7 russ.pdf

ElilTOEl fAL

M Ili

{l . 11 . M upoAlOOOII. C. A. EllIJQANOlel, 11, n. Cf!PIIIWIC~U , (/J. 3. A~mo.r. 1/ . A . /{yf'lUlNH. /{. r . C.1(llpIU-Bacu.#u,

n, B. RWU1Ul

nOCOSUE 1\ PEIllEHllIO 3A)(A4 no COn POTHBJlEHUIQ MATEPl1AJIOB

I. Mi-I'oUbot:, S. E l lyUcll 11V, N . Set'y-w#i t'sk i , ~' . A I m ln l/ l ol', N . j ( d l sitl., j(. SIII 'I II ,)/- I (lsHict,

r.. } ' {lIrIIHt

PROBLEMAS DE

RESISTENCIA DE

MATERIALES

'I'rnd",.,,,,, rI('l r .. ~" ,,,,,. J',"" '" O"tU,,'e~ .1/ ... r ""udld"r .. j . '""'"r t: u ,.f,'U,.,,,,, Uc,,'c,,~

CDU 620. IO.~.2 1 _eo

"'STfM ,WO [. f.'Cr O/f: L. Edi turlal le quedar muy _K docida.!i UJ " 0.0

" .. ud u opin i6" aCGl"I:a dol libro q"6 le "'r;,,w.o~, .ul c"mo rnonUlclu de l mi!",o.

lA mg.a

Esle malluallle problemas que l:l ellitor ia,l MIll ofrece a SllS lectores se lIebe a l:l pluma de un grupo lIe profesores de la Ctedra (le resistencia de ma teriales del I n~tiluto mecln ico do Lonlngrndo.

BI Ilre ll6.~ito funll ameula l llel libro es facilitar eleslu-lIio de una asignatura tan compleja e im portante llnra el ingeniero, cemo le es la resislencin de ma leriales.

El libro est escri to de acuerdo con el prograUlo lIo resistencia de materiales para las facultades de ingeniera mec nico de la UHSS, que cu bro tres semestres.

El crculo de cuestiones que Sll Illlnli1.an en el libro es muy Ilmlllio y Il lwrca tollos los lemlls que caracterizan esta Ilsign!lturn. 1 nclu ye les c!l)li tlllos siguientes: traccin y cmnpresin. estades tonsionales e hiptesis de resisten-cia, recipientes de paredes delg.1das. deslilomiento. clcu-113 de juntas, caractersticas geomtricas de las S!!Ccioues, l nt!lin, fle~ill, r(l.~istencia compuesta, cstnbilidnd de

IJ/1 rra~ reclas, barr"~ Cllf\'nS planas, mtouos energticos de clculo de sislemas elsticos, tubos tle laredes gruesns, nccin uin:\mi cn de lils fueua s y tensiones alternada~.

Pnrn Slnplificnr la Inbor del estudian te y con la fiHnH-dad de que asimile mejor 1:1 m:lleria, on cada capitulo se exponen los bases ter icas del tema correspondiente y se

aoaH~a escrupulosa mento toda una serie de ejempl os. numricos unos y planteados en formo general otros, I[Ue, si n duda, fa ci litan In Iloslerior solucin tle los Iroblemos que se proponOll .

El manual cO Il ~ta de 1028 problemas. Algunos de elles se resueh'en con relativa facilidad, otros requieren ciertus hhitos, Ilere todos con tr ibuirn a I]ue 01 estudianto apren-

tI;1 11 apl icar los conocim ientos tericos adquiridos, a la f~~oJucin da 1011 problemas que plAntea la I,rctica del iUl(I'ui ero y que no siempre 90n do solucin nico y ficil .

1-:1 iugcniero encontrara tambin en {'sta IibnJ muellas cus., ~ tiles quo lo ayudari n en Sil tra bajo.

1.11 vcnin espaolll de estl: tII ;lfIua l :!en. ,II! un interes purUeular para el es tud iltlt o, uI "geuiufo y 01 profesor d I! hab la ell ~to ll olla, yn quu, ,le hlle l", . on O.~to idioma 11 0 I:xi91en libros sobro pruh]emlls de resis tencia do materill les (IUI: IIharquen e:lb Asignatura de una II1I1I1Cr1< ton plena y Ilrohmda.

PedrQ GulUrre:

INTRODUCCiON

Las mayores dUicuJlllde.~ qU6 los estudiout98 encuentran en el es tudio de la resistencia de matllriales surgen al resolver los problemas. Este libro de problemas tiene, como propsi to, aylldal a los e~tlllliosOIl de esta Ilsiguatura y, 10 que es de SUIIIII importancia, H}'udllrlCS 11 asim ilar los mtodos de resolucilI tic los pro-

hlem~s y 11 adquirir los habites necesarios en la solucin do estos.

F.l li bro abarca los lemas sigu ientes: t raccin, comprC'si611, deslizamiento. caracterst.icas geomtricas de las figuras planas, torsin, floxi n lrllllsvcrsal pla ll8, rl!Sistencia compueshl de barras rect as, flex in longitudinal, mtodo energtico de clculo do siste-nllIS c lstic()I;, barras curvas, lubos de pllTcdes grul'slIS y accin d inmica Ile IIIS (u('nas.

El contc.'Ct o iucluye los fuudaOlon lOs do la teora, las ind icaciones metorlolgicall lI ece~arias, ejemplos de resolucin de problemas t icos, problemas a rellOhor. las soluciones de eslos IJroblemas y un a lJndice con el material de cousultn necesario. Pllra mayor comodidad y l,ar" la lIlojor asimilacin dol ma loria l indicado, ste 5e distribuyo de manora concntrica en cada seccin pequena, pero indepl'lId iento, dol curso; las soluciolllJs de los problemas y el mater ial de cOllsu lta se dan a l final doll ibro. Se considera que elllStudian te, lHlte lodo, debe flllniliarh:nrse con las bases tericas, las indicaciones metodolgicns r las resoluciones de los ejemplos tpicos del ca p-tulo cOrreSllOlld iente. g!ito le pormitir memori~lIr y IIsim ilar mejor IlIs basell toricas necesa rias de la teora. comprender el mtodo de resolucin de los problemas del tipo dado y adquiri r cOllocimielllos s\,fieientes pHra l'('solver consciente e independientemen te 1011 pro-blemas que se proJOncn.

Las cOJldiciones de los Ilroblemas que se proponen a TCl1!olve r es tn represen tadas Ilor esquemas acompaados de 1011 va lores de las magnitudes necesa rias. Puesto que cadH esq uema lluede caracterizar el trllbilju IIn logo de varias construcciollcs y 110 slo de Ulla, a veces de diferellte dC!itino, en la inmensa ma yoria de los IJroblemas no se dau condiciones verbales que limiten el empleo de tal o cual esquema para un caso concrelo y quo repitan el nombre do las mism99 magnitudes dadas o por calcular.

,

EIl cada grupo do proulema!! quo llC refie ren;) un mi"JJl" trma y ti enen igual propsito, se da u na ureve expliCllcin deJ objeti vo q " '" se persigue a l reSQrvcr e l problema. Tal ]llnnteamielllo d o) Jv::' ]lI'obl._

ma~, sin ~fecl:or fI la cl aridad deJ l\O)nl ll itlo. ohlig.

La e .~p li l'aci"",

NOTACIONES F UNDAMENTA LES

A. reaccin de apoyo: amplitud de las oacilaclonell fo" . da. G, longitud del lramo de la barr,: dlmelll!i6n de l. AIIo:el6n

1 .... lll!vel'!al; aceleraci6n del centro de gravedad de IR mua B. maccln de apoyo; anebllT. de la seecl6n t ransversal; Ion,...

lud de la riostra eD eolumnu compuestas 1>, longitud da] tramo de l e ba rTa : anchura de la !l!!ooi6n C. rlgldeos de 111 barra (&~um.l

C, gr~do~ centlgrado. D, d. dilmetro

E . mdulo de eJaaUeidad longitudina l del maU!ria l " distanela que determina 1. P1,. l J~ , J . ntomenL05 uialC!l de inemia d,,1 tl rea d" uua figura respecto a los eje~ l. ,. U. u

Ip . ,,,omento po lar de inereia del tlrea de una figura muo ",omeoWs pTncil'"les da inereio del &roa de unl figura .," Jt OT ' caracwrlstica goo",6l rica de la rigide1 a la t.ol1li6n de l.

secci6n 1",. momeuto de io"mia de uoa mISa fC6JlOCto ,1 eje de rotaci n J 'o' producto de iucmia del roa do uua ligura l'9llpe

" lon/l"i tud d. l. bu,. o d. 8u. Inl1l1' 'u, longilud efec:t lva do o'" blrn .... JdaI .... Al, vu' . eln at.oluta de la lon,Uud , . II Nnt. J., longi tud (libre) de la r.m. ae Un' column. entre rioslr ..

M . momonto de un par extnrior coneont rado .lit . mortlon to tOl'llor

.r, M~ . "l/llnenlO Oector M"",x_ mom"nlo 1Ie

p,. limito de l'""crsal d,' la viga linea n~ ul rn (III6d"la8 u ialf'! d,' la IK'ccin

re~l\('cto a la par" In fd,ra

x,. X traed",,,,,l,,. ~" ' '''IJrin\id a l i nc::nilas ~u)i'erfluB8

%. y. :. ee..; c(~,rd""a,I,, " IZ . ngull); cuel ioie" te ~ e dilala r.i';n l i "r~ 1 ,101 tIlal"rial; r ,){fi

cielllO de disl ribucin de 1~ 3 t,,,, . i,,m.,, en l. Ilc,.in ole la barra ,"rva; c""icic ,,lo ,lo concr nlracion dc leIl3iolll.'9

... ~ . COllid""I" d .'Cl ivo ,le c ... Ile,n lrnc6n fI. ;ing"lo; codicionl" do crec imiento de las oscilociollcs y. peS(> por uoidad de "olumen J~ l ",oler ial; ,Ii.lol'$i(o" ""i

laria (delor, nnci{'n " ngu lnr) v,. ",. V, . ,1'"rI""ci ... ",s 8"IIUI~f('5 princ i pales

v . di $lor~in octa~dric o A. ",agnU .. d li"~1l 1 qu u cnr. ctcr iu eJ r rror co",elido al elalJo-

rar el elemenlo cl ~$ lico del si.lemo ; " I"d"ra du Ina l ul>o~

"

12

11. de~plu8.mlento el'~tioo ]teneraliudo; desplualPiento est-tico

11,. 11M, 11. , 11". proy:eiones del desplazslPienlo sobro los ojes '. V. sobro la ver t ieal y sohro la horizontnl

1111. desplazamiento admisi ble del punto lIp. lIu . II~. deBplaZDmienl~ generaliudos; cooliei .. ,,.,s de la. ccua-

eion~s del mtodo do lu luen.as lid. desplnamicnto dinmico 110' desplazamiento goncraHudo del punto de W~I,on"in del

pO!!o cuando la luena per1.nrbadora acta esttieamonto e. deformacin Hncal (deformacin unitHia) ~,. ~ . e do(orruaeiones lil1oa]~9 principalu

e'. doformaci" uni taria Ir~n~V!'rs81 t lactor do escala el' coeficiente de sonsil>i1hlad 5ux:rficinl

O. 6:1.e. Ar. esbelto~ do la oolumoo. roma JI. coeficiente do PO;!I!Ion del mater ial; ~o"iciento de I~ lon::ilu'

de la barT~ comprimida an la fluin longitudinal (p8nd~0) p. distancia del centro; rndio de CU"'aHlrn dol ojo gC""'l;t,;cO

do la barra curva P,. Pm.' r"dios de curvatura do la seccin ci",onferencial (nnulH)

~' mer idional do In 1''''''0.1 del rocipiento o. a~. aa.. lensionr..s narm~l .... a,. a . a,. lon8 io"08 principal!'! on el I'Unl" tlndo

ap limilO de Prolwroiunal idnd oro limito do f)uencia "r' Hmi le do Tesialonoia 101. lansiones admisi bl .... ~ t r8cein y COIllI'Telji" ao. tensi6n Hormal 0018"d. ;c"

"Ir.el. 1"""",1. "I\' laaul. lensione~ ner",al,s admisibl~5 a trae-cl6n. com])ro~in. f)~I;6n y IIl'lnsumiento

"01. "ell' ... , aov. I

Slftt"'" Uo"'to d. " "fdadtl (/lIKGFS) m. kal, 1, mttlro, kiloramo luer .... fl'Iundo (1 kal """ 9,8 \ p;-

_ 0.981 dN); 11. I.Onelada loertl (\ 1I _ Hl" kgl """ 9.8 \ .10" N ... 9.81 kN);

kgl/cm". unidld de lenain y pre!\6n (\ kll/cm" ,., 9.8 \ 100 N/ mi ~ ... 0.0981 MN /m" "'" 0.98\ dN /cm1);

ba r . \lnidad no prni!11 loor .. \ aia lo"'l de \lnidades ( I bar _ _ 1()1 Nl m

' _ I dNfcm' "" 1.02 kgl/em');

kglm. unidad de tr lb_jo (\ kgl.m "" 9.8\ J); ev. unid.d de pOlonei . no pro" \$l8 loor 01 sistema de unIdades.

c~\ulllo de v.por (11 .1'. caballo de [uena) (1 CV _ _ 1:; kgl.m'l ... O.73f, kW).

t . 1'od .. 1" magnitud"" q\le ~ indiun en lo. dibujoA de lO!! probleuuu 88 con.~iderln dldB!. Las m.gnitod ~" que ~e bUKI II nn a(ompaiiadu do1 ailDO de Inlerroleln (1111 donde es nec:.Yriol.

2. Loe problemu cuyu condlciollfl se dan en el &ialerna in lernlcionl l do unidldCI (SI) deben reaolvene en fi le mLaroo aalema.

S. Si IIa di "",,,!iu~! geomtricaa da ItoII dibujos no H indie"n, H (onsido-.. n dadaa In milhnltl'OS.

>l. [.QS olemonl

I. TRACCION y COMPRESION

J. h'iJfuerlllQ aa::(uZ La l'e!Iultante de las fueu8.'I Ilorma le! de elasticidad en la seccin

!lO denomina tiSjUV'Zo axial. El esfuerzo axial se determina por el m~hod o de 1,15 ee

N, = 2P; - ,

_ r P--=Zdz-P,_ -P x":; J 2 t, ,,

b

_ rp "::"'d:r. _ p,= P. J 2

El diagrama do N es t rcpN!8cnlado on la figura 1.

P, P,

FIII. t

P, Diagrama de N

P,

Problemu 1-8. Construir los diagrAmas del esfuerzo axial N. En loa problemas 6, 7, 8 se debe considerar quo la interlllidad

do la carga d.i.':ltribuida q~ varia linealmente.

