View
255
Download
6
Category
Preview:
Citation preview
1
8 Numeričko rešavanje običnih diferencijalnih jednačina
Mali broj diferencijalnih jednačina, koje su od praktičnog interesa, se može rešiti analitički, tj. dobiti njeno rešenje u vidu analitički definisane funkcije y(x). Tako se problem sa početnim ili graničnim uslovima za jednačinu,
( ) )(,0)(,),(),(, )( bxaxyxyxyxF n <<=′K (8.1)
(Glava 3), koja važi u nekom konačnom intervalu ),( bax∈ , rešava približno ili numerički , pri čemu je rešenje u obliku tabele približnih vrednosti tražene funkcije: (xi, yi), i = 0,1,...,N. Slično, numeričko rešenje sistema on n dif. jednačina m – toga reda (Glava 5) se dobija u obliku tabele približnih vrednosti n funkcija )(,),(1 xyxy nK , u tačkama Nixi ,,1, K= . Kaže se da smo
izvršili diskretizaciju domena [a, b] nezavisno promenljive i najčešće su odabrane vrednosti nezavisno promenljive ekvidistantne:
bxax
NiN
abhihxx
N
i
==
=−
=+=
,
,...,2,1,)(
,
0
0 (8.2)
Na Sl. 8.1 su skicirani: tačno rešenje jednačine (8.1) , tj. neka funkcija )(xy ϕ= i numeričko rešenje, tj. niz tačaka (xi, yi), i = 0,1,...,N.
tačna vrednost, ( )ixϕ
Izračunata približna vrednost
ϕ(x)
xi x0
yi
y0
y
Slika 8.1 – Analitičko i numeričko rešenje dif. jednačine (8.1)
2
8.1 PREVOĐENJE ODJ VIŠEG REDA U SISTEM ODJ PRVOG REDA
Jednačina n- tog reda: (8.1), 1>n , se smenama:
)1(1
1
2
1
,
,
−
−
−
==
=
=
nn
n
n ydx
ydy
dx
dyy
yy
M (8.3)
prevodi u sledeći ekvivalentan sistem od n ODJ 1. reda:
[ ][ ]
[ ][ ]),,,,(),,,,(
),,,,(
),,,,(
),,,,(
2121
2111
21232
21121
nnnn
nnnn
n
n
yyyxfyyyxfdx
dy
yyyxfydx
dy
yyyxfydx
dy
yyyxfydx
dy
KK
K
M
K
K
==
==
==
==
−
−
(8.3a)
Prvih n-1 jednačina je dakle definisano samim smenama, dok se poslednja jednačina dobija, imajući u vidu da je:
( ))1()( −
==nnn y
dx
dy
dx
dy
rešavanjem polazne diferencijalne jednačine (8.1) po najvišem izvodu uz date smene:
),...,,,(),...,,,(0),...,,,( 21
smene)1()()(
nnnn yyyxfyyyxfyyyyxF =′=⇒=′ −
U slučaju da rešavamo početni problem,
3
)1(0
)1(
0
0
)(
)(
)(
−− =
′=′
=
nn yay
yay
yay
M
dobijenom sistemu jednačina (8.3) treba dodati početni uslove za uvedene funkcije:
)1(0
02
01
)(
)(
)(
−=
′=
=
nn yay
yay
yay
M (8.3b)
Primer: Diferencijalna jednačina 2. reda:
042 22 =+′−′′ yyyy
se smenama:
yyyy ′== 21 ,
prevodi u sistem:
1
21
22
222
21
2
4
2
4
y
yy
y
yyy
dx
dy
ydx
dy
−=
−′=′′=
=
U slučaju početnog problema: 00 )0(,)0( yyyy ′=′= ,dobijeni sistem se rešava sa početnim
uslovima: 0201 )0(,)0( yyyy ′==
8.2 OJLEROVA METODA ZA REŠAVANJE JEDNA ČINE PRVOG REDA
Tražimo funkciju y(x), definisanu u oblasti [a, b], kao rešenje problema sa početnim uslovom:
0)(,),( yayyxfy ==′ (8.4)
Pretpostavimo da je poznata vrednost funkcije u tački xi, )( ii xyy = . Kako odrediti vrednost
funkcije yi+1 u sledećoj tački? Ojlerova (Euler) metoda se zasniva na aproksimaciji prvoga izvoda količnikom priraštaja :
4
( ) ( )iiiii
ii
ii yxfxyh
yy
xx
yy,1
1
1 =′≈−=−− +
+
+
iz koje sledi rekurentna formula za dobijanje približnog rešenja: ( ) 1,...1,0,,1 −=+=+ Niyxhfyy iiii (8.5)
korak diskretizacije h (9.8) naziva se korak integracije ili integracioni korak.
PRIMER 8..1 Potrebno je rešiti numerički diferencijalnu jednačinu:
1)0(
10,25
=
≤≤−=
y
xydx
dy
a) Dobiti numeričko rešenje, deleći interval definisanosti funkcije (interval integracije) na N=10 podintervala (koraka) i uporediti ga sa tačnim rešenjem:
xexy 25)( −
=
b) Ponoviti proračun sa N = 15 integracionih koraka i uporediti ga sa tačnim rešenjem.
c) Ponoviti proračun i poređenje za N = 50
d) Povećavati broj integracionih koraka, dok maksimalno odstupanje približnog od tačnog rešenja na intervalu integracije ne postane manje od 0.01
Rešenje :
i 0 N..:=ε y yt−:=
yt
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
0.082
6.738·10 -3
5.531·10 -4
4.54·10 -5
3.727·10 -6
3.059·10 -7
2.511·10 -8
2.061·10 -9
1.692·10 -10
1.389·10 -11
=y
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
-1.5
2.25
-3.375
5.063
-7.594
11.391
-17.086
25.629
-38.443
57.665
=ytiφ x
i( ):=yt01:=Tacne vrednosti :
yi
yi 1−
h f xi 1−
yi 1−
,( )⋅+:=
xi
x0
i h⋅+:=i 1 N..:=
Integracija :
y0
1:=x0
a:=h 0.1=hb a−
N:=Korak integracije:N 10:=a)
φ x( ) e25− x:=Tacno resenje: b 1:=a 0:=f x y,( ) 25− y:=Podaci:
5
ε y yt−:=Greske:
yt
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
1
0.189
0.036
6.738·10 -3
1.273·10 -3
2.404·10 -4
4.54·10 -5
8.575·10 -6
1.62·10 -6
3.059·10 -7
5.778·10 -8
1.091·10 -8
2.061·10 -9
3.893·10 -10
7.353·10 -11
1.389·10 -11
=y
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
1
-0.667
0.444
-0.296
0.198
-0.132
0.088
-0.059
0.039
-0.026
0.017
-0.012
7.707·10 -3
-5.138·10 -3
3.425·10 -3
-2.284·10 -3
=ytiφ x
i( ):=Tacne vrednosti :
yi
yi 1−
h f xi 1−
yi 1−
,( )⋅+:=
xi
x0
i h⋅+:=i 1 N..:=Integracija :
h 0.067=hb a−
N:=N 15:=b)
Racunski proces je nestabilan! Numericko resenje osciluje oko tacnog,pri cemu odstupanje raste.
