7. bangun ruang sisi datar(3)

BANGUN RUANG BIDANG DATAR

Disusun

Oleh : Muntiarsih,S.Pd

NIP 196809072006042011

D

A. UNSUR-UNSUR BALOK

SISI ATAS =TUTUP

SISI BAWAH =ALAS

RUSUK YG TERPANJANG = PANJANG = p

RUSUK YG LEBIH

PENDEK= LEBAR = l

RUSUK YG BERDIRI =

TINGGI = t

p l

t

A BC

E FGH

RUSUK

I. BALOK

TITIK POJOK

Pada setiap Balok :• Titik Pojok ada 8 buah.

Titik pojok : A, B, C, D, E, F, G dan H• Rusuk ada 12 buah , terdiri dari

3 kelompok garis sama panjang dan sejajar, yaitu :

1). Kelompok panjang : Garis AB, DC , HG dan EF

2). Kelompok Lebar : Garis AD , BC , FG dan EH

3). Kelompok Tinggi :Garis AE , BF , CG dan DH

• Sisi terdiri dari 6 buah persegipanjang.Pasangan sisi :1). ABCD dan EFGH2). ABFE dan DCGH3). ADHE dan BCGF

• Diagonal Sisi dan Diagonal Ruang.Pada balok ABCD.EFGH :1). Diagonal sisi ada 12 buah.

Misalnya : garis EB2). Diagonal Ruang 4 buah semua sama panjang.

Misalnya : Garis EC- Rumus menentukan Panjang diagonal sisi.

Diagonal Sisi pada setiap balok ada 3 jenis panjangnya , yaitu :1). EB =2). AC =3). AC =

- Rumus untuk menentukan panjang Diagonal Ruang. Pada setiap balok , panjang diagonal ruang sama semuanya.

Diagonal ruang =

Diag. RuangDiagonal sisi

p2 + l2 + t2

D

A B

C

H

E F

G

AB2 + AE2

BC2 + AB2 AB2 + BC2

p l

t

Contoh 1 :Diketahui ukuran balok KLMN.OPQR ,adalah 16 dm x 9 dm x 12 dm.Tentukanlah :

a. Panjang KPb. Panjang MPc. Panjang PR

Penyelesaian :Dik. : KL= 16 dm , LM = 9 dm

dan MQ = 12 dm .Dit. : a. Panjang KP = … ?

b. Panjang MP = … ?c. Panjang PR = … ?

Jawab :a. KP =

Jadi Panjang KP = 20 dm b. MP =

Jadi Panjang MP = 15 dm c. PR =

= Jadi Panjang KP = 18,36 dm

K L

MN

O PQR

16 dm

12 dm

9 dm

KL2 +LP2

162 + 122 256 + 144 400

== = 20

LM2 + LP2 92 + 122 81 +144 225

== = 15

OP2 + OR2 162 + 92

256 + 81

337= == 18,36

Contoh 2 :Diketahui Balok ABCD.EFGH seperti gambar dibawah ini.Jika panjang balok = 24 cm , lebar = 18 cm dan tingginya = 16 cm , hitunglah panjang diagonal ruang BH!

Penyelesaian :Dik. : p = AB = 24 cm

l = BC = 18 cm t = CG = 16 cm

Dit. : BH = …?

Jawab :

A B

CD

E FGH

24 cm

16

cm

18 cm

p2 + l2 + t2BH =242 + 182 + 162BH =576 + 324 + 256BH =

1156BH =

34BH =

Panjang diagonal ruang = BH = 34 cm

A B

D

E F

GH

C

• Bidang diagonal

Pada setiap balok Bidang Diagonalada 6 buah persegipanjang , terdiri dari 3 pasang.

Pada Balok ABCD.EFGH bidang diagonal adalah :

Pasangan (i) : ABGH dan CDEF

Pasangan (ii) : BCHE dan ADGF

Pasangan (iii) : AEGC dan BFHD

Setiap pasangan bidang Diagonal terdiri dua persegi panjang yang luasnya sama

……

……

……

Rumus menentukan Luas Bidang Diagonal :

D

22 CG BC x AB ABGH Luas

22 BC AB x AE AEGC Luas

22 AEAB x BC BCHE Luas

1.

2.

3.

A B

C

H

E FG

D

A B

C

H

E FG

D

A B

C

H

E FG

A B

CD

E FGH

Contoh 1 :Pada Balok ABCD.EFGH :AB = 20 cm , BC = 9 cm danAD = 12 cmHitung panjang :a. Diagonal sisi CF.b. Diagonal ruang BH.

Penyelesaian :Dik. : AB = 20 cm , BC = 9

cmdan BF = AD = 12 cm

Dit. : a. CF = … cm ? b. BH = … cm ?

Jawab :a. Pada ∆BCF, ∠B = 900

Maka :

CF2 = BC2 + BF2

= 92 + 122

= 225

CF = √225 = 15

Jadi CF = 15 cm

20 cm9 cm1

2 c

m

b. Cara I : Pada ∆BAD, ∠A = 900

Maka :BD2 = AB2 + AD2

BD2 = 202 + 92

BD2 = 481 ………. 1)

Pada ∆BDH , ∠D = 900

Maka :BH2 = BD2 + DH2

= 481 + 122

= 625BH = √625 = 25

Cara II :Panjang diagonal ruang :

BH = = = =

A B

CD

E FGH

20 cm

9 cm

12

cm

p2 + l2 + t2

202 + 92 + 122

400 + 81 + 144625 = 25

Jadi Panjang BH = 25 cm

Contoh 2 :

Pada balok di kanan ini KL = 24 cm , LM = 18 cm dan KO = 11 cm.

Hitunglah luas bidang diagonal LNRP (yang diarsir)!

