STABILNOST REŠENJA OBIČNIH DIFERENCIJALNIH JEDNAČINA

Univerzitet u Beogradu

Matematiki fakultet

Slavica M. Sadakovi

STABILNOST REENJA OBINIH DIFERENCIJALNIH JEDNAINA

-master rad-

Mentor: dr Julka Kneevi-Miljanovi

Beograd, 2011.


2

SADRAJ

PREDGOVOR .................................................................................................................... 3

1 UVODNI POJMOVI .................................................................................................. 4

1.1 Obine diferencijalne jednaine (ODJ) ................................................................ 4

1.2 Egzistencija i jedinstvenost reenja ...................................................................... 5

1.3 Sistemi diferencijalnih jednaina ......................................................................... 9

2 UVOD U TEORIJU STABILNOSTI ....................................................................... 15

2.1 Istorijat razvoja teorije stabilnosti ...................................................................... 15

2.2 Definicije stabilnosti po Ljapunovu ................................................................... 16

2.3 Definicije stabilnosti .......................................................................................... 17

3 DIREKTNA LJAPUNOVLJEVA METODA .......................................................... 21

3.1 Funkcije Ljapunova, Silversterov kriterijum ..................................................... 21

3.2 Ljapunovljeva teorema o stabilnosti kretanja..................................................... 25

3.3 Teoreme o nestabilnosti ..................................................................................... 29

3.4 Metode odreivanja funkcije Ljapunova............................................................ 31

4 STABILNOST PO PRVOM PRIBLIAVANJU (Prva Ljapunovljeva metoda) ..... 36

4.1 Formulacija problema ........................................................................................ 36

4.2 Teorema o stabilnosti po prvom pribliavanju ................................................... 39

4.3 Teorema o nestabilnosti po prvom pribliavanju ............................................... 41

4.4 Kriterijum Hurvica (Hurwitz) ............................................................................ 42

5 STABILNOST REENJA LINEARNIH SISTEMA ............................................... 46

5.1 Stabilnost sistema sa promenjivim koeficijentima ............................................. 46

5.2 Stabilnost nehomogenih linearnih sistema ......................................................... 47

5.3 Stabilnost sistema sa konstantnim koeficijentima .............................................. 48

6 STABILNOST NUMERIKIH REENJA ODJ ..................................................... 53

6.1 Uvod ................................................................................................................... 53

6.2 Numeriko reavanje diferencijalnih jednaina ................................................. 54

6.3 Numerika stabilnost .......................................................................................... 56

6.4 Primeri: Stabilnost Ojlerove metode i metode Runge-Kuta 4. reda ................... 58

LITERATURA ................................................................................................................. 62

ABSTRACT ...................................................................................................................... 63


3

PREDGOVOR

Cilj ovog rada je da se upoznamo sa osnovama teorije stabilnosti reenja obinih diferencijalnih jednaina. S obzirom da se pomou diferencijalnih jednaina opisuju mnogi stvarni fiziki procesi, prirodno je da se kao takve javljaju u svim oblastima inenjerstva i nauke, to govori koliko su diferencijalne jednaine i njene osobine vane za prouavanje.

Predmet prouavanja teorije stabilnosti je asimptotsko ponaanje funkcija u okviru familije reenja, specijalno, da li se one pribliavaju ili razilaze jedna od druge na beskonanom intervalu tj. za t.

Ispitivanje stabilnosti reenja diferencijalnih jednaina je izuzetno vano prilikom numerikog reavanja diferencijalnih jednaina, o emu e takoe biti rei u ovom radu. Ljapunovljev direktni metod i stabilnost po prvom pribliavanju, kao najefikasnije metode za izuavanje stabilnosti reenja, su glavni fokus ovog rada.

Rad se sastoji iz 6 poglavlja.

U prvom poglavlju navode se definicije i teoreme koje predstavljaju osnovu za izlaganje

daljeg teksta. Opisuju se obine diferencijalne jednaine, njihova klasifikacija, kao i osnovne teoreme o egzistenciji i jedinstvenosti reenja. U kratko se daje pregled i osnovne osobine linearnih sistema diferencijalnih jednaina.

Drugo poglavlje daje kratak istorijat razvoja teorije stabilnosti. Zatim se upoznajemo sa

definicijom stabilnosti po Ljapunovu, a dalje slede definicije drugaije od Ljapunovljevih.

Tree poglavlje bavi se drugom Ljapunovljevom metodom. Navode se definicije funkcije Ljapunova kao i Silvesterov kriterijum. Izlau se teoreme o stabilnosti kretanja (odnosno nestabilnosti) kao i metode odreivanja funkcije Ljapunova.

U etvrtom delu izloena je prva Ljapunovljeva metoda. Navodi se teorema o stabilnosti po prvom pribliavanju, kao i teorema o nestabilnosti i Hurvicev kriterijum.

Peto poglavlje se bavi ispitivanjem stabilnosti reenja linearnih sistema diferencijalnih jednaina. Ukratko se izuava stabilnost nehomogenih sistema, sistema sa promenjivim koeficijentima, kao i sistema sa konstantnim koeficijentima.

U estom poglavlju opisuju se numerike metode koje se koriste za reavanje diferencijalnih jednaina. Nakon toga se daju uslovi potrebni za stabilnost navedenih numerikih metoda. Detaljno se opisuje Ojlerova metoda kao jedna od najjednostavnijih numerikih metoda i ispituje se njena stabilnost.

Posebnu zahvalnost dugujem svom mentoru Prof. Dr. Julki Kneevi-Miljanovi na korisnim sugestijama koje su doprinele konanom izgledu ovog rada.


4

1 UVODNI POJMOVI

Poznata je injenica da se mnogi zakoni fizike i drugih nauka iskazuju uz pomo diferencijalnih jednaina. To ukazuje na fundamentalnu ulogu koju teorija diferencijalnih jednaina ima u nauci i tehnici. Teorija diferencijalnih jednaina je jedna od najopsenijih i najteih matematikih disciplina.

1.1 Obine diferencijalne jednaine (ODJ)

Jednaina koja pored nezavisno promenljivih veliina i nepoznatih funkcija tih promenljivih sadri jo i izvode nepoznatih funkcija ili njihove diferencijale naziva se diferencijalna jednaina.

Ako sve nepoznate funkcije koje ulaze u diferencijalnu jednainu zavise samo od jedne nezavisno promenljive, pa samim tim jednaina ne sadri parcijalne izvode, ta se jednaina naziva obina diferencijalna jednaina (ili kratko diferencijalna jednaina u daljem tekstu DJ).

Ako se u obinoj diferencijalnoj jednaini pojavljuje samo jedna nepoznata funkcija, sa svojim izvodima, onda takva jednaina ima opti oblik

( ( )) (1.1)

gde je ( ) funkcija od t, i

je prvi izvod funkcije i ( ) n-ti

izvod funkcije u zavisnosti od promenjive .

Najvii izvod koji se pojavljuje u diferencijalnoj jednaini naziva se redom diferencijalne jednaine, pa emo za jednainu (1.1) reci da je n-tog reda.

Normalan oblik DJ (1.1) je oblika

( ) ( ( )) (1.2)

Za u (1.1) dobijamo diferencijalnu jednainu prvog reda oblika:

( ) (1.3)

Ako se ova jednaina moe jednoznano reiti po onda se dobija normalni oblik diferencijalne jednaine prvog reda

( ) (1.4)


5

Ako neka funkcija ( ) zajedno sa svojim prvim izvodom zadovoljava diferencijalnu jednainu, odnosno ukoliko jednaina postaje identitet kada se i u jednaini zamene sa ( ) i ( ) onda se funkcija ( ) naziva reenjem (integralom) diferencijalne jednaine.

Nalaenje reenja ( ) jednaine ( ) koje zadovoljava uslov

( ) (1.5)

gde ( ) nazivamo poetnim ili Koijevim zadatkom, gde je otvoren i

povezan skup.

Koijev zadatak ( ), ( ) ima reenje, ako postoji okolina ( ) take i reenje ( ) jednaine (1.4) definisano u ( ), koje zadovoljava poetni uslov ( ) .

Geometrijski gledano, reiti Koijev (poetni) problem znai nai integralnu krivu date

diferencijalne jednaine koja prolazi kroz taku ( ).

1.2 Egzistencija i jedinstvenost reenja

Fundamentalna pitanja koja se postavljaju u vezi Koijevog problema (1.4), (1.5) su:

-Egzistencija reenja: Da li postoji reenje Koijevog problema? -Jedinstvenost reenja: Ako reenje postoji, da li je ono jedinstveno? -Interval egzistencije reenja: Na kom intervalu reenje Koijevog problema postoji?

Skup taaka *( ) + naziva se oblast egzistencije i jedinstvenosti reenja jednaine.

Teorema 1.2.1 (Peano): Ako je funkcija neprekidna u oblasti i ( ) tada Koijev zadatak ( ), ( ) ima reenje.

Navedena Peanova teorema ne garantuje jedinstvenost Koijevog zadatka (1.4), (1.5)

Definicija 1.2.1: Funkcija ( ) , naziva se reenjem integralne jednaine

( ) ( ( ))

(1.6)

ako je za svako : 1. ( ( ))

2. ( ) ( ( ))


6

Pre nego to navedemo osnovnu teoremu u teoriji diferencijalnih jednaina, koja nam daje dovoljne uslove egzistencije i jedinstvenosti reenja, dokaimo sledeu lemu:

Lema 1.2.1 (Lema o ekvivalenciji): Ako je funkcija ( ) neprekidna u nekoj zatvorenoj i ogranienoj oblasti D , tada je svako reenje ( ) Koijevog zadatka ( ), ( ) istovremeno i neprekidno reenje integralne jednaine (1.6) i obratno.

Dokaz: Po Peanovoj teoremi iz ( ) sledi da je oblast egzistencije reenja DJ ( ). Ako je ( ) reenje Koijevog problema (1.4), (1.5) onda se integracijom ( ) jednaine na intervalu ( ) i korienjem uslova ( ) dolazi do (1.6).

Ako je ( ) reenje problema (1.6) onda se diferenciranjem obe strane jednakosti (1.6) i stavljajui dobija reenje Koijevog problema (1.4), (1.5).

Sledea teorema nam daje dovoljne uslove za egzistenciju i jedinstvenost reenja:

Teorema 1.2.2 (Picard): Neka je funkcija ( ) definisana i neprekidna u oblasti

*( ) +

i neka zadovoljava Lipicov (Lipschitz) uslov po , tj. postoji takvo da je za svake dve take ( ) ( ) iz vai

| ( ) ( )| | |

Neka je ( ) | ( )|, i 2

3

Tada Koijev problem (1.4), (1.5) na , - ima jedinstveno reenje.