0 5 1050
0
50
100
εi
i
0 5 1050
0
50
100
y i
yti
i
i 0 N..:=
0 5 10 151
0
1
y i
yti
i
5 101
0
1
εi
i
Priblizno resenje osciluje oko tacnog, ali se greska po apsolutnoj vrednosti smanjuje.
Racunski proces je stabilan
Greska metode je velika max ε→( ) 0.856=
6
Priblizno resenje osciluje oko tacnog, ali se greska po apsolutnoj vrednosti smanjuje.
0 5 10 151
0
1
y i
yti
i
i 0 N..:=
ε y yt−:=Greske:
yt
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
1
0.189
0.036
6.738·10 -3
1.273·10 -3
2.404·10 -4
4.54·10 -5
8.575·10 -6
1.62·10 -6
3.059·10 -7
5.778·10 -8
1.091·10 -8
2.061·10 -9
3.893·10 -10
7.353·10 -11
1.389·10 -11
=y
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
1
-0.667
0.444
-0.296
0.198
-0.132
0.088
-0.059
0.039
-0.026
0.017
-0.012
7.707·10 -3
-5.138·10 -3
3.425·10 -3
-2.284·10 -3
=ytiφ x
i( ):=Tacne vrednosti:
yi
yi 1−
h f xi 1−
yi 1−
,( )⋅+:=
xi
x0
i h⋅+:=i 1 N..:=Integracija:
h 0.067=hb a−
N:=
N 15:=b)
Racunski proces je nestabilan! Numericko resenje osciluje oko tacnog,pri cemu odstupanje raste.
0 5 1050
0
50
100
εi
i
0 5 10
0
100
y i
yti
i
7
Racunski proces je stabilan, aline dovoljno tacan
Greska ima stalni znak i po apsolutnoj vrednostimonotono opada.
5 10 15 200.15
0.1
0.05
0
εi
i
Priblizno resenje ne osciluje
0 5 10 15 200
0.5
1
y i
yti
i
i 0 N..:=
max ε→( ) 0.118=ε y yt−:=yti
φ xi( ):=
Greske:
yi
yi 1−
h f xi 1−
yi 1−
,( )⋅+:=xi
x0
i h⋅+:=i 1 N..:=
Integracija :
h 0.02=hb a−
N:=Korak integracije:N 50:=c)
max ε→( ) 0.856=Greska metode je velika
Racunski proces je stabilan
5 101
0
1
εi
i
8
Racunski proces je stabilan, aline dovoljno tacan
Greska ima stalni znak i po apsolutnoj vrednostimonotono opada.
2 4 6 8 100.15
0.1
0.05
0
εi
i
Priblizno resenje ne osciluje
0 5 10 15 20 25 300
0.2
0.4
0.6
0.8
1
y i
yti
i
i 0 N..:=
max ε→( ) 0.118=ε y yt−:=yti
φ xi( ):=Greske:
yi
yi 1−
h f xi 1−
yi 1−
,( )⋅+:=xi
x0
i h⋅+:=i 1 N..:=
Integracija :
h 0.02=hb a−
N:=Korak integracije:N 50:=c)
d)
N 100:= Korak integracije: hb a−
N:= h 0.01=
Integracija :
i 1 N..:= xi
x0
i h⋅+:= yi
yi 1−
h f xi 1−
yi 1−
,( )⋅+:=Greske:
ytiφ x
i( ):= ε y yt−:= max ε→( ) 0.051=
Povecavati broj integracionih koraka dok se ne dobi ju prihvatljivirezultati: ε 0.01<
9
8.3 TAČNOST I STABILNOST NUMERI ČKE METODE
Lokalna greška i red numeri čke metode
Lokalna greška neke numeričke metode, 1+iE je greška na (i + 1)-vom integracionom
koraku (i = 0,1,...,N-1), tj. odstupanje tačnog priraštaja tražene funkcije kada se x promeni sa xi na xi+1, od priraštaja )( 1 ii yy −+ izračunatog posmatranom metodom. Njena apsolutna vrednost
opada sa smanjivanjem integracionog koraka i u opštem slučaju je proporcionalana nekom celobrojnom pozitivnom stepenu koraka, hn. Tako je ona, kada h teži nuli, beskonačno mala veličina reda hn i pišemo:
( )ni hOE =+1
Po dogovoru, kažemo da je metoda p - tog reda tačnosti, ako je njena lokalna greška reda hp+1:
( )1
1+
+ =p
i hOE (8.6)
Da bi izveli izraz za lokalnu grešku Ojlerove metode, pretpostavimo da je vrednost yi tačna.
Tačnu vrednost za yi+1 bi dobili integracijom diferencijalne jednačine (8.4) u granicama xi do xi+1:
( )( ) ( )( )∫∫∫ +++
+=⇒= +
111
,, 1
i
i
i
i
i
i
x
x
ii
x
x
y
y
dxxyxfyydxxyxfdy (8.7)
Ojlerov metod se bazira na aproksimaciji podintegralne funkcije Tajlorovim polinomom nultog reda - konstantom. Naime, funkcija f(x, y), tj. prvi izvod tražene funkcije y(x) se uzima konstantnim i jednakim f(xi, yi) u celom intervalu ],[ 1+ii xx , odakle sledi formula (8.5). Tačna
vrednost yi+1 bi bila:
( ) ( ) ( ) ( )1
ijeaproksimac greska
1
1
!1, ++ <ξ<
ξ′−++= ∫+ ii
x
x
iiiiti xxdxf
xxyxfyyi
i 4434421
odnosno,
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )ξ′′+=ξ′+=ξ′−++= +++ ∫+ yh
yfh
ydxf
xxyxhfyy ii
x
x
iiiiti
i
i22!1
,2
1
2
1
metodOjlerov
1
1
4434421
pa je lokalna greška metode jednaka:
( ) ( ) 1
2
111 ,2 ++++ <ξ<ξ′′=−= iiitii xxyh
yyE (8.8)
10
U skladu sa dogovorom (8.6), kažemo da je Ojlerova metoda prvog reda tačnosti. Na Sl. 8.2 data je grafička ilustracija lokalne greške Ojlerove metode. Metode prvog reda tačnosti su najmanje tačne metode i radi postizanja zahtevane tačnosti numeričkog rešenja ODJ, u nekim problemima neophodno je odabrati vrlo male integracione korake (Vidi primer 8.1).
nagib = f(xi,yi )
f(xi,yi)
1+iE
ii yy −+1
xi xi+1 xi+1
f(x,y(x))
yi+1
( )tiy 1+
1+iE
xi
yi
y
Slika 8.2 - Lokalna greška Ojlerove metode
Globalna greška i stabilnost numeri čke metode Pod globalnom greškom neke numeričke metode integracije dif. jednačine, podrazumeva se
odstupanje tačnog od numeričkog rešenja. Tako je globalna greška, εi+1 u nekoj tački xi+1 u intervalu integracije, jednaka:
( ) 11111 )( +++++ −=−=ε itiiii yyyxy (8.9)
Na Sl. 8.1, globalne greške u pojedinim tačkama su odstupanja krive (tačno rešenje dif. jednačine) od tačaka (približno rešenje).
