Aritmetika - terciestudent21.gjwprostejov.cz/uploads/NG01 Aritmetika - tercie.pdfDruhá mocnina a...

ARITMETIKA - TERCIE

Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově

Výukové materiály z matematiky pro nižší gymnázia

Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve

vyučování matematiky na gymnáziu

INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky

Prostějov 2009

2 Aritmetika - tercie

Úvod

Vytvořený výukový materiál pokrývá předmět matematika, která je vyučována v osnovách a tematických plánech na gymnáziích nižšího a vyššího stupně. Mohou ho však využít všechny

střední a základní školy, kde je vyučován předmět matematika, a které mají dostatečné technické vybavení a zázemí.

Cílová skupina:

Podle chápání a schopností studentů je stanovena úroveň náročnosti vzdělávacího plánu a výukových materiálů. Zvláště výhodné jsou tyto materiály pro studenty s individuálním studijním plánem, kteří se nemohou pravidelně zúčastňovat výuky. Tito studenti mohou s pomocí našich výukových materiálů částečně kompenzovat svou neúčast ve vyučovaném předmětu matematika, formou e-learningového studia.

Aritmetika - tercie 3

Obsah Druhá mocnina a druhá odmocnina............................................................................................ 7

Co je druhá mocnina .............................................................................................................. 7

Co je druhá mocnina .......................................................................................................... 8

Varianta A .......................................................................................................................... 8

Co je druhá mocnina .......................................................................................................... 9

Varianta B .......................................................................................................................... 9

Co je druhá mocnina ........................................................................................................ 10

Varianta C ........................................................................................................................ 10

Druhá mocnina a druhá odmocnina.......................................................................................... 11

Umocňujeme zpaměti a porovnáváme ................................................................................. 11

Umocňujeme zpaměti a porovnáváme ............................................................................. 13

Varianta A ........................................................................................................................ 13

Umocňujeme zpaměti a porovnáváme ............................................................................. 14

Varianta B ........................................................................................................................ 14

Umocňujeme zpaměti a porovnáváme ............................................................................. 15

Varianta C ........................................................................................................................ 15

Druhá mocnina a druhá odmocnina.......................................................................................... 17

Odhadujeme a počítáme druhé mocniny .............................................................................. 17

Odhadujeme a počítáme druhé mocniny .......................................................................... 18

Varianta A ........................................................................................................................ 18

Odhadujeme a počítáme druhé mocniny .......................................................................... 19

Varianta B ........................................................................................................................ 19

Odhadujeme a počítáme druhé mocniny .......................................................................... 20

Varianta C ........................................................................................................................ 20

Druhá mocnina a druhá odmocnina.......................................................................................... 23

Co je druhá odmocnina ........................................................................................................ 23

4 Aritmetika - tercie

Co je druhá odmocnina .................................................................................................... 24

Varianta A ........................................................................................................................ 24

Co je druhá odmocnina .................................................................................................... 25

Varianta B ........................................................................................................................ 25

Co je druhá odmocnina .................................................................................................... 26

Varianta C ........................................................................................................................ 26

Druhá mocnina a druhá odmocnina.......................................................................................... 27

Odmocňujeme zpaměti a porovnáváme ............................................................................... 27

Odmocňujeme zpaměti a porovnáváme ........................................................................... 28

Varianta A ........................................................................................................................ 28

Odmocňujeme zpaměti a porovnáváme ........................................................................... 29

Varianta B ........................................................................................................................ 29

Odmocňujeme zpaměti a porovnáváme ........................................................................... 30

Varianta C ........................................................................................................................ 30

Druhá mocnina a druhá odmocnina.......................................................................................... 31

Odhadujeme a počítáme druhé odmocniny .......................................................................... 31

Odhadujeme a počítáme druhé odmocniny ...................................................................... 32

Varianta A ........................................................................................................................ 32

Odhadujeme a počítáme druhé odmocniny ...................................................................... 33

Varianta B ........................................................................................................................ 33

Odhadujeme a počítáme druhé odmocniny ...................................................................... 34

Varianta C ........................................................................................................................ 34

Pythagorova věta a její využití ................................................................................................. 35

Seznamujeme se s Pythagorovou větou ............................................................................... 35

Seznamujeme se s Pythagorovou větou ........................................................................... 37

Varianta A ........................................................................................................................ 37

Seznamujeme se s Pythagorovou větou ........................................................................... 38

Aritmetika - tercie 5

Varianta B ........................................................................................................................ 38

Seznamujeme se s Pythagorovou větou ........................................................................... 39

Varianta C ........................................................................................................................ 39

Pythagorova věta a její využití ................................................................................................. 41

Pythagorova věta v rovině .................................................................................................... 41

Pythagorova věta v rovině ................................................................................................ 42

Varianta A ........................................................................................................................ 42

Pythagorova věta v rovině ................................................................................................ 43

Varianta B ........................................................................................................................ 43

Pythagorova věta v rovině ................................................................................................ 44

Varianta C ........................................................................................................................ 44

Pythagorova věta a její využití ................................................................................................. 46

Pythagorova věta v prostoru ................................................................................................. 46

Pythagorova věta v prostoru ............................................................................................. 48

Varianta A ........................................................................................................................ 48

Pythagorova věta v prostoru ............................................................................................. 50

Varianta B ........................................................................................................................ 50

Pythagorova věta v prostoru ............................................................................................. 52

Varianta C ........................................................................................................................ 52

Mocniny s přirozeným mocnitelem .......................................................................................... 54

Co je třetí mocnina ............................................................................................................... 54