Jawab :Luas LNRP = LN x LP

= 30 cm x 11 cm

= 330 cm2

Pada ∆KLN, ∠K = 900

Maka : LN2 = KL2 + KN2

= 242 + 182

= 576 + 324 LN2 = 900LN = √900 = 30

24 cm 18 cm11

cm

P

N

K L

M

R

O

Q

Contoh 3 :Untuk membuat kerangka sebuah balok seperti gambar di kanan ini diperlukan kawat dengan panjang 288 cm.Jika Panjang : lebar : tinggi = 5 : 4 : 3 ,tentukanlah masing-masing Panjang balok , Lebarnya dan Tinggi balok itu!Jawab :Untuk panjang diperlukan 4 potong kawat , lebar 4 potong dan tinggi 4 potong.Jadi : 4p + 4l + 4t = 288 4(p + l + t) = 288

p + l + t = 288 : 4p + l + t = 72

p : l : t = 5 : 4 : 3

Maka :

Panjang = 5/12 x 72 cm = 30 cm

Lebar = 4/12 x 72 cm

= 24 cm

Tinggi = 3/12 x 72 cm

= 18 cm

pl

t

5 + 4 + 3 = 12

p l t

p = 30 cml = 24cm

=18cm

3 cm

B. VOLUM BALOK• Pengertian Volum

Sebuah Kotak berukuran 5 cm x 3 cm x 4 cm , di isi kotak-kotak kecil sebagai berikut.

Ditanyakan :1). Untuk mengisi kotak sampai

penuh tentukan kotak kecil yang diperlukan.

2). Jika 1 kotak kecil volumnya 1 cm3 , berapakah Volum Kotak Besar?

= 1 cm3

5 cm

4 cm

Dari pengertian itu diperolah bahwa :Volum suatu bangun ruang adalah banyaknya bangun 1 satuan kubik yang dapat dimasukkan kedalam bangun ruang tersebut.

Karena Kotak tersebut adalah Balok , maka Rumus Volum Balok didapat sbb :

Contoh 1 :Hitunglah Volum balok jika ukurannya Panjang 12 cm , lebar 10 cm dan tinggi 9 cm!Jawab :

V = 12 cm x 10 cm x 9 cm = 1.080 cm3

V = p x l x tV = Volum Balok p = panjang balokl = lebar balokt = tinggi balok

Jadi Volum balokitu adalah 1080 cm3

Contoh 2 : (Soal untuk dibahas bersama guru) Diketahui Volum balok = 1536 liter.Panjang : Lebar : tinggi = 4 : 3 : 2 Tentukanlah : a. panjangnya

b. lebar c. tinggi balok ituPenyelesaian :Dik. : V = 1536 liter = 1536 dm3

p : l : t = 4 : 3 : 2Dit. : a. p= … ?

b. l = … ?c. t = … ?

Jawab :a. p : l = 4 : 3 4l = 3p

.…

l = 34 p …(1)

p : t = 4 : 2 4t = 2p

t = 12 p …(2)

V = p x l x t

1536 = p x 34 p x 1

2 p

1536 = 38 p3

1536 : 38p3 = = 4096

p =

b. l = 34 p = 3

4 x 16 = 12

Panjangnya = 16 dm

Lebarnya = 12 dm

c. t = 12 p = 12 x 16 = 8

Tingginya = 8 dm

∛4096 = 16

Contoh 3 :Diketahui Volum balok = 1728 literPanjang : Lebar : tinggi = 4 : 2 : 1 Tentukanlah : a. panjangnya

b. lebarnya c. tinggi balokPenyelesaian :Dik. : V = 1728 liter = 1728

dm3

p : l : t = 4 : 2 : 1Dit. : a. Panjang = … ?

b. Lebar = … ?c. Tinggi = … ?

Jawab :a. p : l = 4 : 2 4l = 2p

l = 12 p …(1)

p : t = 4 : 1 4t = 1p

t = 14 p …(2)

V = p x l x t

1728 = p x 12 p x 1

4 p

1728 = 18 p3

1728 : 18p3 = = 13824

p =

b. l = 12 p = 1

2 x 24 = 12

Panjangnya = 24 dm

Lebarnya = 12 dm

c. t = 14 p = 14 x 24 = 6

Tingginya = 6 dm

∛13824 = 24

Contoh 4 :Sebuah bak akan diisi air melalui kran sampai penuh seperti gbrdibawah ini. Ukuran bagian dalam bak adalah 1,2 m x 1 m x 0,8 m. Bila kran mampu mengalirkan air 5 liter permenit , tentukanlah waktu yang diperlukan untuk mengisi bak sampai penuh!

Penyelesaian :Dik. : p = 1,2 m = 12 dm ,

l = 1 m = 10 dm , t = 0,8 m = 8 dm ,

Kecepatan air = 5 ltr / menitDit. : Wkt yg diperlukan sd penuh =…?Jawab :Waktu = Volum bak : kecepatan air

= (12 dm x 10 dm x 8 dm) : 5 ltr/mnt

= 960 dm3 : 5 ltr / mnt= 960 ltr : 5 ltr / mnt = 192 mnt

Jadi waktu yg diperlukansampai penuh adalah 192 menit = 3 jam 12 menit

E

C. JARING-JARING BALOK

Bila Balok ABCD.EFGH (Gbr (i))dibuka akan didapat rangkaian persegipanjang seperti Gbr (ii).

Rangkaian Persegipanjang tersebut dinamakan jaring-jaring balok.Masing-masing Persegipanjang itu adalah sisi balok yang terdiridari 3 pasang , dan setiap pasang ada 2 persegipanjang yangsama luasnya.

A B

C

FGH

A B FE

E F

GH CD

E F

GH

Gbr (i)

Gbr (ii)

D

Dibuka

D. LUAS SISI BALOKPada setiap Balok Luas Sisinya adalah sama dengan luas jaring-jaringnya.Pada Balok ABCD.EFGH sisinya :• Pasangan (i) : ABCD dan EFGH

Luas ABCD = Luas EFGH = p x l • Pasangan (ii) : ABFE dan DCGH

Luas ABFE = Luas DCGH = p x t• Pasangan (iii) : ADHE dan BCGF

Luas ADHE = Luas BCGH = l x t

Maka Luas seluruh sisi pada satu balok adalah :L = 2 (p x l) + 2 (p x t) + 2 (l x t) = 2pl + 2pt + 2lt = 2(pl + pt + lt)

Jadi Rumus Luas balok :

L = luas sisi balokp = panjang balokl = lebar balokt = tinggi balok

L = 2(pl + pt + lt)

B

E

AC

FGH

D

p

t

l

Contoh 1 :Diketahui suatu balok dengan panjang = 17 cm , lebar = 12 cm dan tingginya = 9 cm.Hitunglah Luas sisinya !Penyelesaian :Dik. : p = 17 cm , l = 12 cm dan t = 9 cmDit. : L = …..?Jawab :Luas = 2(pxl + pxt + lxt)

= 2(17x12 + 17x9 + 12x9) = 2(204 + 153 + 108)

= 2 . 465= 930

204 108

153

153

108

204

17

12

99

12

9

9

1712

9

Jadi luas balok itu = 930 cm2

Contoh 2 :

Luas sisi balok = 2964 cm2.

