บทที่ 5 - Khon Kaen Universityeestaff.kku.ac.th/~sa-nguan/EN211001/Book/Ch4 AC.pdf · 5-1...

5-1

บทท 5

วงจรไฟฟากระแสสลบ( AC Circuits)

ไฟฟากระแสสลบทจะกลาวถงเปนไฟฟาทเราใชเปนประจาวนสาหรบอปกรณไฟฟา เชน

หลอดไฟฟา พดลม ตเยน โทรทศน และอปกรณไฟฟาอนๆ สญญาณไฟฟากระแสสลบทใชเปน

แบบไซนซอยด(Sinusoidal Wave) การวเคราะหวงจรไฟาเมอมแหลงจายเปนแรงดนกระแสสลบ

แบบไซนซอยด จะตองใชเฟสเซอร (Phasor) ประกอบกบเทคนคการวเคราะหวงจรแบบการ

วเคราะหโนดและการวเคราะหเมช ในการหาปรมาณไฟฟาตางๆ

ในบทนจะกลาวถงสวนสาคญ 4 ประเดน

1. ความเปนมาของแหลงจายไฟฟาแบบไซนซอยดและรปคลนสญญาณไฟฟา

2. คณสมบตอปกรณไฟฟา R L C ในแงไฟฟา AC

คา Impedance Admittance Reactance

การคานวณ Phasor Diagram

3. การวเคราะหวงจรไฟฟาเอซ

4. การคานวณกาลงไฟฟาเอซ ( AC Power)

5.1 แหลงจายแบบไซนซอยด

สญญาณไซนซอยดเปนรปแบบสญญาณทใชกนมาก และสาคญมาก เนองจากการผลต

การสง การจาย และการใชระบบไฟฟากาลง และสญญาณในระบบสอสารจะเปนสญญาณแบบไซน

ซอยดเปนสวนใหญ ในชวงเรมตนของการใชไฟฟา สวนใหญถกใชสาหรบแสงสวาง ตอมาเมอการ

ใชไฟฟาแพรหลายมากขนทาใหตองมการเชอมตอระบบไฟฟาในระยะทางไกลมากขน และไดมการ

พฒนามอเตอรและเครองกาเนดไฟฟากระแสสลบ เพอเพมประสทธภาพในการสงกาลงไปในระยะ

ทางไกลๆ โดยการแปลงแรงดนกระแสสลบใหมคาสงขนโดยใชหมอแปลงไฟฟา สงผานสายสง

ไฟฟาแรงสง แลวแปลงลงสคาแรงดนทตองการทปลายทาง การทาเชนนสงผลใหกาลงสญเสยใน

สายสงกาลงลดลง ในระบบสอสารหรอระบบไฟฟาอนๆ นยมใชสญญาณไซนซอยดเนองจาก

สญญาณไซนซอยดมองคประกอบความถเพยงความถเดยวทาใหการวเคราะห ออกแบบ ทดสอบ

และสรางวงจรตางๆ ทาไดงายกวา และความเขาใจการตอบสนองของวงจรตอสญญาณไซนซอยด

จะนาไปสการศกษาผลตอบสนองตอสญญาณแบบอนๆ ทไมเปนสญญาณไซนซอยดได

ผลตอบสนองกระตนของวงจรทถกกระตนดวยสญญาณไซนซอยดเกดจากการกระตนวงจรดวย

สญญาณไซนซอยดทเวลาผานไปนานๆ

5-2

สรปเหตผลทนยมใชไฟฟาแบบ AC มากกวา DC เพราะ

1. แหลงผลตทาไดงายกวา คอ AC Generator ทางายกวา DC Generator

2. สญญาณ AC แปลงแรงดนไฟฟาขนหรอลงไดงายโดยใช Transformer

3. สญญาณ AC การสญเสยพลงงานในสายไฟฟานอยกวา DC

4. เนองจากสญญาณไซนซอยดมองคประกอบความถเพยงความถเดยวทา

ใหการวเคราะห ออกแบบ ทดสอบ และสรางวงจรตางๆ ทาไดงายกวา

5.1.1 กราฟทแสดงความสมพนธฟงชน sine , cosine กบมม θ

ถาทาการเขยนกราฟฟงชน sine และ cosine กบมมองศา สามารถเขยนกราฟไดดวย

Excel ดงรปท 5.1

รปคลน Sine และ Cosine

ตารางฟงชน Sine และ Cosine

รปท 5.1 รปคลน Sine และ Cosine

5-3

ขอสงเกตจากรปท 5.1

1. คามมทาการเปลยนแปลงคามมระหวาง 0 ถง 360 องศา

2. คาสงสดและตาสดมคาเทากบ 10 และ –10 (เพราะคาสมประสทธขางหนาเทากบ 10)