Co je třetí mocnina ........................................................................................................... 55

Varianta A ........................................................................................................................ 55

Co je třetí mocnina ........................................................................................................... 56

Varianta B ........................................................................................................................ 56

Co je třetí mocnina ........................................................................................................... 57

Varianta C ........................................................................................................................ 57

6 Aritmetika - tercie

Mocniny s přirozeným mocnitelem .......................................................................................... 58

Co je mocnina s přirozeným mocnitelem ............................................................................. 58

Co je mocnina s přirozeným mocnitelem ......................................................................... 59

Varianta A ........................................................................................................................ 59

Co je mocnina s přirozeným mocnitelem ......................................................................... 60

Varianta B ........................................................................................................................ 60

Co je mocnina s přirozeným mocnitelem ......................................................................... 61

Varianta C ........................................................................................................................ 61

Mocniny s přirozeným mocnitelem .......................................................................................... 62

Pravidla pro počítání s mocninami ....................................................................................... 62

Pravidla pro počítání s mocninami ................................................................................... 64

Varianta A ........................................................................................................................ 64

Pravidla pro počítání s mocninami ................................................................................... 65

Varianta B ........................................................................................................................ 65

Pravidla pro počítání s mocninami ................................................................................... 66

Varianta C ........................................................................................................................ 66

Mocniny s přirozeným mocnitelem .......................................................................................... 67

Zápis čísla v desítkové soustavě ........................................................................................... 67

Zápis čísla v desítkové soustavě ....................................................................................... 68

Varianta A ........................................................................................................................ 68

Zápis čísla v desítkové soustavě ....................................................................................... 69

Varianta B ........................................................................................................................ 69

Zápis čísla v desítkové soustavě ....................................................................................... 70

Varianta C ........................................................................................................................ 70

Aritmetika - tercie 7

Druhá mocnina a druhá odmocnina

Co je druhá mocnina

Druhá mocnina čísla a je součin

(čteme „á na druhou“)

Druhá mocnina je vždy nezáporné číslo, tedy buď kladné číslo, nebo nula.

Druhá mocnina čísla a čísla k němu opačného se sobě rovnají.

Umocnit číslo na druhou mocninu znamená vypočítat jeho druhou mocninu.

8 Aritmetika - tercie

Co je druhá mocnina

Varianta A

Vypočítej:

a) b) c)

Výsledek řešení:

a)

b)

c)

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C

Příklady k procvičení:

1) Vypočítej:

a) b) c) [ ]

2) Vypočítej:

a) b) c) [ ]

3) Vypočítej:

a) b) c) [ ]

4) Vypočítej:

a) b) c) [ ]

Aritmetika - tercie 9

Co je druhá mocnina

Varianta B

Vypočítej:

a)

b)

c)

Výsledek řešení:

a)

b)

c)

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C

Příklady k procvičení:

1) Vypočítej:

a)

b)

c)

[a)

b)

c)

]

2) Vypočítej:

a)

b)

c)

[a)

b)

c)

]

3) Vypočítej:

a)

b)

c)

[a)

b)

c)

]

4) Vypočítej:

a)

b)

c)

[a)

b)

c)

]

10 Aritmetika - tercie

Co je druhá mocnina

Varianta C

Vypočítej:

a) b) c)

Výsledek řešení:

a)

b) 0,04

c)

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C

Příklady k procvičení:

1) Vypočítej:

a) b) c)

[a) 0, 0016 b) 0, 0001 c) - 0, 0049]

2) Vypočítej:

a) b) c)

[a) 0, 81 b) 0, 25 c) - 0, 0009]

3) Vypočítej:

a) b) c)

[a) 0,018 b) - 0,128 c) - 0, 00108]

4) Vypočítej:

a) b) c)

[a) 0,175 b) - 0, 05 c) - 0, 00054]

Aritmetika - tercie 11

Druhá mocnina a druhá odmocnina

Umocňujeme zpaměti a porovnáváme

Umocňujeme na druhou číslo „končící nulami“

1) vynecháme „koncové nuly“

2) vzniklé číslo umocníme

3) k výsledku připíšeme dvojnásobný počet nul, než jsme vynechali

1)

2)

3)

Umocňujeme na druhou desetinné číslo „začínající nulami“

1) vynecháme vše před první nenulovou číslicí

2) vzniklé číslo umocníme

3) doplníme nuly tak, aby výsledek měl dvojnásobný počet desetinných míst než původní

číslo

1)

2)

3)

Pro všechna čísla a, b platí:

12 Aritmetika - tercie

Číslo se zvětší (zmenší) jeho druhá mocnina se zvětší (zmenší)

Desetkrát stokrát

Stokrát desettisíckrát

Tisíckrát milionkrát

Pro všechna nezáporná čísla a, b platí:

Když je , pak je také .

…

…

…

Pozor na umocňování záporných čísel!!

