Arkhimédesz - i.e. 287 i.e. 212...BevezetésArhimédesz élete és...

Bevezetés Arhimédesz élete és munkássága Hatása Következtetések

Arkhimédeszi.e. 287–i.e. 212

Simonovits András

MTA KTI, BME MI, CEU ED

2010.11.5

Simonovits András MTA KTI, BME MI, CEU ED

Arkhimédesz

Tartalom

1 Bevezetés

2 Arhimédesz élete és munkássága

3 Hatása

4 Következtetések

Arkhimédesz

Bevezetés

Arkhimédesz

Miért róla beszélek?

Az ókor legnagyobb tudósa

Elmélet és gyakorlat egységeMunkássága jól értheto középiskolás fokon

Arkhimédesz

Az ókor legnagyobb tudósaElmélet és gyakorlat egysége

Munkássága jól értheto középiskolás fokon

Arkhimédesz

Az ókor legnagyobb tudósaElmélet és gyakorlat egységeMunkássága jól értheto középiskolás fokon

Arkhimédesz

Arkhimédesz jelentosége

Miben volt olyan, mint a többi hellén gondolkodó?Axiomatikus gondolkodás

Miben volt jobb náluk? Végére járt a dolgoknakA világtörténelem elso matematikai fizikusa

Arkhimédesz

Miben volt olyan, mint a többi hellén gondolkodó?Axiomatikus gondolkodásMiben volt jobb náluk? Végére járt a dolgoknak

A világtörténelem elso matematikai fizikusa

Arkhimédesz

Miben volt olyan, mint a többi hellén gondolkodó?Axiomatikus gondolkodásMiben volt jobb náluk? Végére járt a dolgoknakA világtörténelem elso matematikai fizikusa

Arkhimédesz

Idorend

Ókori Kelet: i.e. 3000-

Athéni fénykor: i.e. 400: EudoxoszAlexandriai fénykor: i.e. 300: Eukleidész, Apollóniusz,Eratoszthenész, ArisztarkhoszSzirakúza: Arkhimédész i.e. 240Arkhimédész utókora: Fermat és Pascal (1640), Newtonés Leibniz (1670), Cauchy (1820)

Arkhimédesz

Idorend

Ókori Kelet: i.e. 3000-Athéni fénykor: i.e. 400: Eudoxosz

Alexandriai fénykor: i.e. 300: Eukleidész, Apollóniusz,Eratoszthenész, ArisztarkhoszSzirakúza: Arkhimédész i.e. 240Arkhimédész utókora: Fermat és Pascal (1640), Newtonés Leibniz (1670), Cauchy (1820)

Arkhimédesz

Idorend

Ókori Kelet: i.e. 3000-Athéni fénykor: i.e. 400: EudoxoszAlexandriai fénykor: i.e. 300: Eukleidész, Apollóniusz,Eratoszthenész, Arisztarkhosz

Szirakúza: Arkhimédész i.e. 240Arkhimédész utókora: Fermat és Pascal (1640), Newtonés Leibniz (1670), Cauchy (1820)

Arkhimédesz

Idorend

Ókori Kelet: i.e. 3000-Athéni fénykor: i.e. 400: EudoxoszAlexandriai fénykor: i.e. 300: Eukleidész, Apollóniusz,Eratoszthenész, ArisztarkhoszSzirakúza: Arkhimédész i.e. 240

Arkhimédész utókora: Fermat és Pascal (1640), Newtonés Leibniz (1670), Cauchy (1820)

Arkhimédesz

Idorend

Ókori Kelet: i.e. 3000-Athéni fénykor: i.e. 400: EudoxoszAlexandriai fénykor: i.e. 300: Eukleidész, Apollóniusz,Eratoszthenész, ArisztarkhoszSzirakúza: Arkhimédész i.e. 240Arkhimédész utókora: Fermat és Pascal (1640), Newtonés Leibniz (1670), Cauchy (1820)

Arkhimédesz

Ókori Kelet vs. Görögország

Egyiptom, Mezopotámia: térfogatszámítás, naptárkészítés

Babilon:√

3 =1,732 az xn+1 = 12

(xn + 3

)iterációval

India, Kína: hasonló folyami civilizációkRengeteg tudás, elmélet nélkülGörög civilizáció: i.e. 6. századtól

Arkhimédesz

Babilon:√

3 =1,732 az xn+1 = 12

(xn + 3

)iterációval

Arkhimédesz

Babilon:√

3 =1,732 az xn+1 = 12

(xn + 3

)iterációval

India, Kína: hasonló folyami civilizációk

Rengeteg tudás, elmélet nélkülGörög civilizáció: i.e. 6. századtól

Arkhimédesz

Babilon:√

3 =1,732 az xn+1 = 12

(xn + 3

)iterációval

India, Kína: hasonló folyami civilizációkRengeteg tudás, elmélet nélkül

Görög civilizáció: i.e. 6. századtól

Arkhimédesz

Babilon:√

3 =1,732 az xn+1 = 12

(xn + 3

)iterációval

Arkhimédesz

Görögország

Püthagorasz, i.e. 550: matematika és természet

Zénon, i.e. 460: Akhilleusz és a teknosbéka paradoxona(végtelen!)

