Analysis – mehr als Tangenten und Flächen

Analysis – mehr als Tangenten und Flächenein anwendungsorientierter Einstieg in die Analysis mit elektronischen

Werkzeugen

Michael RüsingB. M. V. – Schule

Bardelebenstraße 945147 Essen

michael@ruesing-essen.de

Vorgesehene Reihenfolge

1.Darstellung eines Einstiegs in die Differentialrechnung mit CAS2.Teile des Einstiegs, die mit GTR möglich sind3.Einstiege der Teilnehmerinnen und Teilnehmer4.Konsequenzen in der S I5.Vergleich von Abituraufgaben mit und ohne CAS6.Einstieg in die Integralrechnung

Zwischendurch:Unterbrechungen, Kommentare, Fragen, Änderungswünsche

Die Entwicklung mathematischer Kompetenzen wird durch den sinnvollen Einsatz digitaler Mathematikwerkzeuge unterstützt. Das Potenzial dieser Werkzeuge entfaltet sich im Mathematikunterricht

•beim Entdecken mathematischer Zusammenhänge, insbesondere durch interaktive Erkundungen beim Modellieren und Problemlösen,

•durch Verständnisförderung für mathematische Zusammenhänge, nicht zuletzt mittels vielfältiger Darstellungsmöglichkeiten,

•mit der Reduktion schematischer Abläufe und der Verarbeitung größerer Datenmengen,

•durch die Unterstützung individueller Präferenzen und Zugänge beim Bearbeiten von Aufgaben einschließlich der reflektierten Nutzung von

Kontrollmöglichkeiten.

Bildungsstandards

Voraussetzungen

Änderungsrate ist bei linearen Funktionen bekannt

Intuitiver Grenzwertbegriff ist vorhanden

Einstieg in die Differentialrechnung

Einstiegsaufgabe zur Differentialrechnung

Schilderung eines Problemzusammenhangs

An einer meteorologischen Messstation werden verschiedene Wetterdaten erhoben. Unter anderem wird auch die Regenmenge registriert. In einem oben offenen Glasrohr kann abgelesen werden, wie hoch der Regenwasserstand ist.

Wird zu verschiedenen Zeitpunkten die Höhe des Wasserstandes registriert, ergibt sich eine Wasserstandsfunktion. Mit Hilfe dieser Funktion lassen sich eine ganze Reihe von Fragen beantworten.

Die Höhe des Wasserstandes sei gegeben durch die Funktion mit der Gleichung

Dabei wird h in cm und t in Stunden gemessen

ttt

th 37300

)(23

24;0t

Wie hoch steht das Wasser nach 8 Stunden? (8)h

Wann steht das Wasser 5 cm hoch? ( ) 5h t

Um wie viel ist der Wasserstand von 10 Uhr bis 11 Uhr gestiegen?

(11) (10)h h

Die Höhe des Wasserstandes sei gegeben durch die Funktion mit der Gleichung

Dabei wird h in cm und t in Stunden gemessen

ttt

th 37300

)(23

24;0t

Hat es um 15.00 Uhr stärker geregnet oder um 16.00 Uhr?

Erster Lösungsansatz

1,25525

13168)16(

1,2428

675)15(

h

h Also hat es um 16.00 stärker geregnet.

Zweiter Lösungsansatz

01,1)16()17(

97,0)15()16(

hh

hh In der 16. Stunde ist mehr Regen gefallen als in der 17.

Dritter Lösungsansatz

099,0)16()1,16(

097,0)15()1,15(

499,0)16()5,16(

484,0)15()5,15(

hh

hh

hh

hhDie Werte werden so klein und sind nicht mehr miteinander vergleichbar.Wie entscheidet man, ob es von 15 bis 15,5 heftiger geregnet hat als von 15 bis 15,1?

Wähle ein gemeinsame Bezugsgröße, etwa eine Stunde:

10)15()1,15( hh wird verglichen mit 2)16()5,16( hh

Verallgemeinerung

Bisher berechnet: durchschnittliche Regenheftigkeit in Intervallen

Beobachtung: Je kürzer das Intervall, desto besser stimmt der Durchschnittswert mit der Heftigkeit des Regens zu dem gewünschten Zeitpunkt überein.

