GLAVA II - Dinamicki sistemi diferencijalnih jednacina

1. Fazni portret dinamickog sistema - osnovni pojmovi

Dinamicki sistem DJ:

dx1dt

= f1(x1, x2, . . . , xn)

dx2dt

= f2(x1, x2, . . . , xn)(1)

...dxndt

= fn(x1, x2, . . . , xn)

gde su fi : E→ R, E ⊂ Rn, i = 1, 2, . . . , n date funkcije.

x = (x1, x2, . . . , xn), f(x) = (f1(x), f2(x), . . . , fn(x))

↓vektorsko polje f = (f1, f2, . . . , fn)

Dinamicki sistem (1) u vektorskom obliku,

(2)dx

dt= f(x),

Ako su funkcije fi ∈ C(1)(E), po TEJR oblast egzistencije i jedinstvenostiresenja dinamickog sistema (2) je G = R×E - za bilo koju tacku (t0, x0), t0 ∈ R,x0 ∈ E postoji jedinstveno neproduzivo resenje x = x(t) sistema (2), definisano namaksimalnom intervalu egzistencije I(x0), koje zadovoljava pocetni uslov x(t0) =x0.

? Γ = {(t, x(t)) | t ∈ I(x0)} ⊂ G −→ integralna kriva Kosijevog resenjax = x(t), t ∈ I(x0)? γ = {x(t) | t ∈ I(x0)} ⊂ Rn −→ fazna trajektorija resenja

Fazna trajektorija je projekcija integralne krive na fazni prostor

Rn = {(x1, x2, . . . , xn) |xi ∈ R},

paralelno t-osi.

1

Pravac fazne trajektorije je pravac kretanja tacke (x1(t), x2(t), . . . , xn(t)) pofaznoj trajektoriji, u pravcu rasta promenljive t.

? fazni portret DS cine grafici faznih trajektorija u faznoj ravni sa nazna-cenim pravcima

Vektor vektorskog polja dinamickog sistema (2) u tacki x0 ∈ E je

(f1(x0), . . . , fn(x0)).

Fazne trajektorije dinamickog sistema (2) pripadaju vektorskom polju {f(x), x ∈E}, jer se vektor tangente proizvoljne fazne trajektorije x = x(t) u tacki t = t0poklapa sa vektorom vektorskog polja u toj tacki, tj.

x′(t0) =

(dx1(t0)

dt, . . . ,

dxn(t0)

dt

)= (f1(x(t0)), . . . , fn(x(t0))) = f(x(t0)).

Naravno, ovo vazi samo ako se fazne trajektorije ne sastoje od izolovanih tacaka(od polozaja ravnoteze).

Primer 1.1. Dinamicki sistem

x′1 = −x1x′2 = 2x2(3)

ima opste resenje x1(t) = c1e−t, x2(t) = c2e

2t, t ∈ R.

Slika 1: (a) Integralna kriva Γ1 = {(t, 2e−t,−e2t), t ∈ R} Kosijevog resenja DS (3) koje zadovoljavapocetne uslove x1(0) = 2, x2(0) = −1 (b) Fazna trajektorija x2 = −4/x21 - projekcija integralnekrive Γ1 na (x1, x2)−ravan

Integralne krive resenja su geometrijska mesta tacaka {(t, c1e−t, c2e2t), t ∈ R}(Slika 1-(a)), a fazne trajektorije su projekcije ovih integralnih krivih na faznu

2

ravan R2 (Slika 1-(b)). Medutim, fazne trajektorije se mogu odrediti eliminacijomkoordinate t iz opsteg resenja, cime se dobija

x2 =k

x21, k = c21c2.

Primetimo da su koordinatne poluose takode fazne trajektorije.Vektorsko polje i fazni portret DS (3) prikazani su redom na Slici 2-(a) i (c).

Slika 2: (a) vektorsko polje; (b) tok; (c) fazni portret DS (3) u Primeru 1.1.

Definicija 1 [Polozaj ravnoteze] Tacka x0 ∈ E u kojoj je f(x0) = 0, naziva sepolozaj ravnoteze ili tacka mirovanja dinamickog sistema (2).

Ocigledno, ako je tacka x0 polozaj ravnoteze sistema (2), tada ovaj sistem imaresenje x(t) = x0, t ∈ R, a odgovarajuca fazna trajektorija je upravo tacka x0 ufaznom prostoru Rn.