… ale …

… ale …

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C

Aritmetika - tercie 13

Umocňujeme zpaměti a porovnáváme

Varianta A

Vypočítej:

a) b) c) d) e)

Výsledek řešení:

a) b) c)

d) e)

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C

Příklady k procvičení:

1) Vypočítej:

a) b) c) d) e)

[a) 16 b) 1 600 c) 160 000 d) 16 000 000 e) 1 600 000 000]

2) Vypočítej:

a) b) c) d) e)

[a) 25 b) 2 500 c) 250 000 d) 25 000 000 e) 2 500 000 000]

3) Vypočítej:

a) b) c) d) e)

[a) 441 b) 4, 41 c) 44 100 d) 0, 0441 e) 0,000 441]

4) Vypočítej:

a) b) c) d) e)

[a) 576 b) 5, 76 c) 57 600 d) 0, 0576 e) 0,000 576]

14 Aritmetika - tercie

Umocňujeme zpaměti a porovnáváme

Varianta B

Vypočítej:

a) b) c) d)

Výsledek řešení:

a) b)

c) d)

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C

Příklady k procvičení:

1) Vypočítej:

a) b) c) d)

[a) 0, 04 b) 0,000 4 c) 0,000 004 d) 0,000 000 04]

2) Vypočítej:

a) b) c) d)

[a) 0, 16 b) 0, 0016 c) 0,000 016 d) 0,000 000 16]

3) Vypočítej:

a)

b)

c)

[a)

b)

c)

]

4) Vypočítej:

a)

b)

c)

[a)

b)

c)

]

Aritmetika - tercie 15

Umocňujeme zpaměti a porovnáváme

Varianta C

Vypočítej a výsledky porovnej:

Výsledek řešení:

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C

Příklady k procvičení:

1) Vypočítej a výsledky porovnej:

[

]

16 Aritmetika - tercie

2) Vypočítej a výsledky porovnej:

[

]

3) Vypočítej a výsledky porovnej:

[

]

4) Vypočítej a výsledky porovnej:

[

]

Aritmetika - tercie 17

Druhá mocnina a druhá odmocnina

Odhadujeme a počítáme druhé mocniny

Úloha 1:

Odhadujeme, čemu se přibližně rovná druhá mocnina čísla 45,35.

1) dané číslo zaokrouhlíme tak, abychom uměli zpaměti určit jeho druhou mocninu:

2) určíme druhou mocninu zaokrouhleného čísla:

3) zápis výsledku provedeme takto:

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C

18 Aritmetika - tercie

Odhadujeme a počítáme druhé mocniny

Varianta A

Odhadni zpaměti druhou mocninu následujícího čísla: 57

Výsledek řešení:

1) dané číslo zaokrouhlíme tak, abychom uměli zpaměti určit jeho druhou mocninu:

2) určíme druhou mocninu zaokrouhleného čísla:

3) zápis výsledku provedeme takto:

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C

Příklady k procvičení:

1) Odhadni zpaměti druhou mocninu následujícího čísla: 43 [ ]

2) Odhadni zpaměti druhou mocninu následujícího čísla: 66 [ ]

3) Odhadni zpaměti druhou mocninu následujícího čísla: 121,65

[ ]

4) Odhadni zpaměti druhou mocninu následujícího čísla: 153,45

[ ]

Aritmetika - tercie 19

Odhadujeme a počítáme druhé mocniny

Varianta B

Odhadni a vypočítej:

a) b)

Výsledek řešení:

a) b)

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C

Příklady k procvičení:

1) Odhadni a vypočítej:

a) b) [a) 10,19 b) 26,31]

2) Odhadni a vypočítej:

a) b) [a) 10,94 b) 61,09]

3) Odhadni a vypočítej:

a) b) [a) 6,76 b) 18,72]

4) Odhadni a vypočítej:

a) b) [a) 34,81 b) 56,05]

20 Aritmetika - tercie

Odhadujeme a počítáme druhé mocniny

Varianta C

Vypočítej obsah vybarveného obrazce:

Výsledek řešení:

Obsah vybarveného obrazce je

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C

8,6 m

4,3 m 4,3 m

4,3 m

Aritmetika - tercie 21

Příklady k procvičení:

1) Vypočítej obsah vybarveného obrazce:

[ ]

2) Vypočítej obsah vybarveného obrazce:

[ ]

3) Vypočítej obsah vybarveného obrazce:

[ ]

5,5 m

1,8 m

1,8 m

5,5 m 5,5 m

5,5 m

8,7 m

3,1 m

3,1 m

8,7 m

5,1 m

2,3 m

2,3 m

5,1 m

22 Aritmetika - tercie

4) Vypočítej obsah vybarveného obrazce:

[ ]

1,2 m

1,2m

4,8 m

4,8 m

4,8 m

4,8 m

Aritmetika - tercie 23

Druhá mocnina a druhá odmocnina

Co je druhá odmocnina

Čtvercové číslo je takové přirozené číslo, které je druhou mocninou nějakého přirozeného

čísla.

Druhá mocnina čísla 11 je 121.

Číslu 11 říkáme druhá odmocnina z čísla 121.

Zapisujeme:

Čteme: 11 se rovná druhé odmocnině z čísla 121.

Druhá odmocnina z nezáporného čísla a je takové nezáporné číslo b, pro které platí:

Druhou odmocninu z čísla a zapisujeme symbolem .

Znaku říkáme odmocnítko.

znamená totéž, jako

protože

protože

protože

Druhá odmocnina z žádného záporného čísla neexistuje. Druhá odmocnina je vždy nezáporné

číslo.

Záporné číslo tedy nemůžeme odmocnit druhou odmocninou.

