frekans ve mod şekilleri belirlenir.

4. Genelleştirilmiş terimler hesaplanır.

5. N adet TSD hareket denklemi çözümü yapılarak {Yn(t)} normal koordinat

vektörü bulunur.

6. Modal bileşenler toplanarak yerdeğiştirme vektörü elde edilir.

Böylelikle normal koordinatların kullanılması ile, kütle ve rijitlik matrislerinin

köşegen dışındaki terimlerinden dolayı birbirine bağımlı olarak ortaya çıkan

N adet diferansiyel denklemden oluşan hareket denkleminin birbirinden

bağımsız N adet normal koordinat denklemine dönüşümü sağlanmış

olmaktadır. Bu durumda da dinamik tepki, her bir normal (modal) koordinat

tepkisi için ayrı ayrı çözüm yapılarak sonrasında da bu çözümler

başlangıçtaki geometrik koordinatlarını elde etmek üzere (4) denklemi ile

süperpoze edilerek bulunabilir. Bu yaklaşım mod-birleştirme yöntemi olarak

adlandırılmaktadır.

0][][ 2 MwK

)}({}{)(}]{[}{}]{[}{ tPtPKKMM T

nnn

T

nnn

T

nn

)()()( tPtYKtYM nnnnn

}]{[)(}{)}({1

YtytuN

n

ii

Sönümlü Sistemlerin Modal Denklemleri

Mod şekilleri [C] sönüm matrisine göre genellikle ortogonal değildir. Bu

durumda sönümlü bir sistemin hareket denklemi ayrıştırılamaz. Ancak

ortogonallik koşulunun sönüm katsayılarına uygulanabilmesi durumunda

ortogonallik özelliği sönüm matrisine uygulanabilmektedir.

Sönümlü bir sistemin matris formundaki hareket denklemi,

şeklindedir. (4) denkleminden,

yazılır ve bu ifadeler (11) denkleminde yerine konulursa,

)}({}]{[}]{[}]{[ tPuKuCuM (11)

}]{[)}({

}]{[)}({

}]{[)}({

Ytu

Ytu

Ytu

)}({)}(]{][[)}(]{][[)}(]{][[ tPtYKtYCtYM

Sönümlü Sistemlerin Modal Denklemleri

yukarıdaki denkleminin {}nT ile ön çarpımının yapılması durumunda,

elde edilir. Ortagonallik koşullarının dikkate alınması,

kütle ve rijitlik ifadelerindeki n. mod terimi dışındaki tüm bileşenlerin sıfır

olmasına neden olmaktadır. Benzer ortagonallik koşulunun sönüm

matrisine uygulanabildiğinin kabul edilmesi durumunda benzer bir

sadeleşme sönüm ifadesi için de geçerli olacaktır. Yani,

)}({}{)}(]{][[}{)}(]{][[}{)}(]{][[}{ tPtYKtYCtYM T

n

T

n

T

n

T

n

nmKM n

T

mn

T

m 0}]{[}{0}]{[}{

(12)

nmC n

T

m 0}]{[}{

Sönümlü Sistemlerin Modal Denklemleri

Sönümün kütleyle veya rijitlikle orantılı olarak dikkate alınması

durumunda:

veya veya

Kütleyle orantılı sönüm durumunda:

][][ 0 MaC ][][ 1 KaC ][][][ 10 KaMaC

n

T

n

T

T

T

n

T

n

Ma

Ma

Ma

MaC

}]{[}{...00

............

0...}]{[}{0

0...0}]{[}{

]][[}{]][[}{

0

202

101

0

][][ 0 MaC

Sönümlü Sistemlerin Modal Denklemleri

Rijitlikle orantılı sönüm durumunda:

Kütle ve rijitlikle orantılı sönüm durumunda:

n

T

n

T

T

T

n

T

n

Ka

Ka

Ka

KaC

}]{[}{...00

............

0...}]{[}{0

0...0}]{[}{

]][[}{]][[}{

1

212

111

1

][][ 1 KaC

][][][ 10 KaMaC

Sönümlü Sistemlerin Modal Denklemleri

Kütle ve rijitlikle orantılı sönüm durumunda:

n

T

n

T

T

n

T

n

T

T

T

n

T

n

T

n

Ka

Ka

Ka

Ma

Ma

Ma

KaMaC

}]{[}{...00

............

0...}]{[}{0

0...0}]{[}{

}]{[}{...00

............

0...}]{[}{0

0...0}]{[}{

]][[}{]][[}{]][[}{

1

212

111

0

202

101

10

][][][ 10 KaMaC

Sönümlü Sistemlerin Modal Denklemleri

Bu durumda (12) denklemi,

şeklinde yazılabilir. Burada,

(13) denkleminin genelleştirilmiş kütleye bölünmesi durumunda, bu modal

denklem farklı bir formda,

şeklinde de yazılabilir. Burada n modal viskoz sönüm oranını göstermektedir.

Bu durumda her bir mod için ilgili frekans yanında ayrıca bir de sönüm oranı n

söz konusudur.

)()()()( tPtYKtYCtYM nnnnnnn (13)

)}({}{)(}]{[}{

}]{[}{}]{[}{

tPtPCC

KKMM

T

nnn

T

nn

n

T

nnn

T

nn

n

nnnnnnn

M

tPtYwtYwtY

)()()(2)( 2 (14)

nn

nn

Mw

C

2

Mod Birleştirme Yöntemiyle Çözüm

ÇSD bir sistemin toplam tepkisi N adet ayrışık modal denklem

çözümlenerek ve sonrasında süperpoziyonları alınarak elde edilebilir.

Mod Birleştirme Yöntemi için, zaman tanım alanında Duhamel İntegrali

veya doğrudan sayısal integrasyon kullanılırken frekans alanında Fourier

dönüşümü kullanılmaktadır. Tekil tepkilerin süperpozisyonu alındığından

bu yöntemin uygulaması doğrusal sistemler ile sınırlıdır.

1) Doğrudan Sayısal İntegrasyon

Bağımsız modal denklemlerin (10 ve 14 denklemleri) çözümünde farklı

sayısal integrasyon yöntemleri kullanılabilir.

2) Duhamel İntegrali

(10) ve (14) denklemleri Duhamel İntegrali ile çözülebilir ki sönümlü bir

sistem için söz konusu integral aşağıdaki gibi yazılabilir.

Mod Birleştirme Yöntemiyle Çözüm

veya standart konvolüsyon integrali şeklinde yazılacak olursa,

Burada,

birim-itki tepki fonksiyonudur. Başlangıç koşullarının sıfırdan farklı olması

durumunda,

dtweP

wMtY Dn

t

tw

n

Dnn

nnn )(sin)(

1)(

0

)(

dthPwM

tY

t

nn

Dnn

n 0

)()(1

)(

)()(sin

1)(

tw

Dn

Dnn

nnnetw

wMth

TitresimZorlanmis

Dn

t

tw

n

Dnn

TitresimSerbest

Dn

Dn

nnnnDnn

tw

n

dtwePwM

tww

wYYtwYetY

nn

nn

)(sin)(1

sin)0()0(

cos)0()(

0

)(

(15)

Mod Birleştirme Yöntemiyle Çözüm

Burada,

başlangıç koşulları (5) denkleminden,

şeklinde elde edilir. Her bir mod için Yn(t) tepkileri elde edildikten sonra

geometrik koordinatlar cinsinden ifade edilen yerdeğiştirmeler aşağıdaki

bağıntıdan hesaplanabilir.

212

nnDn

nn

nn

n

nn ww

wM

C

M

Kw

n

T

nn

n

T

nn

M

uMY

M

uMY

)}0(]{[}{)0(

)}0(]{[}{)0(

)(}{...)(}{)(}{)}(]{[)}({ 2211 tytytytYtu nn (16)

)0(),0( nn YY

Mod Birleştirme Yöntemiyle Çözüm

Sönümsüz sistem için (10) denkleminin çözümü,

şeklinde olacaktır. Çoğu yapı sistemi için yerdeğiştirme katkıları düşük

modlar için daha fazla iken söz konusu katkı artan modlarla birlikte

azalmaktadır. Dolayısıyla süperpozisyon işleminde tüm yüksek modların

hesaba katılması genelde çok gerekli değildir.

TitresimZorlanmis

n

t

n

nn

TitresimSerbest

n

n

nnnn dtwP

wMtw

w

YtwYtY )(sin)(

1sin

)0(cos)0()(

0

(17)

Mod Birleştirme Yöntemiyle Çözüm

{u(t)} yerdeğiştirme-zaman değişimi, yapı sistemlerinin dinamik yükleme

etkisindeki genel davranışını değerlendirmede temel parametre olarak

dikkate alınabilir. Gerilme ve iç kuvvet gibi çeşitli yapısal elemanlarda

ortaya çıkan tepki parametreleri gibi diğer tepki büyüklükleri de doğrudan

yerdeğiştirmelerden belirlenebilir. Örneğin yapı sistemin şekil değişimine

karşı koyan {fS} elastik kuvvetleri doğrudan aşağıdaki bağıntı yardımıyla

belirlenebilir.

Bu denklemin modal katkılar cinsinden yazılması ile,

elde edilir ve,

bağıntısının yukarıdaki denklemde yerine yazılması sonucu,

)}(]{][[)}(]{[)}({ tYKtuKtfS

...)}({}]{[)}({}]{[)}({}]{[)}({ 332211 tYKtYKtYKtfS

2][][ nnn wMK

Mod Birleştirme Yöntemiyle Çözüm

elde edilir. Bu serinin matris formunda yazılması ile,

elde edilir ki burada terimi, her birinin kendi modal frekansının

karesi ile çarpıldığı modal genlik vektörünü göstermektedir.

Her bir modal katkı modal frekansın karesi ile çarpıldığından yüksek

modların, yerdeğiştirmelerden farklı olarak yapı sistemindeki kuvvetler

üzerinde önemli etkileri olmaktadır. Bu nedenle de kuvvetler için istenen

doğruluk derecesinde sonuç elde edebilmek için yerdeğiştirmelerin

tersine daha fazla modal bileşen dikkate alınmalıdır.

(19) )(]][[)}({ 2 tYwMtf nnS

)(2 tYw nn

...)}({}]{[)}({}]{[)}({}]{[)}({ 33

2

322

2

211

2

1 tYMwtYMwtYMwtfS