7. Элементы логических схем ( логические элементы )

7. Элементы логических схем (логические элементы)

Электрическую схему, обрабатывающую двоичные коды называют дигитальной схемой.

Составляющими частями каждой дигитальной схемы являются логические элементы, которые выполняют простейшие логические действия с логическими константами 0 и 1.

Логическая схема получается соединением логических элементов.

Каждое дигитальное устройство состоит из логических схем и обрабатывает последовательности из нулей и единиц.

Логические функции = математические модели логических схем.

Логические схемы = физические модели логических функций.

7.1 Обозначения логических элементов

1. Инвертор или НЕ-элемент (NOT)

X X

вход выход

2. Конъюнкция или И-элемент (AND)

X1

X2

X1 & X2&

3. Дизъюнкция или ИЛИ-элемент (OR)

вход выход

X1

X2

вход

1 X1 X2

выход

X1

X2

(X1 & X2)&

5. Инверсия дизъюнкции или ИЛИ-НЕ-элемент (NOR)

вход выход

X1

X2

вход

1 (X1 X2)

выход

4. Инверсия конъюнкции или И-НЕ-элемент (NAND)

Пример.

Логической функции 3-х переменныхf (X1 , X2 , X3 ) = (X1 & ( X2 X3))

соответствует логическая схема:

X3

X21

X1

& f (X1 , X2 , X3 )

7.2 Минимизация логических схем

Алгоритм:

1. шаг: найти логическую функцию, соответствующую данной схеме

2. шаг: найти МДНФ или МКНФ этой функции

3. шаг: найти схему, соответсвующую минимальной форме

Пример. Дана логическая схема, реализующая логическую функцию f на ИЛИ-НЕ элементах. Является ли данная схема минимальной? Найти МДНФ функции и соответствующую ей схему.

X3

X2 1

X1

1 f (X1 , X2 , X3 , X4 )

X1

X4

X2

X2

X3

X4

1

1

Решение: функция, соответствующая логической схеме

f (X1, X2, X3, Х4 ) =

= ((X1 X2 X3 X4 ) ( X2 X3 X4) ( X1 X2))

Найдем МДНФ:

f (X1, X2, X3, Х4 ) = ((X1 X2 X3 X4 ) ( X2 X3 X4)

( X1 X2)) = (X1 X2 X3 X4 ) & ( X2 X3 X4) & ( X1 X2) = ( X2 X3 X4) & ( X1 X2)

7.b) 11.а )

Карта Карно:

X3 X4

X1 X2 00 01 11 10

000

0

0

1

0

3

0

2

011

4

1

5

1

7

1

6

111

12

1

13

1

15

1

14

100

8

1

9

1

11

1

10

МДНФ:

X2 X1& X4 X1& X3.

МДНФ:

X2 X1& X4 X1& X3.

Соответствующая логическая схема:

X4

X1& 1 f (X1 , X2 , X3 , X4 )

X1

X3

&

X2

8. Разложение логических функций в ряд Шеннона

Разложение Шеннона

дизъюнктивное конъюнктивное

частичное полное частичное полное

Частичное разложение = разложение по одной или нескольким переменным Xi.

Полное разложение = разложение по всем переменным Xi.

8.1 Дизъюнктивное разложение Шеннона

Дизъюнктивное разложение по одной переменной Xi :

f (X1,...,Xi ,..., Xn) = Xi & f (X1,..., Xi-1 ,0, Xi+1,..., Xn) Xi & f (X1,..., Xi-1 ,1, Xi+1 ,..., Xn),

где f (X1,...,0 ,..., Xn) - остаточная функция для Xi = 0 иf (X1,...,1 ,..., Xn) - остаточная функция для Xi = 1.

