ACT2025 - Cours 10 MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I Dixième cours

ACT2025 - Cours 10

MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I

Dixième cours

ACT2025 - Cours 10

Rappel:

• Rente perpétuelle de début de période

ACT2025 - Cours 10

Rappel:

• Rente perpétuelle de début de période• Calcul du nombre de paiements d’une annuité étant donné

la valeur actuelle, le taux d’intérêt et les paiements

ACT2025 - Cours 10

Rappel:

• Rente perpétuelle de début de période• Calcul du nombre de paiements d’une annuité étant donné

la valeur actuelle, le taux d’intérêt et les paiements• Calcul du nombre de paiements d’une annuité étant donné

la valeur accumulée, le taux d’intérêt et les paiements

ACT2025 - Cours 10

Rappel:

• Rente perpétuelle de début de période• Calcul du nombre de paiements d’une annuité étant donné

la valeur actuelle, le taux d’intérêt et les paiements• Calcul du nombre de paiements d’une annuité étant donné

la valeur accumulée, le taux d’intérêt et les paiements• Dernier paiement gonflé

ACT2025 - Cours 10

Rappel:

• Rente perpétuelle de début de période• Calcul du nombre de paiements d’une annuité étant donné

la valeur actuelle, le taux d’intérêt et les paiements• Calcul du nombre de paiements d’une annuité étant donné

la valeur accumulée, le taux d’intérêt et les paiements• Dernier paiement gonflé• Dernier paiement réduit

ACT2025 - Cours 10

Rappel:

Valeur actuelle d’une rente perpétuelle de début de période

ACT2025 - Cours 10

Rappel:

Valeur actuelle d’une rente perpétuelle de début de période

ACT2025 - Cours 10

Rappel:

Valeur actuelle d’une rente perpétuelle de début de période

Nous avons aussi la formule

ACT2025 - Cours 10

est égale à la valeur actuelle d’une annuité de n paiements de 1$ en fin de période auquel nous ajoutons la valeur actuelle d’un paiement fait à t = n + k de

Rappel:

ACT2025 - Cours 10

est égale à la valeur accumulée à t = n + k d’une annuité de n paiements de 1$ en fin de période auquel nous ajoutons un paiement fait à t = n + k de

Rappel:

ACT2025 - Cours 10

dans laquelle P, R et i sont donnés, peut être résolue. Nous obtenons

Rappel:

L’équation

ACT2025 - Cours 10

Pour la situation du dernier paiement gonflé, nous devons trouver X comme dans le diagramme d’entrées et sorties suivant:

Rappel:

ACT2025 - Cours 10

Pour la situation du dernier paiement réduit, nous devons trouver Y comme dans le diagramme d’entrées et sorties suivant:

Rappel:

ACT2025 - Cours 10

dans laquelle P, R et i sont donnés, peut être résolue. Nous obtenons

Rappel:

L’équation

ACT2025 - Cours 10

Pour la situation du dernier paiement gonflé, nous devons trouver X comme dans le diagramme d’entrées et sorties suivant:

Rappel:

ACT2025 - Cours 10

Pour la situation du dernier paiement réduit, nous devons trouver Y comme dans le diagramme d’entrées et sorties suivant:

Rappel:

ACT2025 - Cours 10

Nous allons maintenant considérer la question de déterminer le taux d’intérêt si nous connaissons les paiements, le nombre de paiements et soit la valeur actuelle, soit la valeur accumulée.Nous avons déjà vu pour ce type de problème la méthode de bissection. Nous allons maintenant considérer

la méthode de Newton-Raphson.

ACT2025 - Cours 10

Comme nous avons vu au cinquième cours (méthode de bissection), cette question de déterminer le taux d’intérêt revient à déterminer les zéros d’une fonction f connue,

c’est-à-dire les

x tels que f(x) = 0.

ACT2025 - Cours 10

Dans cette méthode, nous débutons avec une première valeur x0 et nous construisons récursivement une suite:

x1, x2, …, xs, … . Si tout va bien cette suite convergera vers un zéro de f.

ACT2025 - Cours 10

Géométriquement la suite est obtenue de la façon suivante:

ACT2025 - Cours 10

La règle récursive de la méthode de Newton-Raphson est la suivante.

