บทที่ 1 เลขยกก...

วชาคณตศาสตร 3 มธยมศกษาปท 5 เรอง เลขยกก าลง

1

บทท 1 เลขยกก ำลง

1. เลขยกก ำลงทมเลขชก ำลงเปนจ ำนวนเตม

1.1 ควำมหมำยของเลขยกก ำลง

จ านวนทเหมอนกนคณกนหลายๆ ครง สามารถเขยนแทนดวยสญลกษณไดดงน

- 5 5 5 5 เขยนแทนดวย 45

- 2 2 2 2 2

3 3 3 3 3 เขยนแทนดวย …….……………..…………

- 0.3 0.3 0.3 เขยนแทนดวย …….……………..…………

- 6 6 6 6 6 เขยนแทนดวย …….……………..…………

- ab ab ab ab ab ab เขยนแทนดวย …….……………..…………

จากบทนยามขางตน na ………………………………………………………………..

a ……………………………………………………………….

n ……………………………………………………………….

เชน 23 อานวา “สำมยกก ำลงสอง” หรอ “สำมก ำลงสอง” หรอ “ก ำลงสองของสำม”

23 ม 3 ................................ และ 2 ...................................

23 หมายถง ...................................................................................

บทนยำม ถา เปนจ านวนจรงใดๆ และ เปนจ านวนเตมบวกแลว

ตว

วชาคณตศาสตร 3 มธยมศกษาปท 5 เรอง เลขยกก าลง

2

ตวอยำงท 1 ใหนกเรยนเตมค าตอบลงในชองวาง

ขอท เลขยกก ำลง

ฐำน เลขชก ำลง

ควำมหมำย คำของ

เลขยกก ำลง อำนวำ

1 62 2 6 2 2 2 2 2 2 64 สองยกก าลงหก

2 3

7

3 3

5 5

4 1

3 2

5 . 24

6 7

3a

7 x y 2

ตวอยำงท 2 จงเขยนจ านวนตอไปนใหอยในรปของเลขยกก าลง

1) 8 16

วธท ำ

3) 24 18

วธท ำ

2) 75 15

วธท ำ

วชาคณตศาสตร 3 มธยมศกษาปท 5 เรอง เลขยกก าลง

3

1.2 สมบตของเลขยกก ำลง

ถา a และ b เปนจ านวนจรง m และ n เปนจ านวนเตม จะได

1. กำรคณเลขยกก ำลง

ถาเลขยกก าลงฐานเหมอนกนคณกน ใหน าเลขชก าลงมาบวกกน โดยใชฐานเปนตวเดม

นนคอ ..............................................................................................................................................

2. กำรหำรเลขยกก ำลง

ถาเลขยกก าลงฐานเหมอนกนหารกน ใหน าเลขชก าลงมาของตวตง ลบออกดวยเลขชก าลงของ

ตวหาร โดยใชฐานเปนตวเดม นนคอ ............................................................................................

3. เลขยกก ำลงซอน

ใหน าเลขชก าลงมาคณกนไดเลย นนคอ .........................................................................................

4. เลขยกก ำลงของผลคณ

ใหกระจายเปนผลคณของเลขยกก าลงแตละตวไดเลย

นนคอ ..............................................................................................................................................

5. เลขยกก ำลงของผลหำร

ใหกระจายเปนผลหารของเลขยกก าลงแตละตวไดเลย

นนคอ ………………………………………………………………………………………………………………………………..

6. เลขยกก ำลงทมเลขชก ำลงเปนลบ

ใหเขยนเปนสวนกลบของเลขยกก าลง ทมเลขชก าลงเปนจ านวนเตมบวกแทนได

นนคอ ..............................................................................................................................................

7. เลขยกก ำลงทมเลขชก ำลงเปนศนย ( 0 )

เลขยกก าลงทมเลขชก าลงเปน 0 มคาเทากบ 1 เสมอ ยกเวนเลขยกก าลงทมฐานเปน 0

นนคอ ..............................................................................................................................................