Jika ukuran balok itu adalah

25 cm x 18 cm x t cm ,

tentukanlah tinggi balok itu!

Penyelesaian :

Dik. : L = 2964 cm2 ,

p = 25 cm ,

l = 18 cm

Dit. : t = …?

Jawab :

L = 2 ( pl + pt + lt )2964 = 2 ( 25.18 + 25.t + 18.t )2964 = 2 ( 450 + 25t + 18t )2964 = 2 ( 450 + 43t )2964 = 900 + 86t 86t = 2964 – 900

= 2064 t = 2064 : 86

= 24

Jadi Tinggi Balok itu adalah 24 cm

Contoh 3 :Diketahui Balok dengan Luas 7128 cm2 dan p : l : t = 3 : 2 : 1Tentukan p = panjang , l = lebar dan t = tinggi !Jawab :Dari p : l : t = 3 : 2 : 1 , didapat :(i). p : t = 3 : 1

p = 3t

(ii). l : t = 2 : 1 l = 2t

L = 2(p.l + p.t + l.t)7128 = 2(3t.2t + 3t.t + 2t.t)7128 = 2(6t2 + 3t2 + 2t2)7128 = 22t2

t2 = 7128 : 22 = 324t = √324 = 18

t = 18p = 3t p = 3.18 p = 54

l = 2t l = 2.18 l = 36

Jadi : Panjang = p = 54 cmLebar = l = 36 cm

Tinggi = t = 18 cm

II. KUBUSKubus termasuk Balok , yaitu : Balok yang Istimewa.

Contoh :Manakah balok berikut yang termasuk Kubus?

Jika pada suatu Balok : PANJANG = LEBAR = TINGGIMaka balok itu dinamakan KUBUS

No. Panjang Lebar Tinggi

1 12 cm 12 cm 12,5 cm

2 13 cm 13 cm 13 cm

3 0,3 m 30 cm 3 dm

4 4 m 40 cm 0,4 dm

5 25 dm 2,5 m 250 cm

Jawab :1. Bukan kubus

2. Kubus3. Kubus4. Bukan kubus5. Kubus

A. UNSUR-UNSUR KUBUS

1. Titik sudut (pojok) ada 8 buah , misalnya titik A , B , E , dll 2. Rusuk : semua sama panjang

(panjang = lebar = tinggi)Garis : AB = DC = EF= HG = BC = FG =

EH = AD = AE = BF = CG = DH3. Sisi : 6 buah , semua kongruen

berbentuk Persegi.Antara lain : ABCD , DCGH , BCGF , dll

4. Diagonal sisi : 12 buah semua sama panjang , a.l. : garis BGPanjang setiap Diagonal sisi Kubus =

5. Diagonal ruang : 4 buah , semua sama panjang , a.l. : garis BHPanjang Diagonal ruang Kubus =

2Panjang Rusuk x

3Panjang Rusuk x

A B

CD

E FGH

6. Bidang diagonal.Satu Kubus memiliki 6 buah bidang Diagonal.Semua Bidang diagonal Kubus berbentuk Persegi panjang

yang luasnya sama dan kongruen .

Pada Kubus ABCD.EFGH dibawah ini salah satu bidang diagonalnya adalah Persegipanjang BDHF

Luas setiap bidang diagonal dapatdihitung dengan rumus sbb :Luas bid. diag. = rusuk x diagonal sisi

= rusuk x rusuk x √2

Jika rusuk = s , dan Luas bidang diagonal = L.bd , maka :

L.bd = S x S x √2 A B

CD

E FGH

, sebagai berikut ini :

Contoh 1 :

Diketahui suatu kubus panjang

rusuknya 8 cm.

Tentukanlah :

a. Panjang salah satu diagonal sisinya

b. Panjang salah satu

diagonal ruangnya

c. Luas salah satu bidang

diagonalnya

Jawab :

a. Panjang diagonal sisinya = 8√2 cm

b. Panjang diagonal ruang = 8√3 cm

c. Luas bidang satu diagonal = 8 cm x 8√ 2 cm

= 64√3 cm2

Contoh 2 :

Sebuah kerangka kubus akan

dibuat dengan bahan kawat.

Jika panjang salah satu

Diagonal ruangnya = 25√3 cm.

Tentukanlah :

a. Panjang kawat yang diperlukan

b. Panjang satu diagonal sisi.

c. Luas satu bidang diagonal.

Jawab :a. dR = s√3 = 25√3

s√3 = 25√3 s = 25√3 : √3s = 25 Jadi panjang kawat yang diperlukan = 12 x 25 cm

= 300 cm

b. dS = s√2 = 25√2 Panjang diagonal sisi = 25√2 cm

c. Luas satu bidang diagonal = s2 √2 cm2

= 625√2 cm2

Contoh 3 :

Panjang rusuk suatu

kubus = 13√2 cm

Hitunglah :

a. Panjang diagonal ruangnya

b. Luas salah satu

bidang diagonalnya

Jawab :a. dR = s √3

= (13√2) x√3 = 13 √(2x3)= 13 √6

Panjang diagonal ruang = 13√6 cm

b. Luas Bid. Diag. = s2 √2 = (13 √2)2 x√2 = 132 x (√2 )2 x √2 = 169 x 2 x √2 = 338 √2

Jadi Luas salah satu bidang diagonalnya adalah 338 √2 cm2

B. VOLUM KUBUSKubus adalah Balok yang Panjangnya = Lebar = tingginya.Selanjutnya pada Kubus: Panjang , lebar dan tingginya disebut Rusuk.

Jika Volum Balok = Panjang x Lebar x Tinggi.Maka Volum Kubus = Rusuk x Rusuk x Rusuk.

Jadi Rumus Volum Balok adalah sebagai berikut :

Contoh 1 : Tentukan Volum kubus yang panjang rusuknya 25 dm!Jawab :

V = 25 cm x 25 cm x 25 cm = 15.625 cm3

V = S x S x S

V = S3

atauV = Volum KubusS = Panjang Rusuk Kubus

Jadi Volum Kubusitu = 15.625 dm3

Contoh 2 :Diketahui Panjang seluruh kerangka suatu kubus = 156 cm.Berapa liter volum kubus tersebut?