"

.l .,t !t. !

"''" 10lf

j I 4UI!N I

'" ~O~N

~ 1- :L .! '" 1 '1

, : q"O I , I q-Jt9'm I ~I .., ! I I G"Q I I '

Ji' ,

i I I , ~ I El I I I I I 1" 0'- ji 1" 1-' I " 1 I ....! I ~ : -,

La Integracl6n se lIevlI a eabu aobrl;l elida tramo y la suma abllrea t odos los tramos de la barra.

Si en toda l. loJlgitud 1 de l. b. rra N y F son constantes, entonces NI 4l _ t .F.

La frmul a gellera l pata determinar la Ilnergia petencial de la deformacin e[i., lica U, acu mulada en la barra durante la t racci6n y comprClsin, llS la siguiente:

La illlcgraci lI y sumn se efoctan nrn de la misma forma que a l ho!!ar el olarg~ miento do In bnrra .

Puesto quo dentro do lO!! limites del domiu io el,slico puedo considernrse que la energa potcncia l es igunl nltn .. b"jo de las fuenas

P Ou"gtvlllQ tlt d~

jg. 2

extorlor(lll, en el caso de ba rras traccionadns O comprimidos por fuenu P aplicadas a los extremos, tendremos

(5)

Ejemplo 2. Construir el diograma de 0", calcular Ilol y U, s i P - 10 kNi l - 0,3 mi d - 0,01 m; d" _ (0,01 + r) m; E -_ 2iOl MN/m~ (ng. 2).

Ruolueld". El e!fueuo axia l en cualquier seccin transversal " N. - P - 10 kN. Lu areas de 1113 seceionllS transversales son: lB

en la parte ciUodrieJl, l' nd' 025 10- 1 mi,

_--_ , n en los portes de llCeei6n va riable,

F",_n~ _~(0,01 +.t')1 mi. (, 4 Lu tensiones normales sern: en lo II0rte eiludrica,

(J _ N",_ 10' 6 C1",~t,273. 1 0' N/ml =: t2~3 MN/m',

'" l' O,25n.10" en las pa rtes de seccin variable,

0_ N" -= 4P => 410' N/I1II~ 127,3 iMNfm~ " F" n (0,0 1 + :r.~1 n(O,O I +.t')1 (1 + t OO.t')

\27.3 (J I = :=::o "-, (t + l OO.O,OS~1

:::::81,6 1\1 1\'/011: (J l =31,8 MN/m1, "-,

El diograma do Ox esli rCIJrCSC!llnd o en la 'ilIra 2. El nJilrgam icnlo II bsoluto de ]I 1!llrrn ~o obtieno por la frmu-

la (3), u,

td _~ r N"dx=~+ 21'4 r dx _ J El'" 3EF nE J n(0,01 +.t')1

Pl 81' I t = 3~P + n/\' 2 (0,01 +.t') '0,11+

" t I 10.10' .0,3 +2.0, I, arctIl"0,I = 3.2.1O".O,2tin. 10'+

8 1 0' ( 0. \ I 1)

+n.2.101t 2(O,O I +0. 1 ~.O, I !+2.0. t l arctg ; Al ~ 1,'1(j1O- ni = 0,0146 cm.

ta onorgin potenciol de la deformacioll elstica acumulada en la buro se hal la por la frmu la (5),

U= PM _ I01

.l ,4(j.1O-1 0,73 j:::::7,45kgf.cm. 2 2

2 111

Prob lelllas 9- 16. Construir los diagramas do las tensiones norma-109 (J, ca lcular la~ variacione!:l absolut a!! tle las longitudos do las barras 41 'i las energius potenciales do las deformacionos elsticas U acumuladas en las burr,ls, si E = 2 HP MN/ rn' . En los problomas 11-t 4 se debo admitir E = 2 10' kgffcm.

9 !! ." ' 1 il lO'"

, f -2cm! ~ I

1 "'"' , q I I

11

1 JZcm1 ~

I ~ O

, J' q -, 1 ~ I I,q,q f

~. Iq ,

I H I

2VkM

_Ij.5cm1 _lz-Scm1

JL

',m

11.

I r,;t";1I f / " I I FJr;mr :s ;

,q'/Wm

I f I , {'ZcmZ , qrq 0 , Ztf

"kM 3 , D eformaci.';n 'ran8"er8a~ ." lJar iacto'n Ilel Volu.lII11n

La deformacin unitar ia longitudinlll e en el CIlSO de traccin o compresin 09, segn In ley de Hooke ,

(6)

"

y la deformacin unitaria transversal ,

.. o =- ]II'l=- Il -, (7)

sifl lldo ]L el coefi ciente de Puisson del mnlerial. Ln variacin un itaria del rca de la seccin tranavcrsAI de l.

barril puede calcularse por In frmule,

F o -J!:::;- 2]18"",,~2 ]1 -. F E

(8)

Pnrn hallor la. va ri acin nbs..,luln tlel volumen de ]a harra se elll]llen In expresilI

(9)

La integracilI ~o rl'aliw sobro cndo trnmo, la suma nbnrca lodos los tromos.

Si la blJrrn ~e lraccionn o fe comprime por In ~ fuerz as P, a plicatlas a los e.~t reIllU~, ('nt,ouees

V = (1 - 2]1) PI. E

(1 0)

..,.~ "

,. ,

Fig. 3

Ejemplo 3. Dados P, q, 1, F", E Y .L , (f ig. 3), calclese 11 .. 6.F" V F", y .

R esolucin. El e~rucr7.0 n:'l:nl y la te llsin lIormal cn ulla &e

Por la rrmula (9) hallamos la variaci6n absoluta del volumen de la barra ,

l!.V =( 1 ~211) S N"rh

,

(1- 2,1) r (P +qx) d.c= E J

= (1 - 2,1) (i' + '1'-) ,.

E '1

ProblclIIlIS 17-2/j. Calcular las magni tudes indicadas on Ins cond iciones de los [lro bl omll~.

!J. 18 , ,

'. ,/ -

,

f.p , M 'l f ;llJ;p '?; ~ '?

11. p

I

1

p

l '"

.1" V S

, ,

Acero

: ,1 l . p

W-1 d'Zcm I ,1 2d ,-

-""." .. ',, P-?

En el probloma 24 50 debe considerar que para al acero E = _ 21.0' kgf/cm' y '" _ 0,3 .

..

4 . D eif/ )/cl =um1.tm lulI le 108 l)/I1"Oif "e sta/e'mas lIe rJfU'j"(fif ffrllrlf/lll/U~

El c(,lcolo do 105 desplaznmicnlO!l elllsticO.!! de lO.!! ponto! de sistemos de barrns artiC lll ndo~ !le realizo !!egn el esquema general l!iguienLe.

Oc las CCUllciOI1('s do In clItrilicn !lC calcullln lo~ ellrucnos axiolc! en todO!! los 1'1C/lIcnt o!! c l ~ 1 icos dal sistema. Por la ley de Hooke se hullan ]l! magnitudes de l o~ ala rgllDlianlOll absolutos de 1011 cleUlcntO!.

" '1 ,

-, ~ , Z""l r- N, " N, , , , , , , , , ,

B

I'ig. ~

Cln~idcrando que l"s ('Jclllenl05 del sis tema a l tlcfornHlT!1I'l no :;c l!Cpa tlJl, I,or c l ml\'do 011' in lcrst,-endicn l:lres n l(l~ rudios de rOl acin, puesto quo los nln rga-mientos el,;slicos do los elemeutos son poqueo.'! en COUl llllracn COII los lougitudes tlo stos.

EJclllplo ', ])lId"" P, proyl!ccOIlCS " orlien l .s~ punto do aj,!ic.1ciu de

a, E" F" 11Orizontul In fllcrza

Y F I (fig. ', a), hnllnr las do l deSllln1.am icnlo .s dol

"

R~IO/ucin. DC!lcamponemO! el s istema mediante las secciones J '1 11 da los tirantes on dos sistemas (ng. 4, b).

De las ecuaciones de 111 esttica I M A = O y 1: /11 B = O deter-minamos los esruerzos Cln los t irallles NI ~ ~ y N z _ ; P . Por

P" 21'a la ley de Hooke l!.l l = 3t: ,i'\ y l~ _ 3E~}'~ . Por el mlodo de intersecciones (Hg. 4, b) ha lla mos 01 dcsplaza-

miouto hori zontal d el pun to e igual !l ll.lz Y el dCllpln7.lIruienlo del pun to e perpendicula r a la lincn /le: 6" = Ll.1: Vi.

El punto D solamente puedo desplazarse por la hori1.un l"1. E~lo 2,

dC$pluzem ionlo es: 6D = 6" - V ... 2.lz a 2

El desplazamiento horizonta l del Jlunto do aplicacin de la fuerz a P se compollo del dU5p[llznrnienlo horizonta l del l)unlO D y del alargamiento del 1" tiran le, es decir,

4Pa 1 Po. Pa ( 4 ' ) 6 .. =26l,+61,=--+--_- -+- . 3E1F1 3 E,F, 3 EzFz E,F,

El desplauunicnto vertica l del puu to de q!icacin de la fuona P !ler,

6~=6"tga=ll,, ~= Pa (_'_+_'_). 3a !) EIF! E,F,

l'robJcmas 25-40. Determina r los desplazamieutos II do los puntos do aplicacin do las fuerzas exterior/l:l P (o de olros puntos que estn ind icadOll en los condicione!! do los problemas) y las len-~ iOlle9 normnles on las socciones transver511les tlo las 1Jllrras elsticas. En les problemas con dnl09 llterales, donde no figuran los valores de E y F, estOll deben considerarse como datlos o iguales pnrn lntlos los elementos elst icos del sistema. En los llroblemns 37-40 debo admitirse pnrn todas las barras E .... 2 1oa MN/m

' En los prolJ lo-

mas 35 y 36, E ... 2 1()1 kgf/cm". A Ji 11

.... ~'m I

I :--. , , , .

/ , , ". {,2ltz.~kgfl,m

I ,

P' :Uf ,

..

.1l 1!. J'!

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11

o

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- ~ - 0 - -, f Um:

---:r-,,

"".,,,,,. ,. .. ~

1,11',''''''', I,IJ i 5 . UeH istel/.c/(~ 11 ,.tyi!/.#!:

I~a detetminllciu del volor necesario del Inm F de la lrll ns\'erso l de una barra traccionada o comprimi da do

y el coeflclent.e de seguridad ni (referido al IImlle de fluenela del material), /Ir =-: _:!_ t.5.

El incremento alolu1o del radio interior del anillo 6.r SIl obtiene de la ley do Hooke. Puesto que,

-;~N:..;.2n:::,-;-211 (r+ Ar) _ 2nr_ E(R r) l ,m.

Problem., 1i1.Ji8. C.,lcular lu dimOllsiones de la" relS F de las seccione" transversales de 108 elementO.! elsticO/! de los sistemu.

En los problemas con datos literales debe consideral'$O que la tensin admisible [01 para e l traccin ca igual que para la compresin 011 todos lO! elemeotos elsticos del si.sloma. Si en las condieiones del problema no figura 01 \'a lor del mdulo do elaslicitlad E. debe coII.sidcr'rsolo dado e igual para tOO1l5 las barras. En 105 proble-mas 45-46 admitase, p8m el oecro, E - 210' kgf/cm'. j! ~l !9.

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,

1 ,..f(;M' (~J'~llfIt 1,.,,,,(4.,1.1)..., f'frNli/d

,

l}robICII18.!! m53. Calculnr la rucua admill iblo P o las nlngnitu. des ind icadns cn In condicion l'~ do los problomall.

!!. l!

.' -Ji"'- , , o

,

,'-o ,tttnl

.' " .' (oJ.IZllMiV/ ... 1" lcm' f!'J'/aWl/m'

, "

'l==t='l:t4 Za 11 _ ..

r,-tQl! J. rt51 ' W~gf/~ a.HS mm t z,h1f/Ufl1

D'I. Mimlr.I1IJ1N"I'Dl/l" f!'J-mujf/UP': hr

f 8. Conaidet'(ll:lon (fel p8JJO I)"PO])io En al caso de una barra prismtica .somelida a la aCClon de ItI

propio peso y de una fueua concentrada Jl aplicada sobre BU extremo Ubre,

..

el esfuerzo axial en la accein t ransversal situadn a una distan-l1ia % del extremo Ubre, se calcula por la fnnula,

N,. - P + iFZ, (14)

II!. tension normal en la misma ~ecdo, por la frmula p o~ =F+1'%,

el rea necesaria de la seccin tra ns" ersal , por la frmul,

F~ P lo] 1'1

y el ai8rgamionlo absoluto, por la frmula,

61 = ~ (p +!l..). EF 2

(15)

(16)

(17) siendo y 01 peso por unidod de volumen del material de lo barra,

t la longitud d{l la bHrll y Q = 1'Fl 01 peso de la bnna. En 01 caso de una harra de iguol resistencia, es decir, cunudo en

lodas lus secc i one~ transversA les do [o barra las tensiones normales. son jguae~ , el clculo del rea de lo seccin transversal So Nlaliu por la lnllula,

P L" Jl - _ c[oJ (lB). "- [01 '

siendo e la baso do los logaritmos naturales. El alargamieuto absoluto de la barro de igual rC'sislencia so

determina pOI' )/1 exprcsiun siguiente:

En el coso de unn harra l'scalon~do, el rea del escaln .,. ser . p [oj-I

r= (20) (lo J - 1'1,) ((al - 1'1:) ((aJ - 1'1.J) . . . ([0]- i'l) y el nlargamiento :Ibsoluln,

61=[oJ 'f,11 (I _EL) E 2[01 ' (2 1)

siendo 1(, l~, l .. . . las longitudes de los correspondien tes escalones. de In harra.

Ejemplo 7. Dado: P = Hi tf; l' = B gflcm3; [al = 1 600 kgf/cm l ; E _ 210' kgflcm l 1 = 40 m (fig. 7).

Dclerllli ,," r: 01 Iren F r' el peso Qp y el nlorgam iento absolu to Al,. de la borra prismtica: el rea mxima Fe' d peso Q. y 01 al:lrga-miento absoluto Al. de la horra l'sca lonada de " esca lon t'~ de idutica

31

l ongitud; el '- rea m/ixlma F, el peso Q, y el ~Ia rg:t m i e ll lo absolu to Al, do /a barra do igua l resistencia.

al b) eJ ,

.... , ...