*** หมำยเหต 00 ไมนยามในทางคณตศาสตร

รปจาก 123RF.com

วชาคณตศาสตร 3 มธยมศกษาปท 5 เรอง เลขยกก าลง

4

รปจาก pngtree.com

ตวอยำงท 3 จงหาคาของจ านวนตอไปน และบอกสมบตทน ามาใช

1) 2 3 53 3 3 3 3 3 3 3 243 (บทนยาม)

หรอ 2 3 2 3 53 3 3 3 243 (สมบตการคณเลขยกก าลง)

2) 4

32 …………………………………………………………………………………………………………………………

3) 25 ……………………………………………………………………………………………………………………………

4) 4 7y y ………………………………………………………………………………………………………………………

5) 2

3

4

…………………………………………………………………………………………………………………………

สรปสมบตของเลขยกก ำลง

ถา และ เปนจ านวนจรง และ เปนจ านวน

เตม จะได

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7. 8. ไมนยาม

วชาคณตศาสตร 3 มธยมศกษาปท 5 เรอง เลขยกก าลง

5

ตวอยำงท 4 ก าหนดใหตวแปรทกตวเปนจ านวนจรง ทไมเปน 0 จงหาค าตอบของจ านวนตอไปนใหอยในรป

อยางงาย และมเลขชก าลงเปนจ านวนเตมบวก

1)

32

5 4

ab

a b

วธท ำ

2)

22

3 2 2 2

2 5 2 3

6 2

3

a b a b

a b a b

วธท ำ

วชาคณตศาสตร 3 มธยมศกษาปท 5 เรอง เลขยกก าลง

6

ตวอยำงท 5 ก าหนดให n เปนจ านวนเตม จงหาค าตอบของจ านวนตอไปนใหอยในรปอยางงาย

1)

2

3

2 2 2

2 2

n n

n

วธท ำ

2)

1 2

21

2 22

22

qp p

q

p qq

วธท ำ

3)

22

13

9 27

81 27 3

n

n n

วธท ำ

วชาคณตศาสตร 3 มธยมศกษาปท 5 เรอง เลขยกก าลง

7

ตวอยำงท 6 จงท าใหจ านวนตอไปนเปนผลส าเรจ

1) 15 7

14 4

10 9

15 8

วธท ำ

3) 2 2

4

3 9

3

วธท ำ

2) 2

2 4

3

3 2

4

วธท ำ

4) 0 0

3

3 2

2

วธท ำ

วชาคณตศาสตร 3 มธยมศกษาปท 5 เรอง เลขยกก าลง

8

Worksheet1

1. จงท าใหเปนผลส าเรจ และบอกสมบตทน ามาใช

1) 6

5

2

2 ..............................................................................................................................................

2) 00 ………………………………………………………………………………………………………………………..………

3) 4

32y …………………………………………………………………………………………………………………..…….

4) 0

9 …………………………………………………………………………………………………………………..………

5) 2

x

x ............................................................................................................................................

2. ก าหนดใหตวแปรทกตวเปนจ านวนจรง ทไมเปน 0 จงหาค าตอบของจ านวนตอไปนใหอยในรปอยางงาย

และมเลขชก าลงเปนจ านวนเตมบวก

1) 43 2a b a

b c

วธท ำ

3) 3

5 3 2

4 7

a b c

a b

วธท ำ

2) 3

5 4 3

4 7

x y z

x y

วธท ำ

4) 11

1a a a

วธท ำ

วชาคณตศาสตร 3 มธยมศกษาปท 5 เรอง เลขยกก าลง

9

5) 3 3

1 1

a b

a b

วธท ำ

6) 2 3

2 3 4 2

3 2 0 5

a b a b

a b a b

วธท ำ

7) 3 2

2 1 2 2

2 4 5 3

a b a b

a b a b

วธท ำ

วชาคณตศาสตร 3 มธยมศกษาปท 5 เรอง เลขยกก าลง

10

3. จงท าใหจ านวนตอไปนเปนผลส าเรจ

1) 3 5

8

7 7

7

วธท ำ

2) 3 6

8 0

2 5

5 2

วธท ำ

3. ก าหนดให n เปนจ านวนเตม จงหาค าตอบของจ านวนตอไปนใหอยในรปอยางงาย

1) 2

1

3 2 4 2

2 2

n n

n n

วธท ำ

3) 2

1

5 3 9 3

3 3

n n

n n

วธท ำ

2) n n 2

n n 1

5 3 9 3

3 3

วธท ำ

4) a a+1

a a+1

15×7 9 7

9×7 +7

วธท ำ

วชาคณตศาสตร 3 มธยมศกษาปท 5 เรอง เลขยกก าลง

11

5)

n+1 n+1

n+1n n 1n 1

2 4÷

(2 ) 2

วธท ำ

6) 1 1

1

10 2 24 2

2 3 2

n n

n n

วธท ำ

วชาคณตศาสตร 3 มธยมศกษาปท 5 เรอง เลขยกก าลง

12

2. รำกท n ของจ ำนวนจรง

2.1 ทบทวน รำกทสองของจ ำนวนจรง

ตวอยำงท 7 จงหารากทสองของจ านวนตอไปน พรอมบอกเหตผล

วธท ำ รากทสองของ 4 คอ 2 และ 2 เพราะ 22 4 และ 2

2 4 ... จากบทนยาม

รากทสองของ 49 คอ ............................... เพราะ ............................................................................