Pour s = 0, 1, 2, …, nous avons

ACT2025 - Cours 10

Déterminons un zéro de la fonction f(x) = x3 - 8. Nous connaissons déjà la réponse. Ce sera 2. Tentons de voir si la méthode nous permet de converger vers cette valeur.

Exemple 1 :

ACT2025 - Cours 10

Déterminons un zéro de la fonction f(x) = x3 - 8. Nous connaissons déjà la réponse. Ce sera 2. Tentons de voir si la méthode nous permet de converger vers cette valeur.

Exemple 1 :

La dérivée de f(x) est

ACT2025 - Cours 10

Dans cet exemple, la règle récursive est la suivante

Exemple 1: (suite)

ACT2025 - Cours 10

Dans cet exemple, la règle récursive est la suivante

Exemple 1: (suite)

Nous pouvons simplifier ceci et nous obtenons

ACT2025 - Cours 10

Si nous débutons avec la valeur x0 = 3, nous obtenons

Exemple 1: (suite)

ACT2025 - Cours 10

Si nous débutons avec la valeur x0 = 3, nous obtenons

Exemple 1: (suite)

ACT2025 - Cours 10

Si nous débutons avec la valeur x0 = 3, nous obtenons

Exemple 1: (suite)

ACT2025 - Cours 10

s xs

0 3

1 2.296296296

2 2.036587402

3 2.000653358

4 2.000000213

5 2.000000000

Exemple 1: (suite)

ACT2025 - Cours 10

La méthode de Newton-Raphson ne fonctionne pas toujours. Par exemple, considérons la fonction f(x) = x3 - 5x.

Remarque 1:

ACT2025 - Cours 10

La méthode de Newton-Raphson ne fonctionne pas toujours. Par exemple, considérons la fonction f(x) = x3 - 5x.La règle récursive est

Remarque 1: (suite)

ACT2025 - Cours 10

Si nous commençons avec la valeur x0 = 1,

alors nous obtenons x1 = -1, x2 = 1, x3 = -1, …

et ainsi de suite.

Remarque 1: (suite)

ACT2025 - Cours 10

Si nous commençons avec la valeur x0 = 1,

alors nous obtenons x1 = -1, x2 = 1, x3 = -1, …

et ainsi de suite.

Remarque 1: (suite)

Cette suite ne converge pas!

ACT2025 - Cours 10

Graphiquement nous obtenons

Remarque 1: (suite)

ACT2025 - Cours 10

Nous allons maintenant illustrer la méthode de Newton-Raphson pour résoudre l’exemple 4 du cinquième cours, c’est-à-dire le premier exemple utilisé pour illustrer la méthode de bissection.

Exemple 2 :

ACT2025 - Cours 10

Déterminons le taux d’intérêt d’un prêt dont le flux financier est représenté par le diagramme d’entrées et sorties suivant:

Exemple 2 : (suite)

ACT2025 - Cours 10

L’équation de valeur avec comme date de comparaison t = 9 est

5000 (1 + i)9 + 5000(1 + i)7

| |4000 (1 + i)5 + 4000(1 + i)3 + 2000(1 + i)2 + 3000

Exemple 2 : (suite)

ACT2025 - Cours 10

L’équation de valeur avec comme date de comparaison t = 9 est

Donc nous cherchons à déterminer un zéro de la fonction

5000 (1 + i)9 + 5000(1 + i)7

| |4000 (1 + i)5 + 4000(1 + i)3 + 2000(1 + i)2 + 3000

Exemple 2 : (suite)

ACT2025 - Cours 10

La règle récursive de la méthode de Newton-Raphson est

Exemple 2 : (suite)

Si comme point de départ pour la méthode, nous prenions x0 = 6%, alors nous obtenons le tableau

ACT2025 - Cours 10

s xs

0 6%

1 5.232920189%

2 5.205343113%

3 5.205308625%

4 5.205308647%

5 5.205308669%

6 5.205308587%

Exemple 2 : (suite)

ACT2025 - Cours 10

Considérons maintenant la question de déterminer le taux d’intérêt d’une transaction alors que nous connaissons la valeur actuelle d’une annuité simple constante de fin de

période, le nombre de paiements et le montant des paiements de cette annuité.

