View
3
Download
0
Category
Preview:
Citation preview
1
A konfokális és a nem - konfokális ellipszis - seregekről és
ortogonális trajektóriáikról
Előző dolgozatunk
– melynek címe: Ha az évgyűrűk ellipszis alakúak lennének – készítése során böngész -
gettük az [ 1 ] művet. Itt említik, illetve ábrázolják a címbeli görbeseregeket.
Most ezekről lesz szó – megint. Vagyis megeshet, hogy az itteniek egy részét már máskor,
máshol is leírtuk.
A konfokális szó arra utal, hogy a görbesereg minden görbéjének ugyanaz a fókusza.
A nem - konfokális pedig arra, hogy a görbesereg görbéinek nem ugyanaz a fókusza.
Itt olyan ellipszisekről van szó, melyek középpontja / centruma, valamint főtengelyei is
ugyanazok. Esetünkben ezek: az ábrázolásra használt Oxy koordináta - rendszer O origója,
valamint az ezen átmenő, egymásra merőleges x és y tengelyei.
Kezdjük a görbeseregek egyenletével!
A konfokális ellipszis - sereg egyenletének felírása
Ehhez tekintsük az 1. ábrát!
1. ábra – forrása: http://tudasbazis.sulinet.hu/hu/matematika/matematika/matematika-11-
osztaly/az-ellipszis/az-ellipszis
Az ellipszis középiskolából ismert kanonikus egyenlete – [ 2 ] – :
( 1 )
Jelölések:
~ a: a fél nagytengely, illetve annak hossza;
~ b: a fél kistengely, illetve annak hossza;
~ c: a fókuszok fél távolsága.
2
Közöttük fennáll az 1. ábráról is leolvasható, Pitagorász tételével adódó
( 2 )
összefüggés.
Most ( 2 ) átalakításával:
tehát
( 3 / 1 )
( 3 / 2 )
Majd ( 2 ) és ( 3 ) - mal:
( 4 )
A ( 4 ) egyenlet a konfokális ellipszis - sereg paraméteres egyenlete.
Benne c a közös / rögzített állandó, λ pedig a különböző értékeket felvevő, a görbesereg
egy - egy görbéjét leíró paraméter. Erre nézve a ( 3 / 2 ) értelmező összefüggés szerint
fennáll, hogy
( 5 )
A 2. ábra egy konfokális ellipszis - sereget ábrázol.
Az ábráról leolvasható, hogy a λ = 0 esettől ( F1F2 vízszintes szakasz ) a λ ∞
( r = c λ sugarú kör ) esetéig tart a görbék alakváltozása. A két szélső esetet nem tudjuk
pontosan megjeleníteni, ez azonban nem változtat a bemutatott alakváltozási tendencián.
A nem - konfokális ellipszis - sereg egyenletének felírása
A legegyszerűbb alak az alábbi lehet, melyet ( 1 ) - ből alakítunk ki:
( 6 )
A c paraméterre ekkor írható, hogy
( 7 )
A 3. ábrán egy ilyen görbesereget szemléltetünk; itt a görbék hasonlóak egymáshoz.
3
2. ábra
3. ábra
4
Folytassuk az ellipszis - seregek ortogonális trajektóriáinak meghatározásával!
A nem - konfokális ellipszis - sereg ortogonális trajektóriái egyenletének felírása
Itt ugyanúgy járunk el, mint az előző dolgozatban. A részletezés indoklása később
esedékes.
Az ellipszis - sereg differenciálegyenlete ( 6 ) differenciálásával:
( 7 )
most egyszerűsítve és ( 7 ) - ben elvégezve a két görbesereg merőlegességét kifejező
( * )
szerinti helyettesítést:
rendezve:
reciprok - képzéssel:
( ** )
integrálva:
átalakítva:
innen:
( 8 )
A 3. ábra példájának adataival:
( 8 / 1 )
A 4. ábra a ( 8 / 1 ) függvényeket is ábrázolja,
K = 0; ± 1 / 50; ± 1 / 15; ± 1 / 7; ± 1 / 3; ± 1; ± 6 értékekkel.
Nem feledjük, hogy az x = 0 egyenes is részét képezi ( ** ) megoldásának – [ 3 ].
Ezzel a két görbesereg merőlegessége megnyugtatóan szemléltetett.
5
4. ábra
A konfokális ellipszis - sereg ortogonális trajektóriái egyenletének felírása
Az [ 1 ] munkában azt olvastuk, hogy a konfokális ellipszis - sereg ortogonális trajektóriái
konfokális hiperbolasereg. Ezért először ezzel foglalkozunk.
Induljunk ki a hiperbola kanonikus egyenletéből – [ 2 ] – !