รากทสองของ 36

25 คอ ............................... เพราะ ............................................................................

รากทสองของ 12 คอ ............................... เพราะ .............................................................................

ตวอยำงท 8 จงหารากทสามของจ านวนตอไปน พรอมบอกเหตผล

วธท ำ รากทสามของ 8 คอ ............................... เพราะ .........................................................................

รากทสามของ 64 คอ ............................... เพราะ .........................................................................

รากทสามของ 125

27 คอ ............................... เพราะ .........................................................................

2.2 บทนยำมของรำกท n ของจ ำนวนจรง

ตวอยำงท 9 จากบทนยามจะเหนวา

1) จาก 32 8 ดงนน 2 เปนรากท 3 ของ 8

2) จาก 3

1 1

3 27

ดงนน …………..…..…… เปนรากท …………… ของ …………

3) จาก 5

3 243 ดงนน ……….….…..…… เปนรากท …………… ของ …………

4) จาก 45 625 และ 4

5 625 ดงนน ….…….…..……… เปนรากท …………… ของ …………

บทนยำม ให a และ b เปนจ านวนจรง b เปนรากทสองของ a กตอเมอ 2b a

บทนยำม ให n เปนจ านวนเตมบวกทมากกวา 1 a และ b เปนจ านวนจรง b เปนรากท n ของ a กตอเมอ nb a

วชาคณตศาสตร 3 มธยมศกษาปท 5 เรอง เลขยกก าลง

13

เมอแยกพจารณา n เปนจ านวนเตมค หรอ เปนจ านวนเตมค ไดดงตารางขางลางน

n เปนจ านวนเตมค n เปนจ านวนเตมค

1. รากท n ของ a จะหาคาไดเมอ 0a เทานน 2. ถา 0a แลวรากท n ของ 0a 3. ถา 0a (เปนบวก) รากท n ของ a จะมคา สองคาเสมอเปนบวกและลบ 4. ถา 0a (เปนลบ) รากท n ของ a จะหำคำไมไดในระบบจ ำนวนจรง

1. รากท n ของ a หาคาไดเสมอส าหรบจ านวนจรงใดใด 2. ถา 0a แลวรากท n ของ 0a 3. ถา 0a (เปนบวก) รากท n ของ a จะม 1 คา และเปนจ านวนจรงบวก 4. ถา 0a (เปนลบ) รากท n ของ a จะม 1 คา และเปนจ านวนจรงลบ

ตวอยำงท 10 จงเตมค าตอบลงในชองวาง

1) รากท 4 ของ 16 คอ ....................................... เนองจาก ..........................................................................

2) รากท 3 ของ 343 คอ .................................. เนองจาก ..........................................................................

3) รากท 5 ของ 243 คอ .................................. เนองจาก ..........................................................................

2.3 คำหลกของรำกท n

เชน ………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

ขอตกลงเกยวกบคำหลกของรำกท n 1. เครองหมาย n เรยกวา “เครองหมำยกรณฑ” หรอ “รำก” หรอ “Root”

และเรยก n วา อนดบของกรณฑ

2. n a อานวา “กรณฑท n ของ a ” หรอ “รากท n ของ a ”

3. รากทสองของ a จะเขยนแทนดวย a

บทนยำม ให a เปนจ านวนจรงทมรากท n จะกลาววาจ านวนจรง b เปนคาหลกของรากท n ของ a

กตอเมอ 1. b เปนรากท n ของ a

2. 0a b

เขยนแทนคาหลกของรากท n ของ a ดวย n a b

วชาคณตศาสตร 3 มธยมศกษาปท 5 เรอง เลขยกก าลง

14

ตวอยำงท 11 จ านวนในแตละขอตอไปน บอกอะไรกบนกเรยนบาง

1) 4 2 แสดงวา คาหลกของรากทสอง ของ 4 คอ 2

แต รากทสองของ 4 คอ 2 และ 2

2) 6 729 3 แสดงวา คาหลกของรากท ……………... ของ .................. คอ .....................