Termin ,,tacka mirovanja” potice iz fizike i opisuje polozaj pri kretanju mater-ijalne tacke kada su brzina i ubrzanje istovremeno jednaki nuli. Koriste se takodepojmovi stacionarna tacka ili fiksna tacka DS.

Definicija 2 Polozaj ravnoteze x0 ∈ E DS (2) naziva se izolovani ako u postojiokolina O(x0)\{x0} u kojoj nema drugih polozaja ravnoteze tog DS. U suprotnompolozaj ravnoteze naziva se neizolovani.

3

Osnovna svojstva faznih trajektorija DS

Stav 1 (i) Svaka fazna trajektorija dinamickog sistema (2), razlicita od polozajaravnoteze, je glatka kriva.

(ii) Ako je x = ϕ(t) resenje KP dinamickog sistema (2)

(4) x′ = f(x), x(t0) = x0

na [t0, t1], tada je i funkcija x = ϕ∗(t), gde je ϕ∗(t) ≡ ϕ(t+ t0) resenje istogsistema na [0, t1 − t0] koje zadovoljava pocetni uslov ϕ∗(0) = x0.

(iii) Ako se fazne trajektorije dinamickog sistema (2) seku u nekoj tacki, onda seone poklapaju.

Dokaz. (i) Dokaz neposredno sledi iz pretpostavke fi ∈ C(1)(D).(ii): Ako je x = ϕ(t) definisano na [t0, t1], funkcija x = ϕ∗(t) = ϕ(t+t0) definisanaje na [0, t1 − t0]. Za i = 1, 2, . . . , n je

x′i − fi(x1, . . . , xn)∣∣∣xi=ϕ∗

i (t)= ϕ′i(t+ t0)− fi(ϕ1(t+ t0), . . . , ϕn(t+ t0))

= ϕ′i(u)− fi(ϕ1(u), . . . , ϕn(u)) ≡ 0.

Pored toga, ϕ∗(0) = ϕ(t0) = x0.

U smislu kretanja tacke po faznoj trajektoriji resenja x = ϕ(t), ovim stavom jeizrazena cinjenica da i resenju x = ϕ∗(t) odgovara ista fazna trajektorija, samo sekretanje tacke odvija sa kasnjenjem t0. Bez gubitka opstosti mozemo razmatratiDS (2) na vremenskom intervalu [0, T ] sa pocetnim uslovom x(0) = x0.

(iii): Neka je x = ϕ(t, x0) resenje dinamickog sistema (2) koje zadovoljava pocetniuslov ϕ(0, x0) = x0 i koje je definisano na maksimalnom intervalu I1 = I(x0) =(α1, β1), a x = ψ(t, y0) resenje dinamickog sistema (2) koje zadovoljava pocetniuslov ψ(0, y0) = y0 i koje je definisano na maksimalnom intervalu I2 = I(y0) =(α2, β2).

Pokazacemo da ako postoje vrednosti t1 ∈ I(x0), t2 ∈ I(y0) za koje je ϕ(t1, x0) =ψ(t2, y0), tada je

(5) ϕ(t, x0) = ψ(t+ t2 − t1, y0), t ∈ I(x0) ∩ I(ψ(t2 − t1, y0)).

Prema (ii) resenje DS (2) je i funkcija x = ψ∗(t, ψ(t2 − t1, y0)), gde je

ψ∗(t, ψ(t2 − t1, y0)) ≡ ψ(t+ t2 − t1, y0).

4

To resenje zadovoljava pocetni uslov ψ∗(0, ψ(t2−t1, y0)) = ψ(t2−t1, y0) i definisanoje na (α2 + t1 − t2, β2 + t1 − t2) = I3. Kako je α1 < t1 < β1 i α2 < t2 < β2, bicet1 ∈ (α2 + t1 − t2, β2 + t1 − t2) i imamo da je

ψ∗(t1, ψ(t2 − t1, y0)) = ψ(t2, y0) = ϕ(t1, x0),

pa resenja x = ψ∗(t, ψ(t2 − t1, y0)) i x = ϕ(t, x0) zadovoljavaju isti pocetni uslov.Dakle, ova resenja se moraju poklapati u zajednickoj oblasti definisanosti tj. vazi(5). Kako je α2 + t1 − t2 < β1, to je I1 ∩ I3 6= ∅. �

Stav 2 Ako je x = ϕ(t, x0) resenje dinamickog sistema (2) koje zadovoljavapocetni uslov ϕ(0, x0) = x0 koje je definisano na maksimalnom intervalu I(x0).Ako t1 ∈ I(x0) i t2 ∈ I(ϕ(t1, x0)), tada t1 + t2 ∈ I(x0) i

ϕ(t1 + t2, x0) = ϕ(t2, ϕ(t1, x0)) = ϕ(t1, ϕ(t2, x0)).

Dokaz: Neka je t1 ∈ I(x0) = (α, β) i t2 ∈ I(ϕ(t1, x0)). Ako je t2 = 0 tvrdenjetrivijalno sledi.

Pretpostavimo da je t2 > 0. Tada funkcija x : (α, t1 + t2]→ E definisana sa

x(t) =

{ϕ(t, x0), za α < t ≤ t1ϕ(t− t1, ϕ(t1, x0)), za t1 ≤ t ≤ t1 + t2

je resenje DS (2) koje zadovoljava pocetni uslov x(0) = x0 i definisano je na(α, t1 + t2], jer po Stavu 1-(ii) funkcija ϕ(t − t1, ϕ(t1, x0)) resenje sistema (2).Dakle, t1 + t2 ∈ I(x0) i zbog jedinstvenosti resenja je

(6) ϕ(t1 + t2, x0) = x(t1 + t2) = ϕ(t2, ϕ(t1, x0)) .

Ako je t2 < 0, tada je funkcija x : [t1 + t2, β)→ E definisana sa

x(t) =

{ϕ(t− t1, ϕ(t1, x0)), za t1 + t2 ≤ t ≤ t1ϕ(t, x0), za t1 ≤ t < β

resenje DS (2) koje zadovoljava pocetni uslov x(0) = x0 i definisano je na [t1 +t2, β), pa je t1 + t2 ∈ I(x0) i zbog jedinstvenosti resenja vazi (6).

Zamenom mesta t1 i t2 u (6) dobija se

ϕ(t2 + t1, x0) = ϕ(t1, ϕ(t2, x0)) . �

U smislu kretanja tacke po faznoj trajektoriji resenja y = ϕ(x), po Stavu 2sledi da iz pocetnog polozaja ϕ(0, x0) ona moze doci za vreme t1 + t2 u polozajϕ(t1 + t2, x0) na dva nacina:

5

• za vreme t1 tacka prede u polozaj ϕ(t1, x0), a zatim za vreme t2 iz tog polozajaprede u tacku ϕ(t2, ϕ(t1, x0));

• za vreme t2 tacka prede u polozaj ϕ(t2, x0), a zatim iz tog polozaja za vremet1 prede u tacku ϕ(t1, ϕ(t2, x0)).

Tok DS

Definicija 3 [Tok DS] Neka je ϕ(t, x0) jedinstveno resenje KP

(7) x′ = f(x), x(0) = x0,

definisano na maksimalnom intervalu I(x0). Za svako t ∈ I(x0), tok dinamickogsistema (tok vektorskog polja f) je neprekidno preslikavanje Φt : E → E takvoda je Φt(x0) := ϕ(t, x0).

Za tok Φt dinamickog sistema vazi:

• Φ0(x0) = x0;

• dΦt(x0)

dt= f(Φt(x0));

• Φt ◦ Φs = Φt+s, t, s ∈ R (prema Stavu 2).

Slika 3: Ako je y = φs(x) onda je φt(y) = φt+s(x)

Ako fiksiramo pocetnu tacku x0 ∈ E, tada preslikavanje ϕ(·, x0) : I(x0) → Edefinise trajektoriju DS (2) kroz tacku x0 ∈ E:

γx0 = {Φt(x0), t ∈ I(x0)} ⊂ Rn −→ fazna trajektorija kroz tacku x0

Fazna trajektorija predstavljena je krivom Γ kroz x0 na podskupu E faznogprostora Rn (Slika 9-(a)). S druge strane, ako je tacka x0 promenljiva iz K ⊂ E,tok DS (2) Φt : K→ E je kretanje svih tacaka skupa K (Slika 9-(b)).