Erinnerung:Grenzwertbildung

Term (unendlich viele Durchschnittswerte) als Voraussetzung für Grenzwertbildung

Im Unterricht beobachtete Alternativen

n

thn

th

1

)(1

n

n thth

10

10

x

thxth )()(

Alle Alternativen sind brauchbar

Vorteile des Einsatzes von CAS

„Analysis ist schwer, weil man dabei so viel rechnen muss“

Neu zu lernen notwendiges Werkzeug ( ) ( )f x h f x

h

algebraische Vereinfachung

Schülermeinung

leicht schwer

Durch den Einsatz von CAS werden Schwierigkeiten isoliert

Kombinieren der Schwierigkeiten

Bei welchen Funktionstypen sollen die Schüler die Umformung des Differenzenquotienten ohne Technologie leisten?

Zu welchem Zeitpunkt soll das geschehen?

Klausuraufgabe:Gegeben ist die Funktion mit der Gleichung

Bestimmen Sie als Grenzwert ohne Technologie

2( ) 2 3 1f x x x '(2)f

Geometrische Veranschaulichung

Geometrische Veranschaulichung

Geometrische Veranschaulichung

Geometrische Veranschaulichung

Geometrische Veranschaulichung

Geometrische Veranschaulichung

Beispielaufgabe

Die Füllmenge in einem Vorratsbehälter ist gegeben durch die Funktion mit der Gleichung:

Dabei ist V in m³ und t in Stunden gemessen. Betrachtet wird der Ablauf eines Tages, also t liegt zwischen 0 und 24.

15034

1

150)( 2

3 tt

ttV

a) Wie groß ist der Verbrauch im Laufe des Tages?

b) Ist der Vorratsbehälter im Laufe des Tages irgendwann leer?

c) Wann ist die Hälfte der Anfangsmenge im Behälter?

d) Wie groß ist die durchschnittliche Verbrauchsrate während des Tages?

e) Zu welchem Zeitpunkt ist die Verbrauchsrate maximal?

f) Zu welchem Zeitpunkt ist der Verbrauchsrate minimal?

g) Wie groß ist die minimale bzw. maximale Verbrauchsrate?

15034

1

150)( 2

3 tt

ttV

Bearbeiten Sie die Aufgabe zur Differentialrechung.

Stellen Sie sich dabei auf den Kenntnisstand der Schüler ein.

Noch nicht bekannt:AbleitungsregelnAbleitungsfunktion von CAS

Vorgehensweise ohne CAS Vorgehensweise mit CAS

Motivierendes Einführungsbeispiel

Kriterium: Einfache Berechenbarkeit

Ableitungsregeln

Kriterien für Kurvendiskussion

Anwendungen: Kurvendiskussion und Extremwertaufgaben

Vergleich der Unterrichtsgänge zur Differentialrechnung

Motivierendes Einführungsbeispiel

Kriterium: interessanter Kontext

Anwendungen: neue Begriffe mit Hilfe der Ableitung

Ableitungsregeln werden an den Beispielen entdeckt

Kriterien als Hilfsmittel zum Aufstellen von Funktionsgleichungen

Übertragen Sie die vorgestellten Möglichkeiten auf Ihren eigenen Unterricht.

Welchen Einstieg verwenden Sie für die Differentialrechung?

Diskutieren Sie, ob dieser Einstieg durch die Verwendung von elektronischen Hilfsmitteln unterstützt werden kann. Notieren Sie, an welchen Stellen eine Unterstützung sinnvoll sein kann.

Bevorzugen Sie dabei GTR oder CAS?

http://did.mathematik.uni-halle.de/lehrerseite/Rechenfertigkeiten_Taschenrechner_2000.pdf

Kopfalgebra

Kopfalgebra

Kopfalgebra

Kopfalgebra

Kopfalgebra

Kopfalgebra

Kopfalgebra

Kopfalgebra

Interview mit einer 36jährigen Akademikerin  Aufgabenstellung des Versuchsleiters:An einer Universität sind P Professoren und S Studenten. Auf einen Professor kommen 6 Studenten. Drücken Sie das durch eine Gleichung in S und P aus.

Versuchsperson (schreibt) 6S = PVersuchsleiter nehmen wir einmal an, es sind 10

Professoren. Wie viele Studenten sind das dann?