ขอสงเกต เกยวกบคาหลกของรากท n ของจ านวนจรง a ( n a ) มดงน

1) ถา 0a แลว 0n a

2) ถา 0a แลว n a เปนจ านวนจรงบวก

3) ถา 0a และ n เปนจ านวนค แลว n a เปนจ านวนจรงลบ

ถา 0a และ n เปนจ านวนค แลว รำกท n ของ a หำคำไมได ( n a หาคาไมได)

ตวอยำงท 12 จงหำคำหลกตอไปน

1) คาหลกของรากท 2 ของ 4

81 คอ ………………………………………………………………….…………..

2) คาหลกของรากท 2 ของ 625

169 คอ ……………….……………………………………………………………..

3) คาหลกของรากท 4 ของ 81 คอ ………………………………………………………………….…………..

4) คาหลกของรากท 4 ของ 16 คอ ………………………………………………………………….…………..

5) คาหลกของรากท 5 ของ -32 คอ ………………………………………………………………….…………..

6) คาหลกของรากท 6 ของ 729 คอ ………………………………………………………………….…………..

7) คาหลกของรากท 7 ของ -128 คอ ………………………………………………………………….…………..

8) คาหลกของรากท 7 ของ -1 คอ ………………………………………………………………….…………..

9) คาหลกของรากท 8 ของ 1 คอ ………………………………………………………………….…………..

10) คาหลกของรากท 8 ของ -256 คอ ………………………………………………………………….…………..

วชาคณตศาสตร 3 มธยมศกษาปท 5 เรอง เลขยกก าลง

15

รปจาก pngtree.com

ตำรำงแสดงสมบตของรำกท n และตวอยำง

ให a และ b เปนจ านวนจรง โดยท n a และ n b หาคาได แลว

สมบตของรำกท n ตวอยำง

1) n

n a a เมอ n a เปนจ านวนจรง 2

7 …………………………………………………….....

2) n n nab a b 50 ………………………………………………………….

3) ; 0n

nn

a ab

b b 3

5

27 ……………...................................................

4) n na a เมอ 0a

n na a เมอ 0a และ n เปนจ านวนเตมคบวก

n na a เมอ 0a และ n เปนจ านวนเตมคบวก

23 …………………………………………………….…….

5

5 9 ………………………………………………….…

8

8 39 ………..….…..…… ……….….……..……

*** ทำใหคด 2 5 2 5 เทากนหรอไม เพราะเหตใด

สมบตของรำกท ( เมอ เปนจ านวนเตมบวกทมากกวา )

ให และ เปนจ านวนจรง โดยท และ หาคาได แลว

1) เมอ เปนจ านวนจรง

2)

3)

4)

เมอ

เมอ และ เปนจ านวนเตมคบวก

เมอ และ เปนจ านวนเตมคบวก

วชาคณตศาสตร 3 มธยมศกษาปท 5 เรอง เลขยกก าลง

16

ตวอยำงท 13 จงท าจ านวนตอไปนใหอยในรปอยางงาย

1) 8 = ……………………………………………………………………………………………………………..…………………………

2) 162 = ……………………………………………………………………………………………………………………………………

3) 3 37 49 = ……………………..……………………………………………………………………………………………………………

4) 3 16 = ………………………………………………………………………………………………………………………………………

5) 3 81 = ………………………………………………………………………………..……………………………………………………

6) 3 54 = ………………………………………………………………………….…………………………………………………………

7) 4 64 = ………………………………………………………………………………………………………………………………………

8) 38

27 = …………………………………………………………………………..…………………………………………………………

9) 4

3 5 = ……………………………………………………………………………..………………………………………………………

10) 8 6

2; , 0, 0

a ba b c

c

วธท ำ

วชาคณตศาสตร 3 มธยมศกษาปท 5 เรอง เลขยกก าลง

17

แบบฝกหด 1

1. จงเตมค าตอบลงในชองวางใหถกตอง

1) รากทสองของ 144 เทากบ …………………………………………………….………

คาหลกของรากทสองของ 144 เทากบ ......................................................................

2) รากทสามของ 729 เทากบ …………………………………………………….………

คาหลกของรากทสองของ 729 เทากบ ......................................................................

3) รากทสามของ 512 เทากบ …………………………………………………….………

คาหลกของรากทสองของ 512 เทากบ ......................................................................

4) รากทหกของ 64 เทากบ …………………………………………………….………

คาหลกของรากทสองของ 64 เทากบ ......................................................................

