8 Distr Geo Hipergeometrik

DISTRIBUSI GEOMETRIK & HIPERGEOMETRIK

Distribusi Geometrik

2

22 1

1)(

:adalahgeometrik asprobabilit distribudi sidan varian rata-Rata gagal).dan sukses tas(probabiliparameter adalah dan , 1,2,3,... = dimana

pq

p

xpqxPqpx

Berkaitan dengan percobaan Bernoulli, dimana terdapat n percobaan independen yang memberikan hasil dalam dua kelompok (sukses dan gagal), variabel random geometric mengukur jumlah percobaan sampai diperoleh sukses yang pertama kali.

Fungsi distribusi probabilitas geometrik:

Distribusi Geometrik

3

Pada suatu daerah, P-Cola menguasai pangsa pasar sebesar 33.2% (bandingkan dengan pangsa pasar sebesar 40.9% oleh C-Cola). Seorang mahasiswa melakukan penelitian tentang produk cola baru dan memerlukan seseorang yang terbiasa meminum P-Cola. Responden diambil secara random dari peminum cola. Berapa probabilitas responden pertama adalah peminum P-cola, berapa probabilitas pada responden kedua, ketiga atau keempat?

PPPP

( ) (. )(. ) .( ) (. )(. ) .( ) (. )(. ) .( ) (. )(. ) .

( )

( )

( )

( )

1 332 668 0 3322 332 668 0 2223 332 668 01484 332 668 0 099

1 1

2 1

3 1

4 1

Probabilitas lulus mata kuliah teori probabilitas adalah 95%, berapa probabilitas anda lulus tahun ini, tahun depan dan seterusnya?

5. Distribusi Geometrik

Skewness (kemiringan) adalah ukuran asimetri distribusi probabilitas dari variabel bernilai real acak. Nilai kemiringan bisa positif atau negatif, atau bahkan tidak terdefinisi. Kualitatif, miring negatif menunjukkan bahwa ekor di sisi kiri dari fungsi kepadatan probabilitas lebih panjang dari sisi kanan dan sebagian besar nilai-nilai (mungkin termasuk median) terletak di sebelah kanan dari mean. Sebuah condong positif menunjukkan bahwa ekor di sisi kanan lebih panjang dari sisi kiri dan sebagian besar nilai-nilai kebohongan di sebelah kiri rata-rata. Nilai nol menunjukkan bahwa nilai-nilai relatif merata pada kedua sisi dari mean, biasanya tetapi belum tentu menyiratkan sebuah distribusi simetris.

varians adalah ukuran dari seberapa jauh suatu himpunan bilangan yang menyebar dari satu sama lain. Ini adalah salah satu deskriptor beberapa distribusi probabilitas, menggambarkan seberapa jauh angka terletak dari mean (nilai yang diharapkan). Secara khusus, varians adalah salah satu momen dari suatu distribusi. Dalam konteks itu, merupakan bagian dari pendekatan sistematis untuk membedakan antara distribusi probabilitas.

Kurtosis adalah setiap ukuran "keruncingan” dari distribusi probabilitas dari variabel acak bernilai real. Dalam cara yang mirip dengan konsep kemiringan, kurtosis deskriptor dari bentuk distribusi probabilitas dan, seperti untuk kemiringan. , ada cara-cara yang berbeda untuk mengukur distribusi teoritis dan cara yang sesuai untuk memperkirakan dari sampel dari suatu populasi.

Sebuah distribusi dengan kelebihan kurtosis positif disebut leptokurtik, atau leptokurtotic. "Lepto-" berarti "ramping" . Dalam hal bentuk, distribusi leptokurtik memiliki puncak lebih runcig di sekitar mean dan ekor gemuk. Contoh distribusi leptokurtik meliputi distribusi Cauchy, t-Student, distribusi Rayleigh, distribusi Laplace, distribusi eksponensial, distribusi Poisson dan distribusi logistik. Distribusi tersebut kadang-kadang disebut Super Gaussian.

Distribusi Geometrik

45;0,01 0,01 0,90 0,0096g

Contoh Di dalam suatu proses produksi tertentu diketahui bahwa, secara rata-rata, 1 di dalam setiap 100 barang adalah cacat. Berapakah probabilitas bahwa barang kelima yang diperiksa merupakan barang cacat pertama yang ditemukan?

Penyelesaian:Dengan menggunakan sebaran geometri dengan x = 5 dan p = 0,01, kita peroleh

Distribusi Geometrik

Penyelesaian:

Dengan menggunakan sebaran geometris dengan x = 5 dan p = 0,05 menghasilkan

45;0,05 0,05 0,95 0,041P X x g

Contoh Pada saat ”waktu sibuk” sebuah papan sakelar telepon sangat mendekati kapasitasnya, sehingga para penelpon mengalami kesulitan melakukan hubungan telepon. Mungkin menarik untuk mengetahui jumlah upaya yang perlu untuk memperoleh sambungan. Andaikan bahwa kita mengambil p = 0,05 sebagai probabilitas dari sebuah sambungan selama waktu sibuk. Kita tertarik untuk mengetahui bahwa 5 kali upaya diperlukan untuk suatu sambungan yang berhasil.