Napomenimo da je uslov 2

3 neophodan: s jedne strane zbog oblasti

definisanosti funkcije mora da vai da je , a sa druge strane uslov da je

obezbeuje da ako je ( ) reenje na segmentu , onda se iz uslova da je | ( )| | ( ( ))| sledi

| ( ) | | | , , -

Dokaz: Neka je

*( ) | | | | + .

Po lemi o ekvivalenciji dovoljno je dokazati egzistenciju i jedinstvenost neprekidnog

reenja integralne jednaine (1.6) na intervalu , -.


7

Konstruiimo niz sukcesivnih aproksimacija na sledei nain: za poetnu aproksimaciju

uzmimo proizvoljnu funkciju koja je neprekidna na , takva da je ( ) i ( ( )) za svako . Ne umanjujui optost oznamo ( ) , i definiimo na segmentu niz sukcesivnih aproksimacija

{

( )

( ) ( ( ))

(1.7.)

Za funkcije vai 1) da su neprekidne na , 2) ( ) , i 3) grafik bilo koje funkcije se nalazi u oblasti . Dokaimo treu osobinu. Iz injenice da je *( ) + sledi da je | ( )| , pa onda vai da je za ,

| ( ) | | ( (

)) | | ( )|

| |

Znai da je grafik funkcije ( ) se nalazi u . Pretpostavimo da je grafik funkcije ( ) u i dokaimo da to vai i za funkciju ( ) . Kako je | ( ( )| , analogno prethodnom postupku imamo da je

| ( ) | | ( ( ))|

| |

to znai da se grafici svih sukcesivnih transformacija nalaze u .

Dokaimo da niz funkcija * ( ) + ravnomerno i apsolutno konvergira na segmentu ka funkciji ( ) koja je reenje integralne jednaine (1.6).

Formirajmo funkcionalni red oblika

( ) , ( ) ( )-

(1.8.)

Za njegov niz parcijalnih suma * ( ) + vai sledee:

( ) ( ) , ( ) ( )- , ( ) ( )- ( )

to znai da se taj niz poklapa sa nizom funkcija * ( ) +, a to znai da za dokaz ravnomerne konvergencije funkcionalnog niza * ( ) + na segmentu , dovoljno je dokazati ravnomernu konvergenciju reda (1.8) na istom intervalu. Procenimo opti lan

reda (1.8) imajui u vidu da funkcija ( ) zadovoljava Lipicov uslov na :


8

| ( ) ( )| | ( ) | | ( )|

| |

| ( ) ( )| | ( ( )) ( )|

| ( ) |

| |

| |

Pretpostavimo da vai da je

| ( ) ( )|

| |

(1.9.)

onda sledi da je

| ( ) ( )| | |

( )

to znai da nejednakost (1.9) vai za svako , odakle je

| ( ) ( )|

Znai da opti lan funkcionalnog reda (1.8) se moe majorirati optim lanom brojnog konvergentnog reda, pa primenom Vajertrasovog kriterijuma, sledi da je funkcionalni

red (1.8) apsolutno i ravnomerno konvergira na segmentu .

Ostaje nam jo da dokaemo jedinstvenost reenja Koijevog zadatka. U tu svrhu

pretpostavimo suprotno, da pored reenja ( ) , postoji i neko drugo reenje ( ) . Prema lemi o ekvivalenciji ( ) je reenje integralne jednaine

( ) ( ( ))

odakle je

| ( ) ( )| | ( ) | | ( ( ))

| | ( ( ))|

| |

| ( ) ( )| | ( ( )) ( ( ))|

| ( ) ( )|


9

| |

| |

Matematikom indukcijom se dokazuje da je

| ( ) ( )| | |

( )

odakle je

| ( ) ( )|

( )

( )

( ) (1.10)

Kako

( )

( )

iz (1.10) sledi da niz funkcija * + ravnomerno konvergira ka funkciji na intervalu . Kako pomenuti niz konvergira na istom inetvalu i funkciji , zbog jedinstvenosti graninih vrednosti mora da vai da je ( ) ( ), ime je dokazana jedinstvenost reenja.

1.3 Sistemi diferencijalnih jednaina

Neka su funkcije ( ) definisane u oblasti ,

i .

Skup jednaina oblika

( ) .

( )

( )/ (1.11)

zovemo sistemom diferencijalnih jednaina.

Skup funkcija ( ) definisanih na intervalu realne promenjive , nazivamo reenjem sistema jednaina (1.11) ako je:

1) ( ) ( )( )

2) ( ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )

( )( )) 3) , * +:

( )( ) ( ( )

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ))


10

Napomenimo vanu injenicu da svaki sistem jednaina (1.11) se moe svesti na normalni sistem jednaina.

Normalni sistemi diferencijalnih jednaina

Za u (1.11) dobijamo tzv. normalni sistem diferencijalnih jednaina

( ) (1.12)

Za dobijamo diferencijalnu jednainu m-tog reda

( ) ( ( ))

Ako je ( ) reenje sistema jednaina (1.12), tada krivu

( )

u ( )-dimenzionom prostoru zovemo integralnom krivom sistema jednaina

(1.12).

Koijev zadatak za sistem jednaina (1.12) glasi:

Odrediti reenje ( ) koje zadovoljava poetne uslove

( ) ( )

( ) (1.13)

gde je (

) taka iz .

Sistem jednaina (1.12) moe se zapisati i u vektorskom obliku:

( ) (1.14)

gde je ( ) i ( ) ( ( ) ( ) ( ))

Bez dokaza navedimo znaajne teoreme vezane za egzistenciju i jedinstvenost reenja sistema DJ:

Teorema 1.3.1. Neka su u oblasti funkcije ( ) i

( )

( )

neprekidne. Tada je oblast oblast egzistencije i jedinstvenosti reenja sistema (1.10).

Teorema 1.3.2. (Peano). Ako je funkcija ( ) neprekidna u oblasti , tada

je oblast egzistencije reenja sistema jednaina (1.10).


11

Teorema 1.3.3. (Picard). Ako je u oblasti funkcija ( ) neprekidna i

parcijalni izvodi ( )

postoje i ograniceni su, tada je oblast

egzistencije i jedinstvenosti reenja sistema jednaina (1.10). (Dokaz videti u , -)

Dinamiki (autonomni) sistemi diferencijalnih jednaina

Svaki normalni sistem diferencijalnih jednaina se moe svesti na dinamiki sistem ili

autonomni sistem uvoenjem smene ,

u (1.12):

( )

( )

(1.15)

( )

gde funkcije su date funkcije.

Predhodni sistem se moe izraziti i u dinamiki sistem u vektorskim obliku

( ) (1.16)

gde je ( ) i ( ) ( ( ) ( ) ( )) .

Taka u kojoj je ( ) naziva se poloaj ravnotee ili taka mirovanja

dinamikog sistema (1.15). Pretpostavimo da su funkcije i

( )

neprekidne u oblasti . Tada, saglasno teoremi o egzistenciji i jedinstvenosti

reenja, za svako ( ) sistem jednaina (1.15) ima jedinstveno reenje ( ) ( ) koje je definisano na nekom inetvalu koji sadri .

Napomenimo da navedeno reenje moemo posmatrati kao zakon kretanja take u

prostoru . Krivu ( ) nazivamo faznom trajekorijom a sam prostor

zovemo faznim prostorom. Fazne trajektorije su projekcije paralelne osi , integralnih krivih na prostoru

Iz definicije trajektorije oigledno je da za datu inegralnu krivu fazna trajektorija je jednoznano odreena, dok obrnuto nije tano. Takoe, fazne trajektorije daju manje informacija o reenju sistema jednaina (1.15), dok integralna kriva daje potpunu informaciju o reenju. To ne znai da se mnogi problemi vezani za sistem jednaina (1.15) ne mogu reiti prouavanjem ponaanja faznih trajektorija.


12

Homogeni linearni sistemi

To su sistemi oblika

( ) (1.17)

pri emu se za matrinu funkciju ( ) { ( )}

formata pretpostavlja da je

neprekidna na odseku .

Lema 1.3.1 Skup reenja sistema (1.17) jednaina obrazuje n-dimenzionalni vektorski prostor.

Dokaz: Neka je skup reenja sistema jednaina (1.17). Treba da dokaemo sledee implikacije:

a) ( ) ( ) b) ( ) ( V)

Kako je ( )

( ) onda je

( )

( ) ( ) ( )( )

tj. .

Vai sledee:

iz ( ) i ( ) imamo ( ) ( ) ( )( ), tj. . Time je lema dokazana.

Definicija 1.3.1. Svaka baza vektorskog prostora naziva se fundamentalni skup reenja sistema (1.17).

Definicija 1.3.2. Neka je ( ) ( ) ( ) fundamentalni skup reenja. Matricu ( ) iji su stupci ( ) ( ) ( ) nazivamo fundamentalnom matricom. Determinantu ( ) ( ) nazivamo determinantom Vronskog ili vronskijan.

Teorema 1.3.5. Ako je ( ) fundamentalna matrica sistema jednaina (1.17) za , tada je

( ) (1.18)

opte reenje sistema (1.17) u oblasti ( ), gde je proizvoljni konstantni

vektor duine . (Dokaz videti u , -)

Definicija 1.3.3.Neka je ( ) ( ) ( ) fundamentalni skup reenja sistema jednaina (1.17), opte reenje sistema (1.17) u oblasti se moe zapisati kao linearna kombinacija fundamentalnog sistema tj.u obliku:

( ) ( ) ( )


13

Gde su proizvoljne konstante.

Teorema 1.3.6 Reenje ( ) ( ) ( ) ine fundamentalni sistem reenja sistema (1.17) ako i samo ako je ( ) ( ) za svako .

Nehomogeni linearni sistemi

To su sistemi jednaina oblika

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) (1.19)

( ) ( ) ( ) ( )

ili u vektorskom obliku:

( ) ( ) (1.20)

Gde je:

[ ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )]

, B(t)=[

( ) ( )

( )

]

Matrica ( ) se zove matrica sistema, a ( ) je slobodan lan i vai da je ( ) . Sledea teorema opisuje kako pomou fundamentalne matrice homogenog dela nehomogenog sistema (1.20) moemo dobiti jedno reenje sistema (1.20).

Teorema 1.3.7 Ako je ( ) fundamentalna matrica homogenog dela sistema (1.20) tada je vektorska funkcija

( ) ( ) ( ) ( )

reenje sistema (1.20) koje zadovoljava poetni uslov ( ) .

Sledea teorema nam daje opis opteg reenja DJ (1.20)

Teorema 1.3.8. Neka je ( ) neko reenje nehomogenog sistema DJ (1.20) na interval , i neka je ( ) neko reenje njegovog homogenog dela. Tada je

( ) ( ) ( )

opte reenje nehomogenog sistema (1.20).


14

Linearni sistemi sa konstantnim koeficijentima

Kod ovih sistema matrica je konstantna tj.