Jasno je da ako lokalna greška metode raste iz koraka u korak, to će prouzrokovati povećanje globalne greške sa povećanjem x odnosno i, tj. propagaciju greške u toku računskog procesa. U skladu sa definicijom stabilnosti računskog procesa, takva numerička metoda je nestabilna. U problemu 8.1a) uočava se nestabilnost Ojlerove metode pri približnom rešavanju zadate ODJ, sa korakom integracije 0.1 .
Povećanje globalne greške tokom računskog procesa može biti prouzrokovano i akumulacijom grešaka zaokruživanja. Tako, sa smanjenjem integracionog koraka, radi povećanja tačnosti metode može doći do propagacije grešaka zaokruživanja (veliki broj računskih operacija) i povećanja nestabilnosti procesa. Propagacija grešaka zaokruživanja se može minimizovati ako se proračun izvodi sa velikim brojem značajnih cifara, što je slučaj pri korišćenju Mathcad-a, ili pri proračunu u dvostrukoj preciznosti u nekom programskom jeziku .
11
Propagacija greške u ra čunskom procesu Neka je globalna greška procene funkcije u tački xi jednaka: ( ) itii yy −=ε . Ova greška
prouzrokuje grešku procene funkcije u sledećoj tački xi+1 (pojava širenja ili propagacije greške), pošto vrednost funkcije koja se zamenjuje u formulu (8.5) nije tačna. Globalna greška metode u tački 1+ix , s obzirom da se 1+iy dobija kao zbir iy i procenjenog priraštaja jednaka je zbiru,
• globalne greške u tački ix , tj . greške vrednosti iy ,
• greške izračunatog priraštaja koja potiče od greške iy ,
• lokalne greške metode 1+iE ,
• greške zaokruživanja
Ako grešku zaokruživanja zanemarimo, globalnu grešku vrednosti 1+iy procenjene
Ojlerovom metodom, dobijamo kao:
1,...,1,0,1),(1 −=+ε+ε=ε ++ NiEiyxhfii ii
Za grešku priraštaja funkcije (srednji sabirak) uzećemo linearnu procenu:
[ ] iiiixyxhf yxy
fhyxhf
y iiiε
∂∂=ε
∂∂=ε ),(),(),(
pa je:
1,...,1,0,)],(1[ 11 −=+ε∂∂+=ε ++ NiEyxy
fh iiiii
odnosno:
1,...,1,0,)](1[ 11 −=+εω+=ε ++ NiExh iiii (8.10)
gde je funkcija )(xω definisana kao:
),()( yxy
fx
∂∂=ω (8.11)
Naprimer, za jednostavnu diferencijalnu jednačinu:
.)(,)0(, 0 constyyyy =λ=λ=′ (8.12)
čije je analitičko rešenje ,
xeyxy λ= 0)(
jednačina (8.10) sa izrazom (8.8) za lokalnu grešku metode daje :
12
[ ] )1,...,1,0(,2
1 1
greska lokalna
20
2
1 −=<ξ<λ+ελ+=ε +λξ
+ Nixxeyh
h iiii
43421
(8.13)
Stabilnost metode
Iz (8.10) je jasno da globalna greška približnog rešenja ODJ ne raste po apsolutnoj vrednosti u toku Ojlerovog postupka (i raste), ako su zadovoljeni uslovi:
• izraz )1( ω+ h je po apsolutnoj vrednosti manji ili najviše jednak jedinici,
)0(],,[,1)(1 0 >∈≤ω+ hxxxxh N
odnosno,
],[,0)(2 0 Nxxxxh ∈≤ω≤− (8.14a)
• lokalna greška (8.8), odnosno drugi izvod funkcije y(x), je konstantan ili monotono opada po apsolutnoj vrednosti:
],[,0)(
0 Nxxxdx
xyd∈<
′′ (8.14b)
Formulisali smo dakle dovoljan uslov stabilnosti Ojlerove metode. U specijalnom slučaju (8.12) navedeni uslovi su i neophodni i uslov (8.14a) glasi :
)0(02 >≤λ≤− hh (8.15)
pa je • za pozitivne vrednosti parametra λ, Ojlerova metoda nestabilna, sa bilo koliko malim
korakom integracije h (tada nije zadovoljen ni drugi uslov,8.14b),
• za negativne vrednosti λ (tada je zadovoljen drugi uslov), metoda će biti stabilna, ako i samo ako integracioni korak (h > 0) zadovoljava uslov (8.15) odnosno,
λ≤ 2
h (8.16)
Iz izraza (8.10), vidimo da se u slučaju nestabilnog procesa, ako su na intervalu integracije funkcije )( i )( xyx ′′ω ograničene, efekat nestabilnosti na globalnu grešku Ojlerove metode može učiniti proizvoljno malim, ako se uzme dovoljno mali korak integracije. PRIMER 8.2: U prethodnom primeru smo Ojlerovom metodom integrisali ODJ oblika (8.12) sa
λ = -25, sa početnim uslovom y0 = 1. Stabilnu (što ne znači i dovoljno tačnu) računsku proceduru obezbeđuje izbor veličine integracionog koraka:
08.0252 =≤h
13
što objašnjava nestabilnost proračuna sa N = 10, h = 0.1 (a). Nestabilan računski proces u (a) ima oscilatoran karakter. To se može objasniti na sledeći način. Za datu ODJ, Ojlerova metoda (8.5), za približnu vrednost funkcije u tački xi+1 daje:
( ) 1,...,1,0,1),(1 −=λ+=λ+=+=+ Niyhyhyyxhfyy iiiiiii
Očigledno je da rešenje osciluje, tj. naizmenično menja znak (a time i globalna greška) u toku nestabilnog proračuna (a), jer je:
01)1( <−<λ+ h
Stabilan računski proces može da ima oscilatoran ili monoton karakter. On je oscilatoran, ako je:
λ
≤<λ
⇒<λ+≤− 210)1(1 hh
odnosno u posmatranom primeru: 0.04 < h ≤ 0.08, što smo imali za N = 15 (b). Stabilan računski proces ima monoton karakter (vrednosti yi ne menjaju znak),za:
λ
<<⇒>λ>⇒−>λ−−>⇒<λ+< 10011101)1(0 hhhh
što smo imali u slučajevima (c) i (d).
8.4 MODIFIKOVANE OJLEROVE METODE
Poznate modifikacije Ojlerove metode, sa ciljem povećanja tačnosti su:
• Ojlerova metoda srednje tačke
• Ojlerova metoda srednjeg nagiba
i obe su drugog reda, tj. lokalna greška im je proporcionalna 3. stepenu integracionog koraka.