Penyelesaian :

Dik. : Panjang seluruh kerangka kubus = 156 cm

Dit. : V = …?

Jawab :

V = s3

= (13 cm)3

= 2197 cm3

= 2,197 liter

Jadi Volum Kubus itu = 2,197 liter

Panjang kerangka = 156 cm 12 s = 156 cm

s = 156 cm12

s = 13 cm

Contoh 3 :Sebuah aquarium berbentuk Kubus diisi air 121 liter , ternyata tinggi air dalam aquarium adalah 40 cm.Tentukanlah Volum aquarium jikadiisi sampai penuh!

Penyelesaian :Dik. : Air = 121 liter dan tingginya = 20 cmDit. : V.aquarium = … ?

Jawab :

V = s3

= (55 cm)3

= 166375 cm3

= 166,375 literJadi Volum aquarium = 166,375 liter

Luas alas = s2

Volum Air = s2 x tinggi121 ltr = s2 x 40 cm121000 cm3 = s2 x 40 cms2 = 121000 cm3 : 40 cm

= 3025 cm2

s = √3025 cm2 = 55 cm

40 cm

55 cm

C. JARING-JARING KUBUSGbr (i) : kotak berbentuk kubus yang terbuat dari karton.Gbr (ii) : Jaring-jaring Kubus , yaitu rangkaian persegi hasil bukaan kotak disebut.

Rangkaian persegi yang merupakan jaring-jaring kubus adabeberapa jenis. Cobalah gambarkan sebanyak mungkin.

Gbr (i) Gbr (ii)

Alas Tutup

• Rangkaian persegi yang merupakan jaring- jaring kubus , seluruhnya ada 11 jenis , yaitu :

(1) (2) (3) (4) (5) (6)

(11)(7) (8) (9) (10)

Contoh :Pada masing-masing gambar jaring-jaring kubus dibawahini persegi bernomor 1 adalah alasnya. Persegi nomor berapa yang menjadi tutupnya?

Jawab : Tutup adalah : a. Nomor 3b. Nomor 5c. Nomor 4d. Nomor 4

2

4

5

6

1 3a. b. c. d.2

4 5

6

1 3

2

4

5

61

3

2

45

6

1

3

D. LUAS SISI KUBUS1. Tuliskan Rumus untuk

menghitung luas persegi2.a. Hitunglah luas persegi

Gbr (ii) . (1) di kiri ini! b. Gbr. (ii) adalah jaring-

jaring kubus gbr. (i).Hitunglah luas seluruhnya!

Jawab :1. Rumus Luas persegi.

Luas = sisi x sisi = s x s =s2

2.a. L(1) = 8 cm x 8 cm = 64 cm2

b. Luas seluruhnya :L = 6 x L(1)L = 6 x 64 cm2 = 384 cm2

Gbr (i)

(1) (2) (4) (5)

(3)

(6)Gbr (ii)

8 cm

8 cm

Pada setiap Kubus terdapat ada 6 buah sisi berbentuk persegi.Luas satu sisi = Panjang rusuk Kubus x Panjang rusuk Kubus. Misalkan Luas sisi pertama = L1 = s x s = s2, dan

L1 = L2 = L3 = L4 = L5 = L6 = s2

Maka Luas Sisi Kubus adalah :

Contoh 1 :Hitunglah Luas Sisi kubus tanpa tutup ( hanya 5 buah persegi )dengan rusuk 30 cm!Jawab : L = 6 x (30 cm)2 – (30 cm)2

= 5.400 cm2 – 900 cm2

= 4.500 cm2

L = 6s2L = Luas Sisi Kubus.S = panjang rusuk kubus.

Contoh 2 :Diketahui panjang salah satu diagonal ruang kubus 15√3 cmHitunglah Luas seluruh sisi kubus itu!

Penyelesaian :Dik. : dR = 15√ 3 cmDit. : L = ….?

Jawab :L = 6s2

= 6 x 152

= 1350

Jadi Luas seluruh sisiKubus itu = 1350 cm2

Contoh 3 :

Diketahui Volum sebuah

kubus = x cm3 dan Luas

seluruh sisinya = y cm2

Jika x = y, tentukanlah :

a. Nilai x .

b. Nilai y .

c. Panjang salah satu diagonal ruangnya.

d. Luas salah satu bidang diagonalnya.

dR = s√3 = 15√3

s =

s = 15

15√3√3

Penyelesaian Contoh 3 :Dik. : V = x cm3

L = y cm2 y = x

Dit. : a. V = x = …?

b. L = y = …?

c. dR = … ? b. L.BD = … ?

Jawab :V = x = s3 L = y = 6s2

a. V = s3 = 63 = 216Volum kubus itu = 216 cm3

b. L = 6s2 = 6 x 62 = 216Luas sisi = 216 cm2

c. dR = s √3 = 6√3

Panjang satu diagonal ruang = 6√3 cm

d. LBD = s x s x√2 = 62√3 = 36√2

Luas satu bidang

diagonal = 36√3 cm2

x = ys3 = 6s2

s3 s2 =

6s2 s2 s = 6

III. PRISMA

Gbr (i). PRISMA SEGI-3

Gbr (iii). PRISMASEGI-5

Gbr (iv). PRISMASEGI -6

Gbr (ii). PRISMASEGI-4

Perhatikan bahwa prisma segi-4 adalah merupakan balok.Perlu dipahami bahwa Balok maupun Kubus adalah termasuk prisma juga.Nama jenis Prisma biasanya dikaitkan dengan bentuk alasnya. Jika alasnya segi tiga maka prisma itu disebut prisma segitiga , Jika alas berbentuk segi-5 maka namanya prisma segi lima , dst.

