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Fernando Nogueira Análise de Sensibilidade 1
AnAnáálise de lise de SensibilidadeSensibilidade
Fernando Nogueira Análise de Sensibilidade 2
Consiste em pesquisar a estabilidade da solução em vista de possíveis variações dos parâmetros aij, bi e cjutilizados na Programação Linear, uma vez que, os parâmetros tecnólogicos (aij), os termos independentes (bi) e os coeficientes de lucro/custo (cj) são geralmente, muito suscetíveis as variações do mercado, da produção, ...
Retomando o problema da fabricação de 2 produtos em 3 máquinas, tinhamos:
Fernando Nogueira Análise de Sensibilidade 3
21 x5.1xZ += Lucro
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
≥≤+≤+≤+
0x,x280x2x4
120x2x160x2x2
21
21
21
21 Máquina A
Máquina B
Máquina C
Prod. não negativa
Fernando Nogueira Análise de Sensibilidade 4
Colocando na forma Normal
280uu0u0x2x4120u0uu0x2x160u0u0ux2x2
0u0u0u0x5.1xz
32321
32221
32121
32121
=++++=++++=++++=−−−−−
Fernando Nogueira Análise de Sensibilidade 5
A tabela Simplex inicial é:
00005.11280100241200102116000122
buuuxx 32121
−−
A tabela Simplex ótima é:
100021
4100
401230040012
1104001101buuuxx 32121
−−
−
Fernando Nogueira Análise de Sensibilidade 6
A solução ótima é:
x1 = 40
x2 = 40
u1 = 0
u2 = 0
u3 = 40
z = 100
Fernando Nogueira Análise de Sensibilidade 7
Intervalo Ótimo dos Coeficientes de Lucro (Custo)
O objetivo desta análise é determinar qual o intervalo de variação dos coeficientes da função objetivo sem que a solução ótima seja mudada.
Fernando Nogueira Análise de Sensibilidade 8
Supondo que a função-objetivo seja mudada de:
21
21
x5.1x3.1Zpara
x5.1xZ
+=
+= A solução continuará sendo
x1=40 e x2=40, porém Z=112
Fernando Nogueira Análise de Sensibilidade 9
Através dos gráficos podemos perceber que alterações nos coeficientes da função objetivo ocasionam rotações desta função e conseqüentemente, rotações também nas curvas de nível.
Porém se tais alterações nos coeficientes da função objetivo forem “exageradas”, a solução ótima não poderá ser preservada.
Fernando Nogueira Análise de Sensibilidade 10
Determinação dos Intervalos Ótimos
Qual o intervalo ótimo para c2 ?
22
2
21
p5.1cFazendo
5.1cx5.1xZ
+=
=+=
( )( ) 0xp5.1xZ
xp5.1xZ
221
221
=+−−++=
fica:
Fernando Nogueira Análise de Sensibilidade 11
A tabela Simplex, fica:
0000p5.11280100241200102116000122
buuuxx
2
32121
−−−
Resolvendo pelo Simplex, a tabela Simplex ótima é:
222
32121
p401000p21
2p
4100
401230040012
1104001101buuuxx
++−−
−−
Fernando Nogueira Análise de Sensibilidade 12
Para determinar-mos o intervalo ótimo de c2, precisamos fazer:
⎪⎩
⎪⎨
⎧
≥+
≥−
)2(0p21
)1(02
p41
2
2
Os lados esquerdos de (1) e (2) são os coeficientes das variáveis de folga u1 e u2, que na solução ótima são V.N.B (=0).
Se tais coeficientes tornarem-se negativos, implica que deverão entrar na base e, portanto, a solução irá mudar.
Fernando Nogueira Análise de Sensibilidade 13
B.N.Vcontinuamueu21p
21
totanpor
baseénãou21p
0p21)2(
baseénãou21p
41
2p
41
2p0
2p
41)1(
212
22
2
12
222
⇒≤≤−
⇒−≥
⇒≥+
⇒≤
≤⇒−≥−⇒≥−
Uma vez que c2=1.5, o intervalo ótimo é:
1215.1
2215.1
=−
=+
Fernando Nogueira Análise de Sensibilidade 14
ótimoervaloint2c1totanpor
2 ⇒≤≤
Os valores de p2 podem ser obtidos diretamente da tabela Simplex ótima.
( ) ( ) ( )
100021
4100
401230040012
1104001101buuuxx 32121
−−
−
A unidade na 2o coluna encontra-se na 2o linha. Os coeficientes de u1 e u2 nesta linha são –1/2 e 1, respectivamente.
⎪⎩
⎪⎨
⎧
≥+
≥−
0p21
02
p41
2
2
Zp40100e 2 =+
Fernando Nogueira Análise de Sensibilidade 15
Qual o intervalo ótimo para c1 ?