Metoda srednje ta čke
Geometrijski interpretirano, kod originalne Ojlerove metode se približna vrednost funkcije yi+1 u tački xi+1 dobija kretanjem iz tačke (xi, yi), po tangenti krive y(x), povučene u tački xi (prva ilustracija na Sl. 8.2). Kod metode srednje tačke se pomeranje iz xi za korak h vrši duž prave s nagibom izračunatim, kao nagib tangente na krivu y(x) u srednjoj tački xi+0.5h posmatranog intervala ],[ 1+ii xx (Sl. 8.3), čime se povećava tačnost procenjenog priraštaja (yi+1 - yi). Rezultat je
formula:
)(
1,...,1,0),5.0,5.0(
00
1
xyy
Nihfyhxfhyy iiiii
=
−=++⋅+=+ (8.17)
14
Slika 9.3 Ojlerova metoda srednje tačke
Slika 8.3 Ojlerova metoda srednje tačke
Metoda srednjeg nagiba
Kod ove metode se pomeranje iz tačke (xi, yi) vrši duž prave, čiji je nagib izračunat kao srednji nagib tangenti na krivu y(x) u početnoj i krajnjoj ta čki posmatranog intervala ],[ 1+ii xx :
[ ])(
1,,1,0,),(),(2
00
1
xyy
Nihfyhxfyxfh
yy iiiiiii
=
−=++++=+ K (8.18)
x
y
x i+1 x i
y i+1
y i
k1
k2
k2
ks
( )( )2
,
,
21
2
1
kkk
hfyhxfk
fyxfk
s
iii
iii
+=
++=
==
Slika 8.4 - Ojlerova metoda srednjeg nagiba 8.5 RUNGE KUTA METODA 4. REDA
Zbog svoje tačnosti i relativne jednostavnosti, ovo je najverovatnije najšire korišćena metoda za numeričku integraciju ODJ 1. reda. Formule su:
y
x
k2
yi+1
xi+1 xi xi +h/2
yi
k1
k2
k1,k2- nagibi pravih
( )( )iii
iii
hfyhxfk
fyxfk
5.0,5.0
,
2
1
++=
==
15
( )
),(
)2,2(
)2,2(
),(
1,...,1,0,226
1
34
23
12
1
43211
KyhxhfK
KyhxhfK
KyhxhfK
yxhfK
NiKKKKyy
ii
ii
ii
ii
ii
++=
++=
++=
=
−=++++=+
(8.19)
Geometrijska interpretacija je sledeća. Tačka (xi+1, yi+1) se dobija pomeranjem iz tačke (xi, yi) po pravoj , čiji je nagib izračunat kao srednja vrednost 4 nagiba, pri čemu su 2. i 3. nagib uzeti sa dvostrukom težinom u odnosu na 1. nagib (nagib tangente u početnoj tački) i 4. nagib (nagib tangente u krajnjoj tački). Naime, u formulama (8.19), prepoznajemo:
1. f (xi, yi) nagib u početnoj tački
2. f (xi+h/2, yi+K1/2) nagib u sred.tački dobijenoj iz poč.tačke nagibom 1
3. f (xi+h/2, yi+K2/2) nagib u sred.tački dobijenoj iz poč.tačke nagibom 2
4. f (xi+h, yi+K3) nagib u krajnjoj tački dobijenoj iz poč.tačke, nagibom 3
PRIMER 8.3 Diferencijalna jednačina koja opisuje promenu koncentracije reaktanta u reakciji prvog reda BA → koja se odigrava u idealno mešanom i idealno izolovanom (adijabatski režim) šaržnom reaktoru glasi:
)()(
)0(,
00
0)(0
AAp
RA
AAACTR
E
A
CCc
HTCT
CCCekdt
dCA
−ρ∆+=
=−= −
gde su:
00, ACT - početna temperatura i koncentracija
k0, E - predeksponencijalni faktor i energija aktivacije u Arenijusovom izrazu
R - univerzalna gasna konstanta
RH∆ - toplota reakcije
cp, ρ - specifična toplota i gustina reakcione smeše
Potrebno je za date podatke (Praktkum) odrediti koncentraciju reaktanta nakon 2500s od startovanja reaktora,
a) Ojlerovom metodom s različitim integracionim koracima
b) Runge - Kuta (Runge- Kutta) metodom 4. reda sa različitiom integracionim koracima i uporediti rezultate
Rešenje: (Praktikum, XIII-3)
16
8.6 KLASIFIKACIJA NUMERI ČKIH METODA ZA INTEGRACIJU ODJ 1. REDA
Jedna podela metoda je na:
• jednokoračne, koje za izračunavanje vrednosti funkcije yi+1 u narednoj tački koriste samo vrednost funkcije i izvoda u prethodnoj tački (yi, fi ) To su prethodno izložene Ojlerove metode i metoda Runge-Kuta.
• višekoračne, koje za izračunavanje yi+1 pored yi i fi koriste i vrednosti funkcije i izvoda u nizu prethodnih tačaka: yi-1, fi-1 = f(xi-1, yi-1), yi-2, fi-2 = f(xi-2, yi-2), ...
Druga podela je na:
• eksplicitne, kod kojih je formula za izračunavanje vrednosti funkcije u narednoj tački, yi+1 ekplicitno izražena po yi+1. Izložene Ojlerove metode i metoda Runge – Kuta su eksplicitne jednokoračne metode
• implicitne , kod kojih je formula za izračunavanje yi+1 implicitna pa se ono računa iterativno, postupkom uzastopnih zamena. Implicitne metode su stabilnije u odnosu na eksplicitne istoga reda tačnosti.
8.7 IMPLICITNA OJLEROVA METODA
Implicitne jednokoračne metode se baziraju se na ideji da se pri aproksimaciji izvoda f(x,y)
funkcije y(x), radi procenjivanja vrednosti funkcije u narednoj tački, yi+1 uklju či i tačka xi+1 u kojoj je vrednost funkcije f(xi+1, y(xi+1)) nepoznata i da se onda zahvaljujući iterativnom određivanju yi+1 iz tako dobijene implicitne formule (metod uzastopnih zamena) poveća stabilnost računskog procesa. Implicitne metode sadrže dve formule:
• prediktor formulu, koja služi za određivanje prve procene za yi+1, pomoću neke eksplicitne jednokoračne metode
• korektor formulu, koja je implicitna i čijim se iterativnim koriš ćenjem (metod uzastopnih zamena) dobija yi+1 sa unapred zadatom preciznošću.