( 9 )
A c paraméterre itt a Pitagorász tétellel ez írható – 5. ábra – :
( 10 )
átalakítva:
tehát:
( 11 / 1 )
6
5. ábra – forrása: http://tudasbazis.sulinet.hu/hu/matematika/matematika/matematika-11-
osztaly/parabola-ellipszis-hiperbola/a-hiperbola
( 11 / 2 )
Most ( 9 ) és ( 11 ) - gyel:
( 12 )
A ( 12 ) egyenlet a közös fókuszú hiperbola - sereg egyenlete, ahol c = konst., a μ változó
paraméterrel pedig a görbesereg egy adott görbéjét választjuk ki. Értéktartománya:
( 13 )
A példaként választott c = 2 értékkel ( 12 ) így alakul:
( 14 )
Ezen implicit egyenlettel megadott görbesereget a 6. ábrán jelenítettük meg, ( 13 ) - ra is
figyelve. Az ábrázoláshoz az alábbi paraméter - értékeket választottuk:
μ = 0,0015; 0,05; 0,1; 0,25; 0,5; 0,75; 0,85; 0,95; 0,995 .
Itt az adatokat nem tüntettük fel a grafikonon, a zsúfoltság és az információvesztés
elkerülése érdekében, hiszen itt nem zárt görbékről van szó.
Megfigyelhető, hogy a μ 0 eset a fókuszoktól elmutató vízszintes félegyeneseket, míg a
μ 1 eset az y - tengelyhez simuló / kiegyenesedő görbéket adja.
7
6. ábra
Most ábrázoljuk együtt a 2. és a 6. ábrákat – ld. 7. ábra!
Szemmel láthatóan fennáll az a helyzet, hogy az egyik görbesereg a másik ortogonális
trajektóriája. Ne feledjük, hogy eddig ezt „elhittük”: a szakkönyveknek és a szemünknek!
Azonban jó lenne ezt matematikai úton is belátni! Mit is? Azt, hogy
egy konfokális ellipszis - sereg ortogonális trajektóriája egy konfokális hiperbola - sereg,
és viszont.
Ehhez írjuk fel az ellipszis és a hiperbola egyenletét paraméteresen!
Az ellipszis paraméteres egyenletrendszere:
( 15 )
( 16 )
A hiperbola paraméteres egyenletrendszere:
( 17 )
( 18 )
Most vizsgáljunk egy olyan esetet, amilyet a 8. ábra mutat, vagyis amikor a két görbe
8
7. ábra
8. ábra
9
metszéspontjának koordinátái pozitívak. Ekkor ( 17 ) - ben a + előjel marad.
Most előállítjuk a görbék metszéspontbeli iránytényezőit. Ehhez felhasználjuk, hogy
( 19 )
Most ( 15 ), ( 16 ), ( 19 ) - cel:
–
tehát:
( 20 )
Majd ( 17 ), ( 18 ), ( 19 ) - cel:
tehát:
( 21 )
Mivel a két görbe M metszéspontbeli koordinátái egyenlőek, ezért az
( 22 )
feltételből, ( 15 ) és ( 17 ) - tel is:
( 22 / 1 )
innen:
( 23 )
majd az
( 24 )
feltételből, ( 16 ) és ( 18 ) - cal is:
innen:
( 25 )
10
Most felhasználjuk az alábbi azonosságot – [ 2 ] – :
( 26 )
Majd ( 23 ), ( 25 ), ( 26 ) - tal:
átalakításokkal:
( 27 / 1 )
( 27 / 2 )
A továbbiakban a szinusz pozitív értékeire szorítkozunk, így
( 27 )
Most ( 20 ) - ból az M metszéspontbeli ellipszis - iránytényezőre:
( 28 )
azonos átalakításokkal:
( 29 )
11
majd ( 27 / 1 ) és ( 29 ) - cel:
tehát:
( 30 )
Ezután ( 28 ) és ( 30 ) - cal:
( 31 )
Most ( 21 ) - ből az M metszéspontbeli hiperbola - iránytényezőre:
( 32 )
ámde ( 23 ), ( 25 ) és ( 30 ) - cal:
tehát:
( 33 )
ezután ( 32 ) és ( 33 ) - mal:
( 34 )
Most ( 31 ) és ( 34 ) összehasonlításából:
( 35 )
ez a görbeseregek M pontbeli merőlegességének feltétele , ahogy annak a várakozások
alapján lennie kell. Ha ( 35 ) egy tetszőleges – itt: ( xM , yM ) > 0 – M pontra igaz, akkor
minden más pontra is igaz, hiszen a ( 35 ) eredmény a görbeseregek belső tulajdonságaiból
adódott, az M pont megválasztása pedig tetszőleges lehet. Ezzel beláttuk, hogy
egy konfokális ellipszis - sereg ortogonális trajektóriája egy konfokális hiperbola - sereg,
és viszont.
12
Megjegyzések:
M1. A ( 4 ) és ( 12 ) szerinti felírást [ 4 ] - ből kölcsönöztük.
M2. A paraméteres egyenletrendszerek – [ 1 ] – :
( 36 )
( 37 )
M3. Ügyelni kell a számítások során arra a tényre, hogy a két görbe paramétere nem
azonos értékű egy adott M pontra: tMe ≠ tMh. Pozitív metszésponti koordinátákra:
~ az ellipszis - sereg metszésponti paramétere ( 27 ) - ből:
( 38 )
~ a hiperbola - sereg metszésponti paramétere ( 25 ) és ( 27 ) - ből:
innen:
( 39 )
Számpélda, a 8. ábra adataival:
c = 2 ( cm ), λ = 1, μ = 0,1 . ( a )
Most ( 38 ) és ( a ) - val:
( b )
Ugyanez a Graph szolgáltatásával: 0,10016742 , vagyis gyakorlatilag pontosan ugyanaz.