(1.21)

Za dati sistem fundamentalna matrica se moe eksplicitno odrediti, pa samim tim i njeno opte reenje.

Definicija 1.3.4. Neka su jedinina matrica i matrica istog formata . Tada je:

Teorema 1.3.9. Matrica oblika

( )

je fundamentalna matrica sistema (1.21) za i vai da je ( ) .

Saglasno teoremama 1.3.5 i 1.3.9 opte reenje sistema (1.21) je oblika

gde je proizvoljni konstantni vector duine .

Reenje sistema (1.21) koje zadovoljava poetni uslov ( ) dato je u obliku

( )


15

2 UVOD U TEORIJU STABILNOSTI

Teorija stabilnosti zaokupljala je panju naunika od poetka teorije diferencijalnih jednaina. Kljuni problem je kako doi do informacije o ponaanju sistema bez rjeavanja diferencijalne jednaine. Teorija razmatra ponaanje sistema kroz dugi vremenski period, tj. ako t .

2.1 Istorijat razvoja teorije stabilnosti

Godine 1644. Torieli je uspeo da formulie izvesne kriterijume stabilnosti ravnotenih sistema i taj njegov rad predstavlja prvo znaajnije ispitivanje u teoriji stabilnosti. Meutim, jedan od prvih naunika koji je u modernom smislu istraio stabilnost mehanikih sistema bio je J. L. Lagrane. On je 1788.god. dokazao teoremu kojom se odredjuju dovoljni uslovi stabilnosti ravnotee proizvoljnih sistema.

Razvoj teorije stabilnosti u XIX veku nastavlja Maksvel (Maxwell) koj je, u radu

objavljenom 1868. godine, pomou diferencijalnih jednaina opisao ponaanje centrifugalnog regulatora, linearizovao ovaj model u okolini stanja ravnotee i pokazao da stabilnost sistema zavisi od toga da li koreni karakteristine jednaine imaju negativne realne delove. Ovaj algebarski problem Maksvel je reio delimino za kvadratnu i kubnu jednainu, a Raus (Routh) je u svom nagraenom radu dao uoptenje za linearne sisteme bilo kojeg reda.

Ruski matematiar A. M. Ljapunov je napravio najvei doprinos razvoju teorije stabilnosti, objavljivanjem svoje doktorske disertacije, 1892. godine pod nazivom Opti zadatak o stabilnosti kretanja. On je definisao opte koncepte stabilnosti i za linearne i za nelinearne sisteme i u disertaciji se prvi put pojavljuje precizna definicija stabilnosti.

Disertacija A. M. Ljapunova nudi dve metode za analizu stabilnosti.

Prva metoda je metoda linearizacije, u kojoj se stabilnost nelinearnog sistema ispituje

analizom stabilnosti linearnog modela, koji se postie linearizacijom nelinearnog sistema u blizini stanja ravnotee. Ovom metodom moe se analizirati lokalna stabilnost nelinearnog sistema.

U drugoj metodi, poznatoj kao direktna metoda, vri se indirektna analiza stabilnosti tako to se formira skalarna funkcija koja je definisana za zadati sistem i koja mora imati odreene osobine i onda se vri analiza vremenskog ponaanja formirane funkcije.

Teorija stabilnosti ima primenu u mnogim oblastima savremene nauke, a posebno u

delovima fizike, biologije, hemije, astronomije, itd.


16

2.2 Definicije stabilnosti po Ljapunovu

U teoriji stabilnosti reenja diferencijalnih jednaina, utvreno je vie od 20 definicija stabilnosti. Medjutim, kao osnovna definicija se uzima definicija stabilnosti koje je dao

Ljapunov.

Posmatrajmo normalni sistem diferencijalnih jednaina oblika

( ) (2.1.)

Predpostavimo da je , ) oblast egzistencije i jedinstvenosti reenja

normalnog sistema DJ (2.1), vektorska funkcija ( ), i svako Koijev o reenje ( ) ( ) , je definisano na interval , )

Definicija (Stabilnost) 2.2.1: Reenje ( ) ( ) sistema DJ (2.1) je stabilno po Ljapunovu kad , ako za svako postoji ( ) tako da za svako reenje ( ) ( ) ovog sistema iz | | sledi | ( ) ( )| , ).

Prethodnu definiciju moemo prikazati kompaktnije na sledei nain:

( ) | | | ( ) ( )| , )

Geometrijski stabilnost reenja ima sledee znaenje: reenje ( ) ( ) jednaine

( ) je stabilno ako svako drugo reenje za proizvoljo uzak -pojas integralne krive ( ) sve integralne krive ( ) ( ) | | jednaine

( ) pripadaju pomenutom -pojasu za svako

Definicija (Asimptotska stabilnost) 2.2.2: Reenje ( ) ( ) sistema DJ (2.1) je asimptotski stabilno po Ljapunovu kad , ako je stabilno i ako postoji , tako da za svako reenje ( ) ( ) ovog sistema iz | | sledi

| ( ) ( )|

Predhodnu definiciju moemo prikazati kompaktnije na sledei nain:

| | | ( ) ( )| Asimptotska stabilnost znai da sva reenja iji su poetni uslovi bliski za sa poetnim uslovom ( ) ostaju ne samo bliska sa reenjem ( ) za , nego se i neogranieno pribliavaju resenju ( ) za

Uvedimo smenu ( ) ( ) ( ) u sistem (2.1). Tada je

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (2.2.)


17

Kako je ( ) ovaj sistem zadovoljava trivijalno reenje.

Jednaina (2.2) se u literaturi najese naziva jednainom poremeenog kretanja, a njena netrivijalna reenja-poremeenim kretanjima.

To znai da ispitivanje stabilnosti po Ljapunovu bilo kog reenja sistema (2.1) se moe svesti na ispitivanje ovih osobina za trivijalno reenje sistema (2.2). Ako se jo uvede

translacija nezavisne promenjive , onda se moe razmatrati stabilnost trivijalnog reenja sistema (2.2) na intervalu , ) Na osnovu toga moemo postaviti sledee definicije:

Definicija (Stabilnost) 2.2.1: Za trivijalno reenje sistema (2.2) kazemo da je stabilno po Ljapunovu ako za svako postoji ( ) tako da za svako reenje ( ) ( ) ovog sistema iz | | sledi | ( )| , ). Prethodnu definiciju moemo prikazati kompaktnije na sledei nain:

( ) | | | ( )| , )

Definicija (Asimptotska stabilnost) 2.2.2: Trivijalno reenje sistema DJ (2.2) je asimptotski stabilno po Ljapunovu ako je stabilno i ako postoji , tako da za svako reenje ( ) ( ) ovog sistema iz | | sledi | ( )|

Predhodnu definiciju moemo prikazati kompaktnije na sledi nain

| | | ( )|

Reenje koje nije stabilno zove se nestabilno reenje.

2.3 Definicije stabilnosti

U ovom odeljku naveemo druge definicije stabilnosti.

Definicija 2.3.1. Neka je neka klasa integralnih krivih faznom prostoru (fazni prostor taaka sa koordinatama ) i neka je

( ) element klase . Rei emo da je integralna kriva stabilna u odnosu na klasu ako za bilo koje postoji takvo ( ) da, ako

( ) i | ( ) ( )| to |

( ) ( )| pri svim .

Ako je jedina klasa u odnosu na koju je stabilna, prazan skup, tada se naziva nestabilnom.

Ako je stabilna u odnosu na klasu svih integralnih krivih, onda se ona naziva prosto stabilnom.


18

Inegralna kriva koja nije ni stabilna ni nestabilna, zove se uslovno stabilnom. U tom

sluaju ona je stabilna u odnosu na neku potklasu klase svih integralnih krivih.

Navedimo i definiciju -stabilnosti M. Bertolina za jednainu prvog reda.

Definicija 2.3.2. Reenje ( ) jednaine

( ) definisano u intervalu

, ) jeste -stabilno, ako se u bilo kojoj njegovoj -okolini nalazi beskonano mnogo reenja date diferencijalne jednaine (dovoljno je da postoji bar jo jedno razliito od

( )).

Reenja ima beskonano mnogo i ako su sva ona s jedne strane reenja ( ), onda reenje ( ) nije stabilno, s obzirom da je za stabilnost karakteristino da se reenja koja polaze iz intervala ( ( ) ( ) ) nalaze rasporeena sa obe strane inegralnih krivih. Ako su reenja iz definicije -stabilnosti rasporeena sa obe strane, onda se iz -stabilnosti moe izvesti obina stabilnost.

Pojam orbitalne stabilnosti iri je od pojma stabilnosti u smislu Ljapunova. Pre nego to navedemo definiciju orbitalne stabilnosti uvedimo sledee oznake:

-oznaimo sa skup taaka u faznom prostoru promenjivih koje lee na trajektoriji reenja ( ). Pri tome se ( ) nalazi u oblasti n-dimenzionog Euklidovog prostora .

Definicija 2.3.3. Reenje ( ) se naziva orbitalno stanilnim, ako se za svako moe nai tako da iz ( ( ) ) proistie ( (

( )) ) , , gde je ( ) rastojanje take do skupa ( )

to znai, je orbitalno stabilna u odnosu na klasu integralnih krivih , ako svakom odgovaraju takvi ( ) i ( ) da ako u momentu prolazi kroz ( ), to ostaje unutar ( ) za (pod ( ) podrazumevamo sfernu okolinu u faznom prostoru ( )).

Stabilnost u smislu Ljapunova vai za svako iz oblasti definisanosti reenja, kod orbitalne stabilnosti svakom odgovara ( ) poev od koga e stabilnost vaiti. Razliitim -ima, za jedno isto reenje, odgovaraju razliiti ( ( )) poev od kojih reenje postaje stabilno. Jasno je da je reenje stabilno u smislu Ljapunova i orbitalno stabilno, ali obrnuto ne mora da vai.

Navedimo definiciju skoro stabilnog priblinog reenja M. Bertolina.

Definicija 2.3.4. Funkcija ( ) definisana na intervalu, ) zove se skoro stabilno

priblino reenje diferencijalne jednaine

( ), ako svakom (gde je

fiksiran pozitivan broj) odgovara ( ) tako da je | ( ) ( )| im je | ( ) ( )| .


19

Kao to se vidi, ( ) u ovoj definiciji ne mora biti reenje date jednaine. Napomenimo jo i da je za datu definiciju karakteristino da se ne uzimaju svi -i, nego samo oni koji su vei od nekog fiksiranog broja.

Lj. Proti daje uoptenje date definicije zamenom funkcije ( ) itavim pojasom. Zato moemo govoriti o stabilnosti pojasa, a ne funkcije ili reenja.