• izlazni kriterijum za okončanje iteracionog procesa
Tako se implicitnom metodom srednjeg nagiba, koja je, kao i odgovarajuća eksplicitna metoda, drugog reda, vrednost funkcije yi+1 računa kao:
( ))(
1,...,1,0,),(),(2
00
111
xyy
Niyxfyxfh
yy iiiiii
=
−=++= +++
(8.20)
a prediktor i korektor formule i izlazni kriterijum su:
17
prediktor:
),()0(1 iiii yxhfyy +=+ (8.21a)
korektor:
[ ] 1...,1,0;,...1,0),(),(2
)(11
)1(1 −==++= ++++ Nikyxfyxf
hyy k
iiiiik
i (8.21b)
izlazni kriterijum:
ε<− +++
)(1
)1(1
ki
ki yy (8.21c)
Može se pokazati da je dovoljan uslov stabilnosti implicitne Ojlerove metode manje restriktivan nego uslov stabilnosti Ojlerove eksplicitne metode, jer je umsto (8.14a) dovoljno da bude ispunjeno:
],[x x 0),()( 0 Nxyxy
fx ∈≤
∂∂=ω (8.22)
PRIMER 8.4 Problem iz prethodnog zadatka rešiti primenom Ojlerove implicitne metode
Rešenje: (Praktikum, XIII-4)
8.8 VIŠEKORAČNE EKSPLICITNE METODE
Približna vrednost funkcije, koja predstavlja tačno rešenje diferencijalne jednačine:
00)(,),( yxyyxfdx
dy== (8.23)
u tački xi+1 može da se odredi približnom integracijom jednačine u granicama xi-k do xi+1 gde je k ≥ 0 :
( )( )dxxyxfyyi
ki
x
x
kii ∫+−
=− −+
1
,1
Pri tom ćemo podintegralnu funkciju aproksimirati pomoću II Njutnovog interpolacionog polinoma r-tog stepena, sa čvorovima interpolacije: xi, xi-1 ,...,xi-r. Dakle, on ne prolazi kroz (nepoznatu) tačku (xi+1, yi+1), da bi rezultujuća formula bila ekplicitna. Tako se višekoračne eksplicitne metode izvode iz jednačine:
18
( ) ( ) ( )11
1
1 ,1,, ++
−
−+ ≠−
=ααα+= ∫ iiri
k
rkii yxfPh
xxdPhyy (8.24)
Uslov ( ) ( )11,1 ++≠=α iir yxfP , znači da gornja granica integracije xi+1(α = 1) nije
interpolacioni čvor pa je interpolacioni polinom )(αrP na desnom kraju intervala integracije "slobodan" . Kaže se da je rezultujuća integraciona formula otvorenog tipa, za razliku od formula zatvorenog tipa, koje služe za približno računanje određenih integrala ( napr. trapezna i Simpsonova formula).
Za različite izbore k i r , izvode se različite formule. Tako na primer, za r = 2 interpolacioni polinom izgleda:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2112
2 2!2
1
!2
1−−−
+−+αα+−α+=∇+αα+∇α+=α iiiiiiiii fffffffffP
i za odabrano k = 3, izvodi se sledeća formula, 4 - tog reda:
( ) ( )52131 ,1,...,4,3,22
3
4hOENifffhyy iiiii =−=+−+= −−−+ (8.25)
Ona očigledno zahteva prethodno izračunavanje prve tri vrednosti funkcije, nekom jednokoračnom metodom. Što se tačnosti eksplicitnih višekoračnih metoda tiče, može se, integracijom grešaka interpolacije, izvesti:
( )( )
=+
+
+neparno za,
parno za ,3
2
1rhO
rhOE
r
r
i (8.26)
8.9 VIŠEKORAČNE IMPLICITNE METODE
Izvode se analogno eksplicitnim višekoračnim metodama, s tim što se za aproksimaciju podintegralne funkcije f(x,y(x)) koristi interpolacioni polinom koji prolazi i kroz tačku (xi+1, yi+1):
( ) ( ) ( )1111 ,,1
+++−+ =+= ∫+−
iiir
x
x
rkii yxfxPdxxPyyi
ki
Rezultat je implicitna formula (korektor formula). Kao prediktor formula koristi se neka višekoračna eksplicitna metoda.
Milne – ova metoda
To je metoda 4. reda i jedna je od najpoznatijih višekoračnih implicitnih metoda. Njena prediktor formula je izvedena na opisani način, sa k = 3, r = 2, a korektor formula sa k = 1, r =2 :
prediktor :
19
1,...,4,3),22(3
4213
)0(1 −=+−+= −−−+ Nifff
hyy iiiii (8.27a)
korektor : ,...2,1,0,)4(3 1
)(11
)1(1 =+++= −+−+
+ kfffh
yy iik
iik
i (8.27b)
Za dobijanje prve tri ta čke numeričkog rešenja, koristi se neka jednokoračna metoda, najbolje, istog reda tačnosti. To je metoda Runge-Kuta 4. reda (8.19). Ako se Milne-ova implicitna višekoračna metoda uporedi sa eksplicitnom Runge-Kuta metodom, može se, imajući u vidu efekat korektora, konstatovati:
• obe metode imaju lokalne greške istog reda, O(h5)
• Milneova metoda je stabilnija , tj. otpornija na propagaciju grešaka u toku računskog procesa, pa u opštem slučaju ima manju globalnu grešku.
PRIMER 8.5 Problem formulisan u Primeru 8.3 rešiti Milne-ovom metodom.
Rešenje: (Praktikum, XIII-5)
8.10 NUMERIČKA INTEGRACIJA SISTEMA ODJ PRVOG REDA
Početni problem za sistem od n ODJ 1. reda se može formulisatu kao:
0,0
21
)(
,...,2,1,),,,,(
ii
nii
yxy
niyyyxfdx
dy
=
== K
ili u vektorskom obliku:
00)(,),( yyyfy
== xxdx
d (8.28)
Numeričko rešavanje problema zahteva diskretizaciju domena nezavisno promenljive:
x0 ≤ x ≤ xN , xk = x0 + kh , k = 0,1,..., N (8.29a)
yi,k = yi(xk), i = 1,2,...,n , k = 0,1,..., N (8.29b)
Dakle, za označavanje različitih funkcija koristićemo indeks i, a za označavanje diskretnih vrednosti x i odgovarajućih vrednosti funkcija, indeks k. Za numeričku integraciju sistema (8.28) koriste se metode numeričke integracije jedne ODJ 1. reda, pri čemu se primenjuju simultano na sve jednačine u sistemu. Opisaćemo primenu Ojlerove metode i metode Runge-Kuta.
20
Primena Ojlerove metode
( ) 1,...,1,0,,...,2,1,)(),...,(),(,)()( 211 −==+=+ Nknixyxyxyxhfxyxy knkkkikiki (8.30a)
ili u vektorskom obliku:
1,..,1,0),,(1 −=+=+ Nkxh kkkk yfyy (8.30b)
Primena Metode Runge - Kutta 4. reda
1,,0,...,2,1)22(6
1)()( 43211 −==++++=+ NkniKKKKxyxy iiiikiki K (8.31)
gde su:
( )
( ) ,...,2,1,)(,,)(,
,2
)(,,2
)(,2
,2
)(,,2
)(,2
,)(),...,(
31314
21213
11112
11
niKxyKxyhxhfK
Kxy
Kxy
hxhfK
Kxy
Kxy
hxhfK
x yx, yx = hfK
nknkkii
nknkkii
nknkkii
knkkii
=+++=
+++=
+++=
KK
KK
KK
(8.31a)
ili u vektorskom obliku:
1,...,1,0),22(6
1 )(4
)(3
)(2
)(11 −=++++=+ Nkkkkk
kk KKKKyy (8.32)
gde su:
,=
2,
2=
2+,
2+=
),(
)(3
)(4
)(2)(
3
)(1)(
2
)(1
)( kk
k
k
kk
k
kk
kkk
hxh
hxh
hxh
xh
KyfK
KyfK
KyfK
yfK
++
++
=
(8.32a)
21
8.11 NUMERIČKA INTEGRACIJA ODJ U MATHCAD-U Integracija ODJ 1. reda
Za približno rešavanje ODJ prvog reda (8.4) ili uopšte rešavanje jedne ODJ višeg reda (za detalje videti Help System Mathcad-a), namenjen je Odesolve block:
• prvi deo bloka počinje rečju Given (analogija sa Solve block-om) iza koje se daje formulacija problema (diferencijalna jednačina i početni uslov), u obliku vrlo sličnom izvornom (8.4)
• drugi deo bloka je poziv funkcije Odesolve, koja definiše funkciju y(x) kao interpolacionu funkciju za izračunatu tabelu - numeričko rešenje.