I -" I -"

-l' , , ,

Fig. 7

Resoluci611. E n el C3~O do In barra pr ismt ica (Iig. 7, a) el ma se ca lcu la por la frmula (1lI),

F _ Hi f OS 3 ~ 10,201j cm", P- 1G 1(1_8 .1O- 3.1j. 10

'01 pe~o propio es Qp "" yF pi = 8 1 0--310.20~1j . 10' """ 32G.53 kgl

'Y el alrgamiOlllo IIbsoluto, por J; frmula (17), ser:i Ij lQl ( ,327 ) 6. lp = 6 t l3 IO+ - -;:,:3, t r.scm. 2 10 tO,20/ 2

El! el &.1.'!0 do Ja barr.1 OSC/l/ooadll (fig. 7. b): el rea mxima, por la frmu la (20), res"ll;

P,- PIar == p _ ( t )' ( vI ) '-[oJ--yl (a] 1 _ _ 4 4 (u] 16 t OS 03 ~ ( _, ' )~ """ 10,2 cm 16. 10" 1 _8.10 410

4.16. 10" ~l peso,

Q. "" la! F. - P ... W 11)' 10.:)03 - ID . /0' ::::::; 32'1,8 kgf

y el alargamiento ab~ol o lO \1o r la [rmula (21) l!r.l

e= [oJl (1 __ Y_ _) ~

E 24 .[O'J = 16 fOZ1 to' (1 _ 8 10-'4 .101) .

r. S'illtel/las ellttica'lII.ente ,ufeterm,imul.oll (h.ip e I'IJII r.le j OQ8)

Se denominan sulemas estalic(lllltnle indeterminados (hiperesllili-CIIS) aquollos sistomas en l o~ qUIl no Sil pllodon determinar los I!sflll!rzos on todos los olomentos, aplicando solamente I~s ecullcio!!es ol e la estlicA. Para el clcu lo de los sistemas hiporestnticos se emplcal1 las e

El clculo de sistemas hiperestt icos por su capflcidad resistente se lleva a caho en virtud , sola manle, de 1/19 ecuaciones do la eSltica. EH astas cond iciollOll los esfuerzos axia las se considerlln iguales 11 lo~ produClos do IlIs tensiones admisibles por las lreas de llls secciones trans n lrsales en todos nquellos elemen tos, en los (jU Il, ni alcanzar

I n~ tensiones al lmi to de fluellci~ del 11lot,er ia l, el sistema se trans-fnr"'ll en cinemticament ll \'o riahl('. Est a mtod o ,le cu lcul .. se bOlln sobro la sustitucin del [iagramll renl de trnccill del mater iol por el dillgr~n11l idea lizado do Prandt l, en el cual el esca ln do fluencin se cnnsider;, i limitado.

Ejemplo 8 . O(ulo: n) 1';, = Hz = Es = E = 2 10' kgf/cm!; 101 = 1 600 kgf/cm";

a = O." m; b = 1,2 m; e = U,4 111; ~, = {5Q ; ~2 = fj(l; ~~ = 30; F, = IZ 1"1"'; F~ = ,/o. el" '; F , = IG cml {fig. 8};

,

I'i ,:. S

1,) (,( , ~ ,,~ = (,(3 = " = 12,5 10-'; I:!.I =- 1,0; e) 6 2 = 1,2 mm . maguilud q"'" indien en clInt o Ins hMfas 11

res"lla run .o;e r mh corlns ,1" 1'1 (!('[i(!o. Il t' lermin3r: n) 1'; I'n",~; b } 0" 11.11/; e) 0/.11./11' tre~Q lllci611 . ~) C lculo Jlo r tensiones IIdmisi !JIC'!!, De In I'CIWll lon

tl t) ! \'sC!, Cen (~um:l do las proyecciones, sobro el ejo vcrticlll. de IlIs rucrw~ y {'~ rllerzos '11111 actan ~obre los nudos ind cn

do 111 fucrl!o1 P, rigiH ~ds por la lr;H;cill litl las barras 1 r 11 y IlUr la CU IllJlI'C~ ilI de lns b~rras 111 (fig". 8, b). ubloudremos,

6, + ~ = 6,. Se;111I la h'y ol e 11""kc,

,~ _~ _ _ N,I, , SI'JI 1\, - H,F,!'(ln~,'

1, =-'- ; ."C " ~, "

1,=--; se u ~ z

J1 =-'- . se" 1\3

UU;l "e1. ilt l.r,,,lll c iJa~ la .~ mu,;"',,d,'s 1011-drolDos o[ sis loma do trtlS ocuacionos s iguienLos:

V2N,=)f:Lv.. } V 3N2 + Nl = I),

1 ~N, + V,Nz = 21Nl cuya soluciu cs,

N, o.a 0 , 1-' , ;::,: O,332P; N, = o" I-', :::::J 0,271' ; Na = ou , p.:::::: 0,53/',

resultando 0,332

(J/ =""""i"2"" P:::::: 0,0276P; (J1l = 0.27 1';:::;: 0,01931'; '"

(JIII = O;~3 p ;:::;: O,0331P. Pue~lo que la tensin m:tiuH'l 0 ,11 no debe supeTa r [al, la carga

admisible sen;,

p.-1L = 1 600,:::,:48340 kgr ,:::,:48,3 U ..... 0,0331 0,033\

y, por lo l alllo, las l eIl8[01l('S en los borras del sistema re~\lIt.a Tl:n 0 1 ... 48 3OO0,02i6 ,:::,: 1 334 kgrlcllI';

01/ 48300 .0,0193 :::::: 932 kgflclIl~; O'lf = I 000 kgf/cm'.

b) u lculo por capacidad rt'!llstellte. El Sj~ l ~ IlH' se eOll vierto en eine"" tico lllen le v,'rinb lc. al fl"ir los borras primeras y h'reeras.

L~ ec uacin do In t,~t:ilic " '[1m II lI e a los esfuer7.0s en {'st~~ hnrras e~ 1" s iguiente:

Suponieud o N, = [a l F, y N. = 101 F. e iulroducie lldo I.'s las o:tpresiolle.~ en la ecuacin d ~ la l's tlicn. (l hl e"dren",~ 1" ru('rza ml .lima I' m." . Pm.u = 2 [0](1', S'H) li t + F.sclI ji.) =

=2 .1600 ( 12Vt + 16.!..) :::::: 52750 kgf = :l2,75 Ir. 2 2

As, lUes. In ca paci, lad dc C

y r!ll 111 condicin do compatibilidad dEl 1011 despl>,umientos (con-lIiciu" de invariRbilidad de la altura del ~ilItuma) (fig. 9, b),

6, + 62 + c'l,= 0.

/' ''esl''

1'.',1, l, = 1,(l, L\t - -" ,.' '

., " ,

la c,""liciulI ,le CIHllllU~jbjJidnd do lus dllSplaznUliOlllo~ sed 1" 8igll; ('"I(';

_ "_ ( (lAI _~) + + (aAl _.!:!..l...) + :;c,?~, El', scu ~2 EF,

, ( . N, ) +--,- ctul--,-. =0. scn ~3 1!." 3

Ten;cndu en cncnlA que N, = olF,. N! = 0/1 "',. N, '--" o/l/ F . y consi,I('rn mlo Il>s \'a lores lII,Hnericos 11 .11105. kas ecu~ciolles de la

bJ 1. W W

t' ;g. 9

6Stticn y la condicin do coul!la tibilidad do los deS1Jla wmic"tos adq uirir n lo. forma s iguient e:

GV20t = 711'3011 } 71/'301/ = &'11

(J, + 20'11 + 2a1/1 =5000 38

Resolviendo este sistema , obtendremos, GI ~ t 105 kgf/cm', GJJ ~ 774 kgf/cm' ,

GIII ~ t 172 kg(/cm' . d ) Clculo de 18.'1 tensionC8 de monta je ([jg. 10, o). De 18.8 8I:U8-

~~ I I L .;"Ir " ( 1 .' , ,

/I ; , Ii

~ Ii/I V/

cioul'!! de In l'~t~lie(, so ublielll' (fig. 10, b), 2N, scu ~ , = 2N z ser, ~ 2 ; 2N1 scn ~2 "" 2N. sen ~3'

Do In cO'Hl[cin de compatibilidad de tos dCSI,la1.8mientos,

~+~+~=~, scn ~, sen/J. sen ~J sen ~2

G/o Gub GlIle E-' --,- +--,-+ --,-~ >-,-> son~, sen ~2 sen ~3 sen ~2 Para los valore!! lIullu!ricos dados, las ecullcionl's Jo la esta tiCIl

y 1;, c.,,,dicin de compnlillilidad de los despla zamientos scr~n,

6-!j., ~ 7113." } 7"\1'3011 = &/11

G, + 2CJ" + 2CJm = 1. 000 ne~ol"icn d

Calcular l. tensi6n en la pared del tubo 1 (a,) y en la pared del tubo 11 (all) que surge al enfriar el ~ubo exterior.

El lndu lo de elasticidad longitudinal del ma\e:rial del tubo es E _ 210' kgf/cm' .

Iltwlu';/6n. Analizamos, en lugar de los tubos, los correspon-dientes anillos de longitud unitaria (v'ase el ejemplo G). Elanil10 J J,

-e-0-0 -Pig .11

al enfrinrse, ocasiona r una pre~in radial exterior unHvrml p sobre el !tnillo 1, mientras que ste. ni ofrecer res istencia 8 la defor-macin, p~sionar igua lmente IJero desde dentro sobre el IlIillo 11. La magnitud de l. pl"e$in p se detClrrnina de la condicin de "" e la suma del ineremCl nto del radio exterior del IInillo J (lI,1I,) ':i del incremento del radio interior del anillo 11 (6.'1) deber Solf igu/l 1 11 1/1 dHereneia iniei/l l H, - ' 2 '

Puesto que (vase el ejom plo G) p nZ l\.I/, =-_ ._-'- y E R, _ t,

le condiciun de compaU bi Hdad tle los desplaznm ienlos ser In siguiente:

P(H: ~) n - ---+--- ..",. ,- 't. E 11,-', 112 - ' 1

de delldo resulta, _ E(Jl, - fiJ = 2.10'0,004 ;::::31

p HZ ~ t. 2' 4 1"1" --' - + --'- -'-' - + -' -'-'-R, _ " Hz- t I 0,2 O, I()1.

Las tcusion08 normales (Jt Y (JI/ so calculAn por las frnlulns (vase el ejemplo 6),

(J, =.....E!l...- = 31 .4,2 ,"," 051 kgl/cOl!; II r -'r 0,2

P'z 31 4, 100 ' 250 ' " , (J/I = ---=

ProbJemat 58-70. CII lculu las teDsion" normales en 105 ele-montOl! elsticos de los sistemas sometidos a l . aeein de fueuu.

Si en las condiciones del problema no eslli dado el m6dulo de el/lslicidad E, se le debe considerar igua l 'para todos lO:!! elementos

(>Iri.~ ti cos del sistema.

l! Ji l! .!!.

I +-" " ~

, ,

I ' l' ~, "

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m t ~tf " ' O(f " 8 , }- NOm2 ,\:v .- - ."

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E Ji. .!!.

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~ , f" 1 ".s..t I ".,,",, r

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"

,' 2(, !I < 1.

.,. o

l'rub lcm8s 80-87. Detcrm iDar al! teusione" trmicas. Notaclo-,(!!!: lJ,./, vnriacion de la tem lK! ratura de lodo el IIbteIDa en gradO!! oll llgrados; /, va riacin de la temperatura 001 elemento e/t del islorna; ac, acero; c, cobro.

Considerar: pafa el acero E ... 2 10" kgl/clul , Ct = 125.10-1; para el cobre E = 1-10' kgf/cm', a = 165. 10-1

En 1011 problema! ~. 86, 87 nllmitase para el licero E -- 210' MN/m',

!! !! I Z' ar' " If f - , ",,, ",

" ,,~ ~t"ID'

.!/ " Atlf'll, ,t'IN/'

.-.

AI-ZO' f . , ArrN. ~tp A,,11t, (, ,jt,."

"

I' roblemall 102107. Q.lcula r las magnhudes indicada!! en lu condiciones do 1011 problemn para las a nillas y tubos ci Hndricoll do pArede~ delgadA!!.

Nolaciune~: p , Ilresia por unidad de ;;rea; q, intensidad de 1;_ Cll rga ,listr ibuida (kgf/cm) entre la montura y l'Iall illo o entre los anillo.'!.

\,jm tase. Il1I ra e l licero (aC) E = 2 10' kgf/cm'; a '" 125 ;( X 10-'; pnrn el cobre (r ) E = 11 0" k-f/c lJI' ; a .. 165 10-' Y l/lIT;, e l alumi"'n (al) E _ 0,7 1tJ1 kgf/cm.

I~ n 1011 probJl'mall 106 y 107 de terminar O" partiendo de la cur"li-ciu tll' que al h;.jllT la temleraluta ,1('1 "i~tetlll1 se cierra la r","nTII .

I1.t;a;J di !'S-

l, .1, ; ,;

Los pianO/! donde ac tan OL' 0 2 Y 0 1 (lib res de tensiones tangencia les) se denomi nan planos principales de lasllmsionu . Los ajes (/ , 11, IlJ) ortogonales 8. es tos pla nos se denominan ejt!8 prlncfpales de las ten-$io",~s.

"

0,

, , ,

11

n , ,

f ig. 12

Las tensiones normales o. las lnngoncio les "t" y I;lS resnl tan tes p en los planos de I~ s secciones ilLc]inudns se doleflni nan por 1M frmu-las siguieule~: en los planos lUHI"los al eje J J I (fig. 12, e),

o = o, cosl o. + 0 z go"l a. 0,-2 "[=~sen2a.,

p = V 0 2 + -r = -V(o'::,:",J'C"CC+--:o'~=, ,','"Ca . en 108 plallos paralelos nI eje J J (fig. 13, a).

en ls planos pendelos al ejo I (fig. 1/" a),

(21,)

(25)

(26)

GrlifiCllmente, estas tensiones se determinan por 105 di agramas circlll llres construidos de acuerdo con IlIs figuras 12, e, 13, b Y 14, b.

al :U

-} ID " 7 ,

~1'

O f--j----'-~~+'-,

0, O,

" il/ 13. El IIspocto gclleral dol d iagrama circular de la ~ l ell~ i oncs se obtiene sobrnpolliendo 105 tres ditl.gramas repre!CntadO$ en 111 figura. 14, c

"

., , .. ~ , -=-.'.C (J+~

,

.L ., '

,

"'" -.l

"

,

" '-, ~ , ~ .,

Fi,. 14

Las tensiones tangenciales extremas va len: a l -al )

T,~ " ~., I Tl=---,

o-aZ "l"1 =--2-'

"

"7 "

(27)

La mayor de estas tensiones, en valor absosulo, os T!, EstaB tensiones surgen en 108 planoa incliuados 450 respecto a las direccionlls de las tensiones principales: TI. cm dos planos ortogonales paralelos al eje 1 (lig, 15, a); Ta, en dos planos ortogonales paralelos al eje II (lig. 15, b); T 3, en dos planos ortogonales paralelos al eje 1/1 (lig. 15, e).