24 Aritmetika - tercie

Co je druhá odmocnina

Varianta A

Vypočítej:

a) b) c)

Výsledek řešení:

a) b) c)

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C

Příklady k procvičení:

1) Vypočítej:

a) b) c) [6, 8, 2]

2) Vypočítej:

a) b) c) [7, 4, 10]

3) Vypočítej:

a) b) c) [8, -3, 6]

4) Vypočítej:

a) b) c) [3, -21, 5]

Aritmetika - tercie 25

Co je druhá odmocnina

Varianta B

Vypočítej:

a)

b)

c)

Výsledek řešení:

a)

b)

c)

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C

Příklady k procvičení:

1) Vypočítej:

a)

b)

c)

[a)

, b)

, c)

]

2) Vypočítej:

a)

b)

c)

[a)

, b)

, c)

]

3) Vypočítej:

a)

b)

c)

[a)

, b)

, c)

]

4) Vypočítej:

a)

b)

c)

[a)

, b)

, c)

]

26 Aritmetika - tercie

Co je druhá odmocnina

Varianta C

Vypočítej:

a) b) c)

Výsledek řešení:

a) b) c)

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C

Příklady k procvičení:

1) Vypočítej:

a) b) c)

[a) 0, 7; b) 0, 04; c) 0, 9]

2) Vypočítej:

a) b) c)

[a) 0, 6; b) 0, 05; c) 0, 1]

3) Vypočítej:

a) b) c)

[a) 1, 1; b) 10; c) 0, 3]

4) Vypočítej:

a) b) c)

[a) 3, 9; b) 10; c) 0, 3]

Aritmetika - tercie 27

Druhá mocnina a druhá odmocnina

Odmocňujeme zpaměti a porovnáváme

Odmocňujeme dvěma číslo „končící nulami“.

1) vynecháme sudý počet „koncových nul“

2) vzniklé číslo odmocníme

3) k výsledku připíšeme poloviční počet nul, než jsme vynechali

Pro všechna nezáporná čísla a, b platí:

Odmocňujeme dvěma desetinné číslo „začínající nulami“.

1) posuneme desetinnou čárku o sudý počet míst doprava

2) vzniklé číslo odmocníme

3) ve výsledku posuneme desetinnou čárku doleva o poloviční počet míst, než jsme ji

posunuli v prvním kroku doprava

Číslo se zvětší (zmenší): Jeho druhá odmocnina se zvětší (zmenší):

Stokrát desetkrát

Desettisíckrát stokrát

Milionkrát tisíckrát

Pro všechna nezáporná čísla a, b platí:

Když je , pak je také .

28 Aritmetika - tercie

Odmocňujeme zpaměti a porovnáváme

Varianta A

Vypočítej:

a) b) c) d)

Výsledek řešení:

a) b)

c)

d)

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C

Příklady k procvičení:

1) Vypočítej:

a) b) c) d)

[a) 5, b) 50, c) 500, d) 5 000]

2) Vypočítej:

a) b) c) d)

[a) 6, b) 60, c) 600, d) 6 000]

3) Vypočítej:

a) b) c) d)

[a) 12, b) 120, c) 0, 12, d) 1 200]

4) Vypočítej:

a) b) c) d)

[a) 11, b) 110, c) 0, 11, d) 1 100]

Aritmetika - tercie 29

Odmocňujeme zpaměti a porovnáváme

Varianta B

Vypočítej:

a)

b)

c)

Výsledek řešení:

a)

b)

c)

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C

Příklady k procvičení:

1) Vypočítej:

a)

b)

c)

[a)

, b)

c)

]

2) Vypočítej:

a)

b)

c)

[a)

, b) c)

]

3) Vypočítej:

a) b) c)

[a) 0, 13; b) 0, 17; c) 0,004]

4) Vypočítej:

a) b) c)

[a) 0, 18; b) 0, 19; c) 0,005]

30 Aritmetika - tercie

Odmocňujeme zpaměti a porovnáváme

Varianta C

Porovnejte velikosti čísel:

Výsledek řešení:

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C

Příklady k procvičení:

1) Porovnejte velikosti čísel: [ ]

2) Porovnejte velikosti čísel: [ ]

3) Porovnejte velikosti čísel:

[

]

4) Porovnejte velikosti čísel:

[

]

Aritmetika - tercie 31

Druhá mocnina a druhá odmocnina

Odhadujeme a počítáme druhé odmocniny

Odhadněte:

Určíme nejbližší čtvercové číslo: 81, 100, 121, 144, je to číslo 100

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C

32 Aritmetika - tercie

Odhadujeme a počítáme druhé odmocniny

Varianta A

Odhadni odmocninu čísla 79,8 pomocí nejbližšího čtvercového čísla.

Výsledek řešení:

Nejbližší čtvercové číslo je 81.

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C

Příklady k procvičení:

1) Odhadni odmocninu čísla 95,7, pomocí nejbližšího čtvercového čísla. [10]

2) Odhadni odmocninu čísla 53,2, pomocí nejbližšího čtvercového čísla. [7]

3) Odhadni odmocninu čísla 170,9, pomocí nejbližšího čtvercového čísla. [13]

4) Odhadni odmocninu čísla 285,2, pomocí nejbližšího čtvercového čísla. [17]

Aritmetika - tercie 33

Odhadujeme a počítáme druhé odmocniny

Varianta B

Vypočítej, výsledek zaokrouhli na jednotky.

Výsledek řešení:

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C

Příklady k procvičení:

1) Vypočítej, výsledek zaokrouhli na jednotky. [8]

2) Vypočítej, výsledek zaokrouhli na jednotky. [9]

3) Vypočítej, výsledek zaokrouhli na jednotky. [6]

4) Vypočítej, výsledek zaokrouhli na jednotky. [6]

34 Aritmetika - tercie

Odhadujeme a počítáme druhé odmocniny

Varianta C

Vypočítej s pomocí tabulek výsledek zaokrouhli na desetiny.