Značenja argumenata (x, xmax, nk) funkcije Odesolve su:
• x - nezavisno promenljiva
• xmax - gornja granica intervala integracije
• nk - broj integracionih koraka, N (neobavezan)
Ako se nk izostavi iz pozivne liste u okviru funkcije se automatski bira integracioni korak da se zadovolji tačnost sa kriterijumom definisanim sistemskim parametrom TOL.
Funkcija se bazira na Runge-Kuta metodi 4. reda sa konstantnim integracionim korakom duž intervala integracije. Postoji mogućnost izbora (desnim klikom na Odesolve) iste metode uz promenljivi korak , duž intervala integracije sa ciljem dostizanja zadovoljavajuće tačnosti.
Pozivom funkcije y(x), čije ime je definisano u formulaciji problema, može se dobiti vrednost funkcije, koja predstavlja rešenje date ODJ, u bilo kojoj ta čki iz intervala ]max.[ xa , (a = x0) .
PRIMER 8.6 Problem formulisan u zadatku 8.3 rešiti pomoću Odesolve block-a.
Rešenje: (Praktikum, XIII-6)
Početni problem za sistem ODJ 1. reda Od više funkcija kojima raspolaže Mathcad za numeričko rešavanje sistema ODJ (8.28),
odabraćemo dve:
• rkfixed , koja se bazira na Runge-Kuta metodi, sa konstantnim integracionim korakom u celom intervalu integracije ],[ 0 Nxx (8.31),
• Rkadapt, koja za razliku od rkfixed menja korak duž intervala integracije da bi se zadovoljio kriterijum ta čnosti, definisan sistemskim parametrom TOL.
Obe funkcije imaju identičnu listu argumenata: y, x0, xmax, nt, D:
• y - vektor početnih vrednosti funkcija
• [x0, xmax] interval integracije (8.29a)
22
• nt - broj izračunatih vrednosti funkcija traženih 1,...,1,0),( −= nixyi , koje korisnik dobija
• D - prethodno definisana vektorska funkcija f(x,y) (8.28)
Funkcije vraćaju matricu dimenzija [(nt+1)× (nt+1)] čija prva kolona sadrži levu granicu x0 i nt ekvidistantnih vrednosti nezavisno promenljive, a ostale kolone odgovarajuće vrednosti traženih funkcija 1,...,1,0),( −= nixyi .
PRIMER 8.7 Diferencijalne jednačine koje opisuju promene koncentracija učesnika u reakcijama prvog reda:
12
10 05.0,1.0,
10−− ==→→ skskCBA
kk
sa vremenom, u šaržnom, idealno mešanom reaktoru, su:
0)0()0(,1)0( 3
1
10
0
===
=
−=
−=
CBA
BC
BAB
AA
CCmkmolC
Ckdt
dC
CkCkdt
dC
Ckdt
dC
a) Pomoću funkcije rkfixed naći numeričko rešenje datog sistema u vremenskom intervalu (s) ]60,0[ , sa N = 20 integracionih koraka i krajnje koncentracije komponenata.
b) Proveriti da li je odabrani broj koraka dovoljno veliki da obezbedi tačnost krajnjih koncentracija od 4 sigurne cifre.
c) Isti problem rešiti pomoću funkcije Rkadapt, pri čemu se traže koncentracije u 5 ekvidistantnih vremenskih momenata u datom intervalu. Uporediti rešenja.
Rešenje: (Prakt., XIV-2)
Funkcije rkfixed i Rkadapt mogu da se koriste za integraciju jedne ODJ 1. reda, pri čemu se ona posmatra kao specijalan slučaj sistema ODJ.
PRIMER 8.8 Problem definisan u Primeru 8.3, rešiti pomoću funkcija rkfixed i Rkadapt
Rešenje: (Prakt., XIV-3)
8.12 GRANIČNI PROBLEM ZA ODJ 2. REDA
Za teoriju hemijskih reaktora je od posebnog interesa rešavanje ODJ 2. reda, čiji je opšti oblik:
y′′ + g2(x, y)y′ + g1(x, y) y = g0(x), a ≤ x ≤ b (8.32) sa razdvojenim graničnim uslovima, koji u najopštijem slučaju (Robinov problem) glase:
Ay(a) + B y′ (a) = c (8.33a)
23
A1y(b) + B1 y′ (b) = c1 (8.33b)
Specijalan slučaj ODJ (8.32) je linerna ODJ:
y′′ + g2(x)y′ + g1(x)y = g0(x) (8.32a)
Specijalni slučajevi problema (graničnih uslova) su:
• Dirihleov (Dirichlet) problem (A = A1 = 1, B = B1 = 0)
y(a) = c (8.34a)
y(b) = c1 (8.34b)
• Nojmanov (Neuman) problem (A = A1 = 0, B = B1 = 1)
y′(a) = c (8.35a)
y′(b) = c1 (8.35b)
Treba reći, da u opštem slučaju, tip graničnog uslova na levoj granici ne mora da bude isti kao tip uslova na drugoj granici. Recimo na levoj granici možemo imati Dirihleov uslov (8.34a), a na desnoj Nojmanov (8.35b)
8.13 METOD PROBE I GREŠKE (shooting )
Dirihleov problem (8.34a,b)
Uzmimo kao primer Dirihleov problem. Uz diskretizaciju domena nezavisno promenljive:
ihxxbxaxn
abh in +===
−= 00 ,,,
diferencijalna jednačina (8.32) se rešava numeričkom integracijom ekvivalentnog sistema ODJ prvog reda :
( )
( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ?
,,
,
002
01
21211102
2121
=′=
=
−−=
′===
xyxy
cxy
yyxgyyxgxgdx
dy
yyyyydx
dy
(8.36)
Međutim, za otpočinjanje numeričke integracije sistema nedostaje vrednost prvog izvoda tražene funkcije u tački x0 = a. Probajući sa različitim početnim vrednostima za )(xy′ , dobijali bi različite
24
vrednosti funkcije )( nn xyy = na kraju intervala integracije i tražimo onu vrednost )( 0xy′ za koju
se za yn dobija zadata vrednost c1, tj. dok se ne zadovolji uslov (8.34b) na desnoj granici x = b:
1. k = 0, usvaja se polazna procena )(0)( kxy′
2. Integriše se sistem ODJ 1. reda:
( ) ( ) ( )( )( ) ( )( )kxyxy
cxy
yyxgyyxgxgdx
dy
ydx
dy
002
01
21211102
21
,,
′=
=
−−=
=
3. Ako je zadovoljen uslov ε<− 1)()( cxy k
n , kraj postupka. Inače,
4. k = k+1, usvaja se nova procena )(0)( kxy′ . Povratak na 2.