" b) I ~ ___ _ L 1& JJI/ .. /

,)

lJI ... _'"

" I ~l ~----FIg. 15 fi g. 16

L as Lensiones octadricns normales 00, tangenciales '1:0 y resulLnn-les Po, que actan sobre el plono do igual inclinacin respecto a los tres ejes ]lrincilHlles de las tllusiones, (lig. 16) so dolcrmillan por las rrmulns:

~=i~+~+~, , 'V t 1( ). \ 1'8) TO="3 (0,-0.) +(0.-0,) + OJ-O,,1 -

Po= V~ (J~+o~+o~. J Las defonnncioncs lineales princi llalcs el' E., E3 (alargamientos

unitarios quo ocurren en los direcciones do las tensiones principales)

"

.'Ion:

(2!)

Vnrillciun Hllltarin del \'oJumell

AV 1 - 211( +' (:JO) V=CI+tZ+tll =-,-,- 01+0: GI}' 1-2f4 Ln mugultud 3--

E- = x liC denQm ino eatldellle de ult/rprnl-

bllldad del ma/erlal y la magnitud in,'ers.1, 3(1 E 2)1) A, mlidrda de da.lllddad eslina del material.

1..11 onorga" Ilo toncia! unitnrin do b .Icformneiun clsti&:l valo, I

11 ="'2 (Gl~ l + (J1S:1 + G3P.:J =

= ;E [G; + cri + oi - 211 (ola' + f1;!J, + op,)}. (3 1) LA energa ]IaLencia l unitaria , duhidn n lo varinein dc la k,r-

mil. es,

y la I'IJorgio poleueh)1 unita ria eorrl'~pondicnte p la \'arinciu del "OIIlIllCII,

1 _2), \% U~ol = """""GE(G, + (J~ + (J,/ ' (33)

Todas los furmulas corresJlond iClIl ClI ni

pa ra a = 60; o~ y T'" en el plano paralelo al eje 111 pera el "" 30"; oV

Po, 00; 'ta; t,,~ , 3; V; u, Ur, Uvol' R esolucin, Puesto que las tensiones principales son: o, = 200 kgflcm~, 02 = -

por las frmu las (29), las deformaciones li nlllllell principales, El = 2100s (2 + 0,3 .1 ,2) = 2,8 .10- \

1 0

100 ( , 0.3 -, El= 2.1Os - + , 6)=- 1,1 10 ,

e, = 1 00o'(-8+0,3.2)= _ 3.7.1O-~ 2 1

Y por la frmula (30), la variacin unitaria del \'oluIIl('n,

6; = 10-'(2,8 - 1,1 -3,7) =_ 2.10- ',

La energa lo toncia l unitaria de la deforn13cin elstica y la

fill ' 18

energa. corl'f)!jpondenle fI la variacin del volumen se hallan por las f6rmulas (3 1) y (32), u= 100 .10- ' e ,;.8 + 4 ,!,t + 8,;,7 ) = 19,8 .10- 1 kgr.cm/cm'.

"

La energia potencial unitaria debida a la \'ariaei6n do la forma ser,

Uf == U - U"ol = (19,8 - 3,3) .\0-1 = 16,5 .10-1 kgf cm/cm". Problcmas 108-122. Delermil1ar al1aHlicnmcnle y mediante 1011 dia~ r311ws circulares las magnitudes sigu ientes: 1. La~ lensiones tallgenciales oxtrcmos T" T~ Y T., 2. Las ten.'liones normales 11" y tangenciales T",:

a) Cll el ]llano jlnralelo alojo 1, cuya normnl (al ]llano) forma un ugulo ~ = 30" con cl ojo 11 ,

b) I'H el plono paralolo al ejo 11, cuya normal forma un ngulo (J. = tiQo con el ejo / ,

e) en el plano parnlelo aleje 11/, cuya normal forma un l1gulo (J. = 30 con el eje /.

3. Las tens iones ocllldriclls re.~ullan lcs Po, norma les u. y tl'ngcn-dale.'! To.

'" ~,",f" 6I1M!llmt / 10 111

Problemll!l 108'1 22'. Calcular las doformaciones lineales prin-cipales el' e2, e3; la variacin unitaria del volumell 6: ' 111. onerga polencial unitaria de la defornwcin elstica u y sus componentes, correspoudientes 11 la vluillCilI de lo forma ul Y a 111 del volu-roen l'vol '

AnnJizat los estados tcnsiollnles iJt(licados on los problemas 108-122.

Admtllse E = 2 10' kgf/cm1, .t = 0,3. Eu los prolJlenws 120, 121, 122, E = 21O~ .\IN/m' .

2 . 1I1JJtcilis (/e I'cllis l cn ettt y 11'I/s;uIl 081 eqld t'u l olll clI

En IlIs hiptesis do resistencia se plantean Ilriterios que precisnu la r~istenllia del elemento del~mnt(.'rial que se encuentra en un estado tcnsionnl complejo. De acuerdo 11 estos criterios se establecen 111.5 tensi ones equivalou tes (a.), es decir, las tensiones de traccin:mono-axial del olemonto del ma terial, que tione igual resistencia que este mismo elemento, Je f O somotido n un estado tensional de volumen.

IndepeudientOlllento do la hiptesis ad mitid a, la Ilondicin de rcsistollcin tcnica del elomento del materinl para cualquior es tado tensiollo l es,

(34) En el caso del estodo te llsiolllll do volulDen do un elemon1o, la9

tensiolles equivalen l!!S scr:i n las siguiontl.'S: segn la hi ptesis Ile las tOIJSioll(.'s normales nixim~s,

(J.,=al cuando (JI>O (35) segn la hilltesis de Ins deforlllllciones linenles mximas,

CJclI=CJ,-.t(at+aJ, (36) segn la hiptesis do las tellsiolles tangenciales mximas,

0C"I =(J, - 01, (37) segn la hiptesis de In ollergia potencial cspcdficlI de la variacin de la forma,

ac,v= V"[(OI-Ot'J'+(Jz-osl+(a,-(J,n (38) 8egn la hiptesis de los estlldO!! tensionales lmites,

(J~V=CJI-\'aS (39) A Vl.'i:(!!, ca la preliee. CII 105 (81\05 cuando I a" el cAlcule de la

nta!Btenda lor 18 primora hipl.&.l iB sellava a cabo por 1"" lrmulu, a, " la\; lo, 1" lOe '

"

siendo,

(40)

Ejem plo 11. Pare al astado tensioos l de volumen (lig. i 9), (JI = 200 kgf/cm' , er2 '" -400 kgf/cm' , 0' , "'" -800 kgf/cm y 1.1. = 0,3.

Calcular las tensiones equivalentes por todas las hi ptesis de resistenci~ .

Al calcula.T la tensin equivalente por la hiptesis do los estlldOll tensionales li mites debe admitirse v ... 0,25.

"

" " ,{

" ~'ig,

" ResQIu:i6n . 0'0/ = 200 kgflaw~, er"1/ = 200 + 0,3 (1,00 + 800) ...

= 560 kgflcm", 0'"1/1 = 200 + soq = 1 0Cl0 kgf/cm l ,

\v=loo V * [(2+ 4)2 + (-4 +8)" +(-8 _2)2] ~872 kgf/cm", erev =200 + 0,25800=1,00 kgf/cm2,

Problemas 108"-122", Calcular las tensienes equivlllentes lar las hiple.

~1ZJ , , / , , 111 A~'rI . ", .. e) A/umMII

x -?: K-? p. CI; ,; ei ~ : f. 6,.l.l"!: 4a. ?

Segn esta leor ia, del equili brio d6 un elemen lo situado .alrededor del pu nto en cuestin de In lO red de l recipien te y doterm lll lldo por secciones meridionales y perpendicu lares inrinitAmente prximas

'1 " '1 bl

..-- --o, ds

Fig. 20

(F ig. 20, a) , se obtiene lInn ecuac iu 'cunciu de Lnplacc) I'nra la dct"rnd"'lcin do;: ]ns to;:,,~i""I'~ llol"!lIa lcs circuur"r('u l';inl o, y UlHi-di') !> ;l] 0""

~+ 0 .. =L , (Id ) P, f'm

s iond o p, y p", los radios ,1 .. Cllrvn tura dc la s~cc ijll cirrulIFcrlJnci 1 y rll"r i 'onn l de In p[lred del recipi ente ni nivel de l punto e rr clles tin;

11 In i"l('rr~ i d,1(1 de In IJrcs ilI inLerior, que cs F'lI1cin ti c 1" cuordClllltla z;

el exp(>sor

La resolucin de las ecuac i ~ncs (41) y (42) 11 09 dar Jos valores siguientes de las tensiones a, yo .. ,

C.130S parliculnrcs: t. pm=OO,p, =p,

IJ=PP' , 7. 1 /)p", cos~ ex ' o Z I

IIp,cosfa' J rocipientu d(l !l'ellcrn tr i-; rec ta,

m = 6fJ cos' o; "

2. PI = Pm = p. recipiente Cll! rico,

pp Z 1 o'~,~,p""a' J 11m = IIp cos' a.

a) p = conSllllllO (presin de un gns o vapor) Z=P:I' =~pp2cosZa.

2 2

o, ~!'!'!. (2 - -",-) , 1 26 Pm

Om=~~'. J

(45)

(16)

(48)

Cuando p",=oo y P =P. Or=2am=tt. (1,0) ,> d PP ... uan o p/=(I",=p. 0/=0''''=26"

b) p = y (h - z) (presin de un lquido, fig. 21), siendo" el peso por unidad do volumen del lquido;

h la altura del lqu ido en el recipiento y z In ordenada var iable,

z=yC'p~~nsZa -ZI) "

(50)

(51)

La magnitud

Z.=:zdz

(52) se calcula fcilmente si se conoce la ecuacin de la generatriz del recipiente: = z (z).

En la superficie inlerior de la pared dol recipiente la tercera t(lnsiu normal principnl es o~ = - p. En la mayora de los casos esta tensin os muy pequea en comparacin con o, yo .. Y se IJuode prescindir de ella al calcular la resistencia.

" "

,

Pig. 21 t'ig. 22

Si 1" pared del recipienlo lieno una quebradura brusca (ng. 22, a) enlouees en la seccin tra nsitoria surgirln fuerzas do borde ue ]Iuodcn conducir a grandes sohr(ltensiones (1 110 no cllplll III leora que prescinde de los momentos. P'lra roduci r In influencia de estos fuer-zas, l seccin de la Juulo so consolida con un 1Ini llo que Hb~orbo el empuje,

Si las tensiones normales muridionales cn la seccin de In juuta 0'" = 00 ({ig. 22, b), entonces la !Huna lincal do Cnl]l\ljc, sed

qo = Og/)souao. (53) El ren indi~)eus8hlu F del ," .. ill0 de nrrioslrarniunlo de radio

r so Hwdo obtcllcr por la frmula.

F = qvr = 0.6rscn ao. 10J lo] (5

Por 111 frmul a (52) !lO obtiene,

Z, _ clga J ~d~= 7: clga .

Por In fbrmllla (5 1) Iffi halla el Ileso del lquido uuicado en el volu-01011 de !tI parto SCpMIl(lo de l rceipiCll to,

Z=l' (hr -~ctga) = "r (!!. -='Clg a ). 2 3 2 3 LII ~ tensiones lIo rmnk'S cireunfcre ucilllCll (J, y rucridiOll81C!1 (1 ...

en lo.! punlo.! do In pared dc In p~rle t n icll del ripiente a UII nivel

11 -1 '-

'L,

~~_ I - p.- N

.- '---J 1< - -i u..L -

Para los valores num6ricos dados, 1,2.10-1 .101 .4 .1Ot .2

O, = -, , 1,2.W- ' .tcf (4 .101 .2 101 ,2 ) SO,3 k U ' - - __ + __ - __ g ,m

m,..-, - 26 t 30 - 6 .

En 111 lUrte eiHndrie~ del recipiente (h z < z < h) Pm .. DO , p, = r = r, p = y (h - z), a = O y Z es igual a l vdor de Z co-rrespondiente a la parte cnica para z = r, e9 decir, Z = Z%_ ""

( ,., ) = yr' "2-"3 ctga . Las tensiones normales circunferenciales o, y meridionales 0 m

on los puntos de la porcd de la porte cilindrica, se obtionen IlOr la frm ula (43),

y, Ot=1;(}-z),

y, ( 2 ) y, ( h, ) y, ( , ) 0 ... =- 1I -- rclga =- h,+ - =- /,+ -ctga. , 263263263

Para 109 valores numricos dados oblendrelll0~. 1,2.10- 3 .102 .t, .101

, t8 2 - kgflc m , ,

1.2.10- 1 .102 ( , 10'+ 10'0 ' 77 ) 25,2 l . , , "m = ' l ' - ,

En la seccin do 111 jonlR do la parte tnica y la cillndrica (fig. 23, b).

(lo - O .. = 503 kgllcm'. Pu('slu qll"

VI. DESLIZAMIENTO

El ClIlntlo tcnsionnl eorr~pondicnle al caso cUll ndo sobro las coras del elemento soporfldo IIct l1I 1l solamente tcns io/lCS langoneialclI,

~Il dCIIUUl Ina dl!sli~omiell/o puro. El d(>l!]zlI mionto puro va acompaa do

La distorsin unilaria Y. originada por la octadrica " 0 SO donomina dit lcnl6n odoidrlca.

1'0 ! 2 11 * 1 1 'I't==0-=3 i',+'Yl+Yl'

tensin tanencia l

(58)

El! 01 os tndo 10119ionol correspondiento nI dosl izamionlo pUTO (fig. 25), on 1011 plnuos incliuados 45, !lurgen los ton!lionos principales,

(J, - -(JI '" T, (50) las deformacionos IinoalC!l principales,

tl =_fl=t= t ~}lT. } ~=O.

(60)

y In d istorsin Angular principal, y = 2t (0 1)

El centro del crculo do las tensionC!l S(l CUCUOl11ra , en esto caso. en el origen del sistema de coordenadas (fig. 26)

. ' ..{.v~(o lID, !-.~ -'.--'

~'II' 26

, .. '':-.." "t;> .. ~

-.

2OMNlm'

, ,

f @,~W )I;g. 27 Fig. 28

Si COrnl idoramos quo 18lI tC08iones ta ngenciales so distribuyen uniformomenl.e sobre 01 rea F dondo estn aplicadas (fig. 27), !lntonces el esfuau o tangencial ser.6,

Q .,. TF (62) Teniendo en cuenta las frmu las (55) y (56), podremos escri bir

la ley de Houke para el dMlizamiento on la forma ~ i guiente, Ql

__ (03) G,. ..

La energa polencial de In deformacin Dlst icn del deslizam ient o !le oblicuo [lor In frm ll l~.