Versuchsperson 60

Versuchsleiter Setzen Sie das in die Gleichung ein.Versuchsperson 6∙60 = 10. Aha, das kann nicht stimmen

(nach einer Pause schreibt sie): P + 6S = P + S

Versuchsleiter Was bedeutet das?Versuchsperson Die Professoren und die auf jeden Professor

fallenden 6 Studenten ergeben zusammen alle Professoren und Studenten

Versuchsleiter Hhmm... Bei dieser Gleichung könnte man auf beiden Seiten P subtrahieren. Was ergibt sich dann?

Versuchsperson (streicht P auf beiden Seiten durch): 6S = S

Versuchsleiter Kann das stimmen?Versuchsperson Ja natürlich ... Die Gruppen zu 6 Studenten

ergeben zusammen alle Studenten.

Versuchsleiter Setzen Sie wieder die Zahlen ein.Versuchsperson 10 Professoren und 60 Studenten. Dann ist das

6∙60 = 10. Das kann nicht stimmen.(nach einer Pause schreibt sie): P + S = 7

Versuchsleiter (räuspert sich)Versuchsperson (bessert aus zu): P + 6S = 7

Versuchsleiter Was bedeutet das?Versuchsperson Ein Professor und seine 6 Studenten sind

zusammen 7 Personen.

Gleichung zu einem Graphen

Zeichnung einer Schülerin

Konkretisierung nach Diskussion

Einigung auf Modellierung durch eine Funktion 5. Grades:

fexdxcxbxaxxg 2345)(

0)9('

0)5('

0)2('

6)9(

3)5(

1)2(

g

g

g

g

g

gForderungen an die Funktion

Ersetze die Bedingung

durch

6)9( g0)5('' g

Umkehraufgaben zur Differentialrechnung

Gegeben ist eine Volumenfunktion durch einen Term V(t). Schreiben Sie jeweils auf, zu welcher Fragestellung der Rechenansatz passt:

a)

b)

c)

d)

e)

)17(V3,5)( tV

)3()12( VV )5('V

0)(' tV

Gegenüberstellung der beiden Versionen der Zentralabituraufgabe HT 1 von 2012

k

atm

30ln20

600

1

1200

600

1

20

1

60)('

20

1

20

1

t

t

a

ea

ea

tf

at

at

aee

a tt

2ln20

2ln

20

1

20

600

1

120020

1

20

1

tt

a ea

ea

tf 20

1

20

1

2400020

1

1200)(''

.

.

10129.0099696.0

01656.099696.0

0.001651

001651.0

099696.0

140001656.0

140

140

eu

v

evu

euv

v

Einstiegsaufgabe Integralrechnung

Aufgabenstellung:

Bei einem Unfall in einer Fabrik wurden Schadstoffe freigesetzt. Die Menschen, die in der Umgebung lebten, wurden evakuiert. Es soll bestimmt werden, wie viel diese Menschen von den Schadstoffen bis zum Zeitpunkt der Evakuierung eingeatmet haben.

Menge Schadstoff in der Luft 500 l

Konzentration d. Schadstoffs pro l Luft 2% / 20 ml

Zeit bis zur Evakuierung 2 ½ Std

Menge Luft die ein Mensch pro Stunde einatmet = 100 l

Menge Schadstoffe " " " : 2 l

bis zur Evakuierung 5 l

Menge Schadstoff in der Luft 500 l

Konzentration d. Schadstoffs pro l Luft 2% / 20 ml

Zeit bis zur Evakuierung 2 ½ Std

Menge Luft die ein Mensch pro Stunde einatmet = 100 l

Menge Schadstoffe " " " : 2 l

bis zur Evakuierung 5 l

100 l = Menge d. Schadstoffes

4 h = Unfall bis Evakuierung

25 l pro h

ca 5 l bleiben in Luft

20 l auf 1000 Menschen verteilt

0,02 l pro h pro Person

0,08 l in 4 h

100 l = Menge d. Schadstoffes

4 h = Unfall bis Evakuierung

25 l pro h

ca 5 l bleiben in Luft

20 l auf 1000 Menschen verteilt

0,02 l pro h pro Person

0,08 l in 4 h

Aufnahmerate

Aufnahmerate * Zeit

Verbesserung des Ansatzes

Bei nicht konstanter Aufnahmerate muss diese durch eine Funktion modelliert werden.

Im Unterricht beobachtete Modellierungen der Funktion a:

Quadratisch Grad 3 Exponentiell

210004,0)( ttatta 9,04,0)(

Problem: Wie multipliziert man eine Funktion mit der Zeitdauer?