Definicija 2.3.5. Ako za svaku vrednost vai nejednakost ( ) ( ) za , tada skup nazivamo pojas . Pojas je stabilan u odnosu na reenje ( )

jednaine

( ), ako pri i ( ) ( ) ( ) za svako

bude ispunjen uslov ( ) ( ) ( )

Navedena definicija se moe dalje uoptiti, tako da dobijamo sledeu definiciju Lj. Protia:

Definicija 2.3.6. Neka je zatvoren skup u -dimenzionom prostoru i dati broj. Ako je ( ) i ako za reenje ( ) ostaje u skupu , tada kaemo da je skup stabilan, gde je skup svih taaka prostora ija su rastojanja od skupa manja od .

Navedimo i definiciju Joizave:

Definicija 2.3.7. Neka je zatvoren skup taaka. Oznaimo sa skup svih taaka prostora ija su rastojanja od skupa strogo manja od , gde je neki proizvoljan pozitivan broj. Skup je stabilan, ako svako reenje ( ) koje poinje u za neko ostaje u .

Navedimo par definicija iz oblasti jednaina sa stalno dejstvujuim poremeajima.

Definicija 2.3.8. Neka su dati sistemi diferencijalnih jednaina:

(a)

( ) ( )

(b)

( ) ( )

Trivijalno reenje sistema (a) naziva se stabilnim u odnosu na stalno dejstvujue

poremeaje, ako svakom odgovaraju i takvi da iz

pri

i

sledi

( ) pri , gde je ( ) reenje sistema (b) sa ( ) (razmatranje trivijalnog umesto bilo kog reenja ne smanjuje optost).

Ako razmatramo problematiku praktine stabilnosti u vezi sa stabilnou pri stalno

dejstvujuim poremeajima, onda posmatramo zatvoren ogranien skup u faznom prostoru koji sadri koordinatni poetak, kao i njegov podskup koji takoe sadri koordinatni poetak.


20

Definicija 2.3.9. Posmatrajmo sisteme diferencijalnih jednaina:

a) ( ),

( ) za

b) ( ) ( )

Neka je skup svih poremeaja koji ispunjavaju uslov ( ) za svako i za sve . Ako za svaki poremeaj iz , svaku taku iz i svaki moment reenje ( ) ostaje u za svako , kae se da je koordinatni poetak praktino stabilan.

I za kraj, navedimo i definiciju B. Vrdoljaka:

Definicija 2.3.10. Neka je ( ) tano ili priblino reenje jednaine

( ).

Kazaemo da je ( ) asimtotski stabilno pri stalnim poremeajima stacionarnih krivih, ako postoji neprekidna i monotono opadajua funkcija ( ) koja tei nuli kada , te ako postoji broj ( ) i neprekidna monotono opadajua funkcija ( ) koja tei nuli kada tako da za proizvoljno reenje ( ) jednaine

( ) ( )

ije poetne vrednosti zadovoljavaju nejednakosti | ( ) ( )| vai nejednakosti | ( ) ( )| ( ) za sve , kada je | ( ) ( )| ( ) za sve , gde su ( ) i ( ) odgovarajue krive stacionarnih taaka dveju posmatranih jednaina.

Kod ove definicije karakteristino je poreenje po bliskosti krivih stacionarnih taaka

jedne i druge jednaine, pri emu se ne daju nikakvi posebni uslovi za ( ), to je inae bitno za osnovnu definiciju stabilnosti pri stalno dejstvujuim poremeajima.


21

3 DIREKTNA LJAPUNOVLJEVA METODA

Direktna ljapunovljeva metoda je jedna od najefikasnijih metoda prouavanja stabilnosti reenja DJ. Ovom metodom radi se indirektna analiza stabilnosti i to analizom ponaanja analiticke funkcije koja je definisana za zadati sistem i koja mora imati odreene osobine. Ljapunov je u svojoj doktorskoj disertaciji pokazao kakve opte karakteristike moraju da poseduju te analitike funkcije za ispitivanje stabilnosti. Zbog toga se te funkcije nazivaju funkcijama Ljapunova.

3.1 Funkcije Ljapunova, Silversterov kriterijum

Neka je dat sistem diferencijalnih jednaina

( ) ( )

ili krae zapisano u vektorskom obliku

( ) (3.1.)

Gde je nelinearna, neprekidna, vektorska funkcija, dok je vektor stanja sistema.

Definicija 3.1.1. (Pozitivna definitnost). Za realnu neprekidnu funkciju

( ) ( )

kazemo da je lokalno pozitivno definitna ako vai ( ) i ako unutar podrucja ( ) vai ( ) .

Ako je ( ) i ako navedeno svojstvo vredi u celom prostoru ( ) tada je ( ) globalno pozitivno definitna.

Funkcija ( ) je negativno definitna ako je ( ) pozitivno definitna.

Definicija 3.1.2. (Pozitivno semidefinitna): Funkcija ( ) je pozitivno semidefinitna ako je ( ) i ( ) za .

Funkcija ( ) je negativno semidefinitna ako je ( ) pozitivno semidefinitna. Funkcije V definisane na ovakav nain se zovu funkcije Ljapunova.

Napomenimo da negde u literaturi funkcije Ljapunova se sreu pod razliitim nazivima. Tako npr. umesto termina pozitivno (negativno) definitna sreu se termini jednim


22

znakom odreena ili odreenog znaka. Termin pozitivno (negativno) semidefifntna moe se zameniti terminom konstantnog znaka ili semi-odreena.

Primer 3.1.1.

Funkcija

je pozitivna za vako i . Znai da je funkcija pozitivno definitna. U prostoru ( ) povr

se nalazi sa jedne strane ( )

ravni dodirujui je u koordinatnom poetku (slika 3.1).

Funkcija

( )

ne moe da bude negativna i za , a takoe i za . Funkcija V je pozitivno semidefinitna, ali nije pozitivno definitna. U prostoru funkcija V se nalazi

sa jedne strane ( ) ravni, a takoe tangentira ovu ravan u pravoj (slika 3.2)

Slika 3.1

Slika 3.2


23

Odredimo osobine funkcije . Pretpostavimo da je definitna funkcija ( ) kao i njeni izvodi neprekidna funkcija na svom domenu. Tada za funkcija ima lokalni ekstrem to znai da svi parcijalni izvodi prvog reda u toj taki su jednaki nuli:

4

5

( ) (3.2.)

Ako razloimo funkciju u Maklorenov red po stepenima dobijamo sledee:

( ) 4

5

4

5

(3.3.)

Kako je ( ) i (

)

sledi da je

(3.4.)

gde su konstante definisane na sledeci nain

4

5

Iz (3.4) sledi da razloena definitna funkcija ne sadri linearne lanove. Pretpostavimo da je kvadratna forma

(3.5.)

stalno pozitivna i jednaka nuli samo za . Ignoriui lanove stepena veeg od 2, za dovoljno male apsolutne vrednosti od i funkcija takodje je stalno pozitivna i jednaka 0 samo za . Tako da iz predhodnog vai da ako je kvadratna forma (3.5) pozitivno definitna tada i funkcija mora biti pozitivno definitna.

Za ispitivanje da li je kvadratna forma pozitivno definitna koristi se kriterijum Silvestera.

Posmatrajmo matricu koeficijenata kvadratne forme (3.5)

[

]


24

Formirajmo n glavnih dijagonalnih minora:

|

| |

|

Sada moemo formulisati kriterijum Silvestera: Da bi kvadratna forma sa realnim koeficijentima bila pozitivno definitna, potrebno je i

dovoljno da svi glavni dijagonalni majnori matrice budu pozitivni:

Iz predhodnog sledi da kriterijum Silvestera je dovoljan uslov za pozitivnu definitnost

kvadratnog dela funkcije odreene formulom (3.4).

Ako je funkcija negativno definitna, tada je pozitivno defiitna. Znai, dovoljan

uslov za to da funkcija bude negativno definitna je kriterijum Silvestera za matricu . Taj kriterijum ima oblik:

Sledei stav nam daje jednu veoma vanu i interesantnu osobinu funkcije :

Teorema 3.1.1.:Ako je funkcija pozitivno (negativno) definitna tada je povrina ( ) zatvorena.

Dokaz: Pretpostavimo da je funkcija pozitivno definitna. Uzmimo sferu

i pretpostavimo da je najmanja vrednost funkcije na ovoj sferi takva da sfera i funkcija zadovoljavaju nejednakost . Kako je funkcija pozitivna sledi da je . Konstruiimo povinu birajui . Kreui se od koordinatnog poetka du proizvoljne linije do sfere vrednost funkcije e se promeniti od nule do vrednosti vee od (s obzirom da je ) (slika 3.3). Zbog neprekidnosti, u odreenoj taki funkcija dobija vrednost jednakoj , odnosno prava linija see povrinu u taki . Kako je proizvoljna linija, znai da je povrina zatvorena.

Slika 3.3

L


25

Posledica 3.1.1.a. Ako je | | | | tada je povrina se nalazi unutar povrine nemaju zajednikih taaka (Slika 3.4).

3.2 Ljapunovljeva teorema o stabilnosti kretanja

Neka je dat sistem diferencijalnih jednaina:

( ) (3.6.)

Pretpostavimo da je funkcija ( ) diferencijabilna, i kako ona predstavlja implicitnu funkciju vremena , onda moemo odrediti i njene izvode po :

( )

ili u vektorskom obliku

( )

( )

gde je parcijalni izvod funkcije po vektoru oblika

[

]

a funkcija je oblika ( ) , ( ) ( ) ( )-

Teorema Ljapunova 3.2.1. (o stabilnosti kretanja): Ako se za sistem (3.6) moe nai

pozitivno (negativno) definitna funkcija ( ) ( ) iji je izvod ( ) ( ) negativno (pozitivno) semidefinitna funkcija, tada je trivijalno reenje sistema stabilno.

c

Slika 3.4


26

Dokaz: Izaberimo proizvoljno i dovoljno malo , i konstruiimo sferu

(slika 3.5).

Kako je funkcija neprekidna i jednaka nuli u koordinatnom poetku, onda , moemo konstruisati povrinu koja lei unutar sfere . Izabraemo tako malo da sfera

cela lei unutar povrine i da sa njom nema zajednikih taaka.

Izaberimo taku P koja zapoinje kretanje iz sfere i dokaimo da nikada nee doi do sfere , i to e biti dokaz stabilnosti kretanja.

Oznaimo sa vrednost funkcije u poetnoj taki . Tada vai

Kako je funkcija ( ) sledi da je

tj.

Iz ove nejednakosti sledi da pri posmatrana taka se nalazi ili na povrini (pri ) ili se nalazi unutar te porvine. Znai taka koja poinje kretanje iz poloaja koji se nalazi unutar sfere (ili na njoj) ne izlazi iza povrine i tim pre ne moe da dostigne povinu sfere (taka opisuje trajektoriju nekog reenja sistema DJ koje je za u okolini koordinatnog poetka).

