Arii

Prezentare realizată de prof. Rad C.

Fie A1A2A3…An un poligon convex. Mulţimea punctelor poligonului reunită cu interiorul poligonului se numeşte suprafaţă poligonală

Linie poligonală

Suprafaţă poligonală

Orice suprafaţă poligonală poate fi descompusă într-un număr finit de suprafeţe triunghiulare

Exemplu:

sau

Deci, pentru calculul ariilor suprafeţelor poligonale este esenţial să cunoaştem modul de calcul al ariei suprafeţelor triunghiulare.

Pentru calculul ariilor suprafeţelor poligonale este necesară, de asemenea, o unitate de măsură.

Unitatea de măsură este aria unui pătrat cu lungimea laturii egală cu 1 (m, cm, km)

•Pătratul cu latura 1m are aria 1m2

•Pătratul cu latura 1cm are aria 1cm2

Pentru o exprimare mai simplă, convenim ca, în loc de aria suprafeţei poligonale să spunem aria poligonului (aria triunghiului, aria dreptunghiului, etc.)

Notăm aria poligonului ABC…N cu AABC…N

Admitem pentru aria suprafeţelor poligonale următoarele proprietăţi:

1. Două triunghiuri congruente au arii egale

2. Aria unei suprafeţe poligonale este suma ariilor suprafeţelor poligonale, cu interioare disjuncte, în care se descompune.

A

B C

M

N

P

ΔABC≡ ΔMNP → A ΔABC= A ΔMNP

A

B

C D

E AABCDE= AΔABC+AΔACD+AΔADE

a. Aria triunghiului oarecare

Definiţie: Aria unui triunghi oarecare este egală cu jumătate din produsul dintre lungimea unei laturi (numită bază) şi lungimea înălţimii corespunzătoare acelei laturi.

2hb

A

b

h

Observaţie: Oricare latură a triunghiului poate fi considerată bază.

A

B CA’A

B C

C’A

B C

B’

2

'AABCABC

A

2

'CCABABC

A

2

'BBACABC

A

sau

sau

deci: 222

''' CCABBBACAABCABC

A

b. Aria triunghiului dreptunghic

A B

C

Laturile AC şi AB ale triunghiului dreptunghic ABC cu m(<A)=90o se numescipotenuze

catete

(faceţi clic pe noţiunea corespunzătoare)

ÎNAPOIÎNAPOI

b. Aria triunghiului dreptunghic

A B

C

Laturile AC şi AB ale triunghiului dreptunghic ABC cu m(<A)=90o se numesc catete

Într-un triunghi dreptunghic, o catetă poate fi considerată bază, iar cealaltă catetă este înălţime

221 cc

A

A B

C

D

APLICAŢIE: lungimea înălţimii corespunzătoare ipotenuzei

Fie triunghiul ABC cu m(<A)=90o şi AD BC┴

2ACAB

ABC

A2

ADBCABC

Aşi

deci ACABADBCACABADBC

22

BCACAB

AD

ipcc

h 21

d. Aria triunghiului echilateral

l

ll

c. Aria triunghiului în funcţie de lungimile laturilor

a

bc c-pb-pa-ppA

Unde: a,b,c sunt lungimile laturilor

2cba

p (semiperimetrul triunghiului)

432l

A

Unde l este lungimea laturii triunghiului echilateral

a. Aria paralelogramului

A B

CD

DEABDEABBCDADB ABDABCD

222 AA

h

E b

hbramparale logA

b. Aria dreptunghiului

A B

CD

ADABADABCmAmBCDADB

ABDABCDO

222

90AA

L

l

lLluidrepunghiu A

c. Aria pătratului

În pătrat avemL<l

L=lL>l

Se ştie că pătratul este un dreptunghi. Fie LL lungimea şi ll lăţimea lui

c. Aria pătratului

În pătrat avem

Se ştie că pătratul este un dreptunghi. Fie LL lungimea şi ll lăţimea lui

L=l deci aria pătratului este:

llpatrat A

sau

2lpatrat A

d. Aria rombului

A

B

C

D O

DAOCDOBCOABOABCD AAAAA

Cele patru triunghiuri sunt:

oarecareisosceleechilateraledreptunghice

d. Aria rombului

A

B

C

D O

DAOCDOBCOABOABCD AAAAA

Cele patru triunghiuri sunt: dreptunghice

Adunând ariile celor patru triunghiuri obţinem:

2BDAC

ABCD

A şi deci:

221 dd

romb

A