U = (j'l = lJ,;GF = Qt.s (61i) 2GF 21 2

y 1", e"ergi~ IJfltenciul 1Initaria. por la fruw ln, '1' ,.

/1.=-=-, 2 2G (GS)

Ejemplu 13 . P~rll 01 estado lellsioual ,lad" (fig. 28) calculll r Y" 2. 3 Y Yo CfUIl!iderllllllo 'lile E = 2, 11}' MN/m' y 1I = O,2fJ.

n cs,,ucl611. Lll~ lell s i"ne~ princi pa les en el estado teusiunal do vulllmen dado ~"": 0, ~ 1 00 MN/ IIl'. o~ = - 20 "'N/ m' y 11 . = = - lO i\ l Nlm',

LH.~ I,ellsi",u)s I lIlIgc " ci" l ~s e~l remll s i elleu . . ~{'~,u I:I ~ [,rtllll" I;I ~ (27). I"s ""l r,rl's .,igll i ,, "lp~:

- 20+ 100 T, = 2 = 1Oi\li'\/ IIl ~ ,

,,~ lOlI + lO~_,o " ~ l N/ mz, 2

T, = 100+20=tiO ~ I N/m 2. 2

El IIldll l" ,1(, ,'ll1sl ieid,,,1 it ll ''CI ,eial del no.,ter ill l {'s. ~"g"'" la frnHII" (57).

2IO~ , 2 {,' = =8 0 \IN/m, 2 (1 + 0.2.-,)

De 1;, c .~pr('~in (ril i) se .. lol i,"," IlIs di~l"r~i,,",'~ ll llgnlar{'s JI'in clpll ll'.~,

7U S ~5 11 '-', )'2=8-'-.,-,-,,= .1 . tjO -, ' 0- ' )',= --_ = 1,.) '

8 10' La ,lis0 I.~i,.,,, cl'H:rlrica 8l'r:i, pUl' la f"m,nJa (;;8).

2 -, -. J ')0' __ 1 1 __ ') _ , 1'0=:1 .10 v 1._., +R.I;) +7.5 ~ 1.1_1f) .

,.:;

Pru/ICIIHIS /34- 140_ Odculur las JIllIgllilud!:s illdiclld:.zs )l las tO Il,lici "IIC~ .Ie InS ]lI'oblclIIlI$.

N"ll"iull{'S: 0" lmitc dI) rIIlCII~il'; n, enditip,,\(, UIl scl;!lI ritlad (TPSl'r\-" .t., reSiSI.CIU;ill); (M ,), IIlHgllitnu "d m')"'e"to c"rJ'('~I'0I,Jie" t" ni ,'stn,h, 010 rlncllein dll l IlInt.~ri al. p,, .. ~r,",ln~c dn lu flox io'l y c l)lls id~r .. ~" '1m' la~ ICII~i"nc~ l." II!.:cn-dal,,~ ~Il ,Iistrilonyc" 1)

Si la traccin y compresin ocurren generalmente de una manera pura, 61 deslilam i611 Lo pum, prctica 11101I 1e, no elisto. El deslizamien-to siempre va acompaado de flexin, o de traccin o compresi6n , y pur Iv tanto, en los plnllos de deslizamiento, apllrLe de In!! tensio-"e'l tangencin les, acluur ll tlllllh ill lellsiones uOflllllJes. Sin emba rgo, pues to IIIIU las 111l,ui t lldes de eslll'! tensiones nortnales sun peques3 en compuracin COlI Ins tangencial!'s, los c.lcnlos tcnicos se reali-Zilll sol~ lll ell to por dos]izillUi(!nLo, qne en (! I caso d(! elementos metli -cos ~e d (>11 cucuta por la Illagnitllll dn la tell-sin admisible al nplastan,jellt.o la,,~1.

P:.lr,1 nn nprovechollli ''' ,lll r:,cil>"a l ([(:1 lIloter;;, I, el cli lculo de las juntas so 1I0vo a cn l)(, tlll la I"",dirun d" igu,,1 T\,~istencia ,11' los e l llll ll'lIl,,~ 'JIU.! r"rul:.l1I 111 junta, P~rn c l crcu l .. Ha cm!.lcl1n las rnnll-!n~ ,~ig " icl\teH :

1) trHer,in y cuml'rc~j",

2) cizall n1!lie ll l. .. y cor tadura

3) IIJlII\~tllrniellto

F ...... Q, tl.# fTJ'

(li6)

(67)

(liS)

La~ ;'Il'e:s que rigu ra" o" est"s fOflllu lns son Ins nl'tn ~, r~ Ilec,ir, nqucllns 'l"(J >;I.l o]tioJlf'1I ,1",'P llll ,h) c,,"~idrrH el IH~~i'l" d!'hilila_ lIlillHl. .. '"lJido 11 dirt"'eJll.e~ nl:'llj"ru~, acuerdos , n'Il,U'ilS, .. l.c,

Si IIIIa mislIltl ;J,."" ~e cnlculn lJUrciwlln ,"if)IILO y p OI' ~l'lnstamien_ to, olll""ces SI! "scugo In un'y"r de rns dos o!tcnidns, '

PrcticnlllPllh'. n" siollll"'c es Iwsihl e ;tcncrS(l " la cOlldicion do igunJ I~'~i~tellci:, dll Jus plt'Illl'11I.ns (1" las juntns, GIlIII'TnI1111'nl.a enlrnn

5' /\7

en vigor razone.., constructivas ~uplem(!llta rias, que Se c$lndian el! los cu rsos de piezas o:Ie u'uiqui nns, estructuras metlicns y de madera .

'}

')

p .,

p

p

p .,

p

,

p

,) p

Ejemp lo 14. Dad,,: f' = 1, tf: 101 -= 1 liUO kgflcllI'; Irl = '"" '1 200 kgf/cm'; lo" ,1 = - . 3200 kgf/cm' (fig. 29, a).

Hnll,"' d. 6 (1, b. f/csuluci/I. 1. D -; 1i>--~ [o~I'J dlo" .J

I 10' ;-;-;;-""-;;; """ O,SG cm. I At .;12 uf' 3. 1)elcfI,,IIcill dI" la

nllch llr il tle 1" l lllinll a ,lo 1" cOlulici" (a - 1)6 :;,. -: 0=- +11= J01 1i Jo ) 4.10

1. , + I .,U;"""Z.02cm:

0.81;.1(; 10 Fi~ . 29 1,. Delr.rmi"aci" de la

longitud b del e xlrr.llIO de la ![oina de la cond ici" de re~istoncia 1 cizalla11licnt,o (fig. 29. e):

2b6 ';;".!... ; b'=~= 4 10' ~ 1 ,ll4 ClH. [1) 26 11) Z .O,8{j. 12 IOl

"

d(l .lolllJl' lit:> obticuo,

b=h' +{=1,!lIo+O,73=2,67 CIlI, Problemas 1/11- 11o!!. C,1!cnlLf tu,las las dimensiones do los ule-

mmLt o.s ole las junt. .. s repr('~el\ lad!ls en la~ ngura~ . Ilculiwr l o~ c::i.!r,,]os Ilu rtifHul o d .. la condic:in d .. igual ~sisteo

c:iH ,le lv.~ olemonlls, En Io.~ prIJbl en"lll 146148 nd rnta.se lal = = '1 (OO kgr/crn t ; !-el ~ 1 201) kgf/cm~; IOo pl = 3200 kgl/cm". En I,~~ I'rolJ lllolits 141" 11,5, 11,9, 101 = JWr.1N/m;!-e1 = 120MN lm2 ; 100 1' 1 = 32U l\IN lm".

-"'"l t' ''"-- I -~ = ~

P3,21f [61ol611(J~/,m ' ; [rNV[6J; (6",,1'2[0/

" [j? ,. , - , -

[CSj-/(lllkv1krut [r)-0.8 ftSj; ~"I'd-2 51

., 1 :J~~ ~~ , . P'~ak~

~ --- --' __ o " '"

NI "

,

no

'~~I : '

!-

-~

1$ , , , Q

, ,

10- , , , ~

VI. CAI1ACTElllSTICAS GEOMETRlCAS DE LAS l' IGUnAS PLANAS

1 . A ,'el/ S 11 8 '11" mOIllOt/toN e .. U i tlc mt So denominan monU!fllos attictJII d, l rea de una /igllra r t'&Jlet: lo

a 101 eJ~1 z y y (fi g. 30) las intcgralclI detcrrni l1l:ldoll ,

S, ~ ,df; } S,=i zdf ,

(69)

siendo F el arca do la fi gura , dF, su clcnlCulo z y 11 , las coordcnndas de ealo clemento.

Las coordendas del centro de grll\'odad de la fi gura ::" y ~ se obtienen por las rrmU IIlS~ = ~, 1

1/

ResQluciulI, Escogiendo el elomcn Lo d e L re:l le l:l fignr:l, dF _ !fd; = a;"d=. o/t('mlrenws r'3r.1 el ftmll .

,.

f' = J dI' =!I J ~~ d~= ~b~+; = II ~ ,. " " El n"It1\('u l " I'~l;iliru ,'~ I ;'1'"(':\ ,.. r('~IJ('ctn aleje y se rrolClIln por

, ,, [{mm"''' {,V).

y

'~C-----Hoo-~'tJ-" ,- +"

----b-----

ni {'jI' = "S

Problemas 150- 155. Hallar la posicin del cen tro do graved ad de las ligurns.

1"-----+-'-, ,

;t . M IJUllJn l ul< "e iJ/ lJ ri; io ,Iel flrlJfI lfe In fi!J'I.I'u Ln.1 inlogf;.l c!; dofinid as,

so .lelluwinun ,

f.~ Jy'dF. } 1~=~tdF . .

mfJI/I('uIO$ de illercia a:ldeN . [ ,.(>(I/ex o eC(luIQriale . (rig. 32) del ,ina dI! la ligum respeclo a los ejes_e y ;

I y ,= j yzdF, (72) es el producto du inercia del l rc, de la fi gura respecLo u los ejes orLogOllnll:'s ;: e y;

es el momen to )Olor de juercia dol flla ol e lo figura res pl:'cLn nI ori -gen dol sislema do coordonadas O.

Los momentos d I;! 1 "e,cia roIIpeetO 11 los ",jes Ilaralelol, unos di IU8 cUllle~ (%000/(0) son centrales (Iig. 33l. SOIl

I,~ / .. + .F. } Iv= /r.+ b2P,

Iv.= /r +abP, I p = I P. + (az + b~ F.

(74)

Los momentos de inereia regpeclo a ejes gi rados son ((r. 34), l u = 1.+ Ir + l . - / f cos2a - /

r,S4lIl2a.

2 2 1 + 1 1 - 1 1~T-y,o,,"+ I.,,,"," . J

I I,- /v 2+ 1 2a ~.=--2-S4ln M' COS, l Pu.= I Pv.

(75)

Los ejes pr incipnles dQ inercia de una' figura ]llallll . es deci r, doo ejes ortQgonales, r('spec lo a los cnales ('s nulo el product o d(l inercia

y

y ,

dF ---"--!il-

" , , --~ , , ;:, -

,

'. '. ,

, , 6 ,

Fig . .':13 ~ig. 3~

del ren dQ In figura. ocupnu la posicin que se dQtermina IlO t la ecuacin,

21 tg-2=~. 1M - 1,

(76)

Los rnurnlllllos prillcipnles de inercia del ren d(l un ll figura, es dec ir. lu~ momellt (lS !lXialQs de inerchl reSlleclo a los ejes principalus d(l inercia. tienen los "alores extre mos siguientes :

(77)

Si 1,. < O, entoncCll el eje principlI l, respecto al cual el rnOUI(lIl-l o do inercia es mximo, cruJ;8r lO!! cuadrantes / )' 11/.

Si 1,. > O. 01 eje principal. I'ClIpeclo 111 cual el rnoml'lIlo ele inerciA Cll mximo, cruzar lO!! CUllllrllllles 11 y IV.

Lo., ejes lrinci pa lCll lraZlld (l.'! Jor el CQUlTO dQ gnlved"l! tle! li ren tlo la figura se denom ina n ejes principales rtntroles y lO!! Illomen'rn< de iner"ill respecl o 11 o.,tO.'l njOl!, momclIICIS de /lerda prineij/(lle& u lllra/l'N.

Los "/l lores llo~ i ti"os (le

t,= ~; t,_ , / l . V F' (78) se denom inlln rodi~ ck I!iro de 11) riguro 1IIIIna re~ ll('c l u al I'jo co-rr(lSpond iente.

1.11 elipse corrl's llOuliellle a la ccuacin zt i

-:z+---:-= 1. (7!l) 1, "

se dl'unnl ina eli/l~ de i"{'reia de la ligrlro. En I'~ll' I'xprl'

VClI.mos el tr ingulo de ngulo (;t en el vr t ice (h g, 36, al y eaL-culemos los momont.os Ilxinles de ine rcia l~, l ~ Y el momento pollu do inercia l ~,

El anw dc III loanda elemental do espesor du, es

d.'= a,dv =~vdv, , El 1ll0Ulentl) a:;inl do inercill dnl area del tringu lo reslleclo al

.

I ~ = 1 \)2dF=!!-1 lid\) = ar~, , ,

, .

el ~rea de In loalllb elemental de csp('sor dI/. (Iig, 3!i, b),

dF = t, du = !.- (a - 211) dlL ,

Fig. 35

" v

b)

Fig. 3f,

y .,1 monwulu n.~in] do iucreill .10] "ren de ] tri{,nglll,) I"e~peeto al eje v,

l ~ = 2 1 lL~dF = 2~ &1" u2 (a - 2u)du =~, /1 108

Fft u El IIIOllleuh> I'ular de im'l"cill del rIln del tr i1ugulo r('~]lceLn al

puntu O Stltl,

_11 3 2lf ~II ~2 feos3 ~2 , . , . " ar a r 1' = .. + ,,=- + -~ +

'108 ,

SR"sen 3 ~ Neos i \ +

_ N a a (, ~ a . a) = - oo ll - eos- 3C09 -+son-- =

1,8 2 2 2 2

n' _ - sen (l'. (2 + tosa) .