Primer 3.2.1: Neka je zadat sistem diferencijalnih jednaina

O

Slika 3.5


27

Uzmimo u obzir pozitivno definitnu funkciju

(

)

iji je prvi izvod po

Nakon zamene i u prethodnu jednainu dobijamo:

( ) (

) ( )

Kako je funkcija pozitivno definitna i negativna funkcija, tada po Ljapunovljevoj teoremi trivijalno reenje poetnog sistema je stabilno.

Teorema Ljapunova 3.2.2 (o asimptotskoj stabilnosti): Ako se za sistem (3.6) moe nai

pozitivno (negativno) definitna funkcija ( ) ( ) iji je izvod ( ) ( ) negativno (pozitivno) definitna, tada je trivijalno reenje sistema asimptotski stabilno.

Dokaz:

Primeujemo da su ispunjeni svi uslovi Ljapunovljeve teoreme o stabilnosti kretanja tj.

trajektorija reenja za koje je u -okolini koordinatnog poetka ne izlazi iz povrine .

Kako je prema uslovu teoreme ( ) i

znai da je funkcija ( )

pozitivna i monotono opadajua i ima granicu . Taka tei sa spoljne strane ka . Treba da dokaemo da je (slika 3.6).

Pretpostavimo suprotno tj . Tada je po uslovima teoreme funkcija negativna u zatvorenoj oblasti izmedju i . Znai da je

( )

O

Slika 3.6 (Teorema 3.2.2)


28

Kako je

vai da je

tj.

( )

Odavde se vidi da za neko dovoljno veliko funkcija e postati negativna, to je nemogue prema uslovima teoreme (funkcija je pozitivno definitna). Kontradikcija je dobijena zbog predpostvke da je . Znai da je i uoena taka asimptotski tei koordinatnom poetku.

Primer 4.2.2.: Posmatrajmo sistem diferencijalnih jednaina

i uzmimo funkciju u sledeem obliku:

(

)

Koristei Silvesterov kriterijum, lako se dokazuje da je ova funkcija pozitivno definitna.

Naimo izvod funkcije po vremenu

( ) ( )

Zamenom i dobijamo

Matrica koeficijenata lanova i

je

0

1

Odakle je

|

|


29

Po Silvesterovom kriterijumu funkcija je negativno definitna, pa je trivijalno reenje sistema asimtotski stabilno po Ljapunovljevoj teoremi o asimptotskoj stabilnosti.

3.3 Teoreme o nestabilnosti

Ljapunov je formulisao i dve teoreme o nestabilnosti reenja sistema diferencijalnih jednaina. Tokom tridesetih godina prologa veka etaev je uspeo da generalizuje ove teoreme i dokae teoremu iz koje Ljapunovljeva teorema proizilazi kao poseban sluaj.

Neka je data realna, neprekidna, jednim znakom odreena funkcija ( ) definisana na svom domenu

gde je pozitivna konstata.

Teorema (etaeva) 3.3.1.: Ako se za sistem diferencijalnih jednaina

( ),

moe nai funkcija ( ) za koju u koliko god maloj okolini koordinatnog poetka postoji oblast i ako je izvod funkcije , pozitivno definitna u oblasti , tada je trivijalno reenje poetnog sistema nestabilno.

Dokaz: Neka je proizvoljno malo i konstruiimo sferu

. U cilju da dokaemo nestabilnost neporemeenog kretanja, dovoljno je posmatrati samo jednu putanju take koja prodire izvan sfere. Razmotrimo i poetni poloaj take u oblasti I obeleimo ga sa , koja moe biti proizvoljno blizu koordinatnog poetka, ali se sa njim nikada nee poklopiti. Kako je prema zahtevima teoreme

U oblasti funkcija monotono raste, znai da vai za svako da je

( )

Gde je vrednost funkcije V u taki .

Pretpostavimo da pokrenuta taka iz poetnog poloaja ne moe da pree granicu oblasti . Predpostavimo da taka nikada ne naputa sferu tj. uvek ostaje unutar zatvorene oblasti (slika 3.7),


30

( ) .

Tada funkcija je ograniena za svako s obzirom da je neprekidna i da ne zavisi od tj. bie zadovoljen uslov

gde je L pozitivan broj.

Izvod je takoe pozitivna i oraniena funkcija u zatvorenoj oblasti (pozitivna je po pretpostavci teoreme, a ograniena zbog neprekidnosti i to ne zavisi od ). Otuda funkcija ima infimum na svom domenu gde je . Ako predpostavimo da taka ne naputa sferu i otuda ostaje stalno unutar oblasti tada za svako izvod funkcije e zadovoljavati uslov

Koristei predhodnu nejednakost i jednakost

dobijamo

( )

Iz ovoga proizilazi da bi trebalo da raste po vremenu bez ogranienja, to je kontradikcija sa uslovom da funkcija je ograniena i sa pretpostavkom da taka ne naputa sferu.

Teorema o nestabilnosti (Ljapunov) 3.3.2.: Ako se za sistem diferencijalnih jednaina

( ),

Slika 3.7 Domen Teorema 3.3.1


31

moe nai funkcija iiji je izvod funkcija odreenog znaka, takva da u okolini koordinatnog poetka njen znak moe da se poklapa sa znakom , tada je neporemeeno kretanje (trivijano reenje) nestabilno.

Dokaz:

U skladu sa zahtevima teoreme Ljapunova izvod treba da bude pozitivno definitna funkcija u okolini nule (bez gubitka optosti moemo pretpostaviti da ) i na taj nain je pozitivno definitivna u istoj oblasti u kojoj je funkcija pozitivna. Tako da su svi uslovi teoreme etaeva zadovoljeni ime je dokazana teorema Ljapunova

Primer 3.3.1:

Neka je dat sistem diferencijalnih jednaina

Dokaimo da je trivijalno reenje nestabilno. Posmatrajmo funkciju

Prvi izvod ove funkcije je funkcija

nakon zamene i dobijamo

Kako je ovaj izvod pozitivan za sve i za sve , svi uslovi etaeve teoreme su ispunjeni za ( levi deo funkcije domena moe se ignorisati) to znai da je trivijalno reenje nestabilno.

3.4 Metode odreivanja funkcije Ljapunova

Da bi glavna teorema direktne Ljapunovljeve metode mogla biti primenjena potrebno je

konstruisati funkciju Ljapunova koja zadovoljava odreene uslove. Na alost, izbor funkcije Ljapunova nije jednostavan problem. Za jedan isti sistem moemo imati veliki

broj pozitivno definitnih funkcija ( ). Neke od njih mogu imati negativno definitan izvod u odreenim oblastima ravnotenog stanja, druge - izvod jednak nuli ili pozitivno

definitan. Zbog toga, pri izboru , moemo govoriti samo o kandidatu funkcije Ljapunova. Ako nismo u stanju da naemo funkciju Ljapunova to jo uvek ne znai da dati sistem nije stabilan. Ako smo odredili stabilnost sistema u ogranienoj oblasti, u okolini ravnotenog stanja, to nikako ne znai da sistem nije stabilan i za poetna stanja iz druge oblasti. To, pre svega, govori o tome da direktna metoda Ljapunova daje samo


32

dovoljne, ali ne i potrebne uslove stabilnosti, a zatim, i da izbor funkcije Ljapunova nije

uvek jednostavan zadatak. Ipak za neke klase sistema razvijeni su prilazi koji

omoguavaju relativno jednostavan postupak utvrivanja stabilnosti sistema na osnovu unapred poznatog oblika kandidata funkcije Ljapunova.

Navedimo par metoda koje se najee koriste prilikom reavanja odreenih problema.

1. Metoda transformacije koordinata. Transformacijom koordinatnog sistema esto se deava da poetni problem se transformie u diferencijalnu jednainu za koju je vrlo lako nai odgovarajuu funkciju Ljapunova (ovakav pristup se koristi u poglavljima 4.1 i 4.2).

2. Metoda odreenih koeficijenata. Traimo funkciju Ljapunova u obliku kvadratne forme sa konstantnim koeficijentima:

( )

(3.7.)

Pre svega, neodreene koeficijente nalazimo tako da zadovoljavaju Silvesterov

kriterijum. U tom sluaju funkcija je pozitvno definitna. Kako je broj koeficijenata

jednak ( ) , znai da imamo ( ) nezavisnih koeficijenata sa kojima moemo da manipuliemo. Pretpostavimo da moramo da odredimo uslove parametara sistema za koje je sistem

stabilan i zatim pokuajmo da izaberemo nezavisne koeficijente takve da izvod je

negativno definitna funkcija. Ako se ovakvi koeficijenti mogu nai onda je neporemeeno kretanje stabilno.

3. Konstrukcija funkcije Ljapunova pomou integrala. Pretpostavimo da sistem jednaina

( )

zadovoljava integral

( )

za koga vai da je razlika ( ) ( ) pozitivno definitna funkcija. Tada moemo uzeti u obzir funkciju Ljapunova u obliku

( ) ( )

U nekim sluajevima, poetni sistem zadovoljava vie integrala

( ) ( )


33

Gde su integralne konstante za koje nijedan od navedenih inetgrala je pozitivno definitna funkcija. U tom sluaju, etaev predlae za funkciju Ljapunova linearnu kombinaciju integrala

, ( )- , ( )- ,

( )- ,

( )-

Gde su konstante koje moraju da se odrede. Ako ove konstante mogu da se nau tako da funkcija bude pozitivno definitna, tada funkcija zadovoljava sve uslove teoreme Ljapunova o stabilnosti. Primetimo sledee:

a) Jedan od koeficijenata i moe biti proizvoljno izabran-npr. moemo uzeti da je

b) esto je mogue konstruisati funkciju Ljapunova kao linearnu kombinaciju

integrala uzimajui da je . Kvadratne integralne lanove trebalo bi uzeti u obzir jedino kada je linearna kombinacija nedovoljna.

c) U mnogim sluajevima integrali datog sistema se mogu nai bez direktne integracije jednaina poetnog sistema. Ovim pristupom se izbegavaju suvine transformacije.

Navedeni metod etaeva konstruisanja funkcije Ljapunova je veoma efikasan.

Primer - Primena Ljapunovljeve teoreme o stabilnosti kretanja

Jedna od najefikasnijih metoda pogodnih za prouavanje stabilnosti kretanja je spomenuta etaeva metoda kombinacije integrala. Navedimo jedan primer efikasne primene ove metode.

Primer 3.4.1. Stabilnost kretanja cilindrinog klatna

Razmotrimo stacionarno kretanje (kretanje ija brzina ne zavisi od vremena) take , mase koja je okaena o besteinski konac duine i pod uticajem gravitacione sile kree se konstantnom brzinom du horizontalne krune putanje (Slika 3.8a).

Klatno koje je fiksirano u taki opisuje kruni konus tokom stacionarnog kretanja.