3. รปคลน sine และ รปคลน cosine คลายกนแตจดเรมตนของรปคลนทงสองเกดขนไม

พรอมกน

4. รปคลน sine และ รปคลน cosine ตางเฟสกนอย 90 องศา และ รปคลน cosine เกดขน

กอน รปคลน sine อย 90 องศา

)90sin(cos += θθ

5. ถาทาการเปลยนแปลงคามมระหวาง 0 ถง 720 องศา จะไดลกคลน 2ลก

รปคลน sine และ cosine โดยใชโปรแกรม MathCad

รปฟงชน Sine และ Cosine 1 ลกคลน

รปฟงชน Sine และ Cosine 2 ลกคลน

72 00 x0 20 0 40 0 60 0 80 0

10

5

0

5

10

x0 1 00 2 00 3 00 4 00

1 0

5

0

5

1 0

36 000 10 0 20 0 30 0 40 0

10

5

0

5

10

72 00 x0 20 0 40 0 60 0 80 0

10

5

0

5

10

)θsin(10

)θsin(10

)θcos(10

)θcos(10

5-4

5.1.2 รปคลนสญญาณไฟฟาทผลตจากแหลงกาเนดไฟฟา

การผลตแรงดนไฟฟาหรอกระแสไฟฟาจะมคาเปลยนแปลงกบเวลา t เปนรปฟงชน sine

หรอ cosine เหตผลเพราะโครงสรางของเครองกาเนดไฟฟามการหมนของแทงแมเหลกถาวรตดกบ

ขดลวด เครองกาเนดไฟฟาทาใหเสนแรงแมเหลกทามมกบขดลวดขณะทมการเคลอนท ดงนน

รปคลนทผลตจงเปนรปคลน Sine หรอ Cosine ดงรปท5.2

รปท 5.2 รปคลนสญญาณไฟฟาเอซทผลตจากเครองกาเนดไฟฟา

1 ลกคลน

4 ลกคลน

5-5

ทาการเปรยบเทยบกนระหวางรปคลนสญญาณไฟฟากบรปฟงชน sine

ทาการเปรยบเทยบรปคลนทงสองเหมอนกน ทาการเปรยบเทยบกนของแกนนอน(แกน x)

ทงสองรปจะไดคาดงน

tωθ = เมอ θ : คามม มหนวยเปน องศา(Degree) หรอ เรเดยน (Radian)

t : คาเวลา มหนวยเปน วนาท (Second)

ดงนน secsec

deg radianreet

===θω

ω : คาคงทของสญญาณไฟฟามหนวยเปน มม/เวลา

จงเรยก ω วา “ความเรวเชงมม(Angular Velocity)”

การเขยนสมการคณตศาสตรแทนสญญาณไฟฟา

จากรปคลนไฟฟาเพอใชในการคานวณตอไปจะตองเขยนเปนสมการคณตศาสตรสามารถ

เขยนเปนสมการไดดงน

รปคลนแรงดนไฟฟา sine : tVtv m ωsin)( =

รปคลนแรงดนไฟฟา cosine : tVtv m ωcos)( =

เมอ =mV คาแรงดนสงสด หรอเรยกวา Peak Voltage (Vpeak = Vp)

5-6

ท 5.3 รปคลนสญญาณไฟฟาเอซและสมการคณตศาสตร

ความหมายของคาวาความถและคาบเวลาของสญญาณไฟฟาเอซ

ความถสญญาณไฟฟาเอซ (f) หมายถงจานวนลกคลนตอ 1วนาท (หนวย cycle/sec = Hz)

คาบเวลาสญญาณไฟฟาเอซ (T) หมายถงเวลา(วนาท) ตอ 1 ลกคลน(หนวย sec/cycle = sec)