A. UNSUR-UNSUR PRISMAPada setiap Prisma selalu ditemukan unsur-unsur sbb : (1). Titik Sudut (pojok) , (2). Rusuk , (3) Sisi ,(4). Diagonal Sisi , (5) Diagonal Ruang dan (6). Bidang diagonal.Yang akan kita bahas di SMP hanya (1) sd (4).Masing-masing unsur , banyaknya tegantung pada jenis prisma itu.Misalnya seperti tabel berikut :

No. Jenis Prisma Pojok Rusuk sisi Diagonal Sisi

1. Prisma Segi-3 6 buah 9 buah 5 buah 6 buah

2. Prisma Segi-4 8 buah 12 buah 6 buah 12 buah

3. Prisma Segi-5 10 buah 15 buah 7 buah 20 buah

4. Prisma Segi-6 12 buah 18 buah 8 buah 30 buah

Contoh 1 :Pada Prisma segi-5 EFGHI.JKLMN :1. Titik sudut ada 10 buah titik , yaitu :

Pada Alas : Titik E , F , G , H dan I Pada Tutup : Titik J , K , L , M dan N

2. Rusuk ada 15 buah garis , yaitu :Pd Alas ada 5 garis , garis : EF , FG , GH , HI dan EIPd Tutup ada 5 garis , garis : JK , KL , LM , MN dan JNRusuk Tegak ada 5 garis , garis : EJ , FK , GL , HM dan IN

3. Sisi ada 7 buah. Dua Segi-5, Alas EFGHI dan Tutup JKLMNLima Persegipanjang : EFKJ, FGLK , GHML ,HINM dan EINJ.

4. Diagonal sisi 20 buah garis.Pada Alas 5 buah : EG , EH , FH , FI dan GIPada Tutup 5 buah : JL , JM , KM , KN dan LN (belum dibuat)Pada Sisi Tegak 10 buah : EK,FJ ,FL,GK,GM,HL,HN,IM,EN dan IJ

E F

GH

I

J K

LM

N

Catatan :Pada Prisma Segi-n :(1). Banyak titik sudut (pojok) = 2 x n(2). Banyak Rusuk = 3 x n(3). Banyak Sisi = n + 2(4). Banyak diagonal sisi = n x (n-1)

Contoh 2 :

Gunakan rumus di atas untuk menentukan banyak Titik sudut ,

banyak Rusuk , banyak Sisi dan banyak Diagonal sisi pada

Prisma segi-15 !

Jawaban Contoh 2 :

Pada Prisma Segi-15 , artinya n = 15

Maka :

Banyak Titik sudut = 2 x n = 2 x 15 = 30

Banyak Rusuk = 3 x n = 3 x 15 = 45

Banyak Sisi = n + 2 = 15 + 2 = 17

Banyak Diagonal sisi = n x (n – 1)

= 15 x (15 – 1)

= 15 x 14

= 210

Contoh 3 :Suatu Prisma segi-n , memiliki Banyak Rusuk 51 buah.Tentukanlah : a. n

b. Banyak Titik sudutnyac. Banyak Sisinyad. Banyak Diagonal Sisinya

Jawab :

a. Banyak Rusuk = 3 x n = 51Maka : n = 51 : 3 = 17 (Prisma itu adalah prisma segi-17).

b. Banyak Titik sudut = 2 x n = 2 x 17 = 34

b. Banyak sisi = n + 2 = 17 + 2 = 19

c. Banyak diagonal sisi = n x (n – 1)= 17 x (17- 1)= 17 x 16= 272

“BAGAIMANA CARA MENGHITUNG VOLUM PRISMA?”

Berikut ini kita akan bahas mengenai Rumus Volum Prisma!

A

B

D

Pada Balok ABCD.EFGH :Luas Alas = Luas DABC

= DA X ABVolum = (DA x AB) x BF Volum = Luas DABC x BF

Balok ABCD.EFGH dipotong melaluidiagonal sisi EG , sehingga terbentukdua Prisma segi-3 yang Volumnya =setengah volum ABCD.EFGH.Pada Prisma ABC.EFG , alasnya adalah ∆ABC dan tingginya = BF.

Luas ∆ABC =

C

A. VOLUM PRISMA

H

FG

E

12 x Luas ABCD

Volum Prisma ABC.EFG :V. ABC.EFG = 12 x Volum ABCD.EFGH

= 12 x Luas DABC X BF

= Luas ∆ABC X BFV. ABC.EFG

Jadi Volum Prisma ABC.EFG adalah : Luas alas x tinggi

BALOK AKAN DI POTONG DUA SAMA BESAR

KESIMPULAN :

Untuk setiap Prisma, rumus menghitung volum adalah :

Dengan catatan :1. Pada Prisma Luas Alas tergantung pada jenis

prisma itu.

2. Luas Alas sama dengan Luas Tutupnya.

V = La x tV = Volum PrismaLa = Luas Alas Prismat = Tinggi Prisma

Ket. :

Luas Alas PrismaSebagaimana sudah diketahui Luas Alas Prisma tergantung pada jenis Prisma itu. Misalnya Prisma Segi-6 , maka alasnyaadalah segi-6 dan luas alasnya samadengan luas segi enam tersebut.Segi-6 beraturan dapat dibentuk dengan6 buah segitiga sama sisi , sbb. :

Pada ∆ABO , AB = AO = BO = sisi. Jika alasnya

AB = s , maka tingginya = t = OP =

Luas ∆ABO =

A BP

C

E D

F

s√312x sisi x √31

2 =s x

2s√3½ = 1

4 s2√3

Luas Segi-6 beraturan ABCDEF = L = 6 x Luas ∆ABO

L = 6 x 14 s2√3

ss

s

O

t

L = 32 s2√3

• Luas Segi-6 beraturan :

L = 32 s2√3 L = Luas Segi 6 beraturan

S = panjang sisi segi-6 itu

• Rumus Luas Segitiga :Rumus untuk Luas segitiga ada dua jenis , yaitu :

12 K 1

2 K – S1)( 12 K – S2)( 1

2 K – S3 )(2). L =L = Luas segitigaK = Keliling Segitiga = S1 + S2 + S3

S1 = sisi 1 , S2 = sisi 2 dan S3 = sisi 3

1). L = a x t2

L = Luas segitigaa = alas segitiga dan t = tinggi segitga

Contoh 1 :Perhatikan prisma ABC.DEF dikanan ini!Jika AC = DF = 8 cm , BC = EF = 6 cm ,AD = 15 cm dan Sudut F = sudut C = 900 ,hitunglah volum prisma itu!