6

Topoloska ekvivalentnost i konjugovanost DS

Slika 4: (a) trajektorija Γ DS (2); (b) tok Φt DS (2)

Definicija 4 Neka su ϕt : X→ X i ψt : Y→ Y tokovi DS

(8)x′ = f(x), f : X→ R,y′ = g(y), g : Y→ R, X,Y ⊂ Rn.

Za DS (8) kazemo da su topoloski ekvivalentni ako postoji homeomorfizamh : X → Y (neprekidno, bijektivno preslikavanje, ciji je inverz neprekidan) kojipreslikava fazne trajektorije ϕ(t, x) jednog sistema u fazne trajektorije ψ(t, x) dru-gog sistema, pri cemu se cuva orjentacija trajektorija (ako je trajektorija ϕ(t, x)usmerena od x1 do x2 iz X, tada je trajektorija ψ(t, x) usmerena od h(x1) doh(x2) iz Y), odnosno postoji neprekidno preslikavanje τ : R × X → R, za koje jet 7→ τ(t, x) strogo rastuca bijekcija i za svako t ∈ R i svako x ∈ X vazi

h(ϕ(t, x)) = ψ(τ(t, x), h(x)) .

Ako je specijalno τ(t, x) = t za svako t ∈ R i svako x ∈ X, DS (8) su topoloskikonjugovani. Dakle, DS (8) su topoloski konjugovani ako postoji homeo-morfizam h : X→ Y tako da vazi

h(ϕ(t, x0)) = ψ(t, h(x0)), x0 ∈ X .

Ako homeomorfizam h preslikava fazne trajektorije jednog DS u fazne tra-jektorije drugog DS, pri cemu se cuva orjentacija trajektorija, ali i vremenskaparametrizacija duz trajektorija, za DS kazemo da su topoloski konjugovani.

7

h ◦ ϕt = ψt ◦ h ⇒ ϕt = h−1 ◦ ψt ◦ h

x0ϕt

→ ϕt(x0)

h ↓ ↓ h

y0ψt

→ ψt(y0)

Slika 5: Topoloski konjugovani DS h(ϕt(x)) = ψt(h(x))

Zatvorena trajektorija

Definicija 5 [Zatvorena trajektorija] Trajektorija ϕ(t, x) je zatvorena ako pos-toji T > 0 tako da je ϕ(t, x) = ϕ(t + T, x) za svako t ∈ R, a minimalno takvo T

naziva se period zatvorene trajektorije. Zatvorena trajektorija DS naziva se cikl.Odgovarajuce resenje ϕ(t, x0) KP (7) naziva se periodicno resenje DS sa periodomT .

Ako su DS (8) topoloski konjugovani i ako je x? PR DS (8)-(1), a ϕt tok DS(8)-(1), ψt tok DS (8)-(2), tada kako je ϕt(x?) = x? za svako t, bice

ψt(h(x?)) = h(ϕt(x?)) = h(x?) = y?

tako da je y? = h(x?) PR DS (8)-(2). Prema tome, h predstavlja obostrano-jednoznacno preslikavanje PR dva topoloski konjugovana DS. Takode, ako jeϕt(x0) periodicna trajektorija DS (8)-(1) sa periodom T , tj. ϕt(x0) = ϕt+T (x0),tada je

ψt(y0) = h(ϕt(x0)) = h(ϕt+T (x0)) = ψt+T (y0)

tako da je ψt(y0) periodicna trajektorija DS (8)-(2) sa istom periodom T . Dakle,periodicne trajektorije DS preslikavaju se u periodicne trajektorije topoloski kon-jugovanog DS, pri cemu su periodi tih trajektorija jednaki. Vazi i obrnuto, ako

8

periodicne trajektorije dva DS imaju jednake periode, onda su ta dva DS topoloskikonjugovana. Treba napomenuti da periodi periodicnih trajektorija topoloski ek-vivalentnih DS ne moraju biti jednaki.

Klasifikacija trajektorija DS

Naredno tvrdenje ukazuje na klasifikaciju trajektorija:

Teorema 1 Fazna trajektorija dinamickog sistema (2) moze biti:

• tacka (polozaj ravnoteze);

• glatka kriva bez samopreseka, kojoj odgovara neperiodicno resenje;

• zatvorena glatka kriva, kojoj odgovara periodicno resenje sa nekom pozitivnomnajmanjom periodom.