Výsledek řešení:

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C

Příklady k procvičení:

1) Vypočítej, výsledek zaokrouhli na desetiny. [45,9]

2) Vypočítej, výsledek zaokrouhli na desetiny. [53,7]

3) Vypočítej, výsledek zaokrouhli na desetiny. [1,9]

4) Vypočítej, výsledek zaokrouhli na desetiny. [1,6]

Aritmetika - tercie 35

Pythagorova věta a její využití

Seznamujeme se s Pythagorovou větou

PYTHAGOROVA VĚTA

Obsah čtverce sestrojeného nad přeponou pravoúhlého trojúhelníku se rovná součtu obsahů

čtverců sestrojených nad jeho odvěsnami.

Pro pravoúhlý trojúhelník ABC s přepnou o délce c a s odvěsnami o délkách a, b platí:

a

b

c

C

B

A

36 Aritmetika - tercie

Třikrát tatáž Pythagorova věta.

VĚTA OBRÁCENÁ K PYTHAGOROVĚ VĚTĚ

Jsou-li a, b, c délky stran trojúhelníku a platí-li pro ně , pak je trojúhelník

pravoúhlý a c je délka jeho přepony.

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C

a

b

c =?

a = ?

b

c

a

b = ?

c

Aritmetika - tercie 37

Seznamujeme se s Pythagorovou větou

Varianta A

Vypočítej délku přepony v pravoúhlém trojúhelníku, ve kterém jsou dány délky odvěsen.

Výsledek zaokrouhli na desetiny.

Výsledek řešení:

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C

Příklady k procvičení:

1) Vypočítej délku přepony v pravoúhlém trojúhelníku, ve kterém jsou dány délky odvěsen.

Výsledek zaokrouhli na desetiny. [ ]

2) Vypočítej délku přepony v pravoúhlém trojúhelníku, ve kterém jsou dány délky odvěsen.

Výsledek zaokrouhli na desetiny. [ ]

3) Vypočítej délku přepony v pravoúhlém trojúhelníku, ve kterém jsou dány délky odvěsen.

Výsledek zaokrouhli na desetiny centimetru. [ ]

4) Vypočítej délku přepony v pravoúhlém trojúhelníku, ve kterém jsou dány délky odvěsen.

Výsledek zaokrouhli na desetiny centimetru. [ ]

38 Aritmetika - tercie

Seznamujeme se s Pythagorovou větou

Varianta B

Vypočítej délku odvěsny v pravoúhlém trojúhelníku, ve kterém je dána délka odvěsny a

přepony. Výsledek zaokrouhli na desetiny.

Výsledek řešení:

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C

Příklady k procvičení:

1) Vypočítej délku odvěsny v pravoúhlém trojúhelníku, ve kterém je dána délka odvěsny a

přepony. Výsledek zaokrouhli na desetiny. [ ]

2) Vypočítej délku odvěsny v pravoúhlém trojúhelníku, ve kterém je dána délka odvěsny a

přepony. Výsledek zaokrouhli na desetiny. [ ]

3) Vypočítej délku odvěsny v pravoúhlém trojúhelníku, ve kterém je dána délka odvěsny a

přepony. Výsledek zaokrouhli na desetiny centimetru.

[ ]

4) Vypočítej délku odvěsny v pravoúhlém trojúhelníku, ve kterém je dána délka odvěsny a

přepony. Výsledek zaokrouhli na desetiny centimetru.

[ ]

Aritmetika - tercie 39

Seznamujeme se s Pythagorovou větou

Varianta C

Uvedené údaje jsou délky stran trojúhelníku, rozhodni, zda je to pravoúhlý trojúhelník.

Výsledek řešení:

1) V trojúhelníku musí platit, že součet dvou menších stran musí být větší než strana třetí.

2) V pravoúhlém trojúhelníku platí Pythagorova věta.

1)

2)

Trojúhelník není pravoúhlý.

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C

Příklady k procvičení:

1) Uvedené údaje jsou délky stran trojúhelníku, rozhodni, zda je to pravoúhlý trojúhelník.

[ano]

2) Uvedené údaje jsou délky stran trojúhelníku, rozhodni, zda je to pravoúhlý trojúhelník.

[ne]

40 Aritmetika - tercie

3) Uvedené údaje jsou délky stran trojúhelníku, rozhodni, zda je to pravoúhlý trojúhelník.

[ne]

4) Uvedené údaje jsou délky stran trojúhelníku, rozhodni, zda je to pravoúhlý trojúhelník.

[ano]

Aritmetika - tercie 41

Pythagorova věta a její využití

Pythagorova věta v rovině

Pythagorovu větu používáme k výpočtům neznámých údajů délek v pravoúhlých

trojúhelnících umístěných v rovině.

Úloha 1:

Vypočítej výšku k základně rovnoramenného trojúhelníku ABC. Délka základny je 8,8 cm,

délka ramene je 7,2 cm.

Výška je kolmá k základně AB, proto je odvěsnou pravoúhlého trojúhelníku ASC. Bod S je

střed základny AB. Využijeme Pythagorovu větu.

Výška k základně AB má délku přibližně 5,7 cm.

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C

A B

C

4,4 cm 4,4 cm

7,2 cm

S

42 Aritmetika - tercie

Pythagorova věta v rovině

Varianta A

Délky stran obdélníku jsou 14cm a 2,8cm. Vypočítej délku jeho úhlopříčky, výsledek

zaokrouhli na desetiny.

Výsledek řešení:

Délka úhlopříčky obdélníku je 14,3 cm.

