นางสาวจตุพร สุกยัง ต าแหน่ง ครู...

เอกสารประกอบการเรยน

เอกสารประกอบการเรยน

กลมสาระการเรยนรคณตศาสตร ชนมธยมศกษาปท 5

เรอง วธเรยงสบเปลยนและวธจดหม

นางสาวจตพร สกยง

ต าแหนง คร วทยฐานะ ครช านาญการ

โรงเรยนพทลงพทยาคม

ส านกงานเขตพนทการศกษามธยมศกษา เขต 12

ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน กระทรวงศกษาธการ

ค ำน ำ

เอกสารประกอบการเรยน เรอง วธเรยงสบเปลยนและวธจดหม สาระการเรยนรคณตศาสตรพนฐาน ชนมธยมศกษาป

ท 5 น ไดจดท าขนประกอบการจดการเรยนการสอนสาระการเรยนรคณตศาสตรพนฐาน ชนมธยมศกษาปท 5 เพอมง

พฒนาสมรรถภาพการเรยนรของนกเรยน เพมประสทธภาพในการเรยน และชวยเราความสนใจของนกเรยนใหมสวน

รวมในการเรยนรอยางแทจรง ซงสอดคลองกบสาระการเรยนรและมาตรฐานการเรยนร ตามคมอการจดกจกรรมการ

เรยนรกลมสาระการเรยนรคณตศาสตร โดยยดกรอบตามหลกสตรแกนกลางการศกษาขนพนฐาน พทธศกราช 2551

และหลกสตรสถานศกษาโรงเรยนพทลงพทยาคม พทธศกราช 2552 ตลอดจนแนวนโยบายตามแผนงานและโครงการ

ของสถานศกษา

เอกสารประกอบการเรยน เรอง วธเรยงสบเปลยนและวธจดหม จะตองใชรวมกบ

แผนการจดการเรยนร เรอง วธเรยงสบเปลยนและวธจดหม กลมสาระการเรยนรคณตศาสตร

ชนมธยมศกษาปท 5 ทผสอนไดจดท าขนเพอเปนคมอในการจดการเรยนร

เอกสารประกอบการเรยน เรอง วธเรยงสบเปลยนและวธจดหม มเนอหาทงหมด 5 ตอน ดงน

ตอนท 1 กฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบ

ตอนท 2 แฟกทอเรยล

ตอนท 3 วธเรยงสบเปลยน

ตอนท 4 วธจดหม

ตอนท 5 ทฤษฎบททวนาม

เอกสารประกอบการเรยน เรอง วธเรยงสบเปลยนและวธจดหม เสรจสมบรณลงได เพราะไดรบความ

อนเคราะหจากผเชยวชาญหลายทานทไดใหค าแนะน าปรกษา จงขอขอบคณไว ณ โอกาสน และหวงเปนอยางยงวา

เอกสารประกอบการเรยนเรอง วธเรยงสบเปลยนและวธจดหม นจะชวยใหนกเรยนไดเกดการเรยนร และพฒนา

ตนเองไดเตมตามศกยภาพ เรยนคณตศาสตรดวยความเขาใจ เรยนอยางมความสข สามารถน าความรทไดไปเปน

เครองมอในการเรยนรสงตาง ๆ และเปนพนฐานในการศกษาตอในชนสงตอไป

จตพร สกยง

ก

สำรบญ

เรอง หนำ

ค าน า ก

สารบญ ข

ค าชแจงส าหรบคร จ

ค าชแจงส าหรบนกเรยน ฉ

สาระการเรยนรและมาตรฐาน/ตวชวด ช

จดประสงคการเรยนร ซ

ตอนท 1 กฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบ 1

แผนภาพตนไม 2

แบบฝกหดท 1.1 7

หลกการคณ(กฎขอท 1) 10

แบบฝกหดท 1.2 13

หลกการคณ(กฎขอท 2) 16

แบบฝกหดท 1.3 20

หลกการบวก 23

แบบฝกหดท 1.4 28

ตอนท 2 แฟกทอเรยล 30

แฟกทอเรยล 31

แบบฝกหดท 2.1 37

สมการแฟกทอเรยล 39

แบบฝกหดท 2.2 41

ข

สำรบญ(ตอ)

เรอง หนำ

ตอนท 3 วธเรยงสบเปลยน 43

วธเรยงสบเปลยนเชงเสนของสงของทแตกตางกนทงหมด 44

แบบฝกหดท 3.1 51

วธเรยงสบเปลยนเชงเสนของสงของทไมแตกตางกนทงหมด 54

แบบฝกหดท 3.2 58

วธเรยงสบเปลยนเชงวงกลม 61

แบบฝกหดท 3.3 65

ตอนท 4 วธจดหม 67

วธจดหม 68

แบบฝกหดท 4.1 72

โจทยปญหาวธจดหม 75

แบบฝกหดท 4.2 78

ตอนท 5 ทฤษฎบททวนาม 80

ทฤษฎบททวนาม 81

แบบฝกหดท 5 87

บรรณานกรม 90

ภาคผนวก 91

เฉลยแบบฝกหดท 1.1 92

เฉลยแบบฝกหดท 1.2 96

เฉลยแบบฝกหดท 1.3 99

เฉลยแบบฝกหดท 1.4 102

ค

สำรบญ (ตอ)

เรอง หนำ

เฉลยแบบฝกหดท 2.1 104

เฉลยแบบฝกหดท 2.2 107

เฉลยแบบฝกหดท 3.1 109

เฉลยแบบฝกหดท 3.2 112

เฉลยแบบฝกหดท 3.3 116

เฉลยแบบฝกหดท 4.1 118

เฉลยแบบฝกหดท 4.2 122

เฉลยแบบฝกหดท 5 125

ง

ค ำชแจงส ำหรบคร

เอกสำรประกอบกำรเรยน เรอง วธเรยงสบเปลยนและวธจดหม

เพอใหกำรใชเอกสำรประกอบกำรเรยนมประสทธภำพสงสด ครผสอนควนปฏบตตำมค ำชแจง

ตอไปน

1. เตรยมเอกสารประกอบการเรยนใหพรอมและเพยงพอส าหรบนกเรยน

2. กระตนใหนกเรยนศกษาเนอหาตามแผนการจดการเรยนร

3. คอยใหก าลงใจ ใหค าชแนะ ชวยอธบายเพมเตม ตลอดจนใหค าปรกษาแนะน ากบนกเรยนในสวนท

นกเรยนรองขอตามความเหมาะสม

4. ควบคมการเรยนการสอนใหด าเนนไปตามเวลาทก าหนด

5. น านกเรยนอภปรายเพอสรปบทเรยนและเฉลยแบฝกหด

จ

ค ำชแจงส ำหรบนกเรยน

เอกสำรประกอบกำรเรยน เรอง วธเรยงสบเปลยนและวธจดหม

เพอใหกำรใชเอกสำรประกอบกำรเรยนมประสทธภำพสงสดนกเรยนนกเรยนควรปฏบตตำมค ำชแจงตอไปน

1. ใหนกเรยนอานตวชวดและจดประสงคการเรยนร

2. ใหนกเรยนศกษาเนอหาจากเอกสารประกอบการเรยน จากนนใหนกเรยนท าแบบฝกหดเปนรายคน

3. สอบถามหรอขอความชวยเหลอจากคร เมอมขอสงสย หรอมปญหา

4. ใหความรวมมอกบครในการตรวจเฉลยค าตอบ และบนทกคะแนนแบบฝกหด

ฉ

สำระกำรเรยนร

สำระท 5 การวเคราะหขอมลและความนาจะเปน

สำระท 6 ทกษะและกระบวนการทางคณตศาสตร

มำตรฐำน/ตวชวด

มำตรฐำน ค 5.2 ใชความรเกยวกบสถตและความนาจะเปนในการคาดการณไดอยางสมเหตสมผล

ตวชวด ม.4-6/2 อธบายการทดลองสม เหตการณ ความนาจะเปนของเหตการณ และน าผลทไดไปใช คาดการณ

ในสถานการณทก าหนดให

มำตรฐำน ค 6.1 มความสามารถในการแกปญหา การใหเหตผล

การสอสาร การสอความหมายทางคณตศาสตรและการน าเสนอ การเชอมโยงความรตาง ๆ

ทางคณตศาสตรและเชอมโยงคณตศาสตรกบศาสตรอน ๆ และมความคดรเรมสรางสรรค

ตวชวด ม.4-6/1 ใชวธการทหลากหลายแกปญหา

ตวชวด ม.4-6/2 ใชความร ทกษะและกระบวนการทางคณตศาสตรและเทคโนโลยในการแกปญหาใน

สถานการณตาง ๆ ไดอยางเหมาะสม

ตวชวด ม.4-6/3 ใหเหตผลประกอบการตดสนใจและสรปผลไดอยางเหมาะสม

ตวชวด ม.4-6/4 ใชภาษาและสญลกษณทางคณตศาสตรในการสอสาร การสอความหมาย และการน าเสนอได

อยางถกตองและชดเจน

ตวชวด ม.4-6/5 เชอมโยงความรตาง ๆในคณตศาสตรและน าความร หลกการกระบวนการทางคณตศาสตรไป

เชอมโยงกบศาสนอน ๆ

ตวชวด ม.4-6/6 มความคดรเรมสรางสรรค

ช

จดประสงคกำรเรยนร

1. ใชแผนภาพตนไมในการแกปญหาเกยวกบจ านวนวธของเหตการณตางๆทจะเกดขนได

2. สามารถแกโจทยปญหาโดยใชกฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบหลกการคณ

(กฎขอท 1)ได

3. สรปกฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบ หลกการคณ (กฎขอท 2) ได

4. น ากฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบ หลกการคณ (กฎขอท 2) ไปแกโจทยปญหาได

5. สรปกฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบหลกการบวกได

6. น ากฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบหลกการบวกไปแกโจทยปญหาได

7. หาแฟกทอเรยลของจ านวนตาง ๆ ได

8. เขยนผลคณของจ านวนตาง ๆ ใหอยในรปแฟกทอเรยลได

9. หาค าตอบของสมการทอยในรปแฟกทอเรยลได

10. แกโจทยปญหาเกยวกบจ านวนวธเรยงสบเปลยนสงของ n สงทแตกตางกนทงหมดในแนวเสนตรง ได

11. หาค าตอบจากคาทอยในรป n, rP ได

12. แกโจทยปญหาเกยวกบวธเรยงสบเปลยนในแนวตรงของสงของทงหมด n สง

ทแตกตางกน โดยจดคราวละ r สงได

13. แกโจทยปญหาเกยวกบวธเรยงสบเปลยนเชงเสนของสงของทไมแตกตางกนทงหมดได

14. แกโจทยปญหาวธการเรยงสบเปลยนเชงวงกลมได

15. หาคาของสมการในรป n

r

ได

16. แกโจทยปญหาโดยใชวธการจดหมได

17. น าความรเรองทฤษฎบททวนามไปใชได

ซ

ตอนท 2

แฟกทอเรยล

2.1 แฟกทอเรยล

ในการหาจ านวนวธของการนบนน มกจะอยในรปคณของจ านวนทเรยงตดกน เชน

5×4×3×2×1 หรอ 1×2×3×4×5

ดงนน เพอความสะดวกในการเขยนผลคณดงกลาว จะแทนดวยสญลกษณ

แฟกทอเรยล ซงมบทนยามดงน

บทนยาม ถา n เปนจ านวนเตมบวก แฟกทอเรยล (factorial) n คอ ผลคณของจ านวนเตมบวก

ตงแต 1 ถง n และเขยนแทนดวย n!

ขอตกลง

1. แฟคทอเรยล (factorial) n ถกเขยนแทนดวน “ n!”

2. สญลกษณ n! อานวา “แฟกทอเรยลเอน” หรอ “เอนแฟกทอเรยล”

2. แฟกทอเรยล (factorial) n

เกบเกยวความรทครให

เกบใหไดมากทสดนะคะ

เอกสารประกอบการเรยน เรอง วธเรยงสบเปลยนและวธจดหม 31

ขอสงเกต

(1) n! = n× (n – 1)!

n! = n× (n – 1)× (n – 2)!

n! = n× (n – 1)× (n – 2)× (n – 3)!

.

.

.

n! = n× (n – 1)× (n – 2)× . . . ×3×2×1

(2) 0! = 1

พสจน จาก n! = n× (n – 1)!

สมมตให n = 1

จะได 1! = 1× (1 – 1)!

1 = 1×0!

ดงนน 0! = 1

เอกสารประกอบการเรยน เรอง วธเรยงสบเปลยนและวธจดหม 32

ตวอยางท 1 จงเขยนจ านวนตอไปน ในรปการคณของจ านวนเตมบวก

(1) 5! (2) 7! 6! (3) (-3)! (4) (4)! + (3)!

วธท า (1) 5! = 5×4×3×2×1

(2) 7! 6! = (7×6×5×4×3×2×1) (6×5×4×3×2×1)

= 5,040 720 = 4,320

(3) (-3)! ไมมความหมาย

(4) (4)! + (3)! = (4×3×2×1) + (3×2×1)

= 24 + 6

= 30

ตวอยางท 2 จงหาคาของ

(1) 7!5!

(2) 3!×6!

(3) 12!8!3!

(4) 2(3!)

วธท า (1) 7!5!

7!5!

= 7×6×5!

5!

= 7×6

ดงนน 7!5!

= 42

เอกสารประกอบการเรยน เรอง วธเรยงสบเปลยนและวธจดหม 33

(2) 3!×6!

3!×6! = 3×2×1×6×5×4×3×2×1

= 4,320

ดงนน 3!×6! = 4,320

(3) 12!8!3!

12!8!3!

= 12×11×10×9×8!

8!×3×2×1

= 12×11×10×9

3×2×1

= 1,980

ดงนน 12!8!3!

= 1,980

(4) 2(3!)

2(3!) = 2(3×2×1)

= 2(6)

= 36

ดงนน 2(3!) = 36

เอกสารประกอบการเรยน เรอง วธเรยงสบเปลยนและวธจดหม 34

ตวอยางท 3 จงเขยนผลคณตอไปน ใหอยในรปแฟกทอเรยล

(1) 9×8

(2) 13×12×11×10

(3) 50×51×52× ×80

(4) (n+ 3)×(n+ 2)×(n+1)×n

วธท า

(1) 9×8

9×8 = 9×8×7!

7!

= 9!7!

(2) 13×12×11×10

13×12×11×10 = 13×12×11×10×9!

9!

= 13!9!

(3) 50×51×52× ×80

50×51×52× ×80 = 80×79×78× ×50

= 80×79×78× ×50×49!

49!

= 80!49!

เอกสารประกอบการเรยน เรอง วธเรยงสบเปลยนและวธจดหม 35

(4) (n+ 3)×(n+ 2)×(n+1)×n

(n+ 3)×(n+ 2)×(n+1)×n = (n+ 3)×(n+ 2)×(n+1)× n×(n 1)!

(n 1)!

= (n+ 3)!(n 1)!

ตวอยางท 4 จงเขยนคาในแตละขอตอไปนในรปทไมมแฟกทอเรยล

(1) (n+ 3)!(n+1)!

(2) (n 1)!(n 3)!

(3) n!

(n 3)!

(4) 2

(n 1)!(n+ 2)!(n )!(n+1)!

(5) 2

(n+ 2)!(n+1)!(n!)

วธท า

(1) (n+ 3)!(n+1)!

(n+ 3)!(n+1)!

= (n+ 3)(n+ 2)(n+1)!

(n+1)!

= (n+ 3)(n+ 2)

เอกสารประกอบการเรยน เรอง วธเรยงสบเปลยนและวธจดหม 36

(2) (n 1)!(n 3)!

(n 1)!(n 3)!

=

(n 1)(n 2)(n 3)!(n 3)!

= (n 1)(n 2)

(4) (n 1)!(n+ 2)!(n 2)!(n+1)!

=

(n 1)(n 2)!(n+ 2)(n+1)!(n 2)!(n+1)!

= (n 1)(n+ 2)

( 5) 2

(n+ 2)!(n+1)!(n!)

2

(n+ 2)!(n+1)!(n!)

= (n+ 2)(n+1)(n!)(n+1)(n!)

(n!)(n!)

= 2(n 2)(n 1)

ครทกคนพรอมทจะมอบสงทดทสดใหแกลก

ศษย

เพยงแคลกศษยยอมเปดใจทจะรบสงนน

แลวทกอยางจะน าพาอนาคตอนสดใสใหกบ

คณ

เอกสารประกอบการเรยน เรอง วธเรยงสบเปลยนและวธจดหม 37

แบบฝกหดท 2.1

เรอง แฟกทอเรยล (factorial) n

ค าสง ใหนกเรยนแสดงวธการหาค าตอบโดยใช (แฟกทอเรยล (factorial) n)

1. จงหาคาของ

1.1 7! (1 คะแนน)

…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

1.2 2! + 4! (1 คะแนน)

…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

1.3 10! 7! (1 คะแนน)

…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

เอกสารประกอบการเรยน เรอง วธเรยงสบเปลยนและวธจดหม 38

2. จงหาคาของ

2.1 8!

2!6! (2 คะแนน)

…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

2.2 9!

2!3!4! (2 คะแนน)

…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

2.3 2

8!(4!)

(3 คะแนน)

…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

3. จงเขยนใหอยในรปแฟกทอเรยล

3.1 5×4×3 (1 คะแนน)

…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

เอกสารประกอบการเรยน เรอง วธเรยงสบเปลยนและวธจดหม 39

3.2 (n+1)(n)(n 1) (1คะแนน)

…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

4. จงเขยนใหอยในรปไมมแฟกทอเรยล

4.1 (n+ 3)!(n+1)!

(2 คะแนน)

…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

4.2 2(n!)

(n+1)!(n 1)! (2 คะแนน)

…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

ตารางบนทกคะแนน

แบบฝกหดท 2.1

คะแนนเตม คะแนนทได

เอกสารประกอบการเรยน เรอง วธเรยงสบเปลยนและวธจดหม 40

2.2 สมการแฟกทอเรยล

เมอหาคาแฟกทอเรยล เขยนจ านวนอยในรปแฟกทอเรยลและเขยนจ านวนทไมมแฟกทอ

เรยลไดแลว เราสามารถน าความรทไดไปแกสมการทอยในรปแฟกทอเรยลได

ตวอยางท 5 ถา n เปนจ านวนเตมบวก แลวจงหาคา n ซงท าให n!

= 703!(n 2)!

วธท า n!

3!(n 2)! = 70

n!

(n 2)! = 70×3!

n(n 1)(n 2)!

(n 2)!

= 420

n(n 1) = 420 หรอ n(n 1) = 420

2n n = 420 หรอ n(n 1) =

21×20

2n n 420 = 0 หรอ n = 21

(n 21)(n+20) = 0

ดงนน n = 21, -20

n = 21 (n เปนจ านวนเตมบวก)

เอกสารประกอบการเรยน เรอง วธเรยงสบเปลยนและวธจดหม 41

ตวอยางท 6 จงหาคา n เมอก าหนด n!

= 870(n 2)!

วธท า n!

(n 2)! = 870

n(n 1)(n 2)!

(n 2)!

= 870

n(n 1) = 870

n(n 1) = 30×29

ดงนน n = 30

ตวอยางท 7 จงหาคา n เมอก าหนด n! n!

=(n 8)!8! (n 6)!6!

วธท า n!

(n 8)!8! =

n!(n 6)!6!

(n 6)!(n 8)!

=

8!6!

(n 6)(n 7)(n 8)!

(n 8)!

=

8×7×6!6!

(n 6)(n 7) = 8 7

จะไดวา n 6 = 8

ดงนน n = 14

เอกสารประกอบการเรยน เรอง วธเรยงสบเปลยนและวธจดหม 42

ตวอยางท 8 จงหาคา n เมอก าหนด n! n!

= 30 ( )(n 4)! (n 5)!5!

วธท า n!

(n 4)! =

n!30 ( )

(n 5)!5!

n!(n 5)!n!(n 4)!

=

305!

n!(n 5)!

n!(n 4)(n 5)!

=

30120

1

(n 4) =

14

4 = n 4

8 = n

ดงนน n = 8

เอกสารประกอบการเรยน เรอง วธเรยงสบเปลยนและวธจดหม 43

แบบฝกหดท 2.2

เรอง สมการแฟกทอเรยล (factorial) n

ค าสง ใหนกเรยนแสดงวธการหาค าตอบโดยใช แฟกทอเรยล (factorial) n

1. ก าหนดให n!

(n 3)! = 720 จงหาคา n (3 คะแนน)

…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………….

2. ก าหนดให (n+1)!(n 1)!

= 420 จงหาคา n (3 คะแนน)

…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………

เอกสารประกอบการเรยน เรอง วธเรยงสบเปลยนและวธจดหม 44

3. ก าหนดให n!

(n 5)!5! =

n!(n 3)!3!

จงหาคา n (3 คะแนน)

…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

4. ก าหนดใหn!

(n 10)!10! =

n!(n 8)!8!

จงหาคา n (3 คะแนน)

…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………

ตารางบนทกคะแนน

แบบฝกหดท 5.2

คะแนนเตม คะแนนทได

เอกสารประกอบการเรยน เรอง วธเรยงสบเปลยนและวธจดหม 45

เฉลยแบบฝกหดท 2.1

เรอง แฟกทอเรยล (factorial) n

ค าสง ใหนกเรยนแสดงวธการหาค าตอบโดยใช (แฟกทอเรยล (factorial) n)

1. จงหาคาของ

1.1 7! (1 คะแนน)

วธท า 7! = 7×6×5×4×3×2×1

= 5,040

1.2 2! + 4! (1 คะแนน)

วธท า 2! + 4! = (2×1) + (4×3×2×1)

= 2 + 24

= 26

1.3 10! 7! (1 คะแนน)

วธท า 10! 7! = (10×9×8×7×6×5×4×3×2×1) (7×6×5×4×3×2×1)

= 3,628,800 5,040

= 3,623,760

1 คะแนน

1 คะแนน

1 คะแนน

เอกสารประกอบการเรยน เรอง วธเรยงสบเปลยนและวธจดหม 104

2. จงหาคาของ

2.1 8!

2!6! (2 คะแนน)

วธท า 8!

2!6! =

8×7×6!2×1×6!

1 คะแนน

= 28 1 คะแนน

2.2 9!

2!3!4! (2 คะแนน)

วธท า 9!

2!3!4! =

9×8×7×6×5×4!2×1×3×2×1×4!

1 คะแนน

= 9×8×7×6×52×1×3×2×1

= 1,260

2.3 2

8!(4!)

(3 คะแนน)

วธท า 2

8!(4!)

= 8!

4!4! 1 คะแนน

= 8×7×6×5×4!4 ×3×2×1×4!

1 คะแนน

= 8×7×6×54 ×3× 2×1

= 70

1 คะแนน

1 คะแนน

เอกสารประกอบการเรยน เรอง วธเรยงสบเปลยนและวธจดหม 105

3. จงเขยนใหอยในรปแฟกทอเรยล

3.1 5×4×3 (1 คะแนน)

วธท า 5×4×3 = 5× 4 ×3× 2!

2!

= 5!2!

3.2 (n+1)(n)(n 1) (1คะแนน)

วธท า (n+1)(n)(n 1) = (n+1)(n)(n 1)(n 2)!

(n 2)!

= (n+1)!(n 2)!

4. จงเขยนใหอยในรปไมมแฟกทอเรยล

4.1 (n+ 3)!(n+1)!

(2 คะแนน)

วธท า (n+ 3)!(n+1)!

= (n+ 3)(n+ 2)(n+1)!

(n+1)! 1 คะแนน

= (n+ 3)(n+ 2) 1 คะแนน

4.2 2(n!)

(n+1)!(n 1)! (2 คะแนน)

วธท า 2(n!)

(n+1)!(n 1)! =

n!n!(n+1)n!(n 1)!

1 คะแนน

= n!n(n 1)!

(n+1)n!(n 1)!

= n

(n+1)

1 คะแนน

1 คะแนน

1 คะแนน

เอกสารประกอบการเรยน เรอง วธเรยงสบเปลยนและวธจดหม 106

เฉลยแบบฝกหดท 2.2

เรอง สมการแฟกทอเรยล (factorial) n

ค าสง ใหนกเรยนแสดงวธการหาค าตอบโดยใช แฟกทอเรยล (factorial) n

1. ก าหนดให n!

(n 3)! = 720 จงหาคา n (3 คะแนน)

วธท า n!

(n 3)! = 720

1 2n(n )(n )(n 3)!

(n 3)!

= 720 1 คะแนน

1 2n(n )(n ) = 720

1 2n(n )(n ) = 10×9×8

ดงนน n = 10 1 คะแนน

2. ก าหนดให (n+1)!(n 1)!

= 420 จงหาคา n (3 คะแนน)

วธท า (n+1)!(n 1)!

= 420

(n+1)n(n 1)!

(n 1)!

= 420 1 คะแนน

(n+1)n = 21×20 1 คะแนน

ดงนน n = 20 1 คะแนน

1 คะแนน

เอกสารประกอบการเรยน เรอง วธเรยงสบเปลยนและวธจดหม 107

3. ก าหนดให n!

(n 5)!5! =

n!(n 3)!3!

จงหาคา n (3 คะแนน)

วธท า n!

(n 5)!5! =

n!(n 3)!3!

n!(n 3)!(n 5)!n!

=

5!3!

1 คะแนน

(n 3)(n 4)(n 5)!

(n 5)!

= 5×4

ดงนน (n 3)(n 4) = 5×4

n 3 = 5

n = 8

4. ก าหนดใหn!

(n 10)!10! =

n!(n 8)!8!

จงหาคา n (3 คะแนน)

วธท า n!

(n 10)!10! =

n!(n 8)!8!

(n 8)!(n 10)!

=

10!8!

1 คะแนน

(n 8)(n 9) = 10×9 1 คะแนน

n 8 = 10

ดงนน n = 18

1 คะแนน

1 คะแนน

1 คะแนน

เอกสารประกอบการเรยน เรอง วธเรยงสบเปลยนและวธจดหม 108