Iz ove teoreme sledi da je fazna trajektorija, koja nije tacka, glatka kriva bezsamopreseka koja moze biti otvorena ili zatvorena. Ako je fazna trajektorijazatvorena kriva, resenje dinamickog sistema je periodicna funkcija sa nekom min-imalnom periodom. Sa stanovista primena to znaci da realan sistem, matematickimodeliran dinamickim sistemom, radi u stabilnom, periodicnom rezimu.

Pojmovi za nelinearan DS

Za obicnu DJ prvog reda y′ = f(x, y) izoklina je geometrijsko mesto tacakau kojima polje pravaca ima istu vrednost, odnosno

{(x, y) : f(x, y) = k, k = const}

Analogno tome za DS

(9)dx1dt

= f1(x1, x2),dx2dt

= f2(x1, x2)

se definisu pojmovi x1−nula-izoklina i x2−nula-izoklina.

Definicija 6 [Nula-izokline] x1−nula-izoklina je skup tacaka u faznoj ravniza koje je dx1/dt = 0, tj. f1(x, y) = 0. x2−nula-izoklina je skup tacaka ufaznoj ravni za koje je dx2/dt = 0, tj. f2(x, y) = 0.

Uz pretpostavku da su funkcije fi ∈ C(1)(E), pretpostavimo da je neproduzivoresenje bilo kog KP dinamickog sistema (2) definisano na R.

9

Definicija 7 [Stabilna mnogostrukost] Stabilna mnogostrukost tacke miro-vanja x0 je skup

Ws(x0) = {x : limt→∞

Φt(x) = x0}

Nestabilna mnogostrukost tacke mirovanja x0 je skup

Wu(x0) = {x : limt→−∞

Φt(x) = x0}

Definicija 8 [Heterociklicna trajektorija] Neka su x1 i x2 stacionarne tackeDS. Trajektorija Γ0 : γ(x0) kroz tacku x0 ∈ E naziva se heterociklicna vezaizmedu stacionarnih tacaka x1 i x2 ako je

limt→∞

Φt(x0) = x2, limt→−∞

Φt(x0) = x1

Trajektorija γ(x0) ⊂ Wu(x1) i γ(x0) ⊂ Ws(x2).

Slika 6: (a) homociklicna trajektorija PR x0; (b) heterociklicna trajektorija PR x1 i x2.

Slika 7: (a) heterociklicna trajektorija PR (−1, 0) i (1, 0); (b) homociklicna trajektorija PR (0, 0)

10

Definicija 9 [ Homociklicna trajektorija] Neka je x1 stacionarnih tacaka DS.Trajektorija γ(x0) kroz tacku x0 ∈ E naziva se homociklicna trajektorija sta-cionarne tacke x1 ako je

limt→±∞

Φt(x0) = x1

Slika 8: Heterociklicna veza izmedu stacionarnih tacaka x1 i x2, pri cemu se stabilna mnogostrukostST x1 poklapa sa nestabilnom mnogostrukoscu ST x2

Definicija 10 [Invarijantan skup DS] Skup S ⊂ Rn je invarijantan skup DS,ako za proizvoljno resenje X(t) DS koje polazi iz tacke X(0) = x0 ∈ S, X(t) ∈ Sza svako t ∈ R, odnosno ako za proizvoljno x0 ∈ S vazi Φt(x0) ∈ S za svako t ∈ R.Skup S ⊂ Rn je pozitivno invarijantan skup (negativno invarijantan skup)DS, ako za proizvoljno x0 ∈ S vazi Φt(x0) ∈ S za svako t > 0 (t < 0).

Definicija 11 Invarijantan skup S DS je

(i) stabilan ako za svaku dovoljno malu okolinu U od S postoji okolina V od S,tako da ako x0 ∈ V onda Φt(x0) ∈ U za svako t ∈ R;

(ii) nestabilan ako nije stabilan;

(iii) privlacan ako postoji okolina V od S tako da ako x0 ∈ V onda

limt→∞

Φt(x0) ∈ S.

(iv) odbojan ako je privlacan za vreme unazad tj. t→ −t ;

(v) asimptotski stabilan ako je stabilan i privlacan.