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C

Příklady k procvičení:

1) Délky stran obdélníku jsou 12cm a 21,3cm. Vypočítej délku jeho úhlopříčky, výsledek

zaokrouhli na desetiny. [24,4cm]

2) Délky stran obdélníku jsou 8,2cm a 30cm. Vypočítej délku jeho úhlopříčky, výsledek

zaokrouhli na desetiny. [31,1cm]

3) Obsah čtverce je . Vypočítej délku jeho úhlopříčky, výsledek zaokrouhli na

desetiny. [22,6dm]

4) Obsah čtverce je . Vypočítej délku jeho úhlopříčky, výsledek zaokrouhli na

desetiny. [25,5cm]

14cm

2,8cm

u

Aritmetika - tercie 43

Pythagorova věta v rovině

Varianta B

Rovnoramenný trojúhelník má délku základny 12 cm a ramena dlouhá 10 cm. Vypočítej

výšku k základně.

Výsledek řešení:

Výška v rovnoramenném trojúhelníku je 8 cm.

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C

Příklady k procvičení:

1) Rovnoramenný trojúhelník má délku ramen 28,5 cm a výšku k základně dlouhou 13cm.

Vypočítej délku základny. Výsledek zokrouhli na desetiny. [50,7cm]

2) Rovnoramenný trojúhelník má délku základny 6,2cm a výšku k základně dlouhou 8,5cm.

Vypočítej délku ramen. Výsledek zokrouhli na desetiny. [9cm]

3) Vypočítej obvod a obsah rovnoramenného trojúhelníku ABC se základnou AB, ve kterém

mají ramena délku 26cm a výška k základně je 10cm. [100cm, ]

4) Vypočítej obvod a obsah rovnoramenného trojúhelníku ABC se základnou AB, ve kterém

mají ramena délku 20cm a výška k základně je 16cm. [64cm, ]

10cm 10cm

12cm

v

44 Aritmetika - tercie

Pythagorova věta v rovině

Varianta C

Vypočítej obvod lichoběžníku na obrázku, výsledek zaokrouhli na setiny metru.

Výsledek řešení:

Obvod lichoběžníku je 79,16 m.

36 m

19 m

9 m 8 m

d

x y

36 m

19 m

9 m 8 m

Aritmetika - tercie 45

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C

Příklady k procvičení:

1) Vypočítej obvod lichoběžníku na obrázku, výsledek zaokrouhli na setiny metru.

[96,49 m]

2) Vypočítej obvod lichoběžníku na obrázku, výsledek zaokrouhli na setiny metru.

[78,78 m]

3) Kosočtverec má stranu délky a úhlopříčku délky . Vypočítej

délku druhé úhlopříčky. (výsledek zaokrouhli na desetiny) [41,2 cm]

4) Vypočítej délku strany kosočtverce, jehož úhlopříčky mají délky , .

(výsledek zaokrouhli na desetiny) [52 cm]

37 m

15 m

9 m 7 m

42 m

20 m

15 m 13 m

46 Aritmetika - tercie

Pythagorova věta a její využití

Pythagorova věta v prostoru

Pythagorovu větu používáme k výpočtům neznámých údajů délek v pravoúhlých

trojúhelnících umístěných v prostoru.

Úloha 2:

Vypočítej velikost stěnové a tělesové úhlopříčky v kvádru ABCDEFGH, s rozměry

uvedenými na obrázku.

Podstava ABCD je obdélník, úhlopříčka BD je přepona pravoúhlého trojúhelníku ABD (i

trojúhelníku BCD).

Využijeme Pythagorovu větu.

A B

C D

E F

G H

4 cm

3 cm

8 cm

A B

C D

4 cm

3 cm

Aritmetika - tercie 47

Tělesová úhlopříčka HB je úhlopříčkou obdélníku DBFH.

Využijeme Pythagorovu větu.

Stěnová úhlopříčka BD má délku 5 cm, tělesová úhlopříčka HB má přibližně délku 9,4 cm.

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C

B D

H F

8 cm

48 Aritmetika - tercie

Pythagorova věta v prostoru

Varianta A

Vypočti tělesovou úhlopříčku v krychli, jejíž hrana má délku 8 cm. Zaokrouhli na desetiny.

Výsledek řešení:

Délka tělesové úhlopříčky je 13,9 cm.

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C

Příklady k procvičení:

1) Vypočti tělesovou úhlopříčku v krychli, jejíž hrana má délku 12 cm. Zaokrouhli na

desetiny. [20,8 cm]

2) Vypočti tělesovou úhlopříčku v krychli, jejíž hrana má délku 14 cm. Zaokrouhli na

desetiny. [24,2 cm]

8 cm

Aritmetika - tercie 49

3) Vypočti tělesovou úhlopříčku v krychli, jejíž obsah pláště je . Zaokrouhli na

desetiny. [10,4 cm]

4) Vypočti tělesovou úhlopříčku v krychli, jejíž obsah pláště je . Zaokrouhli na

desetiny. [12,1 cm]

50 Aritmetika - tercie

Pythagorova věta v prostoru

Varianta B

Vypočítej tělesovou úhlopříčku kvádru s rozměry stran .

Výsledek zaokrouhli na desetiny.

Výsledek řešení:

Délka tělesové úhlopříčky kvádru je 11 cm.

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C

Příklady k procvičení:

1) Vypočítej tělesovou úhlopříčku kvádru s rozměry stran .

Výsledek zaokrouhli na desetiny. [9,4 cm]

2) Vypočítej tělesovou úhlopříčku kvádru s rozměry stran .

Výsledek zaokrouhli na desetiny. [12,1 cm]

A B

C D

E F

G H

5 cm

4 cm

9 cm

Aritmetika - tercie 51

3) Kvádr s obdélníkovou podstavou o rozměrech 3,2 cm a 3,8 cm má tělesovou úhlopříčku

délky 9,1 cm. Vypočítej výšku kvádru. Výsledek zaokrouhli na desetiny.