ไดสตร T1 f = หรอ

f1 T =

จากรปคลนสญญาณไฟฟาเอซรปท 5.3 สามารถเขยนรปคลนได 2 แบบ คอ

1. แบบทแกน x เปนเวลา t (sec) เหมาะสาหรบการดรปคลนจรงเพราะคาแรงดนเปลยน

แปลงตามเวลา

2. แบบทแกน x เปนมม tω (degree หรอ radian) แบบนเหมาะสาหรบใชในการคานวณ

เพราะจะคานวณไดงายเมอมการ Integrate และจะสะดวกเพราะวาแมความถของ

สญญาณไฟฟาเปลยนไป แตรปคลนแบบทแกน x เปนมมจะยงเหมอนเดม

ความเรวเชงมม(Angular Velocity) fπω 2=

สมการรปคลนแรงดนไฟฟา tVtv m ωsin)( =

บางครงเขยนไดคอ ftVtv m π2sin)( =

การพสจนวา fπω 2=

เทยบบญญตไตรยางศ แกนนอนของรปคลนทงสองคอ

ถาเวลา T เทยบเทากบมม π2 เรเดยน

ถาเวลา t ใดๆเทยบเทากบมม T

tπ2 เรเดยน ซงเทากบ tω

5-7

ดงนน ftTtt ππωθ 22 ===

เพราะฉะนน fπω 2=

5.1.3 ความสมพนธ Rectangular Form และ Polar Form และการเขยน Vector

Vector คอ ปรมาณใดๆทประกอบดวยขนาดและทศทาง

Scalar คอ ปรมาณทประกอบดวยเฉพาะขนาด

Vector สามารถแทนไดดวย Polar Form และ Rectangular Form ดงแสดงในรปท 5.4

รปท 5.4 การเขยนเวคเตอร ในรป Polar Form และ Rectangular Form

Vector สามารถเขยนสมการไดดงน

สมการรป Polar Form : θ∠= Atv )(

สมการรป Rectangular Form : jbatv +=)(

การเปลยนรปแบบจาก Polar Form เปน Rectangular Form

θ∠=+ Ajba

)cos(θAa = , )sin(θAb =

การเปลยนรปแบบจาก Rectangular Form เปน Polar Form

22 baA +=

= −

ab1tanθ

5-8

5.1.4 การแทนสญญาณไฟฟาดวยเวคเตอร

สญญาณไฟฟาเอซมทงขนาดและมมของสญญาณทเลอนไป(Shift) ดงนนจงสามารถแทน

สญญาณไฟฟาเอซไดดวยเวคเตอร ขนาดของเวคเตอรคอขนาดของแรงดนหรอกระแสไฟฟา สวน

มมของเวคเตอรคอมมของสญญาณไฟฟาทเลอนไป คอถาสญญาณไฟฟาเลอนไปขางหนาจะเปน

มมบวก ถาเลอนไปขางหลงจะเปนมมลบ

ใหสงเกตการแสดงถงความสมพนธของ 3 สวน คอ รปคลนไฟฟา สมการไฟฟา และ

เวคเตอรทแทนสญญาณไฟฟา ดงน

1.รปคลนไฟฟา

จากรปคลนประกอบดวยรปคลนไซนซอยด 3 รปคลนคอ 1v , 2v และ 3v แรงดนทงสาม

มจดเรมตนของสญญาณไมเทากน ตางกน 90 องศา

2.สมการคลนไฟฟาเอซ

จากรปคลน 1v , 2v และ 3v สามารถเขยนสมการคณตศาสตร และเขยนเปน Polar Form

ดงน

°∠== 0sin)(1 mm VtVtv ω ...............(5.1)

ขนาด∠ มมทเลอนไป

tVtv m ωsin)(1 = ดงนนPolar Form °∠= 0)(1 mVtv

)90sin(cos)(2 °+== tVtVtv mm ωω ดงนนPolar Form °∠= 90)(2 mVtv

tVtVtv mm ωω cos)90sin()(3 −=°−= ดงนน Polar Form °−∠= 90)(3 mVtv

5-9

3.เวคเตอรแทนรปคลนไฟฟา

จากรปคลน 1v , 2v และ 3v และ Polar Form สามารถนามาขยนเปนเวคเตอรไดดงน

รปท 5.5 แสดงความสมพนธระหวาง รปคลนไฟฟา สมการไฟฟา

และ เวคเตอรทแทนสญญาณไฟฟา

ขอสงเกต

1. การใชเวคเตอรแทนรปคลนสญญาณไฟฟาสามารถแทนไดเฉพาะขนาดและมมทเลอนไป

เทานน ไมสามารถแทนหรอบงบอกถงความถของสญญาณไฟฟาได การแสดงมมของ

เวคเตอรทพจารณาจะตองคดทความถเทากนหมดจงจะสามารถนามาเปรยบเทยบกนได

2. การคดการคานวณ ถาคดคานวณสญญาณเปนฟงชน sine กจะตองคดฟงชน sine ทงหมด

ถาเปนฟงชน cosine จะตองเปลยนเปนฟงชน sine เพอนามมหรอจดเรมตนของสญญาณ

มาเปรยบเทยบกนได

3. ถาคดคานวณสญญาณเปนฟงชน cosine กจะตองคดฟงชน cosine ทงหมด ถาเปนฟงชน

sine จะตองเปลยนเปนฟงชน cosine เพอนามมหรอจดเรมตนของสญญาณมา

เปรยบเทยบกนได

4. ในหนงสอบางเลมจะคดคานวณเปนฟงชน sine หนงสอบางเลมจะคดคานวณเปนฟงชน

cosine ขนอยกบผเขยนหนงสอ

5.1.5 ความเปนมาของคาเฉลยไฟฟา RMS

สญญาณไฟฟากระแสสลบ คากระแสไฟฟาหรอแรงดนไฟฟาเปลยนแปลงตามเวลา

ดงนนเวลาคานวณหากาลงไฟฟา และพลงงานไฟฟาในอปกรณไฟฟา ควรจะตองคดเปน

คาเฉลย เพราะพลงงานทไดจากอปกรณไฟฟา เชนพลงงานความรอน พลงงานแสงสวาง และ

5-10

พลงงานอนๆจะคดเปนคาเฉลย จงเปนเหตทมาของคาเฉลย RMS(Root Mean Square) ทก

ครงทมการคานวณเรองของกาลงไฟฟาเอซจะนาคาแรงดน และหรอ กระแส ทเปน RMS มา

ทาการคานวณเสมอ

rms ยอมาจากคาวา root mean square หรอบางครงเรยกวาคาเฉลย (effective)

สตร

ความเปนมาของสตร เนองจากการคานวณเรองของ power เฉลย effP ของอปกรณ

ไฟฟาใดๆทใหพลงงานจะตองนาคา rms มาคานวณ เชน Vrms Irms

RIR

VIVIVP rms

rmsrmsrmseffeffeff

22

. ====

ครงแรกใชคาวาคาเฉลยวา Effective ไมตองการใชคาวา Average เพราะเปนคาเฉลย

Average เปนคาเฉลยกาลงหนง แตคาเฉลย Effective เปนคาเฉลยกาลงสอง ดงสมการขางตน

พสจน Vrms

คาเฉลยกาลงไฟฟา : ∫=T

eff dttpT

P0

)(1 ………..(5.2)

แต R

tvtp )()(2

=

แทนคาในสมการ R

Vdt

Rtv

TP rms

T

eff

2

0

2 )(1== ∫

∫=T

rms dtR

tvTR

V

0

22 )(1

∫=T

rms dttvT

V0

22 )(1

เพราะฉะนน ∫=T

rms dttvT

V0

2 )(1 ………..(5.3)

5-11

รปท 5.6 แสดงคา p(t) ทเปลยนตามเวลา t และ effP (คาเฉลย)

รปท 5.6 แสดงถงคาของ p(t) ทเปลยนแปลงตามเวลา t และคา effP ซงเปนคาเฉลยคงทไม

เปลยนแปลงตามเวลา และพนทใตกราฟของ p(t) และคา effP มคาเทากนทเวลา t ใดๆ

การหาความสมพนธระหวางคา Vrms และ Vpeak

จากรปคลนสญญาณไฟฟาแบบ Sinusoidal

สมการ ∫=T

rms dttvT

V0

2 )(1

เพองายตอการคานวณควรจะเปลยนใหอยในรปของมม t(rad)ω เวลาครบรอบคอ 0 ถง

π2 เรเดยน จะไดดงน

∫=π

ωπ

2

0

2 )(21 tdtvVrms

แทนคา tVtv m ωsin)( =

5-12

จะได ∫=π

ωωπ

2

0

2)sin(21 tdtVV mrms

ทาการ Integrate จะได 2m

rmsV

V =

แต peakm VV = และ mppp VVV 22 ==−

ดงนนจะไดสตรทนาไปใชงาน 222ppp

rms

VVV −== …………(5.4)

สตรนใชไดเฉพาะลกคลนไฟฟาเอซทมรปรางเปน sine หรอ cosine เทานนไมสามารถใช

กบรปคลนสามเหลยมหรอรปคลนสเหลยมหรอรปอนๆได ถาเปนรปคลนอนๆจะตองคานวณโดยใช

สมการท (5.3) ใหม

rms ยอมาจาก Root Mean Square

Root หมายถง Square Root

Mean หมายถง คาเฉลย

Square หมายถง ยกกาลงสอง

เมอ Vm = VP = คาแรงดนสงสด (Peak Voltage)

Vp-p = 2VP = คาแรงดนตาสดถงสงสด (Peak to Peak Voltage)

การวเคราะหไฟฟาในบานทบอกวาเปนไฟฟาเอซมขนาดแรงดน 220 Vrms 50 Hz

รปคลนของสญญาณไฟฟาในบานแสดงดงรปท 5.7 ขนาดแรงดน 220 Vrms 50 Hz

สตร rmsmp VVV 2==

ดงนน VVV rmsm 3112202 =×=

Hzf 50=

ดงนนสมการไฟฟาเขยนไดดงน tVtv m ωsin)( =

สมการไฟฟาทบานเรา 220 Vrms 50 Hz คอ

ttv )50(2sin311)( π= เมอ f×= πω 2

5-13

รปท 5.7 แสดงรปคลนสญญาณไฟฟาตามบาน 220 Vrms 50 Hz

5.2 คณสมบตอปกรณไฟฟาเอซ

อปกรณทจะทาการวเคราะหในวงจรไฟฟาเอซม 3 ตวคอ R L และ C สงทเราสนใจใน

คณสมบตของอปกรณแตละตวทจะนาไปคานวณตอไปคอ

1. วงจรไฟฟา

2. รปคลนของกระแสและแรงดนทเกดขนในตวอปกรณแตละตว

3. การเขยนเวคเตอรของแรงดน(V) กระแส(I) และอมพแดนซ(Z) ของอปกรณแตละตว

4. สมการคณตศาสตรของ แรงดน(V) กระแส(I) และอมพแดนซ(Z) ของอปกรณแตละตว

** คาวา Sinusoidal wave คอรปคลนไฟฟาเอซทมรปรางเปน sine หรอ cosine **

5.2.1 ตวตานทาน(Resistor)

คณสมบตของตวตานทานในกรณของไฟฟาเอซ จากการทดลองพบวากระแสและ

แรงดนไฟฟาครอมตวตานทานแปรผนตามกน และจดเรมตนของสญญาณเกดขนพรอมกน ดงแสดง

ในรปท 5.8 ดงนนสมการสามารถเขยนไดดงน

จากกฎของโอหม(Ohm Law) : RtitvR )()( =

กาหนดให tIti m ωsin)( =

เขยนเปน polar form °∠= 0mIi

ทาใหแรงดนเปน tRItv mR ωsin)( = เขยนเปน polar form °∠= 0mR Vv

คาอมพแดนซ R (Impedance = ZR) คอความตานทานของ R ขณะทาการปอนไฟเอซ มคาคอ

°∠=°∠°∠

== 000

)()( R

IRI

titvZ

m

mRR

คาทง 3 ตวคอ i , Rv , RZ

ทกตวเปนเวคเตอรจงสามารถเขยนเวคเตอรไดดงรปท 5.8

ขอสงเกต คอเวคเตอรทงสามอยแกนreal เหมอนกนทงหมด

5-14

รปท 5.8 แสดงคณสมบตของตวตานทาน( R )

5.2.2 ตวเหนยวนา(Inductor)

คณสมบตของตวเหนยวนาในกรณของไฟฟาเอซ จากการทดลองพบวากระแสและ

แรงดนไฟฟาครอมตวเหนยวนาเรมตนไมพรอมกน แรงดนเกดขนกอนกระแสอย 90 องศาเสมอ

(Ideal Inductor) ดงแสดงในรปท 5.9 ดงนนสมการสามารถเขยนไดดงน

จากคณสมบตของ L : dt

tdiLtvL)()( =

กาหนดให tIti m ωsin)( =

เขยนเปน polar form °∠= 0mIi

ทาใหแรงดนเปน dt

tdILtv m

Lωsin

)( =

tLItv mL ωω cos)( = เปลยนเปนฟงชน sine )90sin()( °+= tLItv mL ωω

เขยนเปน polar form °∠= 90mL Vv

คาอมพแดนซของ L (Impedance = ZL) คอความตานทานของ L ขณะทาการปอนไฟเอซ มคาคอ

°∠°∠

==090

)()(

m

mLL I

LItitvZ

ω

เขยนเปน polar form LjLZ L ωω =°∠= 90

คาทง 3 ตวคอ i , Lv , LZ

ทกตวเปนเวคเตอรจงสามารถเขยนเวคเตอรไดดงรปท 5.9

5-15

ขอสงเกต คอ

- เวคเตอร i และ Lv จะตงฉากกน

- Lv มากอน(lead) i อย 90 องศา

- LZ

อยบนแกน +j

กาหนดให LX L ω= เรยกวาคา Reactance ของ L

ดงนน LX คอคา Reactance ของ L เปนคาความตานทานของ L ในแงไฟเอซ และเปน Scalar

สวนคา LZ

คอคา Impedance ของ L เปนคาความตานทานของ L ในแงไฟเอซ และเปน Vector

ทง LX และ LZ

มหนวยเปนโอหม

รปท 5.9 แสดงคณสมบตของตวเหนยวนา( L )

5.2.3 ตวเกบประจ (Capacitor)

คณสมบตของตวเกบประจในกรณของไฟฟาเอซ จากการทดลองพบวากระแสและ

แรงดนไฟฟาครอมตวเกบประจเรมตนไมพรอมกน กระแสเกดขนกอนแรงดนอย 90 องศาเสมอ

(Ideal Capacitor) ดงแสดงในรปท 5.10 ดงนนสมการสามารถเขยนไดดงน

จากคณสมบตของ C : ∫=t

C dttiC

tv0

)(1)(

5-16

กาหนดให tIti m ωsin)( =

เขยนเปน polar form °∠= 0mIi

ทาใหแรงดนเปน ∫=t

mC tdtIC

tv0

sin1)( ω

)cos()( tC

Itv m

C ωω

−=

เปลยนเปนฟงชน sine )90sin()( °−= tC

Itv m

C ωω

เขยนเปน polar form °−∠= 90mC Vv

คาอมพแดนซของ C (Impedance = ZC) คอความตานทานของ C ขณะทาการปอนไฟเอซ มคาคอ

°∠°−∠

==0

90)()(

m

mCC CI

Ititv

Zω

เขยนเปน polar form CjC

jC

ZC ωωω1901

=−=°−∠=

คาทง 3 ตวคอ i , Cv , CZ

ทกตวเปนเวคเตอรจงสามารถเขยนเวคเตอรไดดงรปท 5.10

ขอสงเกต คอ

- เวคเตอร i และ Cv จะตงฉากกน

- i มากอน(lead) Lv อย 90 องศา

- CZ

อยบนแกน –j

กาหนดให C

X C ω1

= เรยกวาคา Reactance ของ C

ดงนน CX คอคา Reactance ของ C เปนคาความตานทานของ C ในแงไฟเอซ และเปน Scalar

สวนคา CZ

คอคา Impedance ของ C เปนคาความตานทานของ C ในแงไฟเอซ และเปน Vector

ทง CX และ CZ

มหนวยเปนโอหม

5-17

รปท 5.10 แสดงคณสมบตของตวเกบประจ( C )

สรป คณสมบตของอปกรณไฟฟา R L Cในกรณไฟฟาเอซ แสดงในรปท 5.11 ดงนคอ

1. รปอปกรณไฟฟา R L C ตออกรมกนและมกระแสไหลผานอปกรณทงสามเทากน

2. รปคลนเมอมกระแสไหลผานอปกรณทงสามเทากน แรงดนครอม R L C ตางเฟสกน 90

องศา

3. เวคเตอรของแรงดนครอม R L C ตงฉากกนหมด ตางเฟสกน 90 องศา และเวคเตอรของ

แรงดนครอม R จะอยแกนเดยวกบกระแสไหลผาน R

4. เวคเตอรของอมพแดนซของ R L C ตงฉากกนหมด ตางเฟสกน 90 องศา

เมอทาการปอนไฟฟาเอซเขาในวงจร R L C การคานวณทกอยางจะตองคานวณเปนแบบ

เวคเตอรเสมอ ไมวาจะเปน แรงดน กระแส อมพแดนซ จะเปนการ บวก ลบ คณ หาร จะตอง

คานวณโดยเวคเตอร

5-18

รปท 5.11 แสดงคณสมบตของ R L C กรณปอนไฟฟาเอซ

4.3 การวเคราะหวงจรไฟฟาเอซ

ตวอยางการคานวณและวเคราะหวงจรไฟฟาเอซ

ตวอยาง 5.1 แรงดนตกครอมองคประกอบหนงมคา ttv 3cos8)( = และกระแสไหลผานองค

ประกอบนคอ )103cos(2)( °+= tti จงหาความสมพนธของมมระหวางกระแส

และแรงดน

วธทา เมอเทยบกระแสกบแรงดนจะไดวา กระแสนาแรงดน (หรอแรงดนตามกระแส) อย °10

ตวอยาง 5.2 ถากระแสมสมการเปน 6sin(2 30)i t= − และแรงดนมสมการเปน 10cos(2 10)v t= +

จงหาความสมพนธของมมระหวางกระแสและแรงดน

วธทา แปลงสมการกระแสใหอยในรปของ cosine โดย

.

6sin(2 30) 6cos(90 (2 30))6cos( 2 120)6cos(2 120)

t tt

t

− = − −= − += −

จะไดสมการของกระแสเปน 6cos(2 120)i t= −

จะไดวา กระแสตามแรงดน (หรอแรงดนนากระแส) อย 130o

5-19

หรอเราสามารถแปลงสมการแรงดนใหอยในรปของsine โดย 10cos(2 10) 10sin(90 (2 10))

10sin( 2 80)10sin(2 80)

10sin(2 100)

t ttt

t

+ = − += − += − −= +

จะไดคาแรงดนเปน 10sin(2 100)v t= +

จะไดวา กระแสตามแรงดน (หรอแรงดนนากระแส) อย 130o เชนกน

ตวอยาง 5.3 ถา L = 1 H และ C = 100uF ความถ 50 Hz จงคานวณหาคา Impedance L - C

วธทา Ω=××== jjLjZ L 16.3141502πω

Ω−=××

−=−= jF

jC

jZC 8.31100502

11µπω

ตวอยาง 5.4 จงหาอมพแดนซของวงจรอนกรม R-L

วธทา

Ω°∠=

+=+=

j ZZZ LR

452100

100100

ตวอยาง 5.5 จงหาอมพแดนซของวงจรอนกรม R-C

R=100Ω XL=100Ω

Z

Z

100=RZ

100jZC −=

R=100Ω XC=100Ω

Z

Z

100=RZ

100jZL =

5-20

วธทา

ตวอยาง 5.6 จงหาอมพแดนซของวงจรอนกรม R-L-C

วธทา

ตวอยาง 5.7 จงหาอมพแดนซของวงจรขนาน R-L-C

วธทา Z

Y 1=

CLR YYYY ++=

01.0100

11===

RYR

0066667.01501 j

jYL −==

.jj

YC 0101001

=−

=

01.00066667.001.0 jjY +−= °∠=+= 435.180105409.00033334.001.0 jY

Ω°−∠=

−=+=

452100

100100 jZZZ CR

R=100Ω

XC=100Ω

Z

XL=150Ω

100=RZ

100jZC −=

150jZL =

50jZZ CL =+

Z

Ω°∠=+=

+=−+=

++=

56.268.11150100

50100100150100

22

jjj

ZZZZ CLR

R=100Ω XC=100ΩZ XL=150Ω

5-21

°−∠=°∠

== 435.1886.94435.180105409.0

11Y

Z

ตอบ

ตวอยาง 5.8 จงหาอมพแดนซของวงจรแบบผสม

วธทา เราตองพจารณาอมพแดนซของแตละสวนดงรป

21 ZZZ

+= จากรป 1001001 jZ +=

22

1Y

Z =

จากรป j j

Y °∠=+=−

+= 450141.001.001.0)100(

1100

12

°−∠=°∠

= 4572.70450141.0

12Z

77.5377.532 jZ −=

22.4677.15377.5377.53100100

jZjjZ

+=

−++=

°∠= 58.1857.160Z

ตอบ

ตวอยาง 5.9 จงหากระแสไฟฟาทไหลในวงจรเมอแหลงจายเปนไซนซอยดขนาด 100 Vrms

R=100ΩXL=100Ω

R=100Ω XC=100Ω

Z

R=100ΩXL=100Ω

R=100Ω XC=100Ω

Z

Z1

Z2

R=100Ω XL=100ΩI

100V

Z

5-22

วธทา จากตวอยางท 5.4 เราทราบวา Ω°∠= Z 452100

ดงนนถากาหนดให ตวอยาง 5.9 จงหากระแสไฟฟาทไหลใน L จะไดกระแสเปน

V V ZIV LL °∠=°∠°−∠== 457.80)902100)(45707.0(.

ดงนนกระแสทไหลในวงจรจะลาหลง(lag) แรงดนอย 45 องศา เราสามารถเขยนเฟสเซอร

ของแรงดนและกระแสไดดงรป

รปเวคเตอร

รปสญญาณไฟฟาทเกดขนของกระแสและแรงดน

100 0 0.707 45100 2 45

VIZ

∠= = = ∠−

∠

T

Time (s)0.00 20.00m 40.00m 60.00m

-100.00

-50.00

0.00

50.00

100.00

°∠= 0100V

°−∠= 45707.0i

°∠= 0100V

°−∠= 45707.0i

°− 45

V VL °∠= 457.80

°45

5-23

ในทานองเดยวกนถากาหนดให เปนแรงดนทปอนให V °∠= 0100

กบวงจร กระแสท

ไหลในวงจรของตวอยาง 5.5 - 5.8 สามารถหาไดโดยวธเดยวกน และไดตาตอบดงตาราง

คาวา leading และ lagging ในวงจรไฟฟา

เมอมการเปรยบเทยบกนระหวางสญญาณไฟฟาสองสญญาณ เชนถาสญญาณ V และ I

หากสญญาณใดมากอนจะเรยกวานาหนา (leading) แตถาสญญาณ V และ I สญญาณใดมาทหลง

จะเรยกวาตามหลง (lagging)

จากรปแสดงวา V lead I อย 90 องศา

หรอ I lag V อย 90 องศา

ตวอยาง 5.10 จงหาอมพแดนซของวงจรอนกรม R-L-C จงหาคาแรงดนทอปกรณทกตว เมอ

V = 5 V

°∠= 90mVv

°∠= 0mIi

I

5-24

วธทา หาอมพแดนซ

Ω°∠=+=

+=−+=

++=

j jj

ZZZZ CLR

56.268.11150100

50100100150100

22

ZIV .= ถา V = 50 Vrms

mAZVI °−∠=

°∠== 56.26447

56.268.11150

V mV RIVR °−∠=°−∠== 56.267.44100)56.26447(. V mV ZIV LL °∠=°∠°−∠== 44.6367)90150)(56.26447(.

V mV ZIV CC °−∠=°−∠°−∠== 56.1167.44)90100)(56.26447(. เวคเตอรของ V และ I ไดดงน

ใชโปรแกรม TINA คานวณ

VC

V

VR

-26.56

I

VL

VL-

R= 100

L= 477m

C= 31.83u

+

Vs

I

V+

VC

V+

VL

V+

VR

5-25

ผลของการวดรปคลนตางๆโดยโปรแกรม TINA เปนดงน

5.4 กาลงไฟฟา (Power)

ในวงจรไฟฟากระแสตรง กาลงไฟฟาบนอปกรณไฟฟาสามารถคานวณไดจากผลคณของ

แรงดนกบกระแสทไหลในอปกรณนน แตในวงจรไฟฟากระแสสลบจาเปนตองทราบคาตวประกอบ

กาลง (power factor) ของอปกรณหรอของวงจรนนดวย

คาตวประกอบกาลงคอคา Cosine ของมมระหวางกระแสกบแรงดนบนตวอปกรณไฟฟา

หรอวงจรนนๆและตองระบดวยวาเปนแบบ นาหนา (leading) หรอแบบตามหลง (Lagging) เพอ

ทราบลกษณะของอปกรณนนๆ

กาลงไฟฟาในวงจรไฟฟากระแสสลบเปนปรมาณเชงซอน(Complex power, S) แยก

ออกเปนสวนทเปนกาลงไฟฟาจรง(Real power, P) และสวนทเปนกาลงไฟฟารแอคตฟ (Reactive

power, Q) ไดดงสมการ

Complex power : °∠== θVIIVS *. หนวยคอ VA (Volt Ampere)

ทาเปน Polar form )sin()cos( θθ jVIVIS +=

กาหนดให jQPS +=

T

Time (s)200.00m 210.00m 220.00m 230.00m 240.00m

Out

put

-80.00

-60.00

-40.00

-20.00

0.00

20.00

40.00

60.00

80.00V VL °∠= 44.6367

V V °∠= 050

V VR °−∠= 56.267.44

V VC °−∠= 56.1167.44

5-26

ดงนน [ ] )cos(Re θVISalP == เรยกวา Real power หนวยคอ Watt

[ ] )sin(Im θVISQ == เรยกวา Reactive power หนวยคอ VAR

เมอ °∠= θII , °−∠= θII *

Power Factor(PF) : )cos(θ=PF

เมอ

S = กาลงไฟฟาเชงซอน มหนวยเปนโวลทแอม (VA)

V = แรงดน rms บนอปกรณหรอวงจร (V)

I = กระแส rms ในอปกรณหรอวงจร (A)

I* = กระแสคอนจเกต (มขนาดเทากนแตมมมตรงกนขาม)

P = กาลงไฟฟาจรงเฉลย มหนวยเปนวตต(W)

Q = กาลงไฟฟารแอคตฟเฉลย มหนวยเปน วาร(VAR)

เครองหมายของกาลงรแอกตฟจะเปนบวกเมออปกรณตองการคา Q และเปนลบเมอ

อปกรณจายคา Q กาลงไฟฟา สามารถเขยนเปนผงกาลงไฟฟา ไดในรป

สงทนาสนใจคอ กาลงไฟฟาททาใหเกดพลงงานแกเรา เชน พลงงานความรอนจากแผน

ความรอน พลงงานแสงสวางจากหลอดไฟฟา พลงงานกลจากมอเตอร เกดจากกาลงไฟฟาทเรา

เรยกวา Real Power(P) มหนวยเปน Watt ไมไดเกดจาก Reactive Power(Q) ทมหนวยเปน VAR

สงเกตจากคาพดวา เตารดไฟฟาขนาด 800 Watts หลอดไฟฟาขนาด 40 Watts พดลมขนาด 300

Watts เปนตน

5-27

ตวอยาง 5.11 จงหากาลงไฟฟาในวงจรของตวอยางท 5.9

วธทา เนองจากเราทราบคาของแรงดนและกระแสเปน °∠= 0100V

สามารถคานวณหา

°−∠= 45707.0I กระแสคอนจเกต

°∠= 45707.0*I Complex Power

°∠=°∠×== 457.7045707.0100. *IVS Real Power

)45cos(707.0100)cos( °×== θVIP

Watts P 50= Reactive Power

)45sin(707.0100)sin( °×== θVIQ

VAR Q 50=

Power Factor

707.0)45cos( =°=PF lagging load

สรป คา Power สาหรบไฟเอซในวงจรไฟฟา ม Power อย 3 แบบคอ

1. Complex Power คอคา Power รวมทงหมดมทงขนาดและมม

°∠= θVIS หนวยคอ VA (Volt Ampere)

หรอ Apparent Power คอคา Power รวมทงหมดมเฉพาะขนาด

VIS = หนวยคอ VA (Volt Ampere)

2. Real Power คอคา Power ทใหพลงงานแกเราเกดจาก R

)cos(θVIP = หนวยคอ Watt

3. Reactive Power คอคา Power ทไมใหพลงงานแกเราเกดจาก L และ C

R=100Ω XL=100ΩI

100V

Z

5-28

)sin(θVIQ = หนวยคอ VAR (Volt Ampere Reactance)

Power Factor คอเทอมคงทคาหนงทจะทาใหคา Real Power มคามากหรอนอย

)cos(θ=PF ไมหนวย

เมอ °θ คอคามมระหวางแรงดน(V) และ กระแส (I)

แบบฝกหดบทท 5

1. แรงดนตกครอมองคประกอบหนงมคา ttv 5cos10)( = และกระแสไหลผานองค

ประกอบนคอ )305sin(2)( °+= tti จงหาความสมพนธของมมระหวางกระแส

และแรงดน

2. แรงดนรวม v เกดจากการตออนกรมของแรงดน 1v และ 1v นนคอ 21 vvv +=

ถา )6

377cos(1501π

−= tv และ °∠= 602002v จงหาแรงดนรวม

3. ถา L = 5 mH และ C = 10uF ความถ 60 Hz จงคานวณหาคา Impedance L – C

4. จากวงจรจงคานวณหาคากระแส i(t) เมอ Vs(t) = 10 cos 300t และจงเขยน Phasor

Diagram Vs , I , VR , VL

5. วงจรแหลงไฟฟาเอซ 220 Vrms ความถ 50 Hz ตออนกรมกบตวตานทาน 40 โอหม และ ตวเกบ

ประจขนาด 0.001 F จงคานวณหาคา อมพแดนซรวม กระแสไหลผานในวงจร และเขยน

เวคเตอร Vs , I , VR , VC

6. จากวงจรจงคานวณหาคากระแส i(t) เมอ Vs(t) = 10 cos(103 t +90) และจงเขยน

Phasor Diagram Vs , I , VR , VL , VC

7. จากขอ 4. จงคานวณหากาลงไฟฟาทแหลงจาย Vs Complex Power , Real Power ,

5-29

Reative Power , Power Factor

8. จากขอ 6.จงคานวณกาลงไฟฟาทแหลงจาย Vs Complex Power , Real Power , Reactive

Power , Power Factor

ผศ.วชย ประเสรฐเจรญสข

1 มถนายน 2552