'12

t. OtlrrmluulD" .u , .. eo.rdclltllu dd , I tu ,7 I ,.'" I ,.'" :;3,4 I OJ.' :..'8,8

" .116,11

'" ,j7H

7,; ,; I 001. 8 I 11911,2 \M'a ,1., P .. r~ ., ,~" dr H,

coordcndRll de los cen tro! de gravedad de cada elemento, respecto 11 los ejes y: !KIli:

paTa el angu l/IT, :, _ 111 _ 7- 2,02 _ 4,98 cm. ,l~r" el canal. l~ - 1\ cm, Y2 = 7 + 2,4G "" SAG cm, pMa e l rcclallgulo. l . ... 22 + I _ 23 cm. y~ _ 7 + !J - IG CIlI. 1. 11.'1 cOT(lclludl1~ del cen tro ,Ic gravcdnd to In rig\lr~ SOIl:

=.=!!..t..= I 198,2:=::: 15,87 cm; y. _!i..!...= 1.I01.8:::.;:: 11 ,94 cm. /-' 75.5 F 75,5

HcferirnOii nho rn la figura a los ejes Cl'lIlrlllclI =oYo JlRrlllclO)lj 8 lO!! cjl'll =11.

!'MII 111.'1 coordclIlldus de los centros de gral'odad de los elemontos de In figllrn o, y Yo, reill'ocl o !I 10l'I ejes :0 y lit obtendremos: plHU u] ungu lar. :01 - 1i.98- 15.87 - - 10.89 cm, Yo. _ 1i,98_ 11 ,91, = - 0,96 CIlI , pMa el calla l, :01 - 11 - 15,87 - - ',87 cm, !In - 9,1i6 - 1 t.9t, - - 2,118 cm, parll el rectngu lo, :u - 23- 15,87 "'" 7, 13 cm, VOl - 16- 1 t.9!o - 4,00 cm.

lIullamos los ll1omclIlOll dc inercia o..Ic lo~ vleulvllto.s de la f lgum resllcclo H l o~ ejes ccntrales 'rYr . En el caso del :Insular (fig. 39)

se "lJtivne de l s urtid o. ~( Ur J" = I v, - 1,8.2 cm ' . ,:':'=:S~~JL Por las frmulas prora lu~ mO Ulent o.s tlo "', inercia rcsl)CCto A ejes giradW! hallamOll,

ti J - J ... 1, ,= '2 '.!!Cn2 (- 45 =

76.4 - 20 ( . ) "8" _ ___ - __ ... . _ cm. 2

f ill' 39 L OlI ejes Il,l.I sou, IJIlTII el a llgul ll r , ojc~ du

iuercia prillcipales IJU lllI l O IllIe el ojo I/ ca un eje de ame~rla y por lo tanlo 1". ,., _ O. Los valol"C!l l u, _ _ 76,4 cm' y l . _ 20 cm' vienen en el s urtido.

Para el perrf eanal del ~nrlido obtenemos l.~ _ 187 Cill' , 1"," _ _ 2 330 cm'; 1. _ _ O, ya que los ojos 'zllz son ejes princi pa les. d. inereia del cana l.

Parll e l reeUllgulo 89 oblieno, 1 =2.181 _ 972 cm'; I = 18.2

1_ 12

'. 12 M. 12 cm';

1".,=0.

"

.-

2. Dder",'~acI6n de 11)1 mom.-nlO, de 'IIfr.'a

Por l a~ rrmulas (78) haUam08 loa radiO!! de giro prindpalell.

, /1; , l7i8ii V 7= V ~ __ ~ !l.75 cm . F 75.5

V I k = 'VI488 ~ 4,44 cm. F 75.5

P UelIto qlle la ecuacin de b elipse de inercia es ~: + ~ "" l . l. I~ 11llll8Omi llj~s .se ra n 105 radl Oll de giro j .. !jObN e l oje !.> e j. sobre el eje u. Ubica ndo loa "nlorcs obLenidos j . y l. 80 construye !Obre ellas la elip!5l! de ine rcia /fig. 38) .

Problen1.5 156 158. Determina r los lIlomonlos do inercio \10 II\! fi guras NlSpocto a los ojes indicados 011 IlIs eondiciones do los pro-blemas.

,

1/ 1/

I--'~ 1 : 1 " -

" 1 --,

-

"roblt mas 159-16:.1. Ca lclense l u~ mOnl\ln tos [lrineipales ceno Ira les do inerclll.

so

VII. TORSION

.1 , M{Jmell f o tOl'l/U l ' m momento torsor su obtiene jlO r el mtodo de las secciones.

f':1 \'alor tle l momento torsor M~ en dcrta seccin t rlll!S\'ersal de la barra es igual 11 la .!HI/na alb

rotacin (1)1/, Y la potencia N en vatios se da por la frmula (8t ,c)

I'u~stn que el momento-de gi ro es proporcionnlll la po tencl~, ell el cn~o de rboles que giron ulliforrnemcntu y quu trao~rnilen cicrtns Ilolencln a lAS m6quinas. se puede. en lugn r del diagrama de Ins monl

j 2m, "_ M, """ m4-M+ -.~- 2

M M j" M M~ _ _ _ M+ __ %11% ___ + __ . 2 . 2a!" 2 401

M M M,. =--2' !tI " =-2

.... 0 _Lo El gr fico do MI c~ l rcprescntndo 011 la fi gura 40.

pf()bl~ nHl.s 16/.-167. Con~lr\Lir e l grfico dul momento torsor

'"

,. ,

-,- ,

2. !/"~tl81tm eN ' '/(lul,dalcl/, (/i/oulo ,/e t O 'r8f(),~ y I!uc'/'Ohl ' ;0 ' 01(1", ,fe fll. fle/ul1lfCdoll elall f l ca

E n el caso dc ulla bll r n cilndri CQ do l!e

I nr' njl .[endo IV p = : - -z - ----nr- """ 0,2 rP \j [ mdulo polar de l. resistencia de 111 secelon circular.

En el caso de borrllS (le seccin IrlUlsv('Tljol no circular I"s ten-.iones tangeneial!'s mx irnas ~e oblicnen por la frmula.

(lilo)

aiendo 1111 el mdulo de III seccin eu la t ... ..,.n cuyu va lur, paro las SIlCCiones do di versa conlignracin. ligut:l ero 10lj curres-,olldientell nonualcs y en lo!! lext~ de n'SislonciR do uHll erinl('!!.

E l ngulo tic torsin tl en el t raUlo de longitud 1 en el que el Ul omenlu torsur MI pernHlllece consl.allle, M' ,Iclcrmina pUf la fr-mu l" de 1;, loy dI! 1-1 ,,01;0,

1If ,1 .~--. GI , (85)

lI iondu I t el tmum,mt" ,lo inercia. de la !I

R~8fJluci6n. El momento torsor en el tramo 1 es M, _ - M . - , El mement o tersar en unn seccin cualquiera do;l l tramo JI ser,

M ,,, = - /If + 2M - m(2a-zti= = 111- 2~1 (2a -%i)= M (~'-3) ;

Al 'it = - 3111; "',- o

M 111,,, = 11-1 ; Tmu,=---",-%

PM.1 UfIIl S!)C;iIl arbitrar" del rama II

,p,, ~, = (~:I' J e:z _:1) dxz = ::" ( :: - ;l:r.); trll x,-o = U;

"'/1 = ~{'a _ U

Problemas 168-173. CoDstruir ID9 diagrama~ del momento tOl'Sor !1ft. del ngulo do torsin Ij) y calcular las tensiDnes tangsncia les mximas Tmn Y la energa potencial de 111 deformacin V, acumu-lado en In borra . Resolver el prohlemn :170 en el s.istomn SI.

G f" ~ f" ( 3M ~, a ,Jl,! " rJ~ 1lI1 f7I

IN "

M,ml lO OH ~ m ~ ~ ~

~ ~ ~

~-I,Sl ~ Ul L-, I,H "

"

lJ1. M"ml m

1 j~ ; ~ 3. RelJ is t encia. 11 1'igitl c:::

En el caso de unn barra de seccin transversal constante en la torsin las dimensienes de la seccin so obtienen por la lrmula

w ...... mal: MI 10'_ ['J . (88)

siendo max Mt el momento tonor mximo en vlllef absoluto. Si adems se plantea 1

sieudo le la longitud dectiYa correspondiente 111 1 ngulo de tOrsLn admisible.

En el caso cuando 01 ngulo do torsi6u admisible esta dado en grado.s por metro de lotLgilud [qol, se le debo introducir en In fr-mula (89) on radIanes (1", 1 = [ q~ ll ~O)' y con.'\idcro r que l . ,.., 100 cm.

Si !le calcula UII rbol de sece,)" cOlLsllllLte quo transmito ciena potollcial cnIOIlCI.',' 011 la.!! UmuuJm, (88) y (89), cn lugill' de .)UIX ,\11< 80 iutroduce una do l8~ do~ expresioru.'s (S I) en la ,(;u,,1 por poteneia efectiva N. se entiendo la mayor del dingrllL1l8 do las P010Uclll'.

En el caso do b1ltrtls de seccin circular lLLaciza o allular IV,,,,. _ _ IVp Y 1,,,. - I p.

Ejemplo 20 , Olido N, = 40 C.V., N: = 20 C,V., N I -d

- 30 C.V., n ... I 000 r.I'.m., a - 7J _ 0,6. 11'1 = 450 kgl/clrl ' , [qol - 2 grad/m, G _ 8 1Q& kgl/cJU' (fig. 42).

Determinar D y d. l/uolucilI. Por 01 grfico de las potencias (fig. 1.2), la polcnci a

efcct\'a resultn N. _ 50 C.V,

Puesto

N, N, N, ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ Y.tl

deNt

Pg. ~2

seccin anu lar circular es, quo el mdulo polar de la

nD' W, __ (l_a~; . d d BtLm o a=-, 16

teniendo en cuenta la rolacin (8 1, CI), la frmula (88) se oseri -blr' ast,

..

nD'(t _al) ...... ~N f6~ ., 11fT]

de donde se obtiene,

D - V' 'OIG~' --"71~"~2~O~N~.- _ 71' l- ~ -- 3 64 _ ~ , 1 '"'" cm . 11: !i [T]{I - ct ) , tu' ./.5{) 0,87

P uesto que el \ ngll lo ,~ lo,-,iuu /ldmisible est dado en grndos llor Olclro tlt' IOllg ilud. la frmula (8!)) 116 escribid ahora 8~ ,

ip

= 11/)' (1 _ a ' ):;? 71 620N ~ .~OO.I80 , 32 'iG[o: ]11

do dOIl(lc se ohtitlne,

D - ,'(7 1 1;20 .1 00 .1 80 . :i2N.~253J. .,'( N. _ - , Q --.,I V 6 . -

l1'IlG I ", /(I-a) /lG]", J(t - el) ; / 50

= 253,1. V 3 ~ 3,1!) cm. 10 8 10'2 U.87

So deben C!!COgCf d~filliti\'l m('II ' O Ins dhnclIsi"n:s sigllirmlcs: D = :\,r,4 cn, . 11 = 0 ,6.3,r,4 ~ 2. 18 CIII.

Ejclll], lo 21. n ad" d =" el1'. ,,, _ 80 rold /ll . G "'" B IO< MN/m',

hl -;;- iO 1\IN7ii,~. ltrl ~ 2 111 -' ,'u d/m (fig. 1.3). DCl..rrni""r No ( kil()\'nli .,~). ,~(Jf"c i n. DI' J:, c"n

R~/ud6n. CoostruimOll el di/lgram/l del momento tOl'3Or (ng. 44). El ngulo de giro de la lICCcin B ~!pecto a la seccin e so obLieno do la (!xpre~in,

:1 M

Problem8~ 174-177 . Cnlcular lns dimensiones necc.so. rias da las IKlcciutlcs l t:lOsvcrsales do las ba rras de las condiciones do resisten-cia y de r igi,lcz.

En lodos los problcmns do esLe pargrafo y los siguientes, c ~cluyendo l o~ w " Llomas qua se resuelven en el sistema SI cuando so da la lnagniLud G en el dibujo, ~e debe admitir G .. 8 1()& kgf/cml .

Probl emas 178- 183. Calcu lar las dimensiones IlI!ccsarias de las ticccionrs IransvCIS;l!CS de !!1S bnrrlls y el ngulo tot lll do torsin.

EtI l","g los problemas do ~s t e pnrgrnfo y [os si:u ientes los vnlurl"l\ numric()s do IlIs longitudes do los lrnlllOS de las barras so

d

I'roblemas IStI-201 . Calcular los llIu gnitlull's ndi Gadn~ en 1M cOlldiciones de los pr()!Jlcmus.

Eu 01 pr.,t,I IlL1ll' '193 In b1lfTa flB gira 'c"u vdochJ tI con~H'ule en un ambilllllll que ofrece resistencin y que (,rigiu" un f" omento reactivo dist ribuid o uuirormemcntl' , ~obre la I""gitud do la barra.

Eu 01 problema 191 el punto e situado S\.Jbro Ii. 5uJ,crli cio roci lo c UI! dc~p l (11."Ulicllto do 0,5 111 1ll.

"

En 01 jlrohlcma 197 el peso Q se desplaza 2 cm. En el problem~ 198 1n~ ],rras AH y CD ~Oll lI])snl ulnmenh.! rgidas. gn el prnhlCllln 200 lo resislellcia tcnica do las barras es igual.

~n el pmblema 20 1 el punt o A e~t situad" en la sccciu illclillo1du.

ill ", ,

" ~

" ,-

'_."

1ll M,"OIrJf1I! ,

""~ '" ~ ~ ~ "

~ ~

~ -Il~ .. --z;

w'UI'IId/S (rjlQIIN/"': G'~ 'I" />IN/m' :

M M ,

/I,"t. 'I,,"r

!':!.i M " ,

,

93

lIi lf!

U , H-1 ~~

V 'f H '/U". '" ~ U

, ~'b.. fO? ~.? V ~.,!; r. " .l. I'-rub /ell"''' IlIpc r r."hffirfj

Los problom;l~ hiperesl:ticoll en In tOrBin, al i~u:l1 111/" en Ir. 'mecilI y compre~in. inch')'C I\ si~ t ('lmL~ en l~ cl1 l\l~.'j In~ rCllccio-nt! do Ins apoyos y los ('s["c rzns intcriOTl'8 no !lO pueden obtener do

l l\~ ccuncioncs do In cs tllticu . El clc"lo do ClilO!l 5islcOIilS so rca1iza ernplcnlldo b s cnnrlirinn!!s

S[('Clmdns do In cslticn y las condicimll'S do COlllllnti lJilid:u1 dI! lo~ dCllpl~1. amient()lI. E~ las Mlimas so bnSllot 011 In coutinuirl;II] do JO!:! clOlllcnlO!J quo forman el lIil\lc lIln y rcprellCulnn rcl llciOlIClI ::comtri cu I'nlro los tlesplaznmientOll do lO!! .. Iemonto!! que COrupulICU el sistema,

S i llls ligadurnll lIu l, ]cmcnlarias (supcrrluDs) son nhsolulnlllcu to rigidnll. entonces sus deformnciones sedu nullls, mientras quo si SO Il

el~tica~. ~U!l desplllu\fnicnlos so d(,t/lr milluro a travs de 13s deformllciouCll de IIcuordo con la ley do Il (.olu}.