[7,6 cm]

4) Kvádr s obdélníkovou podstavou o rozměrech 2,3 cm a 2,8 cm má tělesovou úhlopříčku

délky 6,7 cm. Vypočítej výšku kvádru. Výsledek zaokrouhli na desetiny.

[5,6 cm]

52 Aritmetika - tercie

Pythagorova věta v prostoru

Varianta C

Vypočítej obvod a obsah trojúhelníku BCE v krychli o hraně 4 cm.

Výsledek řešení:

Obvod trojúhelníku BCE je 16,6 cm a jeho obsah je .

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C

4 cm

A B

C D

E F

G H

Aritmetika - tercie 53

Příklady k procvičení:

1) Vypočítej obvod a obsah trojúhelníku ASE v krychli o hraně 5 cm, kde bod S je středem

dolní podstavy krychle. [14,7 cm; ]

2) Vypočítej obvod a obsah trojúhelníku BFS v krychli o hraně 6 cm, kde bod S je středem

dolní podstavy krychle. [17,6 cm; ]

3) Vypočítej výšku stanu tvaru čtyřbokého jehlanu se čtvercovou podstavou, jestliže platí

[1,46 m]

4) Věž chrámu je odchýlena od původní svislé osy o 220 cm. Její původní výška byla 48 m.

V jaké výšce se nyní nachází nejvyšší bod této věže? [47,95 m]

54 Aritmetika - tercie

Mocniny s přirozeným mocnitelem

Co je třetí mocnina

Třetí mocnina čísla a je součin

Čteme: á na třetí

Třetí mocnina kladného čísla je kladné číslo.

Třetí mocnina nuly je nula.

Třetí mocnina záporného čísla je záporné číslo.

Číslo se zvětší (zmenší): Jeho třetí mocnina se zvětší (zmenší)

Desetkrát tisíckrát

Stokrát milionkrát

Aritmetika - tercie 55

Co je třetí mocnina

Varianta A

Vypočítej:

a) b) c)

Výsledek řešení:

a)

b)

c)

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C

Příklady k procvičení:

1) Vypočítej:

a) b) c) [ ]

2) Vypočítej:

a) b) c) [ ]

3) Vypočítej:

a) b) c) [ ]

4) Vypočítej:

a) b) c) [ ]

56 Aritmetika - tercie

Co je třetí mocnina

Varianta B

Vypočítej:

a)

b)

c)

Výsledek řešení:

a)

b)

c)

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C

Příklady k procvičení:

1) Vypočítej:

a)

b)

c)

[a)

b)

c)

]

2) Vypočítej:

a)

b)

c)

[a)

b)

c)

]

3) Vypočítej:

a)

b)

c)

[a)

b)

c)

]

4) Vypočítej:

a)

b)

c)

[a)

b)

c)

]

Aritmetika - tercie 57

Co je třetí mocnina

Varianta C

Vypočítej:

a) b) c)

Výsledek řešení:

a)

b)

c)

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C

Příklady k procvičení:

1) Vypočítej:

a) b) c)

[a) 0,000 064 b) - 0,000 001 c) - 0,434]

2) Vypočítej:

a) b) c)

[a) 0,729 b) - 0,125 c) - 0,000 027]

3) Vypočítej:

a) b) c)

[a) 0,019 b) - 10 c) - 0,027]

4) Vypočítej:

a) b) c)

[a) - 0,061 b) - 20 c) - 0,001]

58 Aritmetika - tercie

Mocniny s přirozeným mocnitelem

Co je mocnina s přirozeným mocnitelem

MOCNINA S PŘIROZENÝM MOCNITELEM

Pro každé přirozené číslo n je n-tá mocnina čísla a součin, ve kterém je n činitelů a.

n krát

a – je základ mocniny

n – je mocnitel

čteme: á na n-tou

- šestá mocnina čísla 3.

- čtvrtá mocnina čísla (- 0,2)

Pro každé číslo a se a na prvou rovná a.

a n Příklad

kladné přirozené kladné

0 přirozené 0

záporné sudé kladné

záporné liché záporné

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C

Aritmetika - tercie 59

Co je mocnina s přirozeným mocnitelem

Varianta A

Zapiš jako mocninu:

a) b) c)

Výsledek řešení:

a) b)

c)

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C

Příklady k procvičení:

1) Zapiš jako mocninu:

a) b)

[a) b) ]

2) Zapiš jako mocninu:

a) b)

[a) b) ]

3) Zapiš jako mocninu, se základem 2:

[ ]

4) Zapiš jako mocninu, se základem 3:

[ ]

60 Aritmetika - tercie

Co je mocnina s přirozeným mocnitelem

Varianta B

Porovnej čísla podle velikosti:

a) b) c)

Výsledek řešení:

a) b) c)

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C

Příklady k procvičení:

1) Porovnej čísla podle velikosti:

a) b)

[a) b) ]

2) Porovnej čísla podle velikosti:

a) b)

[a) b) ]

3) Porovnej čísla podle velikosti:

a) b)

[a) b) ]

4) Porovnej čísla podle velikosti:

a) b)

[a) b) ]

Aritmetika - tercie 61

Co je mocnina s přirozeným mocnitelem

Varianta C

Zapiš jako součin mocnin prvočísel následující číslo:

a) 24 b) 140

Výsledek řešení:

a)

b)

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C

Příklady k procvičení:

1) Zapiš jako součin mocnin prvočísel následující číslo: 98

[ ]

2) Zapiš jako součin mocnin prvočísel následující číslo: 108

[ ]

3) Zapiš jako součin mocnin prvočísel následující číslo: 4500

[ ]

4) Zapiš jako součin mocnin prvočísel následující číslo: 3240

[ ]

62 Aritmetika - tercie

Mocniny s přirozeným mocnitelem

Pravidla pro počítání s mocninami

SOUČIN MOCNIN SE STEJNÝM ZÁKLADEM

a – libovolné číslo

m, n – přirozená čísla

Mocniny se stejným základem násobíme tak, že jejich základ umocníme na součet mocnitelů.