( ) ( ) ( )
100021
4100
401230040012
1104001101buuuxx 32121
−−
−
23
211
43
411
1c21p0p
21
41p0p
41
1
11
11
=+
=−
=
⎪⎩
⎪⎨
⎧
≤⇒≥−
−≥⇒≥+
ótimoervaloint23c
43
totanpor
1 ⇒≤≤
Fernando Nogueira Análise de Sensibilidade 16
Outro Exemplo
00043230103122001111buuxxx 21321
−−−
Inicial
ótima
6521
25002
352
12
11021
1521
23012
1buuxxx 21321
−
−
Fernando Nogueira Análise de Sensibilidade 17
V.B. x2,x3
V.N.B. x1, u1, u2
Qual o intervalo ótimo para c2 (coef. de x2) ?( )
( )
( )
43340
4c1p0p21
213
34c
35p0p
23
252
0c3p0p21
231
222
222
222
<<<
=⇒≤⇒≥−
=⇒−≥⇒≥+
=⇒−≥⇒≥+
ótimoervaloint4c34
totanpor
2 ⇒≤≤
Fernando Nogueira Análise de Sensibilidade 18
Quando a variável não está na base
Qual o intervalo ótimo para c1 (coef. de x1) ?
x1 é V.N.B.
[ ]
27c
21
.21
25c
2,1iyAc
1
1
1i1
≤
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡≤
=≤
Fernando Nogueira Análise de Sensibilidade 19
Intervalo Ótimo dos Termos Independentes (Valores dos Recursos)
O objetivo desta análise é determinar qual o intervalo de variação dos valores dos recursos. Os gráficos abaixo ilustram o efeito de mudar b3 = 280 para b3 = 240.
Fernando Nogueira Análise de Sensibilidade 20
A tabela Simplex, fica:
00005.1128010024
p1200102116000122
buuuxx
2
32121
−−
+
Resolvendo pelo Simplex, a tabela Simplex ótima é:
2p10002
14
100
p24012300p40012
110p4001101
buuuxx
2
2
2
2
32121
+
+−+−−−
Fernando Nogueira Análise de Sensibilidade 21
Qual o intervalo ótimo para b2 ?
Para determinar-mos o intervalo ótimo de b2, precisamos fazer:
20p0p24040p0p40
40p0p40
22
22
22
−≥⇒≥+−≥⇒≥+
≤⇒≥−
ótimoervaloint40p20totanpor
2 ⇒≤≤−
Fernando Nogueira Análise de Sensibilidade 22
Os valores de p2 também podem ser obtidos diretamente da tabela Simplex ótima (como no caso dos coeficientes de lucro cj).
( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )10002
14
100401230040012
1104001101buuuxx 32121
−−
−
Uma vez que estamos analisando o intervalo que o parâmetro b2pode variar e este está relacionado com a 2o restrição, os coeficientes de p2 são os valores da coluna u2. Assim, fica:
20p0p24040p0p40
40p0p40
22
22
22
−≥⇒≥+−≥⇒≥+
≤⇒≥−
Fernando Nogueira Análise de Sensibilidade 23
Intervalo Ótimo dos Coeficientes TecnológicosO objetivo desta análise é determinar qual o intervalo de variação dos Coeficientes Tecnológicos. Os gráficos abaixo ilustram o efeito de mudar A[2][1] = 1 para A[2][1] = 1.33
Fernando Nogueira Análise de Sensibilidade 24
A tabela Simplex, fica:
00005.11280100241200102p116000122
buuuxx
21
32121
−−
+
Resolvendo pelo Simplex, a tabela Simplex ótima é:
1pp65200
1p5.0
1pp314100
1pp31401
1p2
1pp300
1pp21400
1p1
1pp12110
1p400
1p1
1p101
buuuxx
21
21
2121
21
21
21
2121
21
21
21
2121
21
212121
32121
−+−
−−
−+−
−+−
−−
−+−
−
−+−
−−
−+
−−
−−−
Fernando Nogueira Análise de Sensibilidade 25
Se os coeficientes de u1 e u2 forem não-negativos, implica que estas variáveis são não básicas (u1 e u2 = 0) e x1, x2 e u3 são básicas. Portanto, se o objetivo for determinar um intervalo para p21 na qual as variáveis básicas e não-básicas permaneçam como descrito acima, faz-se:
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
≥−
−
≥−
+−
01p
5.0
01p
p3141
21
21
21
No entanto, o intervalo obtido para p21 através apenas da análise dos coeficientes das variáveis não-básicas pode resultar em algum valor não permitido (bj < 0) para os termos independentes bj, uma vez que estes também são função dos valores de p21.
Para evitar isto, fazemos:
Fernando Nogueira Análise de Sensibilidade 26
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
≥−
+−
≥−
+−
≥−
−
01p
p3140
01p
p2140
01p
40
21
21
21
21
21
Resolvendo p21 para todas as inequações, obtém-se:
31p21 <
Como a[2][1] = 1:
33.1]1][2[a33.1311 <⇒=+
Fernando Nogueira Análise de Sensibilidade 27
Qual o significado de a[2][1] < 1.33 ?
O coeficiente de a[2][1] = 1 representa que o produto 1 gasta 1 hora para ser fabricado na máquina B.
Se este mesmo produto gastar 1.33 horas para ser fabricado na máquina B (devido a falta de energia, manutenção da máquina, etc...), as variáveis básicas continuaram a ser x1, x2 e u3, apesar de seus valores serem diferentes para a solução quando a[2][1] = 1.
Cabe observar que neste caso não tem sentido a[2][1] < 0, portanto:
31p1 21 ≤≤−
No entanto, matematicamente, não há problemas p21<-1.Rodar sens.m para valores menores que 1/3
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