Majd ( 39 ) és ( a ) - val:
. ( c )
Ugyanez a Graph szolgáltatásával: 0,88137359, vagyis gyakorlatilag pontosan ugyanaz.
Eszerint a képleteink jól működnek.
Látjuk, hogy a kétféle görbe - paraméter tényleg nem egyenlő, általában.
M4. A 8. ábrán a pontozott vonalak metszéspontjaként adódó M pontra a Graph szoftver
szolgáltatása szerint:
dy/dx ( ell ) = –7.035624 ,
dy/dx ( hip ) = 0.142134 ;
ezekkel: –7.035624 = – 1 / 0.142134 , tehát ( 35 ) kielégül.
13
M5. Érdemes meghatároznunk a konfokális görbék metszéspontjainak koordinátáit.
Kezdjük az xM > 0 , yM > 0 esettel! Ekkor ( 22 / 1 ) és ( 27 / 1 ) szerint:
tehát:
( 40 )
Hasonlóan
tehát:
( 41 )
Továbbá: minthogy a két másodrendű görbének 4 metszéspontja lehet, ezért a lehetséges
megoldások: M ( ± xM , ± yM ).
Ez jól látható a 7. ábrán is, hiszen a görbék az x és az y tengelyre is szimmetrikusak.
Számpélda, a 8. ábra adataival:
c = 2 ( cm ), λ = 1, μ = 0,1 . ( a )
Most ( 40 ), ( 41 ) és ( a ) - val:
( d )
( e )
Ezek is pontosan megegyeznek a Graph szoftver szolgáltatta eredményekkel, melyek a
8. ábra bal alsó sarkában olvashatók. Eszerint képleteink jól működnek.
M6. A 7. és 8. ábrákhoz kapcsolódó feladatrészben nem volt járható a ( * ) helyettesítés
alkalmazása; ugyanis [ 1 ] - ben megmutatják, hogy a konfokális ellipszis - és hiperbola -
seregek ugyanazon differenciálegyenlettel írhatók le, így a mondott helyettesítés nem visz
előrébb minket. Ez nem is annyira meglepő, ha a szakirodalomban szokásos, pl. az [ 1 ]
műben is olvasható alakban írjuk fel a konfokális kúpszeletek kanonikus egyenletét:
( 42 )
A konfokális ellipszis - és hiperbolaseregekről további tudnivalókat találhatunk az [ 5 ],
[ 6 ], [ 7 ], [ 8 ] munkákban is. Most [ 7 ] - ből idézünk – 9. ábra.
14
9. ábra – forrása: [ 7 / 2 ]
Itt végigkövethetjük annak igazolását, hogy a konfokális ellipszis - sereg és hiperbola -
sereg, mint egymás ortogonális trajektóriái, ugyanazzal a differenciálegyenlettel írhatók le.
E példában c = ± 1 ( h. e. ) , így ( 4 ) és ( 12 ) - ből:
( f )
( g )
Vagyis ( f ) és ( g ) szerint az
( h )
15
egyenletben a választás az ellipszis - sereg, a választás pedig a
hiperbola - sereg egyenletét adja, a 9. ábra szövegének megfelelően.
Irodalom:
[ 1 ] – R. Rothe: Matematika gépészmérnökök számára
Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1960., 97., 654., 656. o.
[ 2 ] – I. N. Bronstejn ~ K. A. Szemengyajev: Matematikai zsebkönyv
2. kiadás, Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1963., 256. , 259. o.
[ 3 ] – V. V. Sztyepanov: A differenciálegyenletek tankönyve
Tankönyvkiadó, Budapest, 1952., 65 ~ 66. o.
[ 4 ] – Simonyi Károly: Elméleti villamosságtan
7. kiadás, Tankönyvkiadó, Budapest, 1976., 127 ~ 128. o.
[ 5 ] – A. Schoenflies ~ M. Dehn: Einführung in die Analytische Geometrie
der Ebene und des Raumes
2. Auflage, Springer - Verlag Berlin Heidelberg 1931., 135. o.
[ 6 ] – https://www.cs.elte.hu/blobs/diplomamunkak/bsc_mattan/2014/bota_bettina.pdf
[ 7 / 1 ] – A. F. Bermant: Matematikai analízis II. rész
Tankönyvkiadó, Budapest, 1951., 267. o.
vagy:
[ 7 / 2 ] – A. F. Bermant: A Course of Mathematical Analysis Part II.
Pergamon Press Ltd., New York, 1963., 268. o.
[ 8 ] – Szerk. Fazekas Ferenc: Műszaki matematikai gyakorlatok B. VII.
Bajcsay Pál: Közönséges differenciálegyenletek
2. kiadás, Tankönyvkiadó, Budapest, 1962., 194 ~ 197. o.
Összeállította: Galgóczi Gyula
mérnöktanár
Sződliget, 2017. 01. 21.
Recommended