11

Slika 9:

Primer 1.2. Na Slici 9:

(a) trajektorije oko PR u koordinatnom pocetku su kruznice, pa je PR stabilanali ne privlacan;

(b) svaka trajektorija konvergira ka PR (1, 0) pa je on privlacan, ali nije stabilan,jer za svaku okolinu V PR (1, 0) postoji trajektorija koja napusta tu okolinu;

(c) PR (0, 0) je asimptotski stabilan

(d) PR (0, 0) je nestabilan.

Fizicki smisao pojmova

Dinamicki sistem (1) je matematicki model kretanja materijalne tacke u n-dimenzionalnom prostoru promenljivih (x1, x2, . . . , xn).

? Kretanje je promena polozaja koje tokom vremena vrsi materijalno telo uodnosu na neko drugo materijalno telo (posmatraca). Polozaj tacke M koja sekrece potpuno je odreden vektrom polozaja −→r ciji je pocetak u nekoj nepokretnojtacki O, a kraj u pokretnoj tacki M . Kako tacka M menja polozaj u odnosu natacku O tokom vremena t, menja se i intenzitet, pravac i smer vektora polozaja

12

−→r . Prema tome, vektor polozaja −→r predstavlja vektorsku funkciju vremena t:−→r = −→r (t) koja se zove zakon kretanja tacke u vektorskom obliku.? Ako se tacka krece duz krive

(10) xi = xi(t), i = 1, 2, . . . , n, t ∈ I

kazemo da je sa (10) odreden zakon kretanja tacke po putanji:

−→r (t) = (x1(t), x2(t), . . . , xn(t)), t ∈ I

Dakle, fazna trajektorija cije su parametarske jednacine date sa (10) je kriva kojaopisuje zakon kretanja.? Vektor brzine tacke −→v karakterise promenu vektora polozaja (po intenzitetu,

pravcu i smeru) u svakom trenutku vremena. Vektor brzine tacke u datomtrenutku vremena ima pravac tangente na trajektoriju u odgovarajucoj tacki,a usmeren je u smeru kretanja tacke. Vektor brzine tacke −→v u datom trenutkuvremena t jednak je prvom izvodu vektora polozaja tacke po vremenu:

−→v (t) = −→r ′(t)

Ako se tacka krece tako da se vektor brzine menja svoj pravac, onda tacka vrsikrivolinijsko kretanje, a ako je vektor brzine tokom vremena konstantnog pravca,onda tacka vrsi pravolinijsko kretanje. Ako se tacka krece tako da je vektor brzinekonstantnog intenziteta, za takvo kretanje kazemo da je ravnomerno.

Intenzitet vektora brzine jednak je intenzitetu prvog izvoda vektora polozajapo vremenu

|−→v | =∣∣∣∣d−→rdt

∣∣∣∣Pri kretanju tacke po kruznici je intenzitet vektora polozaja |−→r | = const., pa jed|−→r |dt = 0. Medutim, kako se menja pravac i smer vektora polozaja, brzina tacke

je razlicita od nule. Dakle,

|−→v | 6= d|−→r |dt

? Vektor ubrzanja tacke −→w tacke karakterise promenu vektora brzine tacke usvakom trenutku. Kako je vektor brzine tacke jednak izvodu po vremenu vektorapolozaja tacke, imamo

−→w (t) = −→v ′(t) = −→r ′′(t)Vektor ubrzanja tacke u datom trenutku vremena jednak je prvom izvodu vektorabrzine tacke po vremenu, ili drugom izvodu vektora polozaja tacke po vremenu.

13

U opstem slucaju krivolinijskog kretanja tacke vektor ubrzanja karakterisepromenu vektora brzine tacke tokom vremena po intenzitetu, pravcu i smjeru.Iz ovog sledi da je ubrzanje tacke jednako nuli samo kada je brzina tacke tokomvremena konstantna po pravcu i intenzitetu,tj. u slucaju ravnomernog pravolini-jskog kretanja.

Intenzitet vektora ubrzanja jednak je intenzitetu vektora brzine po vremenu

|−→w | =∣∣∣∣d−→vdt

∣∣∣∣Na osnovu primera krivolinijskog kretanja kada je vektor brzine konstantan pointenzitetu ali ne i po pravcu zakljucujemo da je

|−→w | 6= d|−→v |dt

14