Oznaimo sa ugao izmeu klatna i vertikalne ose i brzinu rotacije klatna oko pomenute ose. Ugao , ugaona brzina i duina klatna su u relaciji:

(3.1.)

Pretpostavimo da je opisano neporemeeno kretanje, poremeeno. U posmatranom

poremeenom kretanju, oznaimo sa ugao izmeu klatna i vertikalne ose (slika 3.8b) i ugaonu brzinu rotacije ravni oko vertikalne ose .


34

O

O

Uvedimo sledee smene:

(3.2.)

Analizirajmo stabilnost neporemeenog kretanja u zavisnosti od i . Kinetika energija i potencijalna energija klatna su odreene jednainama:

( ),

Kako je potencijalna energija klatna posledica gravitacije, i takoe kako je koordinata ciklina (kinetika energija zavisi od generalizovane brzine, ali ne zavisi od koordinate

i generalizovana sila koja odgovara ovoj koordinati je jednaka nuli:

),

postoje dva integrala kretanja:

( )

,

gde su i konstante. Koristei jednakosti (3.9) navedene integrale moemo zapisati u obliku:

( ) , ( ) ( )

-

( )

( ) ( ) ( ) (3.3.)

a)

b) Slika 3.8


35

Nijedan od navedenih integral nije definitna funkcija u odnosu na . Dakle moemo formirati linearnu kombinaciju integrala (3.10). gde je i :

( ) , ( )- , ( ) ( )

-

( ) (

)

( ) ( )

lanovi (

) i su morali biti ukljueni, inae funkcija

bila bi jednaka nuli za .

Zamenimo razlomak

sa jednakou (3.8) i razvijmo funkciju u stepeni red.

Dobijamo:

( )

( )

Zamenimo stepeni red po ( ) i ( ) u . Nakon sreivanja izraza,

dobijamo:

,( ) -

( ) ( )

( )

Da bi funkcija bila pozitivno definitna, trebalo bi da lanovi prvog reda po budu jednaki nuli. Dovoljno je uzeti da je:

Za ovu vrednost , funckija postaje:

Kako je kvadratni deo funkcije pozitivno definitan u odnosu na , to znai da je i itava funkcija pozitivno definitna za dovoljno male veliine . Na osnovu (3.10) izvod funkcije po vremenu je indentiki jednak nuli i samim tim, stacionarno kretanje konusnog klatna je stabilno u odnosu na .


36

4 STABILNOST PO PRVOM PRIBLIAVANJU (Prva Ljapunovljeva metoda)

U ovom odeljku emo se upoznati sa prvom Ljapunovljevom metodom ili metodom linearizacije. Ovom metodom se analizira lokalna stabilnost nelinearnog sistema. Ideja

ove metode je da se stabilnost nelinearnog sistema ispita analizom stabilnosti linearnog

sistema, dobijenog linearizacijom poetnog nelinearnog sistema u blizini stanja ravnotee.

4.1 Formulacija problema

Ispitivanje stabilnosti trivijalnog reenja sistema diferencijalnih jednaina

(4.1.)

(gde nelinerani lanovi sadre sa stepenima viim od prvog) esto se realizuje pomou tzv. prvog pribliavanja tj. pomou sistema diferencijalnih jednaina oblika:

(4.2.)

Potrebno je odrediti uslove pod kojim je mogue dobiti informacije o stabilnosti trivijalnog reenja sistema (4.1) na osnovu ispitivanja sistema (4.2) pri ma kakvim

nelinearnim lanovima . Ovaj problem je prvi formulisao Ljapunov 1892. godine. On je uspeo da kompletno rei

ovaj zadatak za autonomne sisteme, gde su svi koeficijenti konstante, kao i za mnoge

sluajeve neautonomnih sistema u kojima konstate zavise od vremena , tj.

( )

Napomenimo sledee: Partikularno reenje sistema diferencijalnih jednaina (4.2) se trai u obliku:

(4.3.)

gde su konstante. Diferencirajui jednakosti (4.3) dobija se

(4.4.)


37

Zamenimo vrednosti iz (4.4) i iz (4.3) u sistem (4.2) i podelimo dobijene jednaine sa zajednikim deliocem . Nakon sreivanja dobijamo sistem linearnih, homogenih, algebarskih jednaina u odnosu na konstnte

( ) ( )

(4.5.) ( )

Da bi dati sistem imao netrivijalna reenja determinata tog sistema mora biti jednaka nuli:

|

| (4.6.)

Datoj karakteristinoj determinanti odgovara tzv. karakteristina jednaina:

(4.7.)

Data jednaina ima korena . Ako karakteristina jednaina nema dva jednaka korena (i svi koreni su prosti), tada postoji takva linerana transformacija

(4.8.)

koja svodi sistem diferencijalnih jednaina (4.2) na oblik:

{

(4.9.)

Promenjive su kanonske preomenjive, a sistem diferencijalnih jednaina (4.9) kanonski sistem.

Ako primenimo transformaciju (4.8) na sistem diferencijalnih jednaina (4.1) dobijamo sistem

{

(4.10.)


38

Gde su nelinearni lanovi koji sadre sa stepenima viim od prvog.

Svakom kompleksnom korenu karakteristine jednaine (4.7) odgovara konjugovano-kompleksan koren , gde su realne konstante, a njima odgovara konjugovano-kompleksne kanonske promenjive i , gde su realne funkcije u zavisnosti od vremena . Realnim korenima karakteristine jednaine odgovaraju realne kanonske promenjive . Kako su svi koeficijenti transformacije (4.8) konstantni brojevi, to iz stabilnosti (nestabilnosti) trivijalnih reenja sistema (4.1) ili (4.2) sledi stabilnost (nestabilnost) trivijalnih reenja (4.10) ili (4.9) i obratno.

Pretpostavimo da je uoen linearan sistem (4.2), odnosno (4.9). Pod pretpostavkom da su svi koreni prosti, sistem diferencijanih jednaina (4.9) su nezavisne meusobno. Reenja tog sistema su u obliku:

{

(4.11.)

gde su vrednosti funkcija za . Neka su reenja karakteristine jednaine (ako je i , tada su reenja kompleksna, za reenja su imaginarna, za reenja su realna, i za reenja su jednaka nuli). Tada e biti:

| | | ( ) | | |,

imajui u vidu da je | | za ma koje i , sledi

| | (4.12.)

Iz poslednje jednakosti, pri sledi da je:

{

| |

| |

| |

(4.13.)

Iz (4.11) i (4.9) sledi teorema o stabilnosti trivijalnog reenja linearnih sistema u sluaju razliitih korena karakteristine jednaine:

Teorema 4.1.1: Ako svi koreni karakteristine jednaine imaju negativne realne delove

(svi ) tada je trivijalno reenja asimptotski stabilno ( svi za ).


39

Teorema 4.1.2: Ako meu korenima karakteristine jednaine ima bar jedan iji je realan

deo pozitivan tada je trivijalno reenje nestabilno (najmanje jedan za ).

Teorema 4.1.3: Ako su realni delovi nekih korena karakteristine jednaine jednaki nuli, a realni delovi ostalih korena su negativni tada je trivijalno reenje stabilno, ali ne asimptotski.

4.2 Teorema o stabilnosti po prvom pribliavanju

Teorema 4.2.1 o stabilnosti po prvom pribliavanju (Ljapunov): Ako su realni delovi svih korena karakteristine jednaine (4.7) negativni, tada je trivijalno reenje asimptotski stabilno nezavisno od lanova reda vieg od prvog.

Dokaz. Pretpostavimo da su svi koreni karakteristine jednaine prosti. Takoe, pretpostavimo da su neki koreni karaktersitine jednaine konjugovano-kompleksni, a ostali realni. Da budemo precizniji, pretpostavimo da imamo dva para kompleksnih

korena:

(4.14.)

i neka su ostali koreni realni. Kompleksno-konjugovanim korenima odgovaraju konjugovano kompleksne promenjive

(4.15.)

Gde su realne funkcije od , a realnim korenima odgovaraju kanonske promenjive Konstruiimo funkciju Ljapunova:

(

) (4.16.)

Ako su svi koreni date funkcije konjugovano kompleksni onda je:

( )

Ako su svi koreni realni, tada je :

(

)


40

Pre svega, primetimo da je realna pozitivno definitna funkcija, funkcija promenjivih . To sledi iz jednakosti

( )( )

( )( )

(4.17.)

Izvod funkcije je funkcija oblika

( )

Imajui u vidu (4.10) dobijamo sledee:

,( ) ( ) ( ) ( )-

( ) ( ) ( )

Odakle je nakon grupisanja:

,( ) ( ) )-

Gde predstavlja skup svih lanova koji sadre sa stepenima viim od drugog.

Kako je prema (4.14)

i uzimajui u obzir jednakost (4.14) dobijamo

(

) (

)

(4.18.)

Prema uslovu teoreme realni delovi svih korena karakteristine jednaine su negativni tj.

Odatle sledi da je kvadratni deo negativno definitna funkcija promenjivih , i ak ta vie, pri dovoljno malim vrednostima | | kompletan izvod e biti negativno definitna funkcija, nezavisno od lanova vieg reda. Prema tome svi uslovi teoreme Ljapunova o asimptotskoj stabilnosti su ispunjeni, ime je teorema dokazana.


41

4.3 Teorema o nestabilnosti po prvom pribliavanju

Teorema o nestabilnosti po prvom pribliavanju (Ljapunov) 4.3.1: Ako bar jedan od korena karakteristine jednaine ima realan deo pozitivan, tada je trivijalno reenje (neporemeeno kretanje) nestabilno, nezavisno od lanova reda vieg od prvog.

Dokaz: Po pretpostavci teoreme barem jedan koren karakteristine jednaine ima

pozitivan realan deo. Neka je taj koren , takav da je . Zbog jednostavnosti, pretpostavimo sledee:

1) Svi koreni imaju realan deo razliit od nule

2) Koreni su prosti Specijalno, kao i ranije, pretpostaviemo da karakteristina jednaina ima ima dva para

konjugovano-kompleksnih korena , dok su ostali koreni svi realni. Konstruiimo funkciju Ljapunova na sledei nain:

(

)

(4.19.)

Primetimo da ova realna funkcija moe biti pozitivna npr. za Dalje, njen izvod je:

{

, ( ) -}

Ako u ovu funkciju zamenimo iz jednakosti (4.10), i grupisanjem i sreivanjem izraza, dobijamo sledee:

{

,( ) ( ) )-

}

gde predstavlja skup svih lanova koji sadre sa stepenima viim od drugog.

Koristei jednakosti (4.14) i (4.17) dobijamo:

* (

) (

)

+

(4.20.)