2. จงท าจ านวนตอไปนใหอยในรปอยางงาย

1) 4 81 2) 6 729

3) 169 25 4) 3 39 18

5) 3 2x y 6) 1 1x x

7) 32

2 8)

3

3

81

3

3) จงหาผลส าเรจในแตละขอตอไปน โดยใชสมบต n n

a

a a

a

1) 24

2) 33 ( 8)

3) 4

4 5

4) 66 ( 3)

5) 3 63 8 ( 12) 6

6) 5 5 10 72 6 9 4

เมอ 0a

เมอ 0a และ n เปนจ านวนเตมคบวก

เมอ 0a และ n เปนจ านวนเตมคบวก

วชาคณตศาสตร 3 มธยมศกษาปท 5 เรอง เลขยกก าลง

18

3. กำรหำผลบวก ผลตำง ผลคณ และผลหำรของจ ำนวนทอยในรปกรณฑ

3.1 กำรหำผลบวก ผลตำงของจ ำนวนทอยในรปกรณฑ

หลกการ

1. กรณฑทจะน ามา บวก ลบ กนได กตอเมอ กรณฑมอนดบเดยวกนและจ านวนทอยใตกรณฑเปนจ านวนเดยวกน 2. การทท าใหจ านวนทอยใตกรณฑเทากน โดยท าใหจ านวนใตกรณฑเปนจ านวนเฉพาะหรอจ านวนทต าทสด 3. การบวก ลบ กรณฑทเหมอนกน ใหน าสมประสทธหนากรณฑมา บวก ลบ กน

เชน .................................................................................................................................

ตวอยำงท 14 จงหาผลบวกหรอผลตางของจ านวนตอไปนใหอยในรปอยางงาย

1) 2 32 8 6 2

วธท ำ

3) 49 64

วธท ำ

2) 2 1 4 1 1 1

3 5 2 5 3 5

วธท ำ

4) 3 3 243 2 27

วธท ำ

n n na x b x a b x

วชาคณตศาสตร 3 มธยมศกษาปท 5 เรอง เลขยกก าลง

19

worksheet2

1) 3 3 316 54 250

วธท ำ

3) 6 39 7y y

วธท ำ

5) 3 3 354 128 432

วธท ำ

2) 3 327 8x x

วธท ำ

4) 42 18 200 2 64

วธท ำ

6) 3 3 35 7 40 3 625

วธท ำ

วชาคณตศาสตร 3 มธยมศกษาปท 5 เรอง เลขยกก าลง

20

แบบฝกหด 2

1. จงหาผลบวก หรอผลตางของจ านวนในแตละขอในรปอยางงาย

1) 3 2 5 2

2) 7 3 3

3) 11 5 6 5 7 5

4) 5 5 5 3 5

5) 5 5 2 3 5 4 2

6) 5 2 4 3 2 2 6 3

7) 3 3 34 2 5 2 6 2

8) 7 2 9a a a

9) 4 13 8 5 13 7

10) 2 3 3 2 7 3 5 2

2. จงท าใหอยในรปส าเรจ

1) 12 27 3

2) 3 20 2 18 45 8

3) 18 2 18 45 8

4) 32 48 80

5) 4318 2 125 3 4

6) 13

3

วชาคณตศาสตร 3 มธยมศกษาปท 5 เรอง เลขยกก าลง

21

3.2 กำรหำผลคณ ผลหำรของจ ำนวนทอยในรปกรณฑ

หลกการ

1. กรณฑจะคณ หรอหาร กนได กตอเมอ อนดบของกรณฑตองเทากน 2. เมออนดบของกรณฑเทากนให 2.1 น าเอาสมประสทธหนากรณฑคณ หรอหาร กน 2.2 น าเอาจ านวนทอยในกรณฑคณ หรอหาร กนภายใตกรณฑ โดยทอนดบของกรณฑยงคงเหมอนเดม

ตวอยำงท 15 จงหาผลคณหรอผลหารของจ านวนตอไปนใหอยในรปอยางงาย

1) 3 7 2 28

วธท ำ

3) 5 108

3

วธท ำ

5) 4 5 3 2 36 632 2x y z x yz วธท ำ

2) 3 3

3

3 2 2 12

3

วธท ำ 4) 5 525 125 วธท ำ

6) 5 727

3

a b

ab

วธท ำ

วชาคณตศาสตร 3 มธยมศกษาปท 5 เรอง เลขยกก าลง

22

ตวอยำง ท 16 จงท าใหเปนผลส าเรจ

1) 3 32 4 = …………………………………………….... 2) 3 37 49 = ……………………………………………………

3) 4 42 8 6 = ………………………………………………. 4) 33 54 4 = ……………………………………………………

5) 3 39 18 = ……………………………………..…. 6) 64

2 = ………………………………………………………..….