ACT2025 - Cours 10

Nous voulons résoudre l’équation

alors que nous connaissons L, R et n. Nous voulons déterminer i.

ACT2025 - Cours 10

Nous voulons résoudre l’équation

alors que nous connaissons L, R et n. Nous voulons déterminer i. Ceci est équivalent à résoudre l’équation:

ACT2025 - Cours 10

Nous cherchons à déterminer un zéro de la fonction

ACT2025 - Cours 10

La règle récursive de la méthode de Newton-Raphson est alors

ACT2025 - Cours 10

Pour compléter la méthode de Newton-Raphson, il nous faut une valeur initiale i0 près de la valeur recherchée i. Une bonne approximation est obtenue en considérant comme valeur initiale

ACT2025 - Cours 10

Dans un prêt de 225 000$, l’emprunteur s’engage à verser 7500$ à tous les trimestres pendant 10 ans. Déterminer le taux nominal d’intérêt i(4) de ce prêt.

Exemple 3 :

ACT2025 - Cours 10

Dans un prêt de 225 000$, l’emprunteur s’engage à verser 7500$ à tous les trimestres pendant 10 ans. Déterminer le taux nominal d’intérêt i(4) de ce prêt.

Exemple 3 :

Nous avons ainsi que L = 225 000, R = 7500, n = 10 x 4 = 40 et notons par i, le taux d’intérêt par trimestre.

ACT2025 - Cours 10

La valeur initiale que nous pouvons utiliser pour la méthode de Newton-Raphson est alors

Exemple 3 : (suite)

ACT2025 - Cours 10

La règle récursive pour la méthode de Newton-Raphson est alors

Exemple 3 : (suite)

ACT2025 - Cours 10

En utilisant cette règle et cette valeur initiale, nous pouvons approximer le taux d’intérêt par trimestre et en multipliant par 4 ces taux obtenir une approximation du taux nominal recherché. Nous avons présenté ces valeurs dans le tableau suivant.

Exemple 3 : (suite)

ACT2025 - Cours 10

s xs 4xs (Taux nominal)

0 1.6260163% 6.5040652%

1 1.481978318% 5.927913272%

2 1.484619406% 5.9338477624%

3 1.484620352% 5.93681408%

4 1.484620497% 5.938481988%

5 1.484620377% 5.938481508%

6 1.484620430% 5.93848172%

7 1.484620287% 5.938481148%

Exemple 3 : (suite)

ACT2025 - Cours 10

Nous allons maintenant justifier notre choix de valeur initiale i0 .

Nous allons ainsi faire deux hypothèses simplificatrices pour obtenir cette première approximation.

ACT2025 - Cours 10

Nous pouvons remplacer les n paiements de R dollars par un seul paiement de nR dollars. Idéalement pour obtenir une situation équivalente à celle des n paiements, nous ferions ce paiement à l’échéance moyenne. Faute de connaître le taux d’intérêt i, nous allons utiliser l’échéance moyenne approchée.

Première hypothèse:

ACT2025 - Cours 10

Nous allons supposer que l’intérêt est simple plutôt que composé.

Deuxième hypothèse:

ACT2025 - Cours 10

L’échéance moyenne approchée est

car

Justification heuristique de l’approximation:

ACT2025 - Cours 10

Nous pouvons considérer notre transaction comme une entrée au montant de L dollars au temps t = 0 et une sortie de nR dollars au temps t = (n + 1)/2.

Justification: (suite)

ACT2025 - Cours 10

Nous notons par j: l’approximation lors que nous considérons le flux précédent et que nous supposons que l’intérêt est simple. Nous obtenons alors l’équation:

Justification: (suite)

ACT2025 - Cours 10

Nous obtenons ainsi facilement que

Ceci est notre choix de i0 .

Justification: (suite)

ACT2025 - Cours 10

Il est aussi possible d’obtenir une justification plus mathématique, justification qui fait appel à la série binomiale. Celle-ci est présentée dans le recueil de notes de cours.

Justification: (suite)