PODÍL MOCNIN SE STEJNÝM ZÁKLADEM

m, n – přirozená čísla

Mocniny se stejným (nenulovým) základem dělíme tak, že jejich základ umocníme na rozdíl

mocnitele dělence a mocnitele dělitele.

MOCNINA SOUČINU

a, b – libovolná čísla

n – přirozené číslo

Součin umocníme, když umocníme každého činitele.

Aritmetika - tercie 63

MOCNINA PODÍLU

a – libovolné číslo

n – přirozené číslo

Podíl umocníme, když umocníme dělence i dělitele.

Zlomek umocníme, když umocníme čitatele i jmenovatele.

a – libovolné číslo

n – přirozené číslo

MOCNINA MOCNINY

a – libovolné číslo

m, n – přirozená čísla

Mocninu umocníme, když základ mocniny umocníme na součin mocnitelů.

PRAVIDLA PRO POČÍTÁNÍ S MOCNINAMI:

64 Aritmetika - tercie

Pravidla pro počítání s mocninami

Varianta A

Zjednoduš a vypočítej:

a) b)

Výsledek řešení:

a)

b)

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C

Příklady k procvičení:

1) Zjednoduš a vypočítej:

a) b) [a) 648, b) 96]

2) Zjednoduš a vypočítej:

a) b) [a) 625, b) 405]

3) Zjednoduš a vypočítej:

a) b) [a) 486, b) 0,0001]

4) Zjednoduš a vypočítej:

a) b) [a) 1250, b) 0]

Aritmetika - tercie 65

Pravidla pro počítání s mocninami

Varianta B

Zapiš podíl mocnin jako jednu mocninu:

a) b)

Výsledek řešení:

a) b)

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C

Příklady k procvičení:

1) Zapiš podíl mocnin jako jednu mocninu:

a) b)

[a) b)

]

2) Zapiš podíl mocnin jako jednu mocninu:

a) b)

[a) b)

]

3) Zapiš jako jednu mocninu:

a) b) [a) b) ]

4) Zapiš jako jednu mocninu:

a) b) [a) b) ]

66 Aritmetika - tercie

Pravidla pro počítání s mocninami

Varianta C

Zapiš jako jednu mocninu:

a) b)

Výsledek řešení:

a) b)

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C

Příklady k procvičení:

1) Zapiš jako jednu mocninu:

a) b)

[a) b)

]

2) Zapiš jako jednu mocninu:

a) b)

[a) b)

]

3) Zapiš jako jednu mocninu:

[

]

4) Zapiš jako jednu mocninu:

[

]

Aritmetika - tercie 67

Mocniny s přirozeným mocnitelem

Zápis čísla v desítkové soustavě

Mocnitel je stejný jako počet nul.

Každé kladné číslo větší nebo rovno 10 můžeme zapsat ve tvaru , kde a je číslo větší

nebo rovno 1 a menší než 10 a n je přirozené číslo.

Zkrácený zápis čísla v desítkové soustavě = rozvinutý zápis čísla v desítkové soustavě.

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C

68 Aritmetika - tercie

Zápis čísla v desítkové soustavě

Varianta A

Napiš pomocí mocnin o základu 10 rozvinutý zápis čísla: 6 085

Výsledek řešení:

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C

Příklady k procvičení:

1) Napiš pomocí mocnin o základu 10 rozvinutý zápis čísla: 5 229

[ ]

2) Napiš pomocí mocnin o základu 10 rozvinutý zápis čísla: 7 436

[ ]

3) Napiš pomocí mocnin o základu 10 rozvinutý zápis čísla: 169 528

[ ]

4) Napiš pomocí mocnin o základu 10 rozvinutý zápis čísla: 431 824

[ ]

Aritmetika - tercie 69

Zápis čísla v desítkové soustavě

Varianta B

Zapiš číslo vyjádřené rozvinutým zápisem:

Výsledek řešení:

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C

Příklady k procvičení:

1) Zapiš číslo vyjádřené rozvinutým zápisem:

[350 059]

2) Zapiš číslo vyjádřené rozvinutým zápisem:

[986 020]

3) Zapiš číslo vyjádřené rozvinutým zápisem:

[- 5 397 012]

4) Zapiš číslo vyjádřené rozvinutým zápisem:

[- 2 045 109]

70 Aritmetika - tercie

Zápis čísla v desítkové soustavě

Varianta C

Zapiš číslo, jehož zápis ve tvaru je následující: .

Výsledek řešení:

Příklad:

Varianta A

Varianta B

Varianta C

Příklady k procvičení:

1) Zapiš číslo, jehož zápis ve tvaru je následující: .

[21 390]

2) Zapiš číslo, jehož zápis ve tvaru je následující: .

[442 000]

3) Zapiš číslo, jehož zápis ve tvaru je následující: .

[8 070 000]

4) Zapiš číslo, jehož zápis ve tvaru je následující: .

[3 009 000]