7) 4

4

243

3 = …………………………………....……………. 8)

5

5

64

2 = ……………………………….……..…………….……

9) 6

6

256

2 = ………………………..………………………… 10)

3

3

80

2

= ………………………………………………..……

ตวอยำงท 17 จงหาผลส าเรจตอไปน

1) 3

3

32

4 2)

5 5

5

27 45

5

วธท ำ วธท ำ

3) 4 4

4 4

60 28

189 45 4)

4 4

4 4

12 54

20 250

วธท ำ วธท ำ

วชาคณตศาสตร 3 มธยมศกษาปท 5 เรอง เลขยกก าลง

23

3.2.1. สงยค (conjugate)

สงยคหรอคอนจเกต(conjugate)

การคณหรอการหารรากมกจะใช conjugate เพอใหรากของตวสวนหายไป

ตวอยำงท 18 คอนจเกตของ ( 5 2) คอ ( 5 2)

และ ( 5 2)( 5 2) = 2 2( 5) ( 2)

= 5 2 = 3

ตวอยำงท 19 คอนจเกตของ (3 2) คอ (3 2)

และ (3 2)(3 2) =……………………………………………………………….

=……………………………………………………………….

ตวอยำงท 20 จงหาผลคณของ ( 7 5)( 7 5)

วธท ำ

ตวอยำงท 21 จงหาผลคณของ ( 3 5)( 3 5)

วธท ำ

บทนยำม ให a และ b หาคาได

1.) คอนจเกตของ ( a + b) คอ ( a b)

2.) ( a+ b)( a b) = a b

มำจำก ผลตำงก ำลงสอง 2 2a b (a b)(a b)

ผลตำงก ำลงสอง

2 2a b (a b)(a b)

ผลตำงก ำลงสอง

2 2a b (a b)(a b)

วชาคณตศาสตร 3 มธยมศกษาปท 5 เรอง เลขยกก าลง

24

3.2.2 กำรเขยนจ ำนวนใหตวสวนอยในรปทไมตดกรณฑ

กรณท 1 สวนทมกรณฑเพยงพจนเดยว

เชน a

b นกเรยนสามารถคณ b เขาทงเศษและสวนของ a

b ซงจะไดดงน

2

a a b a b a b a b

bb b b b b b

ตวอยำงท 22 จงหาผลหารของจ านวนตอไปนใหอยในรปอยางงาย และท าใหตวสวนไมตดกรณฑ

1) 9

3

วธท ำ

2) 4 108

3

วธท ำ

กรณท 2 สวนทมกรณฑ 2 พจนบวกกน

เชน c

a b หรอ c

a b

สามารถแกโดยใชหลกการ ผลตางก าลงสอง 2 2a b a b a b ซงเรยก a b กบ a b วาเปนคสงยค (conjugate) :ซงกนและกน

ตวอยำงท 23 จงท าใหจ านวนตอไปนอยในรปอยางงาย และท าใหตวสวนไมตดกรณฑ

1) 2

3 1

วธท ำ

2) 2 7 3

7 3

วธท ำ

วชาคณตศาสตร 3 มธยมศกษาปท 5 เรอง เลขยกก าลง

25

3) 3 2 3 2 2

3 2 3 2

วธท ำ

5) 10 5 3

3 10 5

วธท ำ

วชาคณตศาสตร 3 มธยมศกษาปท 5 เรอง เลขยกก าลง

26

แบบฝกหด 3

1. จงท าใหเปนผลส าเรจ

1) 3 32 4 2) 3 37 49

3) 3 39 18 4) 64

2

5) 6

6

256

2 6)

3

3

80

2

7) 4 4

4 4

60 28

189 45 8)

4 4

4 4

12 54

20 250

9) 12 84 81a b 10) 6 12 1864a b

11) 3 210a b × 2ab 12) 3 2 4 3 4 33ab c× 2a bc × 6a b c

2. จงเขยนจ านวนตอไปนใหอยในรปตวสวนไมตดกรณฑ

1) 2

5 3

2) 2

3 1

3) 1 3

23 4) 7 6 3 5

4 6 5

5) 2 3 10

6 5

6) 2 3

2 3

7) 6 3

3 2 2 3 8) 2 1 2 1

2 1 2 1

9) 6 3

2 6

10)