Kako je prema pretpostavci i razliiti od nule, tada je kvadratni deo pozitivno definitna. Takoe je, za dovoljno malo | |, itava funkcija pozitivno definitna nezavisno od lanova vieg reda. Time je teorem dokazana jer su ispunjeni svi uslovi Ljapunovljeve teoreme o nestabilnosti.

Navedene dve teoreme o stabilnosti po prvom pribliavanju reavaju zadatak u dva sluaja:


42

1) Svi koreni karakteristine jednaine imaju negativan realan deo 2) Najmanje jedan koren ima pozitivan realan deo.

U oba sluaja, stabilnost trivijalnog reenja se moe kompletno odrediti pomou jednaina prvog pribliavanja ne analizirajui nelinearne lanove. U koliko je struktura korena karakteristine jednaine drugaija, npr. realni delovi nekih (ili svih) korena mogu biti jednaki nuli, a realni delovi ostalih korena su negativni, tada se

takvi sluajevi nazivaju kritinim sluajevima. Za odreivanje stabilnosti trivijalnog reenja kritinih sluajeva nije dovoljno prouavati jednainu prvog pribliavanja ve je potrebno razmatrati uticaj nelinearnih lanova.

Primer 4.3.1:

Neka je dat sistem diferencijalnih jednaina:

Trivijalno reenje je reenje datog sistema. Sistem prvog pribliavanja je:

A njegova karakteristina jednaina je:

|

|

Koreni date karakteristine jednaine su:

Pa je trivijalno reenje polaznog sistema nestabilno.

4.4 Kriterijum Hurvica (Hurwitz)

Ako je data karakteristina jednaina u obliku

(4.21.)

sledei zadatak je od najveeg inetersa za primenu prve Ljapunovljeve metode:

Koje uslove treba da ispunjavaju koeficijenti da bi svi realni delovi korena krakateristine jednaine bili negativni?


43

Ovaj problem je prvi put bio formulisan od strane Maksvela (Maxwell) 1868. god., koji

je uspeo da nae reenje tj. da rei problem za . Godine 1877, Raut daje generealno reenje datog problema, da bi 1895. god. i Hurvic doao do istog reenja. Uslovi Rauta i Hurvica su ekvivalentni, ali se razlikuju po formi. Napomenimo da uslovi Hurvica

pogodniji i ee se primenjuju.

Formirajmo sledeu matricu od koeficijenata

[

]

(4.22.)

Matrica je konstruisana na sledei nain: na glavnoj dijagonali su koeficijenti

, a u neparnim vrstama su koeficijenti sa neparnim indeksima (u parnim vrstama sa parnim indeksima). Ako lan koji ispunjava predhodne uslove ne postoji u jednaini (4.21) tada se on zamenjuje nulom. Konstruiimo glavne dijagonalne minore date matrice:

|

| (4.23.)

( vai iz razloga to u poslednjoj koloni matrice (4.22) svi elementi, osim , jednaki nuli). Tada vai sledea teorema:

Teorema Hurvica 4.4.1: Da bi svi koreni karakteristine jednaine (4.21), sa realnim

koeficijentima i , imali negativne realne delove, neophodno je i dovoljno, da svi glavni dijagonalni minori budu pozitivni tj:

(4.24.)

Napomenimo sledee:

1) Ako je bar jedan od , tada meu korenima karakteristine jednaine (4.21) postoje takvi iji su realni delovi pozitivni

2) Imajui u vidu Vijetove formule:

( )

( )

(4.25.)

vai sledee:


44

a) Pri , neophodan uslov da svi koreni karakteristine jednaine (4.21) imaju negativne realne delove, je da svi koreficijenti budu pozitivni tj:

(4.26.)

b) Ako pri bar jedan od koeficijenata je negativan, tada meu korenima jednaine (4.21) postoje takvi da su im realni delovi pozitivni. Napomenimo da uslovi (4.26) nisu dovoljni za negativnost realnih delova karakteristine jednaine.

Hurvicevi uslovi za su:

1. Za : Karakteristina jednaina je oblika

Za uslovi za asimptotsku stabilnost je

2. Za karakteristina jednaina je oblika

Matrica (4.22) i Hurvicev uslov su oblika:

[

]

te su stoga uslovi asimptotske stabilnosti za :

3. Za karakteristina jednaina je oblika

Odgovarajua matrica i Hurvicev kriterijum su oblika:

[

],

pa su uslovi asimptotske stabilnosti:

(4.27.)


45

4. Za jednaina je

(4.28.)

Odgovarajua matrica i Hurvicevi uslovi su:

[

],

pa su uslovi za asimptotsku stabilnost sledei:

(4.29.)

pod pretpostavkom da je .

Probajmo da izvedemo primer koji pokazuje, za sluajeve gde je n > 2, ispunjenje nejednakosti (4.26) uslov da svi koreni karakteristine jednaine imaju negativne realne delove, nije dovoljan. Uzmimo u razmatranje jednainu treeg stepena:

Svi koeficijenti date jednakosti su pozitivni, to znai uslov (4.26) je zadovoljen. Meutim, dva reenja date jednaine imaju pozitivan realan deo:

,

dok je tree reenje negativno. Napomenimo da za ovaj problem nejednakosti, odgovarajua trea nejednakost u (4.27) imasuprotan znak

( ) ( )

Zakljuimo da je Hurvicev uslov veoma pogodan za . U sluaju kada je veliko i kada je leva strana karakteristine jednaine data u obliku determinante, a ne polinoma (razvoj determinante vieg reda je veoma sloen i teak proces), onda je korisno koristiti numerike metode.


46

5 STABILNOST REENJA LINEARNIH SISTEMA

U ovom poglavlju bie izloene metode za analizu i odreivanje stabilnosti linearnih sistema diferencijalnih jednaina.

5.1 Stabilnost sistema sa promenjivim koeficijentima

Neka nam je dat sistem oblika

( ) (5.1.)

i neka je ( ) (matrica reda ) reenje DJ (5.1) koje zadovoljava uslov ( ) ( ) gde je jedinina matrica. Tada za dati sistem vai sledee tvrenje:

Teorema 5.1.1. Sistem (5.1) je stabilan u smislu Ljapunova ako i samo ako je

( ) , gde je konstanta i

Dokaz: Za svaka dva reenja ( ) ( ) sistema (5.1) vai da je

( ) ( ) ( ), ( ) ( )-

( ) jeste reenje jednaine (5.1) i ima vrednost ( ) za . Tako da prema teoremi o jedinstvenosti reenja ono se poklapa sa ( ) za svako . Pretpostavimo da je ( ) . Za dato moemo uzeti neko . Tada

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Vai i obrnuto:

Pretpostavimo da za dato postoji neko takvo da iz

( ) ( ) ( ) ( ) za svako

Ako uzmemo ( ) ( ) ( ) ( ) za , imamo

( ) ( ) ( )

gde ( ) pretstavlja -tu kolonu matrice ( ). Iz poslednje nejednakosti imamo da je ( )

, za svako . Odatle sledi da je

( )

ime je teorema dokazana.


47

Definicija 5.1.1. Reenje ( ) sistema (5.1) je uniformno stabilno ako za proizvoljno , postoji neko ( ) takvo da za svako i svako reenje ( ) jednaine (5.3) iz ( ) ( ) ( ) ( ) , za svako .

Oigledno je, da ako je ( ) uniformno stabilno reenje sistema (5.1), tada je svako reenje datog sistema uniformno stabilno, pa se dati sistem moe zvati uniformno stabilan sistem DJ.

Oznaimo sa ( ) fundamentalno reenje sistema (5.1), za koga vai da je ( ) , gde je jedinina matrica. Tada vai sledee tvrenje:

Teorema 5.1.2. Sistem DJ (5.1) je uniformno stabilan ako i samo ako je ( ) ( ) , za neku konstantu i . Dokaz:

Za svako reenje ( ) sistema (5.1) i svako drugo reenje ( ), onda imamo da je ( ) ( ) ( ) ( ), ( ) ( )-, pa se dokaz izvodi kao dokaz Teoreme 5.1.1

Vie o datim sistemima u , -.

5.2 Stabilnost nehomogenih linearnih sistema

Posmatrajmo nehomogeni sistem jednaina

( ) ( ) (5.2.)

gde su ( ) ( ) neprekidne na , ). Za navedeni sistem vai sledee tvrenje:

Teorema5.2.1.: Sva reenja sistema jednaina su (5.2) su istovremeno ili stabilna ili nestabilna.

Dokaz: Neka je ( ) proizvoljno partikularno reenje sistema jednaina (5.2). Uvedimo smenu ( ) ( ). Tada sistem jednaina (5.2) se transformie u homogeni sistem linearnih jednaina

( ) (5.3.)

pri emu reenju ( ) odgovara trivijalno reenje sistema (5.3), to znai da sva partikularna reenja jednaina (5.2) se ponaaju (to se stabilnosti tie) kao i trivijalno reenje sistema (5.3).

Neka je stabilno reenje. To znai da za svako postoji ( ) takvo da za svako drugo reenje ( ) ( ) sistema jednaina (5.3), iz uslova sledi nejednakost ( ) za . Kako je ( ) ( ) tada iz

( ) ( ) ( ) ( )


48

tj. reenje sistema (5.2) je stabilno, ime je teorema dokazana.

Napomenimo da predhodno dokazana teorema ne vai za nelinearne sisteme jednaina.

Posledica 5.2.1. Bilo koje reenje nehomogenog linearnog sistema DJ (5.2) je stabilno po Ljapunovu (asimptotski), ako i samo ako je stabilno po Ljapunovu (asimptotski)

trivijalno reenje odgovarajueg homogenog sistema DJ ( )

Znai da je za ispitivanje stabilnosti bilo kog nehomogenog linearnog sistema DJ (5.2) dovoljno ispitati stabilnost trivijalnog reenja odgovarajueg homogenog sistema

( )

5.3 Stabilnost sistema sa konstantnim koeficijentima

Posmatrajmo sistem jednaina oblika

(5.4.)

gde je ( ) konstantna kvadratna matrica i neka je trivijalno reenje sistema i . Za taku kaemo da je poloaj ravnotee sistema (5.4). Treba odrediti uslove stabilnosti sistema (5.4).

Prvo emo navesti dve leme koje e nam kasnije biti potrebne.

Uzmimo da su nule polinoma ( )

Lema 5.3.1: Ako postoji takvo da je tada za proizvoljno reenje ( ) sistema (5.4) vai

( )

Dokaz: Reenje ( ) sistema moemo predstaviti u obliku

( ) ( )

gde su ( ) ( ( ) ( ) ( )) i polinomi po . Dalje vai:

( ) ( )

| | ( )


49

Kada pomnozimo poslednju jednakost sa dobijamo sledee:

( ) ( ) ( )

Kako je tada

( ) i ( )

( )

Sto znai da je i funkcija

( ) ( )

ograniena za tj.

( ) ( )

Sledi,

( ) tj. ( )

ime je lema dokazana.

