Antrian II

Mahasiswa mampu menjelaskan asumsi model antrian (C2) dan menggunakan model-model antrian untuk memecahkan masalah antrian (C3)

Mahasiswa mampu menjelaskan asumsi model antrian (C2) dan menggunakan model-model antrian untuk memecahkan masalah antrian (C3)

Mahasiswa dapat menjelaskan model antrian dan menggunakan model antrian serta aplikasinya dengan benar

banyaknya kedatangan

probabilitas x kedatangan

rata-rata tingkat kedatangan

dasar logaritma natural 2,718

x(x-1)(x-2), dibaca x fakttorial

x

P(x)

λ

e

X!

=

=

=

=

=

mengikuti distribusi Poisson

variabel random

Jika banyaknya kedatangan per satuan

waktu mengikuti distribusi poisson dengan

rata-rata tingkat kedatangan λ maka waktu

antar kedatangan (inter arrival time) akan

mengikuti distribusi exponensial negatif

dengan rata-rata 1/λ

Jika banyaknya kedatangan per satuan

waktu mengikuti distribusi poisson dengan

rata-rata tingkat kedatangan λ maka waktu

antar kedatangan (inter arrival time) akan

mengikuti distribusi exponensial negatif

dengan rata-rata 1/λ

Mengikuti distribusi

eksponensial negatif

Tingkat pelayanan mengikuti distribusi

Poisson

waktu pelayanan

probabilitas yang berhubungan dengan t

rata-rata tingkat pelayanan

rata-rata waktu pelayanan

2,718

t

f(t)

μ

1/μ

e

=

=

=

=

=

•Pengantri harus disiplin dan sabar menunggu giliran

•Umumnya diasumsikan pengantri dilayani atas dasar FCFS

•Pengantri harus disiplin dan sabar menunggu giliran

•Umumnya diasumsikan pengantri dilayani atas dasar FCFS

Tingkah laku pengantri yang dapat mempengaruhi perhitungan waktu pelayanan dan waktu tunggu

Tingkah laku pengantri yang dapat mempengaruhi perhitungan waktu pelayanan dan waktu tunggu

Adalah :Pengantri yang meninggalkan sistem sebelum dilayani reneging

•Panjang antrian & waktu tunggu memiliki nilai konstan setelah sistem berjalan selama periode tertentu steady state/keseimbangan.

•Keadaan steady state tidak berlangsung lama keadaan transient.

•Panjang antrian & waktu tunggu memiliki nilai konstan setelah sistem berjalan selama periode tertentu steady state/keseimbangan.

•Keadaan steady state tidak berlangsung lama keadaan transient.

Jika λ kurang dari μ maka traffic intensity (utilization) faktor adalah :

Jika rasio ini mendekati 1 maka panjang antrian yang diharapkan akan mendekati tak terbatas

Asumsi : Tingkat Pelayanan (μ) > Tingkat kedatangan pengantri (λ)

asumsi sumber kedatangan & panjang antrian adalah tak terbatas

Seringkali tidak realistis

Hubungan antara Hubungan antara Tingkat kedatangan Tingkat kedatangan ((λλ)/Tingkat Pelayanan ()/Tingkat Pelayanan (μμ) dan panjang antrian) dan panjang antrian

0.0 0.1 1.0

Pan

jan

g a

ntr

ian

λλ /μμ

Notasi Kendall Banyak variasi model antrian Model diringkas dlm notasi Kendall yang diperluas, yaitu : [ a / b / c / d / e / f ] Notasi Kendall yg asli : [ a / b / c ]Keterangan :

a : distribusi kedatanganb : distribusi keberangkatan atau waktu pelayanan, untuk a dan b M : Poisson, Ek : Erlang

D : Deterministik/konstanc : banyaknya pelayanan paraleld : disiplin antri; FCFS, LCFS, random, dll.e : jlh maks pengantri dlm sistem (antri & dilayani)f : jlh sumber kedatangan

Jika tiga dr notasi Kendall tdk disebutkan, berarti :[ . / . / . / FCFS / ~ / ~ ]

Model Satu Saluran Satu TahapModel Satu Saluran Satu Tahap[M/M/1][M/M/1]

Model ini : kedatangan dan keberangkatan mengikuti distribusi Poisson (M), terdapat satu pelayan, kapasistas pelayanan dan sumber kedatangan tak terbatas

Model antrian yang paling sederhana

Penentuan ciri-ciri operasi dpt dilakukan setelah diperoleh probabilitas n pengantri dalam sistem, Pn.