Penyelesaian :Dik. : AC = DF = 8 cm

BC = EF = 6 cmAD = tinggi = 15 cm , dan

sudut F = Sudut C = 900

Dit. : V = …?Jawab :

A B

C

F

D E

V = La x t V = 24 cm2 x 15 cm V = 360 cm3

La = 8 cm x 6 cm2 = 24 cm2

Contoh 2 :Pada Prisma segi-5 EFGHI.JKLMN di bawah ini ,alasnya EFGHI merupakan segi-5 beraturan dengan panjang sisi 8 cm , tinggi prisma = 14 cm. Jika titik O adalah titik pusat alas dan OP = 5,5 cm , tentukanlah volum prisma tersebut!

Penyelesaian :Dik. : Sisi segi-5 EFGHI = 8 cm

t. prisma = 14 cmOP = 5,5 cm

Dit. : V = … ?Jawab :(dihalaman berikut)

o8 cm

E F

G

H

I

J K

L

M

N

P

14

cm

5,5

Jawab :

V = La x t

= (5 x L∆EFO) x t

5,5

E F

O

8 cm

o8 cm

E F

G

H

I

J K

L

M

N

P

14

cm

5,5

= (5 x 8 x 5,52

) x 14

= (5 x 22) x 14

= 110 x 14

= 1540

Jadi Volum Prisma EFGHI.JKLMN = 1540 cm2

Contoh 3 :Pada Prisma ABCDEF.GHIJKL dibawah ini , alasnya adalah segi-6 beraturan dengan sisi12 cm. Jika Tinggi prisma itu = 20 cm , tentukanlah : a. Luas Alasnya!b. Volum Prisma itu!

Penyelesaian :Dik. : Sisi alas = s = 12 cm

Tinggi prisma = t = 20 cmDit. : a. Luas alas = La = …

b. Volum = V = …Jawab :a. La =

=

= 216√3Jadi Luas alas = 216√3 cm2

b. V = La x tV = 216√3 x 20V = 4320√3

Volum prisma itu = 4320√3 cm3A B

C

DE

F

G HI

JK

L

32 s2√332 .122√3

12 cm

20 cm

“BAGAIMANA CARA MENGHITUNG LUAS SISI PRISMA?”

Berikut ini kita akan membahasnya!

B. LUAS SISI PRISMAPada setiap Prisma segi-n (prisma tegak) terdapat :Segi-n = 2 buah , yaitu : alas dan tutupSegi-4 = persegipanjang = n buah , yaitu semua sisi tegaknyaContohnya :

No. Jenis Prisma Alas dan tutup Sisi Tegak

1. Prisma Segi-3 2 bh segitiga 3 bh persegipanjang

2. Prisma Segi-4 2 bh segi empat 4 bh persegipanjang

3. Prisma Segi-8 2 bh segi delapan 8 bh persegipanjang

4. Prisma Segi-n 2 bh segi-n n bh persegipanjangMisalkan kita menghitung luas sisi prisma segi-3 , maka jawabannyaadalah : (2 x Luas segi-3) + (3 x luas persegi panjang) = 2 x luas alas + Luas sisi tegaknya

Contoh jaring-jaring prisma.Pada gbr dikiri ini adalah prismasegi-5 dan jaring-jaringnya.Alas dan tutup prisma itu adalah segi-5 beraturan dengan sisi = s dan tinggi prisma = t.Sisi Prisma itu : Alas dan tutup : 2 buah segi-5.Sisi Tegak : 5 buah persegipanjang

Misalkan s = 4 cm dan t = 7 cm , berapakah Luas semua sisi tegaknya?Jawab :L.Sisi tegak = 5 x (4 cm x 7 cm)

= 5 x 28 cm2

= 140 cm2

s

t

s

s

s

s s

s

t

t

t

t

t

(i). Prisma segi-5

(ii). Jaring-jaring Prisma segi-5

Contoh 1 :Gambarlah : a. Sebuah Prisma segi-3 dan jaring-jaringnya!

b. Sebuah Prisma segi-6 dan jaring-jaringnya!

Jawab :a. b.

Contoh 2 :

Perhatikan Prisma ABC.DEF dikanan ini!Jika AB = 10 cm , BC = 8 cm , AC = 6 cmdan AD = 7 cm∠ACB = 900 , hitunglah Luas seluruh sisinya!

Jawab :

Luas Sisi = 2 x Luas alas + Luas sisi tegak

Catatan tentang Luas sisi tegak :(10x7) + (6x7) + (8x7) = (10+6+8) x 7Luas sisi tegak = Keliling Alas x tinggi

AC x BC2

48

= 6 x 82

= +

+ L.ABED + L.ACFD + L.BCFE = 2 x

2 x

70 + 42 + 56

A B

C

DE

F

10 cm

7 c

m

8 cm6cm

(10 x 7) + (6 x 7) + (8 x 7)+

216=

Jadi Luas seluruh sisi prisma itu = 210 cm2

Kesimpulan :

(1). Luas Sisi Tegak Prisma :

Luas Sisi Tegak = Keliling alas x tinggi

(2). Luas Sisi Prisma :

Luas Sisi = 2 Luas alas + Luas Sisi Tegakatau dengan singkat , sbb :

Dengan catatan : L = Luas seluruh sisinyaLa = luas alas prismaKa = Keliling Alas Prismat = Tinggi Prisma

L = 2La + Kat

Contoh 3 :Pada Prisma di kiri ini , diketahui Luas sisi

tegak = 756 cm2

Tentukanlah :

a. Nilai t (tinggi prisma)

b. Luas seluruh sisinya

c. Volum prisma itu

Penyelesaian :Dik. : L.sisi tegak = 756 cm2

Sisi alas : s1 = 13 cm , s2 = 14 cm dan s3 = 15 cm

Dit. : a. tinggi = t cm = …?b. L = …?c. V = …?

15cm

14cm13cm

t c

m

Jawab :a. L. sisi tegak = Ka x t

756 cm2 = (13 cm + 14 cm + 15 cm) x t cm756 cm2 = 42 cm x t cmt cm = 756 cm2 : 42 cm = 18 cmJadi tinggi prisma itu = t cm = 18 cm

b. L = 2La + L.sisi tegak = 2x84 cm2 + 756 cm2

= 924 cm2

c. V = La x t= 84 cm2 x 18 cm= 1512 cm3

15cm

14cm13cm

t c

m

K = 13cm + 14cm + 15cm = 42 cm½K = ½ x 42 cm = 21 cm

La =12 K – S3)

12 K K – S1)( 1

2 K – S2)( (12

21 21 – 13 )( ( 21 – 14 ) ( 21 – 15 )La =21 . 8 . 7 . 6La = = 84

Contoh 4 :

Gambar dikiri ini adalah prisma

segi-7 Alasnya merupakan segi-7

beraturan dengan panjang sisi

10 dm. Jika titik O pusat alas ,

OP = 10,4 cm dan tinggi prisma

= 16 cm , hitunglah :

a. Luas Alas

b. Luas seluruh sisi tegak

c. Luas seluruh sisi Prisma10 dm

10,410 dm

P

O

M N55

16 d

m

Penyelesaian Contoh 4 :Dik. : Prisma segi-7

Pusat alas = titik OSisi alas = 10 dm

OP = 10,4 dmt = 16 dm

Dit. : a. La = … ?b. L. st = …?c. L = …?