Lema 5.3.2: Ako postoji takvo da je , tada za svako reenje ( ) ( ) sistema jednaina (5.4) vai:

( )

Dokaz: Neka je ( ) reenje sistema jednaina (5.4) koje zadovoljava uslov ( ) gde je ( ). Kako je determinanta Vronskog od skupa funkcija ( ) ( ) ( ) za razliita od nule, onda su reenja ( ) sistema jednaina (5.4) linearno nezavisna, a to znai da bazu prostora reenja sistema

jednaina (5.4) grade funkcije ( ) ( ) ( ). Neka je (

) i

( ) ( )

Funkcija ( ) je reenje sistema (5.4) koje zadovoljava poetni uslov ( ) . Reenje ( ) takoe zadovoljava isti uslov, pa je na osnovu teoreme o egzistenciji i jedinstvenosti reenja

( ) ( )


50

Prema lemi 5.3.1 imamo da je:

( )

Uzmimo da je * +. Tada je

( ) ( )

| |

gde je . Time je lema dokazana.

Definicija 5.3.1. Polinom ( ) koji ima sve nule sa negativnim realnim delovima nazivamo stabilni polinom.

Teorema 5.3.1. Ako je polinom ( ) stabilan tada poloaj ravnotee sistema (5.4) je asimtotski stabilan i obratno.

Dokaz:

Oznaimo sa nule polinoma ( ) ( ). Kako je polinom ( ) stabilan tako postoji neko takvo da je . Neka je ( ) ( ) reenje sistema jednaina (5.4). Saglasno lemi 5.3.2

( )

Neka je ( )

Tada za vai ( ) za drugim reima

poloaj ravnotee je stabilan. Ako pustimo da onda ( ) to znai da je poloaj ravnotee i asimtotski stabilan, ime je teorema dokazana.

Sledee teoreme navodimo bez dokaza.

Teorema 5.3.2. Ako svi koreni karakteristine jednaine imaju negativan realan deo, tada

poloaj ravnotee sistema (5.4) je asimtotski stabilno.

Teorema 5.3.3. Ako meu korenima karakteristine jednaine postoji bar jedno reenje sa

pozitivnim realnim delom, tada je poloaj ravnotee sistema (5.4) nestabilan.

Teorema 5.3.4. Ako prosti koreni karakteristinog polinoma imaju realne delove jednake nuli, a u svim drugim sluajevima su realni delovi negativni, tada je poloaj ravnotee

sistema (5.4) stabilan.

Prema gore navdenim teoremama, zakljuujemo da za ispitivanje stabilnosti trivijalnog reenja sistema DJ (5.4) vano je odrediti znak realnih delova sopstvenih vrednosti, ne izraunavajui same sopstvene vrednosti. One ukazuju na vanost ispitivanja da li je polinom


51

( )

stabilan.

Sledei kriterijumi nam daju potreban i dovoljan uslov da polinom ( ) bude stabilan.

Lema 5.3.3. (Raus-Hurvic): Polinom ( ) je stabilan ako i samo ako su svi glavni dijagonalni minori matrice

[

]

pozitivni, pri emu su , za .

Lema 5.3.4. (Lenar-ipar): Polinom ( ) je stabilan onda i samo onda su svi i gde su

|

|, |

|,

-minori iz kriterijuma Raus-Hurvica.

Lema 5.3.5. Potreban i dovoljan uslov da polinom ( ) bude stabilan je da i da su nule polinoma

( )

( )

pozitivne, razliite meu sobom i naizmenino rasporeene poinjui od nule , tj.

Primer 5.3.1. Ispitajmo stabilnost reenja diferencijalne jednaine

( )

primenom Leme Raus-Hurvica.

Formirajmo prvo matricu Hurvica za datu jednainu:


52

[

]

Glavni minori su:

Kako su svi navedeni minori pozitivni to prema Lemi Raus-Hurvica vai da

karakteristicna jednaina ima sve negativne korene, pa samim tim trivijalno reenje je asimptotski stabilno, kao i sva reenja date jednaine.


53

6 STABILNOST NUMERIKIH REENJA ODJ

Kao to smo ve napomenuli, obine diferencijalne jednaine esto se javljaju kao matematiki modeli u mnogim granama nauke, inenjerstva i ekonomije. Naalost, retkost je da se date jednaine mogu analitiki reiti, tako da je uobiajeno da se trai priblino reenje putem numerikih metoda. U ovom odeljku razmotriemo uslove stabilnosti numerikih metoda esto korienih prilikom reavanja DJ.

6.1 Uvod

Prvo se podsetimo osnovnih definicija vezanih reenja ODJ.

Neka nam je data DJ n-tog reda

. ( ) ( ) ( )( )/ (6.1.)

ili u eksplicitnom obliku:

( )

( ( )) (6.2.)

koja vai u nekom konanom intervalu , - koji moe biti i beskonaan. Reenje jednaine (6.1) moe biti

Opte reenje, kada sadri proizvoljnih konstanti koje se zovu integracione konstante

Partikularno reenje, koje se dobija iz opteg, odreivanjem brojnih vrednosti integracionih konstanti iz isto toliko dodatnih uslova, koje moraju da zadovolje funkcija i

njeni izvodi ( )-vog reda na granicama i oblasti definisanosti. Ti dodatni uslovi se zovu granini uslovi.

Primenom numerikih metoda za izraunavanje reenja DJ, dobija se tzv. priblino reenje ili numeriko reenje u obliku tabele priblinih vrednosti traene funkcije: ( ) u nizu taaka . Prilikom priblinog izraunavanja partikularnog reenja javljaju se dva tipa problema:

Poetni problem (initial value problem), kada su svi neophodni granini uslovi (ukupno ) dati na levoj granici oblasti definisanosti funkcije. U ovom sluaju, za granine uslove se koristi termin poetni uslovi.


54

Granini problem (boundary value problem), kada su neki uslovi dati na levoj, granici , a neki na desnoj granici oblasti definisanosti funkcije ( ). Kaemo da su granini uslovi razdvojeni (split boundary conditions)

Slino vai i za sistem ODJ, dat u obliku

. ( ) ( ) ( )

( ) ( )( )

( )( )/ (6.3.)

gde , -.

Partikularno reenje sistema ODJ je skup funkcija ( ) ( ) ( ), koje zadovoljavaju sistem jednaina (6.3) i jo ukupno graninih uslova. Kao i u sluaju jedne DJ, razlikujemo poetni i granini problem u zavisnosti da li su svi granini uslovi dati u levoj, ili su neki dati u levoj, a neki u desnoj granici oblasti

definisanosti funkcija, , -

6.2 Numeriko reavanje diferencijalnih jednaina

Posmatrajmo diferencijalnu jednainu prvog reda sa datim poetnim uslovom, definisanu

u oblasti , -:

( ) ( ) ) (6.4.)

Kao to smo ve napomenuli u uvodnom delu, numeriko reenje jednaine (6.4)

dobijamo u vidu priblinih vrednosti traene funkcije, u nizu ekvidistantnih taaka:

( )

(6.5.)

Odnosno u vidu tabele ( ) . Korak se naziva integracioni korak.

Lokalna greka neke numerike metode integracije DJ, je greka na ( )-vom integracionom koraku ( ), tj. odstupanje tanog prirataja traene funkcije ( ) kada se promeni sa na , od prirataja ( ) izraunatog posmatranom metodom. Njena apsolutna vrednost opada sa smanjivanjem integracionog

koraka i u optem sluaju je proporcionalna nekom celobrojnom pozitivnom stepenu

koraka . Znai da je ona beskonano mala veliina kada tei nuli i pie se:

( )

Kaemo da je metoda -tog reda tanosti, ako je njena lokalna greka reda :


55

( )

Globalna greka numerike metode je odstupanje tanog reenja od priblinog (numerikog) reenja.

Na slici 6.1 su prikazani su tano reenje tj. neka nepoznata funkcija ( ) i numeriko reenje tj. niz taaka ( ) Takoe se vidi da globalne greke u pojedinim takama su odstupanja krive (tano reenje DJ) od taaka (priblino reenje).

Ako lokalna greka metode raste iz koraka u korak, to e dovesto do poveanja globalne greke iz koraka u korak, tj. nagomilavanja greke, to znai da je takva numerika metoda nestabilna.

Poveanje globalne greke tokom raunskog procesa moe biti prouzrokovano i akumulacijom greaka zaokruivanja. Tako, sa smanjenjem integracionog koraka, radi poveanja tanosti metode moe doi do poveanja greaka zaokruivanja (veliki broj raunskih operacija) i poveanja nestabilnosti procesa. Poveanje greka zaokruivanja se moe minimizovati ako se proraun izvodi sa velikim brojem znaajnih cifara.

Metode za reavanje Koijevog problema kod ODJ su razvstane u dve klase:

Klasa jednokoranih metoda (kod kojih je potrebno poznavati reenje samo u prethodnoj taki)

Klasa linearnih viekoranih metoda (kod kojih je potrebno poznavati reenje u

( ) taaka)

() Izraunata priblina vrednost

Tana vrednost () ()

Slika 6.1


56

6.3 Numerika stabilnost

Glavno pitanje stabilnosti numerikih metoda za izraunavanje priblinog reenja diferencijalne jednaine je da li niz aproksimacija generisanih datom metodom ostaje asimptotski blizu nameravanog analitikog reenja DJ.

Od izuzetne vanosti za datu numeriku metodu su: konzistentnost, konvergencija i stabilnost ije definicije navodimo u daljem tekstu.

Stabilnost jednokoranih metoda

Neka je zadat Koijev problem (6.4). Opti oblik jednokorane metode je:

( ) (6.6.)

gde je funkcija funkcija prirataja, a razliit izbor te funkcije definie irazliite metode.

Definicija 6.3.1. Metoda (6.6) je konzistentna ako je

| |

gde je lokalna greka u -tom koraku numerike metode.

Meutim, veoma mala lokalna greka ne garantuje da je dobra aproksimacija ( ). Za to nam je potrebna i blizina tj. konvergencija.

Definicija 6.3.2. Numeriki metod je konvergentan ako vai

| ( ) |

gde je aproksimacija funkcije ( ). Drugim reima, definicija kae da za veoma male iterativne korake, maksimalna greka izmeu priblinog i tanog reenja, u bilo kom

trenutku je veoma mala.

Definicija 6.3.3. Numeriki metod (6.6) je stabilan ako male promene u poetnim podacima diferencijalne jednaine dovode do odgovarajuih malih promena u narednim

aproksimacijama. U formalnom smislu, neka su i dve poetne vrednosti diferencijalne jednaine. Neka je aproksimacija reenja ( ) i aproksimacija reenja (

Documents

STABILNOST REŠENJA OBIČNIH DIFERENCIJALNIH JEDNAČINA