Melalui penurunan matematika dalam kondisi steady state dapat ditunjukkan bahwa :

nn RRP 1

R ,.....3,2,1ndimana dan

Bertolak dari rumus itu dapat diperoleh ciri-ciri operasi lain, seperti:

1. Probabilitas pada k atau lebih pengantri dalam sistem :

2. Rata-rata banyaknya pengantri dalam sistem :

R

RnPL

nn

10

3.3. Rata-rata banyaknya pengantri yang sedang antriRata-rata banyaknya pengantri yang sedang antri

4.4. Rata-rata waktu menunggu dalam sistemRata-rata waktu menunggu dalam sistem

5.5. Rata-rata waktu antriRata-rata waktu antri

6.6. Proporsi waktu nganggur pelayanProporsi waktu nganggur pelayan

R

RLq

1

2

1W

qW

RPa 1

Contoh 1Contoh 1

• Penumpang kereta api datang pada sebuah loket mengikuti distribusi Poisson dengan tingkat rata-rata 20 orang per jam. Misalkan secara rata-rata setiap penumpang dilayani 2 menit dan waktu layanan mengikuti distribusi eksponensial. Setelah sistem dalam steady state, carilah:

• a. P4 b. L c. Lq d. W e. Wq f. Po

Jawaban 1Jawaban 1 Tingkat kedatangan rata-rata (Tingkat kedatangan rata-rata (λλ) 20 per jam, dan ) 20 per jam, dan

tingkat pelayanan rata-rata (tingkat pelayanan rata-rata (μμ) 30 per jam, sehingga R ) 30 per jam, sehingga R =2/3.=2/3.

33.0321

4203030

20

6101

2030

1

33.1

32194

2

32132

9216

32

321

4

4

o

q

q

P

memitW

menitjamW

penumpangL

penumpangL

Pa.

b.

c.

d.

e.

f.

243

Contoh 2Contoh 2

• Misalkan kepala stasiun mengganti penjaga loket yang ada dengan penjaga yang lebih trampil, waktu pelayanan berkurang dari rata-rata 2 menit per penumpang menjadi 1,5 menit per penumpang (40 penumpang per jam). Namun upah penjaga yang trampil adalah Rp. 1200 per jam, yang berarti dua kali upah penjaga yang ada. Kepala stasiun juga memperkirakan biaya menunggu pengantri Rp. 50 per menit. Haruskah kepala stasiun mengganti penjaga yang ada dengan penjaga yang lebih trampil?

Jawaban 2.Jawaban 2.• Ciri-ciri sistem yang diperlukan untuk menganalisis Ciri-ciri sistem yang diperlukan untuk menganalisis

masalah itu adalah Wmasalah itu adalah Wqq dan P dan Poo yang dihitung seperti yang dihitung seperti berikutberikut

%3,3330

201

415

1

203030

20

Po

menitjamWq

Kasus 1.Pelayan yang ada memberikan= 30 penumpang

Kasus 2.Pelayan terampil memberikan= 40 penumpang

%5040

201

5,140

1

204040

20

Po

menitjamWq

Krn λ 20 orang per jam & loket dibuka 8 jam sehari, shg banyak pengantri diperkirakan 160 orang.

Waktu antri (menunggu), kasus 1 = 160 x 4 = 640 menit

kasus 2 = 160 x 1,5 = 240 menitRingkasan kedua unsur biaya :

Jadi penggantian pelayan akan menurunkan total biaya

Komponen Biaya Kasus 1 Kasus 2

Biaya tunggu pengantri 640x50 = 32.000,- 240x50 = 12.000,-

Biaya pelayanan 8 x 600 = 4.800,-

8x1.200 = 9.600,-

Total Biaya Rp. 36.800,- Rp. 21.600,-

Model Banyak Saluran Satu Tahap Model Banyak Saluran Satu Tahap [M/M/c][M/M/c]

Jika Jika steady statesteady state tercapai, tercapai, operating operating characteristics-characteristics- nya adalah:nya adalah:

1

1!

1!!

1

2

,!

,!

1

0

q

qq

q

co

q

cnjikaPn

cnjikaPon

n

c

n

cno

WW

LW

LL

cc

cPL

P

ccn

P

o

n

n

c ! cn-c

Contoh 3Contoh 3• Karena beberapa alasan angkutan

kereta api makin diminati. Misalkan kedatangan calon penumpang mengikuti distribusi Poisson dengan rata-rata 75 per jam. Misalkan lagi, waktu pelayanan mengikuti distribusi eksponensial negatif dengan rata-rata 2 menit. Jika dibuka 3 loket, setelah steady state tercapai carilah operating characteristicsnya!

Jawaban 3Jawaban 3• Diketahui

csehingga c = 90, maka R = 75/90 = 0.8333

sistemdalammenitjamjamW

menunggumenitjamW

sistemdalampenumpangcalonL

menunggupenumpangcalonL

P

q

q

o

8.430

10467.0

8.20467.075

5.3

630

755.3

5.390751!3

907530750449.0

0449.0625.156625.6

1!33075

!23075

!13075

!03075

1

2

3

3210

Jika kepala stasiun ingin mengganti Jika kepala stasiun ingin mengganti pelayan atau mengubah jumlah loket, pelayan atau mengubah jumlah loket, maka maka operating characteristicsoperating characteristics yang yang baru perlu ditemukan untuk baru perlu ditemukan untuk membantu mengevaluasi perubahan membantu mengevaluasi perubahan biaya pelayanan dan biaya biaya pelayanan dan biaya menunggu. Dengan demikian tingkat menunggu. Dengan demikian tingkat pelayanan yang diharapkan lebih pelayanan yang diharapkan lebih menguntungkan dari segi biaya menguntungkan dari segi biaya dapat diketahui.dapat diketahui.