Kojim algoritmom da korigujemo procenu )(0)( kxy′ ? Iz prethodne analize sledi da se problem
može postaviti kao problem traženja korena jednačine:
F(y′ (x0)) = y(xn) - c1 = 0 (8.37)
odnosno nule funkcije F(y′ (x0)), koja nije definisana analitički nego se njena vrednost za neku vrednost nezavisno promenljive y′ (x0), dobija numeričkom integracijom sistema (8.36) za tu vrednost y′ (x0) (vidi Sl. 8.5).
b = xn a = x0
nagib y′(a)(k)
c1
F(k)
y Numeričko rešenje u k-toj iteraciji
y(b)(k)
Rešenje, koje zadovoljava uslov y(b) = c1
Slika 8.5 - Grafička ilustracija metode probe i greške za rešavanje Dirihleovog
problema
Tako, ako odaberemo metod sekante, korigovanu procenu početne vrednosti prvog izvoda tražene funkcije dobijamo formulom:
25
K,2,1,)(
])()([)()(
1)()(
)1()(
)1(0
)(0
)()(
0)1(
0
=−=
−′−′
−′=′−
−+
kcxyF
FF
xyxyFxyxy
kn
k
kk
kkkkk
(8.38)
Nojmanov problem (9.33a,b)
Pošto je na levoj granici intervala integracije poznata vrednost izvoda, ali ne i vrednost same funkcije koju tražimo, problem rešavamo kao problem traženja korena jednačine:
( ) 0)()( 10 =−′= cxyxyF n (8.39)
metodom sekante.
Robinov problem (8.33a,b)
Problem se može rešavati kao problem rešavanja jednačine:
F(y(x0)) = A1y(xn) + B1y′(xn) - c1 = 0 (8.40)
Iz procene početne vrednosti funkcije y(x0)(k), dobijene metodom sekante, početnu vrednost
njenog prvog izvoda dobijamo iz graničnog uslova (8.33a):
])([1
)( )(0
)(0
kk xAycB
xy −=′
Alternativno, ako se kao nezavisno promenljiva uzme početna vrednost prvog izvoda y′(x0)(k), iz
istog graničnog uslova se dobija procena početne vrednosti funkcije y(x0)(k).
PRIMER 8.9 U tankom filmu tečnosti, debljine L, koji je sa jedne strane (x = 0) u kontaktu sa turbulentnom masom fluida, a sa druge (x = 1), sa čvrstim zidom, odvija se reakcija:
BAk→
i bezdimenzioni koncentracijski profil y(x) reaktanta A u filmu, opisan je diferencijalnom jednačinom:
0)1(
1)0(
05.022
2
=′
=
=Φ−
y
y
ydx
yd
gde je bezdimenzioni parametar2Φ (Tilov modul), definisan kao:
26
D
kL22 =Φ
k - konstanta brzine reakcije
D - koeficijent difuzije reaktanta kroz film tečnosti
Izračunati koncentracijski profil reaktanta u filmu za 8.02 =Φ
Rešenje: (Mathcad)
PRIMER 8.10 Bezdimenzioni matematički model reakcije:
BAk→
n - tog reda, u poroznom zrnu katalizatora oblika pločice, debljine L je:
zrna) inaspovrspoljnja(11
:1
)zrna simetrijeravan (0:0
10,022
2
(−=−=
==
≤≤=Φ−
ydx
dy
Bix
dx
dyx
xydx
yd n
gde su 2Φ i Bi bezdimenzione grupe (Tilov modul i Bajotov broj). Izračunati koncentracijski profil u zrnu za: 5,5.0,2 ===Φ Bin
Rešenje: (Mathcad)
Mathcad funkcije za realizaciju shooting metoda
U Mathcad-u postoje dva postupka za shooting metode:
• Pomoću Odesolve bloka
• Korišćenjem funkcije sbval
Shooting pomo ću Odesolve bloka
Primena Odeslove bloka je ograničena na Dirihleove i Nojmanove granične uslove. Odesolve blok za rešavanje problema u primeru 8.10 za vrlo velike Bajotove brojeve, kada se uslov na spoljnoj površini zrna redukuje u Dirihleov: 1:1 == yx , izgleda:
Given
2xy x( )
d
d
2Φ2
y x( )n⋅− 0
y' 0( ) 0 ( ' se realizuje sa Ctrl+F7)
y 1( ) 1
y Odesolve x 1,( ):=
27
Primena funkcije sbval
Nedostajuća početna vrednost funkcije ili prvog izvoda za integraciju sistema dif. jednačina 1. reda
( )
( ) ( ) ( ) 21211102
2121
,,
,
yyxgyyxgxgdx
dy
yyyyydx
dy
−−=
′===
ekvivalentnog diferencijalnoj jednačini 2. reda (8.32), pri kojoj je zadovoljen zadati granični uslov na drugoj granici, dobija se pozivanjem funkcije sbval(u, x1, x2, D, load, score) čiji argumenti su:
• u - vektor, čiji su elementi: početna vrednost tražene finkcije i njenog izvoda. Jedna od njih je poznata (zadata), a za drugu je neophodno dati polaznu procenu
• x1, x2 – donja i gornja granica intervala nezavisno promenljive
• D – vektorska funkcija čiji su elementi desne strane sistema sistema ODJ koji se integriše (8.36)
• load(a, u) – vektorska funkcija, čiji su elementi redom:
- u0 i zadata početna vrednost izvoda , ako se pogađa početna vrednost funkcije, ili
- zadata početna vrednost funkcije i u1, ako se pogađa početna vrednost izvoda
pri čemu u0 ili u1 (polazne procene nedostajuće početne vrednosti) moraju prethodno biti definisani.
• score(b, u) – funkcija kojom se definiše uslov na drugoj granici
Jasno je da pozivu sbval funkcije moraju da prethode definicije funkcija load i score kao i definicija polazne procene funkcije u0, ili izvoda u1. Funkcija sbval daje vektor sa jednim elementom, koji predstavlja traženu početnu vrednost funkcije ili izvoda.
PRIMER 8.11 Problem iz prethodnog primera za vrlo veliki Bajotov broj rešiti,
a) Pomoću Odesolve bloka,
b) POmoću sbval funkcije
(Rešenje: Praktikum XV-1)
PRIMER 8.12 Problem iz primera 8.10 rešiti za Bi = 5.
(Rešenje: Praktikum, XV-2)
Problem singulariteta na granici
U diferencijalnoj jednačini koja opisuje koncentracijski profil rekatanta A u poroznom katalitičkom zrnu sfernog oblika, u kome se odvija reakcija →A proizvodi n-tog reda ,
28
zrna) inaspovrspoljnja(11
:1
)zrnacentar (0:0
10,02 2
2
2
(−=−=
==
≤≤=Φ−+
ydx
dy
Bix
dx
dyx
xydx
dy
xdx
yd n
funkcija
x
yxg2
),(2 =
nije definisana na levoj granici (singularitet). Kako se rešava problem singulariteta na granici, ilustruju sledeći primeri.