Пример. Найти дизъюнктивное разложение Шеннона по переменной X2 для логической функции

f (X1 , X2 , X3 , X4 ) = X1 & X2 & X3 X3 & X4

Пример. Найти дизъюнктивное разложение Шеннона по переменной X2 для логической функции

f (X1 , X2 , X3 , X4 ) = X1 & X2 & X3 X3 & X4 Решение:

f (X1 , X2 , X3 , X4 ) = X2 & f (X1 , 0, X3 , X4 ) X2 & f (X1 , 1, X3 , X4 ) =

= X2 & (X1 & 1 &X3 X3 & X4 ) X2 & (X1 & 0 &X3 X3 & X4 ) =

= X2 & (X1 & X3 X3 & X4 ) X2 & (X3 & X4 )

Дизъюнктивное разложение по двум переменным Xi и Xk :

f (X1,...,Xi , Xk ..., Xn) = Xi & Xk & f (X1,...,0 , 0,..., Xn) Xi & Xk & f (X1,..., 0, 1 ,..., Xn) Xi & Xk & f (X1,..., 1, 0 ,..., Xn) Xi & Xk & f (X1,..., 1, 1 ,..., Xn)

Пример. Найти дизъюнктивное разложение Шеннона по переменным X2 и X3 для логической функции

f (X1 , X2 , X3 , X4 ) = X1 & X2 & X3 X3 & X4

f (X1 , X2 , X3 , X4 )= X2 &X3 & f (X1 , 0, 0 , X4 ) X2 & X3 & f (X1 , 0, 1, X4 )

X2 &X3 & f (X1 , 1, 0 , X4 ) X2 & X3 & f (X1 , 1, 1, X4 ) =

= X2 & X3 & (X1 & 1 & 1 0 & X4 ) X2 & X3 & (X1 & 1 & 0 1 & X4 )

X2 & X3 & (X1 & 0 & 1 0 & X4 ) X2 & X3 & (X1 & 0 & 0 1 & X4 ) =

= X2 & X3 & (X1 ) X2 & X3 & (X4 ) X2 & X3 & (0) X2 & X3 & (X4 )

Пример. Найти дизъюнктивное разложение Шеннона по переменным X2 и X3 для логической функции

f (X1 , X2 , X3 , X4 ) = X1 & X2 & X3 X3 & X4 Решение:

Полное дизъюнктивное разложение:

f (X1, X2 , ..., Xn-1, Xn) = X1 &X2 &...&Xn-1 &Xn & f (0,0 ,... 0,0) X1 &X2 &...&Xn-1 & Xn & f (0,0 ,... 0,1) X1 &X2 &...& Xn-1 & Xn & f (0,0 ,... 1,0) ... X1 & X2 &...& Xn-1 & Xn & f (1,1 ,... 1,0) X1 & X2 &...& Xn-1 & Xn & f (1,1 ,... 1,1).

Полное дизъюнктивное разложение = СДНФ

Пример. Найти полное дизъюнктивное разложение Шеннона для логической функции

f (X1 , X2 , X3 ) = (X1 & X2 X2 & X3) Решение:

f (X1 , X2 , X3 , X4 )= X1 &X2 &X3 & f (0, 0, 0 ) X1 &X2 & X3 & f (0, 0, 1)

X1 &X2 & X3 & f (0, 1, 0) X1 &X2 & X3 & f (0, 1, 1)

X1 &X2 & X3 & f (1, 0, 0) X1 &X2 & X3 & f (1, 0, 1)

X1 & X2 & X3 & f (1, 1, 0) X1 &X2 & X3 & f (1, 1, 1) =

= X1 &X2 &X3 & (1 ) X1 &X2 & X3 & (1) X1 &X2 & X3 & (1)

X1 &X2 & X3 & (0) X1 &X2 & X3 & (0) X1 &X2 & X3 & (0)

X1 & X2 & X3 & (1) X1 &X2 & X3 &(0)

8.2 Конъюнктивное разложение Шеннона

f (X1,...,Xi ,..., Xn) = (Xi f (X1,...,0 ,..., Xn)) &

& (Xi f (X1,...,1 ,..., Xn)),

Конъюнктивное разложение по одной переменной Xi :

где f (X1,...,0 ,..., Xn) - остаточная функция для Xi = 0 иf (X1,...,1 ,..., Xn) - остаточная функция для Xi = 1.

Пример. Найти конъюнктивное разложение Шеннона по переменной X2 для логической функции

f (X1 , X2 , X3 , X4 ) = X1 & X2 & X3 X3 & X4 Решение:

f (X1 , X2 , X3 , X4 ) = (X2 f (X1 , 0, X3 , X4 )) & (X2 f (X1 , 1, X3 , X4 )) =

= (X2 (X1 & 1 &X3 X3 & X4 )) & (X2 (X1 & 0 &X3 X3 & X4 )) =

= (X2 (X1 & X3 X3 & X4 )) & (X2 (X3 & X4 ))

f (X1,...,Xi , Xk ..., Xn) = (Xi Xk f (X1,...,0 , 0,..., Xn)) & & (Xi Xk f (X1,..., 0, 1 ,..., Xn))& & ( Xi Xk f (X1,..., 1, 0 ,..., Xn)) & & ( Xi Xk f (X1,..., 1, 1 ,..., Xn))

Конъюнктивное разложение по двум переменным Xi и Xk :

Пример. Найти конъюнктивное разложение Шеннона по переменным X2 и X3 для логической функции

f (X1 , X2 , X3 , X4 ) = X1 & X2 & X3 X3 & X4

f (X1 , X2 , X3 , X4 )= (X2 X3 f (X1 , 0, 0 , X4 )) & (X2 X3 f (X1 , 0, 1, X4 )) &

& (X2 X3 f (X1 , 1, 0 , X4 )) & (X2 X3 f (X1 , 1, 1, X4 )) =

= (X2 X3 (X1 & 1 & 1 0 & X4 )) & (X2 X3 (X1 & 1 & 0 1 & X4 )) &

& (X2 X3 (X1 & 0 & 1 0 & X4 )) & (X2 X3 (X1 & 0 & 0 1 & X4 )) =

= (X2 X3 (X1 )) & (X2 X3 (X4 )) & (X2 X3 (0)) & (X2 X3 (X4 ))

Пример. Найти конъюнктивное разложение Шеннона по переменным X2 и X3 для логической функции

f (X1 , X2 , X3 , X4 ) = X1 & X2 & X3 X3 & X4 Решение:

f (X1, X2 , ..., Xn-1, Xn) = (X1 X2 ... Xn-1 Xn f (0,0 ,... 0,0)) & & (X1 X2 ... Xn-1 Xn f (0,0 ,... 0,1)) & & (X1 X2 ... Xn-1 Xn f (0,0 ,... 1,0)) & ... & ( X1 X2 ... Xn-1 Xn f (1,1 ,... 1,0)) & & ( X1 X2 ... Xn-1 Xn f (1,1 ,... 1,1)).

Полное конъюнктивное разложение:

Полное конъюнктивное разложение = СКНФ

Пример. Найти полное конъюнктивное разложение Шеннона для логической функции

f (X1 , X2 , X3 ) = (X1 & X2 X2 & X3)

Решение:

f (X1 , X2 , X3 , X4 )= (X1 X2 X3 f (0, 0, 0 )) & (X1 X2 X3 f (0, 0, 1)) &

& (X1 X2 X3 f (0, 1, 0)) & (X1 X2 X3 f (0, 1, 1)) &

& (X1 X2 X3 f (1, 0, 0)) & (X1 X2 X3 f (1, 0, 1)) &

& (X1 X2 X3 f (1, 1, 0)) & (X1 X2 X3 f (1, 1, 1)) =

= (X1 X2 X3 (1 )) & (X1 X2 X3 (1)) & (X1 X2 X3 (1)) &

& (X1 X2 X3 (0)) & (X1 X2 X3 (0)) & (X1 X2 X3 (0)) &

& (X1 X2 X3 (1)) & (X1 X2 X3 (0))