Jawab :a. La = 7 x L ∆MNO

= 7 x= 7 x 52 = 364

b. L.st = Ka x t

= (7 x 10) x 16

= 70 x 16

= 1120

Luas sisi Tegak = 1120 dm2

c. L = 2 La + L.st

= 2 x 364 + 1120

= 728 + 1120

= 1848Luas seluruh sisinya = 1848 dm2

10 x 10,42

Jadi Luas Alas = 364 dm2

IV. LIMASA. JENIS-JENIS LIMAS DAN UNSUR-UNSURNYA

(i). LIMAS SEGITIGA (ii). LIMAS SEGIEMPAT

(iii). LIMAS SEGILIMA (iv). LIMAS SEGIENAM (Hanya Kerangkanya)

t

• UNSUR-UNSUR LIMAS

Untuk setiap limas, banyak unsur-unsurnya dapatdihitung dengan rumus sebagai berikut :

1). Banyak Titik Sudut Limas Segi-n = n + 1

2). Banyak Rusuk Limas segi-n = 2 x nSemua berbentuk garis lurus

3). Banyak Sisi Limas Segi-n = 1 + n Sisi Limas Segi-n terdiri dari :Alas = 1 buah bangun datar segi-nSisi Tegak = n buah , semua berbentuk segitiga.

Contoh :Isilah Tabel berikut ini!

No. Jenis LimasBanyak

Titik sudut Rusuk Sisi

1. Segi-3 4 buah 6 buah 4 buah

2. Segi-4 5 buah 8 buah 5 buah

3. Segi-5 6 buah 10 buah 6 buah

4. Segi-6 7 buah 12 buah 7 buah

5. Segi-10 11 buah 20 buah 11 buah

6. Segi-25 26 buah 50 buah 26 buah

… … …

… … …

… … …

… … …

… … …

Jawab :

B. VOLUM PRISMA(i). Kubus dan limas segi-4

1). Ada berapa buah lima yang

terbentuk setelah semua diagonal kubus digambar?

2). Jika panjang rusuk kubusadalah 12 cm , berapa panjang tinggi masing – masing Limas itu?

Tin

gg

i Ku

bu

s

Jawab : 1). Limas yang terbentuk 6 buah2). Tinggi Limas = t = ½ .12 = 6 cm

(ii). Soal Pengantar Pada kubus ABCD.EFGH di kiri ini

AG , BH , CE dan DF adalah

diagonal ruangnya.

1). Jika panjang AB = 8 cm ,

hitunglah Volum Kubus.

2). Sebutkan nama semua Limas

segi empat yang terdapat pada

3). Hitunglah Volum Limas ABCD.PA B

C

P

E F

GH

D

Jawaban Soal Pengantar :

1). Volum Kubus :

Vkubus = 8 cm x 8 cm x 8 cm= 512 cm3

2). Limas yang terbentuk :(i). Limas ABCD.P (ii). Limas EFGH.P (iii). Limas ADHE.P (iv). Limas BCGF.P (v). Limas ABFE.P(vi). Limas DCGH.P

3). Volum Limas ABCD.P =

A B

C

P

E F

GH

D

8 cm

4 c

m

85,33 cm3.

512 cm3 6

=

Cara lain penyel. soal peng. 3)

VABCD.P = (8 cm x 8 cm x 8 cm) : 6

= 8 cm x 8 cm x 4 cm x 2 : 6

= 8 cm x 8 cm x 4 cm x

= 85,33 cm3Perhatikan bahwa :

Luas Alas Limas ABCD.P = 8cm x 8cm

Tinggi Limas ABCD.P = OP = 4 cm

138

cmA B

C

P

E F

GH

D

8 cm

4 c

m

O

Sehingga Volum Limas ABCD.P = 13

x Luas Alas x tinggi ,

dan cara ini adalah merupakan rumus Volum setiap Limas

Volum Limas , rumusnya adalah :

Contoh 1 :Pada gambar Limas di kanan ini alasnya berbentuk persegipanjang dengan ukuran 11 cm x 10 cm. Jika tinggi limas itu 12 cm , hitunglah volum limas itu!

V = 13 La x t

V = Volum LimasLa = Luas Alas Limas t = Tinggi Limas

11 cm10 cm

12

Penyelesaian :

Dik. : Alas limas = persegipanjang , ukuran 11 cm x 10 cm

t = 12 cm

Dit. : V = …?

Jawab :

Jadi Volum Limas itu = 440 cm3

V = 13 x La x t

= 13

x 11 cm x 10 cm x 12 cm

= 13

x 110 cm2 x 12 cm

= 440 cm3

Contoh 2 :Diketahui volum limas segitiga ABC.P dikanan ini = 342 cm3. Jika pada ∆ABC , siku-siku di C , AB = 15 cm dan AC = 9 cm , tentukanlah tinggi OP!

Penyelesaian :Dik. : V = 342 cm3 , AB = 15 cm ,

AC = 9 cm , ∠ACB = 900 Dit. : t = OP = …? Jawab :

V = 1/3 x La x t

342 = 1/3 x 54 x t = 18 x t

t = 342 : 18 = 19Jadi tinggi limas itu = 19 cm

A B

C

P

O

La = Luas ∆ABC AB2 = AC2 + BC2

152 = 92 + BC2

225 = 81 + BC2

BC2 = 225 –81 = 144

La = ½ x AC x BC La = ½ x 9 x 12La = 54

BC = √144 = 12

9

15

12

Contoh 3 :Sebuah hiasan berbentuk limas segi-6 , di tempatkan dengan terbalik didalam kotak bentuk prisma tembus pandang seperti gbr di kanan ini.Alas Prisma adalah segi-6 beraturan dengan panjang sisi = 4 mm dan tinggi hiasan = tinggi kotak = 3 mm. Tentukanlah volum ruang kosong dalam kotak tersebut!