Si todos los ('Iemlm tolj de l sistellla hip/lr('~ttico trabnjall o~cl u ah 'amonte a torsin, enlonce~ los desplM:arnient05 els t icos se obten-d rn a lra"s de I~ ngulo:! de torsin. Si parle .Ie lo:! elemen tos

trab~ja a torsiu y parte n Imcdn o cOUlllresion, en tonces 1'11 ('1 pri-mer grupo tlo element~ I~ d('splrnnmientos se obtendnin 11 trrt\(og de los ngulos de t orsin yen el segundo, n tr~lvs de las derormAcio-nes linea les longi t ud ina[es.

Las ecuaciones de la e~I\lica y bs cOlldieioltCll .Ie compntihili-dad do [os desplazamientos son diferenles ['ma enda tipo du sistemn hipcrellttico. Si n ombargo, para nlgullos dc ellos, est:>! condidoll/ls son de hecho idn licas y puedun ser rop rescnlntlas en forllla tlo ecua-ciones, en principio, igun[es.

A~l, por ejum plo, en el ell~o de slst('rnas compuestos pnr cierlm. e lemell tOB rectos unido! IIxiahneoto IIUOJI COI1 otTOl!, eml!otrndo~ d idamen te el1 sus oxtremO!! y solicitntlm. exelusi"lIlI\entc Ilor pllr('S do tuerus exteriores tOTllionnn tes (fig. 45), las ecunciones de In estt. lica constit uyen In suma a[gebrnicn do lO!! mOMlen t o:! de l od Oll lO!! pnres do fuerUIS daI OlI )' reac ti vos respecto ni ojo geonulltico do lruJ oloment Oll. Es to sumo debeT1i ~er igual 11 cero.

La condidl1 do compatibi lldnd de lo~ despluomientOll estnrt. t'(lpresentada por la suma Qlgebraica de JOlI ngulos de torsin de todos ..

los trnmos, que en "irlud de quo las secciones I.'xtremllS 110 gi ra o, lamLien ~l' ni nnla.

Si 11110 de lo~ empolrnrnienlos de la lIan.l no es riglIa. sino e ls-t ico, eulollccs el l ugulo do gi ro de la secciu enl Jlotrada cl5lica-

Fil: . :.:;

mellte no ~erl yn if!llnl n cero. ~illn que sl'r[, prOH1rcionnl n In m"gn i-l ud (lel 11l"n'('I,lo r~ . M M' 'M M"

-2t 21 -/11.(1 ramf1 t"'''. 1111

'

,, 1

111 1L.lJ!;W.J, He.f"'''/n. EII lo~ tramos f. !l. /lf Y fY lo.'> mornrn h)l; polare~

de illern de las ~cccioncs cI'clll""c~ SlJlI: ."lIt

/" 1 = / ,. = Q- 1o" = fo,,,=lG/,,; 1"".=8 1(".

y lO/! nuIOll de torsin, 1I{21

ql'-G/"; , 1Gl p

~("M,,' c'+7.,,,I/----"',='/~) 1 . 1fl,1I -!LiG" p

(IIr + M _+ (\J' - 3M) k + (,Ir - JM) k] - o, De aqu so obtiol1o,

M' _ I 2'J M :::::< U,O!,!"JM, 2 b.'l !

Do Iu ocuncin do la cslli tica hallllm08 lf" = 3M - M' = _ 2.9547 M,

El diagrama de los lIlorncntOll torSOn:!!i esta rbdo en la figura

PUe!!to que la rigidc!: de la soocill do la barra es constanle, la ult imll [,cllacin se pod r escribir 011 In for rnll sigu ionte,

,"" a+ m S zd:t + (Al' + ma)a+ (Al' + ma - M)a=O,

~I e ,Iollde !O obticne 3M'1I Al 2 ' a2

= 11- mll'- n/Y y

j\f' ""'~ (Al - 2,5/1111) =* (

Hollamos lo!! IIngulos do tQl'!li6n, 'f' mr

J "x+ 2 'Pr~ = - '- (Al' + m,x) dx G/o GJo

'PI =(1; _. ., _. Ata+mt lOO'O,5+{OO .O,25

7~=~,-''''~=~ - O 007 15-8 IO'Q 0,1 .3,21 .10- 1 -, ,

M'x =0.00715+0,00835=0,0155;

El .. islema hiperll/lUt ico r.onstituido por la barra y ill lubo en al tramo B - E se .. amele, en sus extremos, a 1& ~ecio de los momeD~ los 3M. De la ecuacin de la Il/It' tica lit! obtiene M, + M il - 3M. siendo M " el momento que S(l transmite por 111 barril y M il el que se t ransmite por el lubo.

De la condicin de compatibilidad do los desplatamienlos S(l dedu-ce que los ' ngulos de torsin de la barre If, y del tubo '1'1/ en el t ra-mo B - E sern iguales, es dneir,

de dondo 86 obtiene,

M2a = MI/ 2a G/PI G/ P1I

1 MI/ = M, ..:J!JL. l

Jntroduciendoesto "aJor en la ecuacin do la esttica hallaremos,

Al, (1 +!.e.u..) =3M 6 MI 3M Mil 3M /p , I +~ 1 +~

I p, I p" Puesto (IUt!,

, _.:t~ p,- 32

I .:tD(1 I Gm~( 1 O S'I , y P" = T2 - 0:) =32 -, ~ AS/ PI' r

Problemas 202-221_ Determina r las magnitudes indicadas en las condiciones de los problemas.

En los Iroblemos 2113-221 se deue considera.r que E >= "" 21 0" kgffcm! y G '"" 81( kgflcm i .

En el prohlemll 215 los tubos cilndri cos est/m ~iLuudos concn-lricamen te COIl cierta. holgurI y se emllolrll ll rgidamente 01 IlJlO con 01 olro solllmeule en ~U$ extremos.

".

~ I ~ ; 1 ~a----'-2a--+--

(

, - I -

.... l4m ~~z I ~ Q,~m ['rJ' lOIlli/ml; NIIl'MII/m' M r: .,, ' ?

. -

__ I,tm~_o,8m_

[7:)-OMllj"": N-/o1Mtlfm'; d' ?, 'f"?

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~ INijf-m l/ofNW .

le e CCfCEECI ~--- I . - '1/1------, I"Jom~Jf~tn'; d" ,,:r

lp' l p,: 111" ... ,/,.: G r"~.,.I,l-,n ?

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- 0. 2111 ~ '" 1). . ..

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,mIO' ,ilt,.arc, "",, " . O, , ?; ":,' ?

G.JIII --'

VIII. FLEXION HECTA TllANSVERSAL

" '

.l. ]o'1!t;/"::U cu rl,,"f e '!I /Om e"f Q '-' celor La fuerza cnrlauto y e l fllOltlellto rleclor so JOJIerrnillnll Jlor ,,1

mtodo do las aecciones. La magnitud de In fucrtll curt~nle Q" en una soccill arbitraria

de la ,' iga O.'! igllal a la slIma nlgl.)hraicn de las proyecciones de t Odr,s las fuerzas exleriores (concen trad!ls y distribuidns), 'fue act lulI sobro la vig!l !I UIIO de l"s I;ldos de la seccin en cuest in, sobre UIIO de los ojes centr~les principnles de inercin do la seccin.

La magnitud del momento fl ector Al" 011 una seccin ~rb i traria do la ,'iga es igual a la SUllla al&,'cbrnica do los 1lI0lnontos de lodlls las fuerzas exteriores ~plicadllS sobro la \'iga, a UIIO de los lados de la seccin en cueslin, respccto a uno de los ojes priucipalC!l contra-lO.'! do inercia do lu seccin.

I So considernll positivos 11 ue::ati\'o~ los valores de Q y Al seglI corre~pondan o 110 11 las direcciolLcs indicadlls cn la figura /.9.

,Si la carga dis t ribuida se tcrmh13 an tes do llegar ti 18 seccin que se analiza (fig. 50), ent onces so la puede susti tuir JOr una fnerz" concentrada llumrieamolJle igual al rell del diagrama de la carga y a pli cada OH la seccin q ue pasa por el cen tru do gra\'ed"d del area del diagrama do la cllrgn dist ribuidn.

En el caso de cargas que varan liJleahl1ente. las arlJas y las posiciones do los centros del.'I"aved~d de 1m:! portes seporad asse obtie-nen Illuy fcilmente ]lor In5 conocidas frmulas geomtricas: Si la carga varo slJgun una ]Iarbola cuad rtiea ABe (fiJ; . 51), entonces cOllv ienlJ tener en cuenta lus resultados siguil!lltes de la glJomelra

'"

analitica. El rea de la parbola. A BC ea. ; Ih ; el cent ro da gravadad O de este rea desca nsa sobre la verlical BD ; el rea del eegml:loto para-blico F BE ; ',h, su cenlro de gravedad O, se encuentra a una distan-

~ig. 49 Fig. 50

da ~ 1, de la vertica l FJJ ; el rea de la mitad de la par bola A BD 2 I ,

Y DBC ~s 3'2 h = -rih, su centro de gravedad O~se encuentra El una distancill ~.+ _ 13U I dala lnen liD yel ;rea del t ringulo rect n-

~'jg. ,,\

gulo cne do hilOtenllSD parablica BC ee : .~ h = ~ h , su centro de grll \'edad O. se eucuentra a uua dish neta 1, ~ = ~ 1 de J~ vert!-cal C(;,

Se )\Ledo rl!comendar ~pro;l:imarso a la seccin por el Indo do la viga quo esti menos solieitndo ~'construir priu,ero el diagrama de Q y u~'sl)\Ls 01 de M,

Do la de/in icin do Q y 111, de acuenlo con la regla do lo~ signos admitida, se desprellllo que en 01 caso do \' igas do ~o l icitacin yapo.

yO! s imlit ritos, el diagrama de la fuerza corlau to ser anlisimtr ico y el diagrama do lo! momenlos Uoolores, simtrico (rig. 52. o).

En el caso de vigas nn tisimtricas. al ro\'s, el diagr/lmll 11o /lS ruor~a~ cortantc!! .wr sirntr ico y el do los rnorncutOll neclores, uuli.!imtrico ([ig. 52, b).

1)1) 111 dc[iniciII 110 Q.'l6 deduce quo Illl In !Seccin dOIl,I

Deducciones ('senciales de las relaciones (90) y (9 1): J. L .. fuerza corLnute se interpreta geomLricamente como el

tnllb'Cntc del ngulo entre la tallgen tc ni diagrama de los momentos flcctol'('S en la seccin dada y el ejo x (eje du lu vig:') y In intensidad d I! la c(,rgn disl,ribuidn, como 1'llllUgCIl tc uel ngu lo enlre es te mismo de y la taugcnle al diagrnmll dc la fuerza cort llute.

2. Si las (ull eiunes do varincivll Jo liS cnrgas di 5 t rib\l itlo.~ son nlgcbraiclls, cuLollccs en cnda ru no de In ,' iga, la funcin do la fncrza corlllllle soni 1111 ordOll ~ " l)crior 111 de In fUllcin de In carga d ist riLuida en eSlc (rmllO y el "rdell (lo la funcin dol IllOlI\ento rJector. una IInidlld slIpcrinr ,11 do la fuucin de In fuerza cortllnle.

3. En la seccin de la "ign dondo la fllOrla curlonlo es igua l a cero el lllomento flector ticuo su valor extremo y en la secc in doudo [a fuerza cortante Sllbitallleu lo [la~u pur su ",llor nulo. el grfici, de [os IllornOlllos flcclores Ilienlo su l""noten" .

l . En 1:1 soccn d .. 111 "iga donde la fuerz~ cortrllllu vara ~llhita_ 11'['111[' , pero no Imsa 1101' ,,1 ""Ior 111110. el diagrnlwl del 1Il"lIlcUlu fll'CtN I iOllo UII pico.

5. S i UII t oda 111 longitud d .. la viga. o 011 ti lla de .~us l);lrt {'~. el diagrallW de 1.15 fll,'rzas c(ftnulos es n"lis illlc tri w. eJl t uncl'~ ('11 el curr('spollltiellto trall ' o el gdlir" , de IlIs llIumcut os flucton's ~I'rr si ,"Lrico y ,ice\l,!rs .

{;. l':" cndu Irrlll") dI' L. vign In vnriacill do l:t lI,agllitutl d,,1 IllU-lIlen l" rteclur eltlre d",~ ~l'cciu!Jc~ cua[lluicr" es gll ,o! ;ll ,ire.1 del ,Ii "gr"",,, dI,! I;I~ fll .'r~"s ('orl anles cn t ro t'.~t~s dos sccci

Jlnoludon. De la.!! ecuaciones de la e!!Itlit ica hallamos las reaccio_ nes A '1 8 en los apoyos como la sUllla de los mome ntos res lleclo 11 los apoyos derecho e itquierdo:

A (a + b + c+ d) _qb (t + c+d) -1II~+ Pd -q:rl4 = 0; A 10-22G- 12 + 121, - 1, 1,2 _ ; JI = :! tr;

B(d+ c+ b+ a) -qtd (~ + c + b + a) + P(c + b + a) + + /lf2 - qlb (~+a) _ 0;

810-41,8 + 126 + 12-221, "'" O; B 0= lf. Para simplificnr 1~ 8 eX llrosiones I\JI) determinlln Q y M , IlJlIlIi-

tamO.'! 1M lllrles iu uierdll.'l , cuando las secciones se encuentrlln en

M, t q, q, B M, P .. ~ ~

,- --j , ,

los tramos de longitud a y b, Y las derechas cUlludo se encuenltlw en los tramos e y d

'"

O

M",, __ ,=_2+2.3=4 tfm; a .s;; X1 .s;; a + b;

\ Q",. = A ~ q, (xz ~ a) =2 ~ 2(Xl ~ 3); Q",,_ a_ a = 2 t f; Q"._ a+6_S= 2 ~ 22 = ~ 2 ti;

(XI ~ a)z 1 M ",. = - M, + Al::! -q,--,-= ~ 2 +2xz ~ (xl~3);

M"._a_,=~ 2 +6=4 tfm; M"'._GH_ ' .... =-2+ 2.5 - :f =4 tfm.

P uesto que,

Q",=- 2z,+8 =O cuando xl.= 4 m, resulta que ma :.: M",,_.=- 2+2.4 - 1 = 5 tf.m.

O.s;; X~ ~ d; Q",,= _ B + qzz=_6+ 4x,; Q"._ o= - 6lf;

Q"._d_.=-6+4.4 =1O tf; l', 2 M,,=- M, + Bx,-qZ T = - +6xJ - 2XJ;

M",._=- 2 t(m; M"._d_ . = - 2 + 64 _ 21,2= - 10 tr 01. p"e~t." ' Iue.