Grundidee:Teile die gesamte Zeitspanne in kurze Abschnitte ein und tue so, als wäre die Rate innerhalb eines Abschnittes konstant.

Konkrete Ausführung:Evakuierung nach 4 Stunden. Teile in 8 Abschnitte. Wähle als konstanten Wert den Funktionswert jeweils am Anfang des Abschnittes:

2

15,3

2

11

2

15,0

2

108 aaaam

7

08 2

1

2

1

i

iam

Bisher im Unterricht beobachtete Ansätze

Wähle als konstanten Wert

Funktionswert am linken Rand des Abschnitts

Funktionswert am rechten Rand des Abschnitts

Funktionswert in der Mitte des Abschnitts

Mittelwert der Funktions-werte an den Rändern

1

0

44n

in nn

iam

n

in nn

iam1

44

1

0

4

2

44n

in nnn

iam

n

in n

nia

nia

m1

4

2

41

4

Anwendungssituationen für Integralrechnung

Situation Multiplikation Integration

Schadstoffmenge Aufnahmerate * Zeit Aufnahmeratenfunktion

Fläche Breite * Länge Breitenfunktion

Volumen Querschnittsfläche * Höhe Querschnittsflächenfunktion

Nahrungsbedarf Bedarfsrate * Zeit Bedarfsratenfunktion

Energiebedarf Bedarfsrate * Zeit Bedarfsratenfunktion

Wassermenge Zulaufrate * Zeit Zulaufratenfunktion

Aufgabenbeispiel

Gegeben ist die Zulaufratenfunktion für ein Wasserbecken durch

im Intervall [0; 6]. Dabei ist t in Stunden in z in m³/h gemessen. Negative Werte der Zulaufratenfunktion bedeuten, dass Wasser abläuft.

a) Bestimmen Sie die Zeitintervalle, in den Wasser zuläuft, und die Intervalle, in denen Wasser abläuft.

b) Wie viel Wasser ist bis zum Ende der ersten Zulaufphase zugelaufen?

64

275

64

5

64

15

64)(

23

ttt

tz

c) Zu welchem Zeitpunkt ist während der Ablaufphase der Anfangswasserstand wieder erreicht?

d) Zu welchem Zeitpunkt ist das Becken am stärksten gefüllt?

e) Zu welchem Zeitpunkt liegt die größte Zulaufrate vor?

f) Zu welchem Zeitpunkt liegt die größte Ablaufrate vor?

g) Zu welchem Zeitpunkt liegt die maximale Änderung der Zulaufrate vor?

h) Nehmen Sie an, es würde sich bei der Funktion um eine Geschwindigkeitsfunktion handeln. Geben Sie zu jedem der Aufgabenteile a) bis g) an, was Sie dann ausgerechnet hätten.

Bearbeiten Sie die Aufgabe zur Integralrechnung.

Stellen Sie sich dabei auf den Kenntnisstand der Schüler ein.

Noch nicht bekannt:Integration mit Hilfe der StammfunktionsmethodeIntegralfunktion von CAS

Eventuell beschränken Sie sich auf die Teile zur Integralrechung

Differentialrechnung Integralrechnung

Gegeben ist eine Volumenfunktion

Gesucht ist die Zulaufratenfunktion

Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

523,002,0)( 23 ttttV

26,006,0)( 2 tttz

Differentialrechnung Integralrechnung

Gegeben ist eine Volumenfunktion

Gesucht ist die Zulaufratenfunktion Gegeben ist eine Zulaufratenfunktion

Gesucht ist das Volumen, das im Zeitraum [1;2] zuläuft

Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

523,002,0)( 23 ttttV

26,006,0)( 2 tttz 26,006,0)( 2 tttz

2

1 25

24)( dttz

Differentialrechnung Integralrechnung

Gegeben ist eine Volumenfunktion

Gesucht ist die Zulaufratenfunktion Gegeben ist eine Zulaufratenfunktion

Gesucht ist das Volumen, das im Zeitraum [1;2] zuläuft

Gesucht ist das Volumen, das im Zeitraum [1;2] zuläuft

Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

523,002,0)( 23 ttttV

26,006,0)( 2 tttz 26,006,0)( 2 tttz

2

1 25

24)( dttz

25

24)1()2( VV