3

2

3a 10x 1 7a

5 21a 6 3x

วชาคณตศาสตร 3 มธยมศกษาปท 5 เรอง เลขยกก าลง

27

4. เลขยกก ำลงทมเลขชก ำลงเปนจ ำนวนตรรกยะ

จากนยามจะเหนวา 1

na เปนคาหลกของรากท n ของ a และจะไดวา 1

n

na a

ตวอยำงท 24 …………………………………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………………………………

เชน …………………………………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………………………………

หมำยเหต จากบทนยามของ m

na ถา 0m แลว a ตองไมเปน 0 เชน

ให 0, 1a m และ 2n

จะได 1

1 11

2 21

0 0 00

m

na

ซง 1

0 ไมนยามในทางคณตศาสตร

บทนยำม เมอ a เปนจ านวนจรง n เปนจ านวนเตมทมากกวา 1 และ a มรากท n

1

nna a

บทนยาม ให a เปนจ านวนจรง m และ n เปนจ านวนเตมท 1n และ m

n เปนเศษสวนอยางต า

จะไดวา 1

1

; a 0n

mm

mn na a a

1

1

; a 0n

mm

mn na a a

และ n เปนจ านวนค

วชาคณตศาสตร 3 มธยมศกษาปท 5 เรอง เลขยกก าลง

28

ตวอยำงท 25 จงเขยนจ านวนตอไปนใหอยในรปเลขยกก าลง

1) 9 ................................................................ 5) 3 =.....................................................................

2) 5 23 .............................................................. 6) 24 5x y =..............................................................

3) 45

1

16 ........................................................... 7) 6 57x =.................................................................

4) 6

5 2n ......................................................... 8) 6 57x =.................................................................

ตวอยำงท 26 จงเขยนจ านวนตอไปนใหอยในรปกรณฑ

1) 1

416 ……………………………………………………. 4) 3

2xy ………………………………………………….……..

2) 5

1

38

......................................................... 5) 3

7x y ...............................................................

3) 3

45 ................................................................ 6) 3

2 5(4 x y) ...............................................................

4) 7

57 ................................................................ 8) 2

3(3xy) .................................................................

ตวอยำงท 27 จงหาคาของเลขยกก าลงตอไปน

1) 2

1

3125

วธท ำ

3) 3 1

2 48 4

วธท ำ

2) 1 1

3 21 25

8 4

วธท ำ

วชาคณตศาสตร 3 มธยมศกษาปท 5 เรอง เลขยกก าลง

29

4)

1 1

82 4

1 1

63 6

(2a b )

(4a b )

วธท ำ

5)

31 1 1

23 6 3

1 21

6 32

8 a b c

2a b c

วธท ำ

แบบฝกหด 4

1. จงเขยนจ านวนตอไปนใหอยในรปเลขยกก าลง

1) 3 23 2) 64n 3) 41

256 4) 3 3 1

n

x

2. จงเขยนจ านวนตอไปนใหอยในรปกรณฑ

1) 1

39 2) 5

27 3) 4

1

57

4) 7

3 5 29x y

3. จงท าเปนรปอยางงาย

1) 3

4625

81

2) 1 2

2 31 343

144 64

3)

3 5

42 4

1 2

93 9

(9a b )

(3a b )

4)

3 51 3

5 64 4

1 2 2 1

3 3 5 4

(8a b c )

(4a b c )

วชาคณตศาสตร 3 มธยมศกษาปท 5 เรอง เลขยกก าลง

30

4.1 สมบตของเลขยกก ำลงทมเลขชก ำลงเปนจ ำนวนตรรกยะ

ให a และ b เปนจ านวนจรง m และ n เปนเลขชก าลงทเปนจ านวนตรรกยะ จะไดวา

1. m n m na a a

2. mm ma b a b

3. n

m mna a

4. m

m n

n

aa

a

เมอ 0a

5. n n

n

a a

b b

เมอ 0b

ตวอยำงท 28 ใหนกเรยนยกตวอยางเลขยกก าลงใหตรงกบสมบตของเลขยกก าลงในแตละขอ

สมบต ตวอยำง

1. m n m na a a

2. mm ma b a b

3. n

m mna a

4. m

m n

n

aa

a

เมอ 0a

5. n n

n

a a

b b

เมอ 0b

ตวอยำงท 29 จงหาคาของเลขยกก าลงตอไปน

1) 1 1

2 218 50

วธท ำ

วชาคณตศาสตร 3 มธยมศกษาปท 5 เรอง เลขยกก าลง

31

2) 1 1

2 33 3

วธท ำ

3) 2 3

3 28 9

วธท ำ

ตวอยำงท 30 จงเขยนจ านวนตอไปนใหอยในรปอยางงาย (ก าหนดใหตวแปรทกตวเปนจ านวนจรงบวก)