Penyelesaian :

Dik. : Sisi Alas Prisma = Sisi Alas Hiasan = 4 mm

tP = tH = 3 mm

Dit. : V.ruang kosong dalam kotak = VRK = …?

Jawab :

VRK = VP – VH

= 72√3 – 24√3

= (72 – 24)√3

= 48√3

Jadi Volum Ruang

Kosong dalam

Kotak = 48√3 mm3

Volum Prisma :VP = La x t

= S2 √3 x t32

= . 42 √3 x 332

= 24 √3 x 3=

Volum Hiasan :

= S2 √3 x t32

= . 42 √3 x 332

= 8√3 x 3=

VP = La x t13

.1313

.

72√3

24√3

Sisi Limas Segi-5 :

Alas = 1 buah Segi-5

Sisi Tegak = 5 buah segitiga

Gambarlah :a. Satu Limas Segi-4 dan jaring-jaringnyab. Sebuah Limas Segi-6 dan jaring-jaringnya

B. LUAS SISI LIMASA. JARING-JARING LIMAS

(i). Limas segi-5 (ii). Jaring-jaring Limas segi-5

Jawaban a :

Limas segi-4 Jaring-jaring Limas segi-4

Jawaban a :

Limas segi-6 Jaring-jaring Limas segi-6

Isilah Tabel berikut ini!

No. Jenis Limas 1 buah alas berbentuk Sisi Tegak

1. Limas segi-3 Segi – 3 3 buah segitiga

2. Limas segi-4 Segi – … … buah segitiga

3. Limas segi-5 Segi – … … buah segitiga

4. Limas segi-6 Segi – … … buah segitiga

5. Limas segi-15 Segi – … … buah segitiga

4 4

5 5

6 6

15 15

Sisi Limas Segi-n : Alas = 1 buah segi-n Sisi tegak = n buah segitiga

Jawab :

B. LUAS SISI LIMAS

Pada Limas segi-n , sisinya terdiri dari Alas dan sisi tegak , maka :

Luas Sisi Limas = Luas Alas + Luas Sisi TegakDisingkat :

Contoh 1 :Diketahui sebuah Limas segitiga , semua rusuknya sama panjang = 8 cm. Hitunglah luas seluru sisi limas itu!

L = Luas sisi seluruhnyaLa = Luas alas limasLst = Luas Sisi tegak limas

L = La + Lst

Catatan : Sisi Tegak seluruhnya berbentuk segitiga

8

8

8

8 8

8

Penyelesaian :

Dik. : Limas Segitiga sama rusuk

Panjang Rusuk = 8 cm

Dit. : L = … ?

Jawab :

L = La + Lst

= 16√3 + 3x16√3

= 16√3 + 48√3

= 64√3

Jadi Luas Sisi

Limas = 64√3 cm2

Alas : K = 8 cm + 8 cm + 8 cm = 24 cm

8

88

8

8

½ K = 12 cm

La =12 K

12 K – S1)( 1

2 K – S2)(12 K – S3)(

La = √12. (12-8)(12-8)(12-8)

= 16√3La = √12. 4 .4 .4

La = Luas masing-masing sisi tegak

Contoh 2 :

Pada gambar dikanan ini! Alas Limas

itu adalah belah ketupat ABCD.

Luasnya ABCD = 384 cm2 dan

Volum limas ABCD.P = 3072 cm3.

Jika AB = 20 cm , hitunglah luas sisi

tegak limas tersebut!

Penyelesaian :

Dik. : Luas belah ketupat ABCD = 384 cm2

V = 3072 cm3

AB = BC = AD = CD = 20 cm

Dit. : Luas sisi tegak = Lst = …?

O

20 cm

AC

P

B

D

O

20

AC

P

B

D

Jawab :

10

V = 13 x La x t

3072 = 13 x 384 x t

3072 = 128 x t3072128 t =

t = OP = 24 Q

Pada ∆OPQ , ∠ACB = 900 , maka :

QP2 = OP2 + OQ2L∆BCP = L∆ABP = L∆ADP = L∆CDP L∆BCP = ½ x BC x QPL∆BCP = ½ x 20 x 26L∆BCP = 260 Maka Luas Sisi tegak = 4 x 260 cm2

= 1040 cm2

QP2 = 242 + (½AB)2

QP2 = 242 + 102

QP2 = 676QP = √676 = 26

26

Contoh 3 : Gbr dikiri ini adalah jaring-jaring limas yang terbuat dari karton dengan luas seluruhnya = 360 cm2. Alasnya PQRS adalah persegi dengan panjang sisi = 10 cm.Hitunglah volum limas yang akan dibentuk!

Penyelesaian :

Dik. : L = 360 cm2

Sisi (Rusuk) Alas = 10 cm

Dit. : V = …?

QP

RS

T1

T2

T3

T4

10 cm

Jawab : L = La + L.sisi tegak360 = 102 + (4 x L ∆QRT1) 360 = 100 + (4L ∆QRT1)4L ∆QRT1 = 360 – 100 = 260L ∆QRT1 = 260 : 4 = 65

Maka BT1 = (65 : 10) x 2 = 13Tinggi Limas yang akan tebentuk = AT1 (lihat gbr)AT1

2 = BT12 – AB2

AT12 = 132 – 52

AT12 = 169 – 25 = 144

AT1 = √144 = 12

QP

RS

T2

T3

T4

A

QP

RS

T1

T2

T3

T4

10 cm

T1

13

10

V = 1/3 x La x t

= 1/3 x 100 x 12= 400

Jadi Volum Limasitu = 400 cm3

T113

B13

5 B

12

cm

D. BIDANG DIAGONAL BALOK• Pada setiap balok Bidang Diagonal ada 6 buah persegipanjang ,

terdiri dari 3 pasang.

Pada Balok ABCD.EFGH bidang diagonal adalah :

Pasangan (i) : ABGH dan CDEF

Pasangan (ii) : BCHE dan ADGF

Pasangan (iii) : AEGC dan BFHD

• LUAS BIGANG DIAGONAL

LABGH = AB X BG

22 CG BC x AB ABGH Luas

D

A B

C

H

E

GF

……

……

……

22 CG BC BG 22 CG BC x AB =