Distribusi GeometrikContoh soal :• Pada seleksi karyawan baru sebuah perusahaan

terdapat 30% pelamar yang sudah mempunyai keahlian komputer tingkat advance dalam pembuatan program. Para pelamar diinterview secara intensive dan diseleksi secara random.

Pertanyaan :

• Hitunglah prosentase yang diterima dari jumlah pelamar yang ada.• Berapa probabilitas pertama kali pelamar diterima pada 5 interview

yang dilakukan?• Berapakah rata-rata pelamar yang membutuhkan interview  guna

mendapatkan satu calon yang punya advance training

Distribusi Geometrik

Jawaban:• 3 sarjana komputer yang diterima dari sejumlah 10

calon Prosentase yang diterima = 3/10*100%= 30%

• f(x)= p. qx-1 , x=1,2,3,...,10 f(5)=(0,3)(0,7)4=0.072

• E(x)=1/p=1/0,3=3,333

Distribusi Hipergeometrik

• Setiap percobaan statistik keluaran yang telah dihasilkan obyeknya selalu dikembalikan, sehingga probabilitas setiap percobaan peluang seluruh obyek memiliki probabilitas yang sama. Dalam pengujian kualitas suatu produksi, maka obyek yang diuji tidak akan diikutkan lagi dalam pengujian selanjutnya, dapat dikatakan obyek tersebut tidak dikembalikan.

Probabilitas kejadian suatu obyek dengan tanpa

dikembalikan

Distribusi Hipergeometrik

Distribusi Hipergeometrik• Percobaan hipergeometrik memiliki sifat-

sifat sebagai berikut:

– sebuah pengambilan acak dengan ukuran n dipilih tanpa pengembalian dari N obyek

– k dari N obyek dapat diklasifikasikan sebagai sukses dan N – k diklasifikasikan sebagai gagal.

6. Distribusi Hipergeometrik

Distribusi Hipergeometrikbeberapa ukuran statistik deskriptif distribusi hipergeometrik

Mean (Nilai Harapan):

( )xnM

E XN

Varians

2 1

1xnM M N n

N N N

Kemencengan (skewness)

2 2

21 3 2

2 2 1

2

N M N n N

nM N M N n N

Keruncingan (kurtosis)

2

2 4

2 2

1 1 6 1

2 3 2 3

3 1 2 6

2 3

N N N N N N n

nM N n n N M N n n N

N N n Nn n N n

n N n n N

Dimana M = k

Distribusi Hipergeometrik• Contoh Soal

– Suatu panitia 5 orang dipilih secara acak dari 3 kimiawan dan 5

fisikawan. Hitung distribusi probabilitas banyknya kimiawan yang duduk dalam

panitia.

• Jawaban:Misalkan: X= menyatakan banyaknya kimiawan dalam panitia

X={0,1,2,3}

• Distribusi probabilitasnya dinyatakan dengan rumus

3 5585

8 5 3 0 1 2 3x x

h(x; , , ) ; x , , ,

3 50 5 1

5685

0 0 8 5 3x h( ; , , )

3 51 4 15

5685

1 1 8 5 3x h( ; , , )

3 52 3 30

5685

2 2 8 5 3x h( ; , , )

3 53 2 10

5685

3 3 8 5 3x h( ; , , )

x 0 1 2 3

h(x;8,5,3) 156

1556

3056

1056

Distribusi Hipergeometrik

Contoh Soal:

Distribusi Hipergeometrik

Penyelesaian:

1919

Contoh Soal:

Suatu pabrik ban mempunyai data bahwa dari pengiriman

sebanyak 5000 ban ke sebuah toko tertentu terdapat 1000

cacat. Jika ada seseorang membeli 10 ban ini secara acak

dari toko tersebut, berapa probabilitasnya memuat tepat 3

yang cacat.

2020

Jawab:

Karena n=10 cukup kecil dibandingkan N=5000, maka

probabilitasnya dihampiri dengan binomial dengan p=

10/5000= 0,2 adalah probailitas mendapat satu ban. Jadi

probabilitas mendapat tepat 3 ban cacat:

3 2

0 0

3 5000 10 1000 3 10 0 2

10 0 2 10 0 2

0 8791 0 6778

0 2013

x x

h( ; , , ) b( ; , . )

b(x; , . ) b(x; , . )

, ,

,

Contoh Soal:

Contoh Soal:

Dari 6 kontraktor jalan , 3 dintaranya telah berpengalaman selama lima tahun atau lebih. Jika empat kontraktor dipanggil secara random dari enam kontraktor tersebut, berapa probabilitas bahwa dua kontraktor telah berpengalaman selama lima tahun atau lebih?

Contoh Soal:Seorang manajer personalia mengambil secara random 3 surat dari seluruh surat yang ditulis karyawan yang mengundurkan diri dari perusahaannya. Dengan anggapan bahwa 4 dari 10 karyawan tersebut berasal dari bagian keuangan, tentukan probabilitas bahwa dua dari 3 surat tersebut dari karyawan bagian keuangan!!!

Contoh Soal:

Penyelesaian: