คณิตศาสตร์ม.4 เทอม...

คณตศาสตร ม.4 เทอม 1

เดกไทยhttp://www.168tutoronline.com

นายกรณ สมจตร (พกรณ)Master of Science (M.S.) Petrochemical TechnologyThe Petroleum and Petrochemical College,Chulalongkorn University.

บทท 1 :

เซต

“เซต” เทยบไดกบกลองคอสงทบอกไดวา “ม” หรอ “ไมมสมาชก” และไมมชอตายตว จงเปนค า “อนยาม”

สงทเปนเซต :“เซตของเลขคตงแต 1-5” เพราะสามารถบอกไดวา “มสมาชก” คอ 1, 3 และ 5

สงทเปนเซต: “แตมลกเตา ตงแต 7-10” เพราะสามารถบอกไดวา “ไม มสมาชก”

สงทไมเปนเซต :“พระอาทตยขนสวยจง” หรอ “รองไหหนกและนานมาก” เพราะบอกไมไดวา “ม” หรอ “ไมมสมาชก”

บทท 1 :

เซต รจกกบสญลกษณและประเภทของการเขยนเซต ดงน

1. “{ }” เครองหมายปกกา แสดงความเปนเซตหรอกลองใสสมาชก และเซตแตละตวจะมชอเปนอกษรภาษาองกฤษตวพมพใหญ เชน A = {1, 2}

เราเรยกการเขยนเซต A = {1, 2} วาการเขยนเซตแบบ แจกแจงสมาชก นนคอ การมองเหนในทนทวามสมาชกเปนตวใดบาง

บทท 1 :

เซต รจกกบสญลกษณและประเภทของการเขยนเซต ดงน

2. “|” เครองหมายโดยท แสดงการเปน เงอนไข จะใชส าหรบการเขยนเซตแบบบอกเงอนไข เชน A = {(x, y) | 2x = y}อานวา “เซต A เทากบ เซตของคอนดบ x, y โดยท 2x = y”

บทท 1 :

เซต รจกกบสญลกษณและประเภทของการเขยนเซต ดงน

3. “∈” แทนค าวาเปนสมาชกของหรออยใน อาจใชในกรณการเขยนเซตแบบบอกเงอนไข เชน A = {(x, y)∈N x N | 2x = y} อานวา “เซต A เทากบ เซตของคอนดบ x, y เปนสมาชกของจ านวนนบโดยท 2x = y”

หรออาจใชในกรณการบงบอกการเปนสมาชกเชน ก าหนด A = {1, 2}

และเครองหมาย “∉”แทนค าวาไมเปนสมาชกของหรอไมอยใน เชน

บทท 1 :

เซต รจกกบสญลกษณและประเภทของการเขยนเซต ดงน

4. “...” เครองหมาย จด 3 จด แสดงการไปเรอยๆ

บทท 1 :

เซต รจกกบสญลกษณและประเภทของการเขยนเซต ดงน

4. “...” เครองหมาย จด 3 จด แสดงการไปเรอยๆ

บทท 1 :

เซต การเขยนสญลกษณแทนเซต

วธการเขยนเซตเขยนได 2 แบบคอ1. การเขยนเซตแบบแจกแจงสมาชก จงเขยนเชตตอไปนEx1. ให A แทนเซตของจ านวนจรงตงแต 1 – 10

Ex2. ให B แทนเซตของสระในภาษาองกฤษ

Ex3. ให C แทนเซตของพยญชนะในภาษาองกฤษ

บทท 1 :

เซต การเขยนสญลกษณแทนเซต

วธการเขยนเซตเขยนได 2 แบบคอ1. การเขยนเซตแบบบอกเงอนไข จงเขยนเชตตอไปนEx1. ให A แทนเซตของชอวนในหนงสปดาห

Ex2. ให B แทนเซตของจ านวนเฉพาะบวก

Ex3. ให C = {2, 4, 8, 16, …}

บทท 1 :

เซต

เอกภพสมพทธคอขอบเขตของสงทเราจะศกษาจากเงอนไขทโจทยก าหนด โดยจะไมกลาวถงสงอนทนอกเหนอจากสมาชกในเอกภพสมพทธ

เชน A = {(x, y) ∈ N x N | 2x = y} เราจะไมพดถงจ านวนทเปนลบ เปนตน

“เอกภพสมพทธ”

บทท 1 :

เซต

- เซตทสามารถบอกไดวามหรอไมมสมาชกเทาใดเรยกวา “เซตจ ากด”- เซตทไมสามารถระบจ านวนสมาชกทแนนอนไดเรยกวา “เซตอนนต”- และเซตทไมมสมาชกเรยกวา “เซตวาง”

“ชนดของเซต”

บทท 1 :

เซต ตรวจสอบความเขาใจโดยการ

พจารณาเซตดงตอไปน

ขอควรระวงเกยวกบเซตวาง

บทท 1 :

เซต

เซตทเทากน คอเซตทมจ านวนสมาชกเทากน และหนาตาเหมอนกน แตถามแคจ านวนสมาชกทเทากน หนาตาสมาชกตางกน เราจะเรยกวา เซตทเทยบเทากน

“ความสมพนธระหวางเซต”

บทท 1 :

เซต

ตรวจสอบความเขาใจโดยการพจารณาเซตดงตอไปนวาเปนเซตในขอใดบางทเทากนหรอเทยบเทากน

“ความสมพนธระหวางเซต”

บทท 1 :

เซต

ก าหนด A = { 1, 2, 3 }

สบเซต ( Subsets )

B = { 0, 1, 2, 3 }

จะพบวา A ≠ B แตถาพจารณาสมาชกทกตวใน A เปนสมาชกของ B ดวยซงกลาวไดวา “A เปนซบเซตของ B” หรอ “A⊂B”

บทท 1 :

เซต

สบเซตไมแท :

สบเซตแท :

สบเซต ( Subsets )

บทท 1 :

เซต

ตวอยาง ก าหนดให

สบเซต ( Subsets )

A = { 1, 2, 3 }

1. A…………..B

2. A…………..C

3. C…………..D

C = { 0, 1, 2 }จงพจารณาแลวเตมเครองหมาย ⊂ และ ⊄

4. C…………..B

5. C…………..A

6. D…………..A

7. D…………..B

8. A…………..D

9. D…………..C

บทท 1 :

เซต

ตวอยาง ก าหนดให

สบเซต ( Subsets )

A = { 1, 2, 3 } จงหาสบเซตทงหมดทเปนไปไดทงหมด

บทท 1 :

เซต พาวเวอรเซต ( Powersets )

ถา A = { 1, 2, 3 } เราสามารถหาสบเซตทงหมดทเปนไปไดทงหมดของ A คอ

เราสามารถสรางเซตใหมขนมาหนงเซต โดยน าสบเซตเหลานนมาเปนสมาชกจะเรยกเซตใหมทไดวา “ พาวเวอรเซต ของ A”

บทท 1 :

เซต

สบเซตและเพาเวอรเซต สบเซต

คอเซตยอย และเพาเวอรเซตคอเซต

ของเซตยอยทเปนไปไดท งหมด

พาวเวอรเซต ( Powersets )

บทท 1 :

เซต

ภาพววฒนาการของเซต สบเซต และ เพาเวอรเซต

พาวเวอรเซต ( Powersets )

บทท 1 :

เซต พาวเวอรเซต ( Powersets )

บทท 1 :

เซต พาวเวอรเซต ( Powersets )แบบฝกหดท 1 จงหาพาวเวอรเซตของเซตทก าหนดใหตอไปน

1. A = { a, b }

2. B = { 0, {0}, 1 }

3. C = { ∅, {0}, {0,1} }

4. A = { ∅ }

บทท 1 :

เซต พาวเวอรเซต ( Powersets )แบบฝกหดท 2 ก าหนดให A = { 0, 1, 3, 5, 7, 9 } จงพจารณาขอตอไปนวาถกหรอผด

1. ∅ ∈ P(A)

2. {∅} ∈ P(A)

3. { 0, 1 } ∈ P(A)

4. { 0, 1, 2 } ∈ P(A)

5. { 1, 5, 7 } ∈ P(A)

6. A ∈ P(A)

บทท 1 :

เซต พาวเวอรเซต ( Powersets )แบบฝกหดท 3 ก าหนดให A = {∅, {0}, 0, 1, {1}, {0,1} } จงพจารณาขอตอไปนวาถกหรอผด

1. ∅ ∈ A

2. ∅ ⊂ P(A) 5. {0} ∈ P(A)

6. {0} ∈ A3. ∅ ∈ P(A)

4. ∅ ⊄ P(A)

บทท 1 :

เซต พาวเวอรเซต ( Powersets )แบบฝกหดท 3 ก าหนดให A = {∅, {0}, 0, 1, {1}, {0,1} } จงพจารณาขอตอไปนวาถกหรอผด

10. P(A) = A7. { 1, {1} }⊂ P(A)

8. {0, 1} ∈ P(A)

9. { {0}, { {0},1}, ∅ } ⊂ P(A)

บทท 1 :

เซต แผนภาพของเวนน -ออยเลอร

จะใช “วงกลม”แทน “เซต” และ

“กรอบสเหลยม” แทน “เอกภพ

สมพทธ”

บทท 1 :

เซต แผนภาพของเวนน -ออยเลอร แผนภาพเวนน-ออยเลอร แตละ

แบบ

บทท 1 :

เซต แผนภาพของเวนน -ออยเลอร

บทท 1 :

เซต แผนภาพของเวนน -ออยเลอร

บทท 1 :

เซต แผนภาพของเวนน -ออยเลอร

บทท 1 :

เซต แผนภาพของเวนน -ออยเลอร

บทท 1 :

เซต แผนภาพของเวนน -ออยเลอร

บทท 1 :

เซต การด าเนนการของเซต

ยเนยน (∪) คอการน าสมาชกของแตละเซตมารวมอยในเซตหรอกลองใบ

เดยวกน สมาชกตวไหนซ าใหนบยบเหลอตวเดยว

บทท 1 :

เซต การด าเนนการของเซต ยเนยน (∪)

ตวอยางท 1 ก าหนดให 𝓤 = { -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4}A = { 0, 1, 2, 3 } B = { -3, -1, 1, 3 } C = { -2, 0, 2, 4 } จงหา

(1) A ∪ B

(2) B ∪ C

(3) A ∪ C

(4) A ∪ B ∪ C

(5) A ∪𝓤

บทท 1 :

เซต การด าเนนการของเซต ยเนยน (∪)

ตวอยางท 1 ก าหนดให 𝓤 = { -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4}A = { 0, 1, 2, 3 } B = { -3, -1, 1, 3 } C = { -2, 0, 2, 4 } จงหา

(1) A ∪ B

(2) B ∪ C(3) A ∪ C

(4) A ∪ B ∪ C

(5) A ∪𝓤

ใชแผนภาพเวนน-ออยเลอร

บทท 1 :

เซต การด าเนนการของเซต อนเตอรเซกชน (∩) คอการสนใจสมาชกตวทซ ากน หรอเหมอนกน ใหมาอยเซตหรอกลองใบเดยวกน

บทท 1 :

เซต การด าเนนการของเซต

ตวอยางท 1 ก าหนดใหA = { 1, 2, 3, 4 } B = { 1, 3, 5, 7, 9 } C = { 2, 3, 5, 7, 11 } จงหา

อนเตอรเซกชน (∩)

(1) A ∩ B

(2) A ∩ C

(3) B ∩ C

บทท 1 :

เซต คอมพลเมนต (,) คอเครองหมายทไปปรากฏบนเซตใดจะ ไมสนใจ ไมนบ ไมเอาเซตเซตนน

การด าเนนการของเซต

บทท 1 :

เซต คอมพลเมนต (,)การด าเนนการของเซต

ตวอยางท 1 ก าหนดให 𝓤 = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}A = { 2, 4, 6, 8, 10 } B = { 1, 3, 5, 7, 9 } C = { 2, 3, 5, 7 } จงหา A’ B’ C’

บทท 1 :

เซต คอมพลเมนต (,)การด าเนนการของเซต

บทท 1 :

เซต

ผลตางระหวางเซต (-) มความหมายวา ถาก าหนด A – B นนคอ มสมาชกในเซต A แต ไมมในเซต B

การด าเนนการของเซต

บทท 1 :

เซต ผลตางระหวางเซต (-)การด าเนนการของเซต

บทท 1 :

เซต การด าเนนการของเซต

บทท 1 :

เซต การด าเนนการของเซต

บทท 1 :

เซต จ านวนสมาชกของเซตจ ากด

บทท 1 :

เซต 1. เซต (B-A)' ∩ C คอบรเวณทแรเงาใน

ขอใด ( O-net )

แนวขอสอบ

บทท 1 :

เซต แนวขอสอบ2. สวนทแรเงาของแผนภาพตอไปน ไมใช

เซตในขอใด (O-net) 1. (A∩B)−C2. A∩(B−C)3. A∩(B∪C)−C4. (A∩B)−(B∩C)5. B∩(A∪C)−(A∩B∩C)

บทท 1 :

เซต 3. ในการส ารวจความชอบรบประทานกวยเตยว,

ขาวมนไก และขาวหมแดง ของนกเรยน ม.6

จ านวน 100 คน พบวามนกเรยน

ชอบกวยเตยว 49 คน ชอบกวยเตยวและขาว

มนไก 22 คน

ชอบขาวมนไก 48 คน ชอบกวยเตยวและขาว

หมแดง 32 คน

ชอบขาวหมแดง 59 คน ชอบขาวมนไกและขาว

หมแดง 27 คน

และชอบทงสามอยาง 15 คน

แนวขอสอบ

บทท 1 :

เซต 3. ชอบกวยเตยว 49 คน ชอบกวยเตยวและ

ขาวมนไก 22 คน

ชอบขาวมนไก 48 คน ชอบกวยเตยวและ

ขาวหมแดง 32 คน

ชอบขาวหมแดง 59 คน ชอบขาวมนไกและ

ขาวหมแดง 27 คน

และชอบทงสามอยาง 15

แนวขอสอบ

บทท 1 :

เซต แนวขอสอบ4. จากการสอบถามนกเรยนช น ม.6 ทเรยนสาย

วทยาศาสตรจ านวน 180 คน พบวา

ม 83 คน ชอบเรยนเคม

ม 68 คน ชอบเรยนฟสกส

ม 84 คน ชอบเรยนชววทยา

ม 23 คน ชอบทงเคมและฟสกส

ม 22 คน ชอบทงฟสกสและชววทยา

ม 25 คน ชอบทงเคมและชววทยา

และ ม 33 คน ไมชอบวชาใดเลยในสามวชาน

ดงนนมนกเรยนกคนทชอบเคมแตไมชอบฟสกสและ

ชววทยา (o-net)

บทท 1 :

เซต แนวขอสอบ5. จากการสอบถามนกเรยนหญงในช นเรยนหนงซงม

จ านวน 50 คนเกยวกบความชนชอบดาราชายยอดนยม

สามคน ซงไดแก มารโอ ณเดช และโตโน ปรากฏผลดงน

25 คน ชอบมารโอ

28 คน ชอบณเดช

23 คนชอบโตโน

ถานกเรยนแตละคนชอบดาราอยางนอยหนงคนในสามคน

น แลวจ านวนนกเรยนหญงทชอบท งมารโอ และณเดช

เทากบเทาไร (o-net)

12 คนชอบทงมารโอ และ โต

โน

10 คนชอบทงณเดชและโตโน

และ

7 คนชอบดาราท งสามคน

บทท 1 :

เซต แนวขอสอบ25 คน ชอบมารโอ

28 คน ชอบณเดช

23 คนชอบโตโน

12 คนชอบทงมารโอ และ โต

โน

10 คนชอบทงณเดชและโตโน

และ

7 คนชอบดาราท งสามคน

บทท 1 :

เซต ให X′ แทนคอมพลเมนตของเซต X และ n(X) แทนจ านวน

สมาชกในเซต X ก าหนดให U แทนเอกภพสมพทธ ถา A

และ B เปนสบเซตใน U โดยท n(A′∪B)=30, n(A∪B′)=18,

n(A∩B)=3 และ n(A′−B)=8 แลวจงหาจ านวนสมาชกของ

เอกภพสมพทธ U เทากบขอใดตอไปน (PAT1)

แนวขอสอบ

บทท 1 :

เซต แนวขอสอบในการส ารวจความชอบเรยนวชาคณตศาสตร ภาษาไทย

และภาษาองกฤษ ของนกเรยนกลมหนง พบวา มนกเรยน

ชอบเรยนวชาคณตศาสตร 150คน

มนกเรยนชอบเรยนวชาภาษาไทย 80 คน, มนกเรยนชอบ

เรยนวชาภาษาองกฤษ 60 คน

และ มนกเรยนชอบทงสามวชา 30คน นกเรยนกลมนม

จ านวนอยางมากกคน (PAT1)

บทท 1 :

เซต แบบฝกหดทายบท1. ก าหนด A = {0, 1, {0, 1}} ขอใดถกตอง

ก. {0} ∈A ข. {0, 1} ∈A ค. {{0, 1}} ∈A ง.

{0, {1}} ∈A

บทท 1 :

เซต แบบฝกหดทายบท2. ขอใดถกตอง

ก. {x ∈ I+ ቚ x2 > 0 เปนเซตจ ากด ข. {x ∈ I

ቚx2 ≤ 0} เปนเซตจ ากด

ค. {x ∈ R ȁx < −1 } เปนเซตอนนต ง. {xȁ8 < x< 15 } เปนเซตจ ากด

บทท 1 :

เซต แบบฝกหดทายบท3. ขอใดไมถกตอง

ก. {} ไมเปนเซตวาง ข. {x ȁx เปนจ านวนเตมบวก และ

x + 2 = 2} เปนเซตวาง

ค. เซตวางเปนเซตจ ากด ง. ถา A เปนเซตอนนต แลว A

เปนเซตทนบไมไดเทานน

บทท 1 :

เซต แบบฝกหดทายบท4. ใหเซต A = {1, 2, 3, {1, 2, 3}} และ B = {1, 2, {1, 2}}

ขอใดถก

ก. A ∩ B = {{1, 2}} ข. A ∪ B = {{1, 2}, {1, 2,

3}}

ค. A - B = {{1, 2, 3}, 3} ง. B - A = 𝛟

บทท 1 :

เซต แบบฝกหดทายบท5. ให U = {2, 3, 4, 10}, A = {2, 4, 6}, B = {3, 4, 5, 6, 7},

C = {3, 5, 7, 9}

แลว (A – C)’ ∩ B คอขอใด

ก. {4, 6} ข. {3, 5, 7} ค. {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} ง.

{2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10}

บทท 1 :

เซต แบบฝกหดทายบท6. ขอใดไมใชสวนทแรเงาในแผนภาพ

ก. A ∩ B’ ข. B - A ค. A’ ∩ B ง. (A ∪ B) -A

บทท 1 :

เซต แบบฝกหดทายบท7. บรเวณทแรเงาในภาพหมายถงเซตใด

ก. (A’ - C) ∪ B ข. (C - A) ’ ∩ B ค. C’ ∩ (A ∩ B)

ง. A - (B ∪ C)

บทท 1 :

เซต แบบฝกหดทายบท8. ก าหนดให U= {l,2,3,4,5,6,7,8,9}, 1∉A, A∩B = {2,3},

A∩C = {2,6},B∩C = {2,4,7}, A∪B∪C = {1,2, 3,4, 5, 6, 7,

8}, C - A = {4,5,7} ขอใดผด

ก. A - B = {6, 8} ข. B - C = {1,3}

ค. A’ ∪ (B∩C) = { 1, 2, 4, 5, 7, 9} ง. [A - ( B∪C)] ∩(A∩B) ≠𝝓

บทท 1 :

เซต แบบฝกหดทายบท9. จากแผนภาพสอดคลองกบเซตใด

ก. (A∪B) ∩ (A∪C’) ข. (C’ ∪ (A∪B’) ’ ค. A∩ (B∪C)’ง. (A∩B) ∪ (C∩B)

บทท 1 :

เซต แบบฝกหดทายบท10. ให A, B และ C เปนเซต และ U = A∪B∪C ถา A∩B,

A∩C, B∩C, A∩B∩C และ U มจ านวนสมาชกเทากบ 8, 9,

10, 3 และ 45 ตามล าดบ ผลบวกของจ านวนสมาชกของเซต

A - (B∪C), B - (A∪C) และ C - (B∪A) คอขอใด

บทท 1 :

เซต แบบฝกหดทายบท11. ก าหนดให n(U) = 150, n(A∩B) = 50, n(C) = 10, n(A)

= 70, n(B) = 80 และ C ⊂ (A∩B) จงหา n(A∩B’) + n(B -

A) + n(A∪B∪C)’

บทท 1 :

เซต แบบฝกหดทายบท12. ถา A และ B เปนเซตใด ๆ ซง n(P(A)) = 32, n(P(B)) =

8 และ n(P(A∪B)) = 64 แลว n(A - B) เทากบขอใด

บทท 1 :

เซต แบบฝกหดทายบท13. นกเรยนกลมหนงจ านวน 19 คนพบวา ม 9 คนใสแวนตา

ม 14 คนใสนาฬกา ม 12 คนใสแหวน ม 4 คนใส นาฬกาอยาง

เดยว 1 คนใสแหวนอยางเดยว 5 คนใสแวนตาและนาฬกา 2

คนใสท งแหวน, แวนตา และ นาฬกา โดยนกเรยนแตละคนใน

กลมนจะใสของอยางนอย 1 สงใน 3 สงน จงหาวามเดกกคนท

ใสเฉพาะแวนตาและนาฬกา หรอเฉพาะแหวนและนาฬกา

หรอเฉพาะแหวนและแวนตา

บทท 1 :

เซต แบบฝกหดทายบท14. จากการสอบถามนกเรยน 120 คน วาชอบกฬา 3

ประเภทตอไปนหรอไม พบวา มคนชอบฟตบอล 68 คน ชอบ

บาสเกตบอล 44 คน ชอบวอลเลยบอล 37 คน ถามคนชอบ

บาสเกตบอลและวอลเลยบอล 7 คน ชอบ ฟตบอลและ

บาสเกตบอลแตไมชอบวอลเลยบอล 14 คน ชอบฟตบอล

อยางเดยว 35 คน จะมคนทไมชอบกฬาท งสามชนดนกคน

บทท 1 :

เซต แบบฝกหดทายบท15. โรงเรยนแหงหนงมนกเรยนชาย 600 คน นกเรยนหญง

500 คน ในจ านวนนเปนนกเรยนตางจงหวด 300 คน เปน

นกกฬา 50 คน นกเรยนชายตางจงหวด 200 คน นกกฬา

ชาย 30 คน นกเรยนตางจงหวดทเปนนกกฬา 25 คน ซงใน

จ านวนนเปนชายเสย 15 คน ถามวานกเรยนหญงซงมาจาก

ตางหวดและไมเปนนกกฬามกคน