1) 1 1

3 25 2a a b

วธท ำ

2)

31 1

2 2

1

32

a b

a

วธท ำ

วชาคณตศาสตร 3 มธยมศกษาปท 5 เรอง เลขยกก าลง

32

3)

43 5

4 2

62 5

3 6

a b

a b

วธท ำ

ตวอยำงท 31 จงหาคาของ

1) 2

1

3125

..............................................................................................................................................

2) 6

1 1

3 610 10

..........................................................................................................................................

3) 2 1 2

03 2 327 25 8 7

..................................................................................................................

.....................................................................................................................

4) 11 1

0 33 23 0.125 27 9

…………………………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………………………..

วชาคณตศาสตร 3 มธยมศกษาปท 5 เรอง เลขยกก าลง

33

Worksheet 3 เรอง เลขยกก ำลงทมเลขชก ำลงเปนจ ำนวนตรรกยะ

1. จงเขยนจ านวนตอไปนใหอยในรปกรณฑ

1) 1

38 = ………………………………………….…………………………….………….…………

2) 1

464 = ……………………………………………….………………….……….…………………

3) 3

4( 5) = …………………………….……………………………………………….….……………

4) 1

5( 243) = …………………………….……………………………………...………………………..

5) 2

3(27) =…………………………….………………………………..…………………...…………..

6) 3

416 =…………………………….……………………..………………………….…..…….……

7) 3

2(144) =…………………………….…………………………………………..…………….……… 2. จงเขยนจ านวนตอไปนใหอยในรปเลขยกก าลง

1) 3 26 = …………………………….…….…………………………..…………………………….

2) 41

256 = …………………………….…………………………………..………..…..…………….

3) 34 64 = ……………………………….……………………………..………..……….…..………

4) 3 512 = …………………………….…………………………..……………...………….……….

5) 3 125 = …………………………….……………………………………………………….………

6) 51

32 = …………………………….…………………………………………..…….….…………

3. จงหาคาจ านวนตอไปน

1) 3

4(81) =…………………………….………..……………………………………………………..

2) 2

5(1024) = …………………………….……………………………………………………………….

3) 1

4 6( 8) = …………………………….……………………………………………………………….

วชาคณตศาสตร 3 มธยมศกษาปท 5 เรอง เลขยกก าลง

34

4. จงหาคาของเลขยกก าลงตอไปน

1) 2

327

64

2) 3

4625

81

3) 2

5243

32

4) 3

4256

625

5) 1 2

2 31 343

144 64

6)

3 51 3

5 64 4

1 2 2 1

3 3 5 4

(8a b c )

(4a b c )

วชาคณตศาสตร 3 มธยมศกษาปท 5 เรอง เลขยกก าลง

35

6. กำรแกสมกำรทอยในรปเลขยกก ำลง

การแกสมการทอยในรปเลขยกก าลง สามารถท าไดโดยการปรบฐานของเลขยกก าลงใหเทากนหรอ

การปรบเลขชก าลงของเลขยกก าลงใหเทากน โดยใชสมบตตางๆ ของเลขยกก าลงมาชวยในการปรบใหเทากน

ดงนยามตอไปน

สมบตเลขยกก ำลงเพมเตม

1. n m

m mn na a a

2. 1 n

na

a

และ 1n

nb

b

3. n n

a b

b n

ตวอยำงท 32 จงหาคา x ทท าใหสมการตอไปนเปนจรง

1) x2 4 2) x 12

8

3) x2 1 4) x2 4

5) x 13

81 6) x5 125

7) x7 49 8) x2 5 x

ถา x ya a โดยท 0a และ 0a

แลว x y

วชาคณตศาสตร 3 มธยมศกษาปท 5 เรอง เลขยกก าลง

36

ตวอยำงท 33 จงหาคา x ทท าใหสมการตอไปนเปนจรง

1) 210 0.0001x

วธท ำ

2) 16 1024x

วธท ำ

3) 1 3 8

4 3

9 2

x

วธท ำ

4) 22x x 1

327

4) 81 729x