Q .... =-6+4xz = 0, cuand o x3=% In, resul ta que ma:.:}.f ,= - 2 + li_2

3 _2._, = 2.5 tfm;

%,-1' d ~ x. ~ d -!- c;

Q",=-B+q2d - P=- + ,, Q - 12=-2 If;

M",. = - M, +8x, - qzd ( z, -4) + /'(x, - d)= = _ 2 + 6x - 1(z - 2) + 12 (.%, _4);

M",_ d_=-2 + .4- Hi.2= - 1O tr m;

M",_H.-.= - 2 + 65 - Hi;I + 121 = - 8 tfm. "n

Veamos en (IIU) secciona \f~. _ -2 + 00: . - 2.r! "" O:

~-3l'~+ I _ O; 3 ;J"3 ""'- 2

J 3, = 2.GI8 "'. :':0, ... 0,382111. Cur, I tl~

Q y JI! (lig. r('~ III1 l(I "s obtenidos se construyen los diagra ",n~ d \!

I

I\J ~ ,1;"" """",

"

Und o: '1, 1, IJ _ u,2 ql (Fig. 55). longitud a Ill:i.~ f"v orn lole del \' ollldi7.0 y c"JI~lruir Q y iH .

~;'lq IJ 1I :" " 1I1~ p , ,-1\- I I I -r I I , k 1 [, I , 0-0 ...... 1 -t- ~_II .. :.. : 1: : -l

Diogramrl : dt q : : ~ , ' '""

r

fk-,""!:l'hrtrnrl-"'--H ( l

" '--"---

IIt~o l!l(:611 . Se consid crH 1ft " d /x Jill'm'ollfe la 101111;//'" f,., 1JOfruH:w ll!lra In cunl el llloment u nlClilf mximo adquiero II I \'alor mlnimo ]Jusi lJI Il, LII lo" gitud m:lll favorulJlo dll l vo ladizo se olJUell1l de la cond icin de igual,lnd dll lO!! vIlI()r(',~ ahsolu tos dlll momento n octor (1II In ~ecc in que so encuentra solJre el 1t l0Yo (M . p ) y 0 1 moment o n ect or lIIiximo en el \'lIno de 111 ,'iga (M mu)'

Puc!!lo quo la ,' iga C~ simotriea rcspec10 a 111 seccin inedia, M",. ~ en el \ ' 8 11 0 ocurrir en la seccin Uledi ll y las magnitud('~ dejos moment os fl ectores M .p e n lu llCccionc~ solll'0 los a IOyOS .sern iguall'!!'

' 08

La condicin que .si rve para de terminar la longitud del voladizo m's conveniente se escribe as , ! M.p!_I !tI I mu ' Hallemoe ahora loe momentos. Las reacciones en los apoyos son :

,.' Map=- Pa- -; 2

3 ,1 A = B =-P+ - . 2 2

~ l qf l_2a il/,"u =- I ----+ A ---~ 2 8 2

PI ql3 3Pa g/a =1,+""8-2--2-'

De [:1 COII([i ciu I M a " I = I JI I m.' SO obt icno, I'a + qll~ =.!!.!:.. + Ifl~ _ 3f'a _ ql4

2 1, 8 2 2 1) Si'.1

.' (51' )" '(21' ) -,-+ -+ 1 --- -+ 1 =0. t 1ft 1 4. /jI

1)0 :,,'u SO oblicne,

~~"- [ _ ( 51' +1)+ V(~+ , )'+ 2/' +,]. 12 ql '11 111

m signo ~ !Ileuo~ . IIlIte [a raz CUlldrad~ no so con~idera IJU e~to que ; no puede ~er II cg:,1 Vil.

Consl ru yalllu~ lo.~ diagr:1lllas de Q y M. l' Pu('slo qne - = 0,2, '1/

VM' C'C""''.::C2, Il = 1"", D, 162/, b = 1_ 2a "'" l(1 _ 0,324.) = D,fi7G1 2

3 ql Y A =B=-O,2ql+-=O,&j I.

2 2 Corno soLI1J la longitud de [a viga acta una cll~a u"iformemente

distrib\lida, en t odos los Irarnos e[ rliagr,lUlD de Q sera linea l 'J 01 do At, IlDfab()[ico. Debido a [a sinHltra dll [a \'ign. e l diagra ma de Q ~e r{ antisirn trico 'J e[ de M, similrico.

''0

En el extremo libre ilquierdo de la viga O = - p = - 0,2 q/. En la seccin extrema derecha del voladizo izquierdo.

0= - 1' - qa::;::: - (0,2 + 0.162) ql ... - O.3GZq/. Sobre el apoyo. en el dingrama de Q, npnrectl 1111 snllo bruseo

debido 11 la r!!mccin A. Por lo tlllllo, 1111 el extremo i1.quillrdo de l vllno la de viga obtendremos,

Q = O,3G2ql + O,8qt = O,43&l . Al ncefcarrlOS a la seccin media dc la viga por In izquierda

0 = - O,2q/ + O,Sg/ - 0.5'1/ = O,1ql . Con los va lores obten idos se eOllstruye el diagrnma de O (rig. 55). En el extremo izquierdo libre de la viga el momento r"clnr es

ft1 = O y en la seccin ~bre el apoyo.

Mop P:;: - O.2qJ 0.162/- f (0. J621)!= - O,0455qP. E" In seccin media,

Mm u = I M ap 1- O,(}J,55ql'. E l valor dozo Pllf,1 e l cllal en el ,'11110 de 111 vig,1 Al = O!ifJ nl,I;O/lo

de mancra siguicf\IC. Oc In ~emejnf\za de los tringulos '" llamos,

b (Jxo - O, tql = -_2_-_ '_'

O,l\:\&-I O,lql b

Oro - O,1ql 0,33&;/

0,338/ - ;ro O.T~I

C5 decir, Oro = (0,4381 - xo.lq .

El rea trapozoidal del grafico de O de altura Zo es igual a la variacin de Al al pasar de la sc

y .1"0= (0,438 V0,438t 0,091)= 1 (0,438 lIO,tO't).

Puesto que %0 no puede ser mayot que ~ = 0,3381, a las condi-ciones del problema satisface solamente la rah Zo = 1 (O,li38 -- VO.10t);::::: 0,1221. Con estos yolores se ha constituido el 11) l' ' d iagrama de.M en la fi gura 55. A ~C

Ejemplo 28 . Dado: P, ~1-la+-Q-4-a-La-1 (lig. 56, a). Construir 10.\1 dia- Al l' l' 1, I gram8sde Q y M. . ~ _

Resolucin . Puesto que en qk I 'II""C 18 seccin B qUQ JIII SR por la e) I:. I i ~,----,! articul acion flotan te el mo- ~_ l '1' I"P ~B i, mento rlector es nulo, In vign & . ~_ pued o ser descompuesta en : l I f,! e dos ((g. 50, b): la izquierda I Dlagtrlma de q l! I AB Y la derecha BC, en ror- I , I rnn uo vo la d izo. I I : I I , , ,

Ln primera en su IJx t rcmo ~-:~1' ;JJ;1l~'~:J!ct' $ derecho B se apoya sobro el , ,1 I -C:l:tromo libre B del voladizo. :O, ' d M I Estas dos "igas se ]Jl.leden COll- e) agramu1 r siderar llOr separado (fig. 56, e). !:-i-----,,,;L,;"'~ En 111 vigo AB las rea cciones =~C-"",~,-", ,,,,'-'"'''-'' ' C''"----'',",,;r15t-: doopoyo son : A = B = P. Lo influencia de esta viga sobro el voladizo se ex presa por la ac-cin sobre su oxtromo izquier-d o de la fuerza concentrada B = P dirigido dQ arri ba abn jo.

fig. S6

Eu adelante el problema se H'suolvo llor separado pora cada viga . En el trllmo izquierdo de la viga A/J, Q = A "" P. En el tramo

cenl ra l, Q = O y on el derecho, Q = - P. EII el voladizo Q =- - P. El diagrama de Q est representado en la fi gura 56, d.

811 los tramos dOllde Q = COtlst el momento rlector vara lineal-mouto y en el tramo dondo Q "'" O, M = COItSt. Las variaciones do los momentos flectores JI.1 en los tramos se determinan f cilmente por las reas del diagrama do Q. En la figura 56, c est dado el diagrama do los momentos f1 ectores.

l'roblemas 222-270 . Construir Jos diagrilmas de [a fuerza corta n-te Q y los momentos fledores !vi .

En los problemas 251, 253, 255, 2M y 260 los diagramas de Q y III se deben construir para los longitudes ms favorables de los voladizos a.

m

t =e;; 'II~ p,tqo . Zg~----.,

1-61$

m

-f,l,,j .I'!!

t,i \=J ,)p,.p"p, a.b'l i 2)P,,/P,. " 0. ~'IQ

ll3

'" ".... ~ -f E'~ . " Wd eL ..

'" f" . *"'1] -'''-- l.

oo.

m {L.-Id .-,

~rmI:DDal:r:ql!.. -.-J-I'I

ro f II I t=. .J'f~ m.

~LI,, f Conslruln de los di8gramjls de IJ y ,11 pur el mtodo gTMlco,

Los diogf1l1nD~ de 10$ momentos fl ecl ores y las fuerzn s cortantes ~e llUlldcn construir tambin por el mtodo griifico. Este JIlEtodo es particularmente cmodo, cuando sobro la viga aclil!l uu sistema co,,plejo d I! fuerzas exlerior('s.

Hell li zn ndo minuci~amollto 10$ dibujos y escogiendo debida-mente Ins CM:ftllls. el mlo(lo grfico da una ex'lc.tilud su ficiente pnra los c; lculos prctlcos. &sle mtodo de consl ruccill do 1011 dia-gramas de Q y Al so bas..'l. en [as conocidas, en la mecnica, propiedades del plnut) de fuer1.lls [Jura lelas y del poHgollo funicular.

Al dc tcrmi nllr grficanleu t el momonto f1 oclor JIf", y la fuerz a COr tanto Q", on una seccin cualquiera de la viga so debo toner en cuonta la escala do las longitudes i- :1 que 1m sido dibujada la viga (a ~ cm do longitud do la viga corrCBPQndo 1 cm do longitud en 01 dibujo) y la escala do las fllllrzas ~ a Ino estli nprcsontad ... III plnno

'1 Ile llls fllHzas (II TI kgf corrcsIH.l/Jdo 1 l' lTI del V'c'or ell 01 1)).:lIlO do las fuerzas).

P uesto quo I~ dis ta nci a. plllr 11 en 01 plano do las fuerzas se midl' en l~ e~cala de las fueTlIIs y 01 ~cgmenlo vertiCIlI y ontro el poli-gon" r"nicu ln r y la linea que lo cierra on la seccin el1 cuestin de 1" vig ... 1'11 1 .. esenIa do ns longillufos, los vHlorcs ,' crd~de r os de Mx Y Q", sern:

M ", = Y m 11 (IJ) kgf .cm; Q", = Q", (IJ) kgf, siendo Q", el voctor del plano de 11Is fuerz as cnrrospondiente a la

S1l ma algebraica de los vecl(res de llls fuerzlIs cxtoriorc.~ 1,110 so encuen lmn a un lado de la seccin en cuesUn ,la la vig

Ejem plo 29. ('ig. 57).

6

;g~ 51 Ejemplo ;,.,. O'" (" g. 58).

,

"

-l ,

, ! !' -J Z '" 3

I -, ,

i .... :. " . w -:-r-i " ~ I /II ~",=;q~91elijll !I- Hf!i U

'-3 w"'~ _ _ _

Fig. M

-,

, ,

: ,

'"

I~jemp'o ... .' / (fil:. ,';(JJ .

,

J 1 ~ -"

Ejem plo 33. (fig. 6i).

, , ,

:e ,

00: . 1'1 , 1 , I ,

.1-1 ' ,

:)( I I I I Di~mll :

" , " , : I I " ' , ' : i '

f ig. 61

, , , ,

I , ,

, ' , I :S' .1 ,

tud..!... que ludicn quo 1 cm do la IOllgitud dol seg mento vllr t icll l del '1

grfico correspondo a II kgl de la luerza cortanto. Ctulfulo sobre 1/1 vig/! IIctlII una c/l rga diSlrlbui tln, esta.'le dh' ide

IlII pllrtes IlOr HnllllS pefllendicula res a l eje geormlrico dtl ll. viga. 1::1 aren .10 cada 11111\ do estas parles se replllllQn ta IlOr un vector Apli-cado en el centro de gra\edad. Con elIto!! ,celores, correspondientes l. los .Ie Is fuorIIIS concentradAs. se conSlruye el plano de las luor-111.'1 y el polgono funicular. El diagrMIlA Ilo ligolla l de Al obtenid o sn corrige trfluunlo mil. curv/I inscritn eu el polgono y el diugrArn(l esca lonado Ile Q, lru~.ondo ILlIA rec ta o curVA (segln se/! el orden de I cargn distr ibuida) II1IO paso Ilor los punlo.' de los .'ICgmontos hori -zOntales del d iagram/l escalonado q ue so e ncuontran enfrente del origen y el cxt remo do cada parte del rea de 1" etr rga dis t ribuida .

Cuando sobre la viga achian momentos cOllccntrados M , 5lOll se sitlifl ll eu el diagrama do los momentos flectores en la.s seccione5 co rreSllOnd ientes en formo de segmcntos verlicale5 de longilud IJ = 11 ~~r).

PlIrn coincidi r con el melodo alw![tico, a l construir grlfica-oH'u le los diagramas dI' 111 Y Q considerarllrl\OS magnitllde~ positivo, IUII Sllgnrolllos \'erlica lo., IIIJO se Cllcnenlran sobro lo lnea do cierro del IlOlgono runicular en el CI\SO de Al y sobro In para lela al eje

."

geomtrico do la viga que 110 interjlrela COIllO la Iuea de \'Illort~ nulOll de Q, en el caso ue Q.

Si acortlam~ IlcercaruOll a la SI..'cclon de la "iga en cuestin por 111 izquierda y ubicar lO!:! 'l'celore!! do la carga 1I0bre el Illano de las luenus en Cli tc mismo orden, clltoncCll, lIlra obtener en Jos diagrll -mas los lI igllO!:! tlo M y Q "tlmitidOll, ser;, su licienlc ~Huar el polu 11 la itquerdll uel plllllO de lall [uerzal!.

Eu los ejom l,los 29, JO, 31, 32 y 33 se ilustra el mtodo de cu,,~truccion grMica do los dillgramall de M y Q para vigas de di'l'enH .... 1 II poyos y COII ,rerentes corgos.

I'rohlcmns 27 1-275. Construir grMicH mcn