PRIMER 8.13 U poroznom katalitičkom zrnu sfernog oblika, odigrava se reakcija n-tog reda: →A proizvodi.
a) Izračunati i nacrtati koncentracijski profil reaktanta za 5Bi,5.0,2 ===Φ n ,
b) Izračunati faktor efektivnosti procesa u zrnu, η
(Rešenje Praktikum, XVI-1)
PRIMER 8.14 Diferencijalna jednačina :
0)1(
0)0('
12
2
=
=
δ−=+
y
y
edx
dy
xdx
yd y
predstavlja bezdimenzioni matematički model eksplozije dinamita u obliku štapa. Rešti je sa 2=δ .
(Rešenje: Praktikum, XVI-2)
8.14 LINEARNA ODJ. METODA SUPERPOZICIJE
Može se pokazati, da ako je diferencijalna jednačina linearna (8.32), algebarska jednačina koja se rešava metodom probe i greške (8.37, 8.39 ili 8.40) je takođe linearna, pa se njeno rešenje dobija u prvoj iteraciji metode sekante, iz dve polazne procene, odnosno rešenje dif. jednačine se dobija u trećoj integraciji ekvivalentnog sistema od 2 ODJ 1. reda.
Metoda superpozicije
Za linearnu diferencijalnu jednačinu važi princip superpozicije: linearna kombinacija dva partikularna rešenja,
( ) ( ) ( )xyxyxy 2211 λ+λ= (8.41)
29
je takođe partikularno rešenje. Tako se rešenje Robinovog problema može dobiti na sledeći način:
1. Sa polaznom procenom y′1(a) dobijamo numerički prvo partikularno rešenje y1 u obliku dva niza: y1=( y1,i , y′1,i )i = 0,n
2. Sa polaznom procenom y′2(a) dobijamo numerički drugo partikularno rešenje y2=(y2,i , y′2,i)i = 0,n
3. Iz uslova da traženo rešenje y = λ1y1 + λ2y2 zadovolji granične uslove (8.33a,b), tj. iz sistema od dve linearne jednačine:
( ) ( )( ) ( ) 1,22,111,22,111
0,220,110,220.11
cyyByyA
cyyByyA
nnnn =′λ+′λ+λ+λ
=′λ+′λ+λ+λ
dobijamo parametre λ1 i λ2
4. Konačno, rešenje dobijamo superpozicijom:
niyyy iii ,...,1,0,,22,11 =λ+λ=
PRIMER 8.15 Za reakciju prvog reda u tankom filmu tečnosti (Primer 8./9), koncentracijski profil reaktanta je opisan linearnom ODJ 2. reda:
0)1(
1)0(
022
2
=′
=
=Φ−
y
y
ydx
yd
Izračunati za 8.02 =Φ , koncentracijski profil,
a) metodom probe i greške
b) metodom superpozicije
Rešenje: (Mathcad)
PRIMER 8.16 Za reakciju 1. reda u poroznoj pločici katalizatora (Primer 8.10), matematički model glasi:
11
:1
0:0
10,022
2
−=−=
==
≤≤=Φ−
ydx
dy
Bix
dx
dyx
xydx
yd
Izračunati koncentracijski profil u zrnu za: 5,2 ==Φ Bi
a) metodom probe i greške
b) metodom superpozicije
Rešenje: (Mathcad)
30
8.15 LINEARNA ODJ. METODA KONA ČNIH RAZLIKA
Alternativan način približnog rešavanja graničnog problema za linearnu ODJ (8.32a) je metoda konačnih razlika, koja se zasniva na aproksimaciji izvoda konačnim razlikama . Izvodi koji figurišu u dif. jednačini (8.28a) aproksimiraju se u unutrašnjim tačkama xi, i=1,2,... n-1 diskretizovanog domena nezavisno promenljive, konačnim razlikama:
( ) ( )( ) ( )2
2111
2
2
2111
,2
,22
hOEh
yyy
h
hyhy
h
yxy
hOEh
yy
h
yyxy
iiiiiii
iiiii
=+−=∆−∆=∆≈′′
=−=∆+∆≈′
−+−
−+−
(8.42)
(greška aproksimacija je reda h2) čime se diferencijalna jednačina zamenjuje sledećim sistemom od (n -1) linearne algebarske jednačine sa, u uslučaju Robinovog problema, ukupno (n +1) nepoznatih: yi, i = 0,1,..., n,
1,...,2,1,)()()(2
0111
2211 −==+
−+
+− −+−+ nixgyxgh
yyxg
h
yyyiii
iii
iii (8.43)
Nedostajuće 2 jednačine su granični uslovi (8.33a,b) u kojima su prvi izvodi aproksimirani konačnim razlikama unapred ili u nazad (greške aproksimacija su reda h):
ch
yyBAy =
−+ 01
0 (8.44a)
11
11 ch
yyByA nn
n =−
+ − (8.44b)
Rezultujući sistem linearnih jednačina, tj. njegova matrica ima trodijagonalnu strukturu , jer :
• prva jednačina (8.44a) sadrži samo prve dve nepoznate: 10, yy
• k - ta jednačina, nk ,...,3,2= sadrži samo tri nepoznate: kkk yyy ,12, −− (vidi jedn. 8.43, pri
čemu je 1−= ki )
• poslednja, (n+1)-va jednačina (8.44b) , sadrži samo poslednje dve nepoznate, nn yy ,1−
On se rešava se Tomasovim (Thomas) algoritmom koji štedi memoriju i računsko vreme u odnosu na Gausov postupak. U specijalnom slučaju Dirihleovih graničnih uslova, vrednosti funkcije u krajnjim tačkama, y0 i yn su zadate, pa se rešavaju samo jednačine (8.43) po y1,...,yn-1.
PRIMER 8.17 Bezdimenzioni koncentracijski profil reaktanta c(z) u cevnom reaktoru, u kome se odvija reakcija prvog reda:
BAk→
opisan je diferencijalnom jednačinom:
31
reaktora) iz (izlaz0:1
reaktor)u (ulaz11
:0
10,01
2
2
==
=−=
≤≤=−−
dz
dcz
dz
dc
Pecz
zcDdz
dc
dz
cd
Pe a
Potrebno je, za vrednosti bezdimenzionih parametara: Pe = 1, Da = 2
a) Izračunati i nacrtati koncentracijski profil c(z)
b) Izračunati postignu stepen konverzije reaktanta u reaktoru:
)0(
)1()0(
c
ccx
−=
c) Uporediti dobijeni rezultat za x sa onim izračunatim iz analitičkog rešenja problema:
aeeeaeee
rrrre
xrrxrre
DPPPrDPPPr
eerrererP
ererPrrzc
42
1
2
1,4
2
1
2
1
)()(
)(),,(
22
21
2112
1221 2112
2112
+−=++=
−+−
−=
++
d) Povećavati broj integracionih koraka (za po 100), dok se numeričkim postupkom ne dobije stepen konverzije sa tačnošću od 3 sigurne cifre.
Rešenje: (Prakt., XVI-4)
Recommended