∞∑k=0

2−k = 2

Arkhimédesz

Görögország

Püthagorasz, i.e. 550: matematika és természetZénon, i.e. 460: Akhilleusz és a teknosbéka paradoxona(végtelen!)

∞∑k=0

2−k = 2

Arkhimédesz

Görögország

Püthagorasz, i.e. 550: matematika és természetZénon, i.e. 460: Akhilleusz és a teknosbéka paradoxona(végtelen!)

∞∑k=0

2−k = 2

Arkhimédesz

Athéni elozmények

Athéni városállam, demokrácia, sokszínuség: i.e. 6. sz.–i.e. 4. sz.

Eudoxosz, i.e. 370: a kimerítés matematikája, határértékelozményeKör kerülete arányos a sugárral: P = 2πrKör területe arányos a sugár négyzetével: A = πr2

π értéke kb. 3 és 3 1/8 között (jelölés: Euler, 1737)Kozmológiai modell

Arkhimédesz

Athéni elozmények

Athéni városállam, demokrácia, sokszínuség: i.e. 6. sz.–i.e. 4. sz.Eudoxosz, i.e. 370: a kimerítés matematikája, határértékelozménye

Kör kerülete arányos a sugárral: P = 2πrKör területe arányos a sugár négyzetével: A = πr2

Arkhimédesz

Athéni elozmények

Athéni városállam, demokrácia, sokszínuség: i.e. 6. sz.–i.e. 4. sz.Eudoxosz, i.e. 370: a kimerítés matematikája, határértékelozményeKör kerülete arányos a sugárral: P = 2πr

Kör területe arányos a sugár négyzetével: A = πr2

Arkhimédesz

Athéni elozmények

Athéni városállam, demokrácia, sokszínuség: i.e. 6. sz.–i.e. 4. sz.Eudoxosz, i.e. 370: a kimerítés matematikája, határértékelozményeKör kerülete arányos a sugárral: P = 2πrKör területe arányos a sugár négyzetével: A = πr2

Arkhimédesz

Athéni elozmények

π értéke kb. 3 és 3 1/8 között (jelölés: Euler, 1737)

Kozmológiai modell

Arkhimédesz

Athéni elozmények

Arkhimédesz

Hellenizmus kialakulása

Nagy Sándor, i.e. 336–323: világbirodalom

Alexandria, a világváros: Muszeion = tudományos központEukleidész, i.e. 300: Elemek, axiomatikus módszerArisztarkhosz: csillagászati távolságok becslése(Nap–Föld = 20 × Hold–Föld),Napközpontú rendszerErathosztenész: prímszita, a Föld kerülete: 40 ekm

Arkhimédesz

Nagy Sándor, i.e. 336–323: világbirodalomAlexandria, a világváros: Muszeion = tudományos központ

Eukleidész, i.e. 300: Elemek, axiomatikus módszerArisztarkhosz: csillagászati távolságok becslése(Nap–Föld = 20 × Hold–Föld),Napközpontú rendszerErathosztenész: prímszita, a Föld kerülete: 40 ekm

Arkhimédesz

Nagy Sándor, i.e. 336–323: világbirodalomAlexandria, a világváros: Muszeion = tudományos központEukleidész, i.e. 300: Elemek, axiomatikus módszer

Arisztarkhosz: csillagászati távolságok becslése(Nap–Föld = 20 × Hold–Föld),Napközpontú rendszerErathosztenész: prímszita, a Föld kerülete: 40 ekm

Arkhimédesz

Nagy Sándor, i.e. 336–323: világbirodalomAlexandria, a világváros: Muszeion = tudományos központEukleidész, i.e. 300: Elemek, axiomatikus módszerArisztarkhosz: csillagászati távolságok becslése(Nap–Föld = 20 × Hold–Föld),Napközpontú rendszer

Erathosztenész: prímszita, a Föld kerülete: 40 ekm

Arkhimédesz

Nagy Sándor, i.e. 336–323: világbirodalomAlexandria, a világváros: Muszeion = tudományos központEukleidész, i.e. 300: Elemek, axiomatikus módszerArisztarkhosz: csillagászati távolságok becslése(Nap–Föld = 20 × Hold–Föld),Napközpontú rendszerErathosztenész: prímszita, a Föld kerülete: 40 ekm

Arkhimédesz

Hellász földrajza

Kis-Ázsia (mai Törökország): Thálesz (Milétosz) i.e. 600

Nagy-Görögország (Itália): Püthagorasz (Croton) i.e. 550)Athén (Görögország): Eudoxosz (i.e. 370)Hellász: Alexandria (Egyiptom): Eukleidész (i.e. 300)Szicília: Szirakúza (Olaszország) Arkhimédész (i.e. 240)még a 11. században is görög mozaikok

Arkhimédesz

Hellász földrajza

Kis-Ázsia (mai Törökország): Thálesz (Milétosz) i.e. 600Nagy-Görögország (Itália): Püthagorasz (Croton) i.e. 550)

Athén (Görögország): Eudoxosz (i.e. 370)Hellász: Alexandria (Egyiptom): Eukleidész (i.e. 300)Szicília: Szirakúza (Olaszország) Arkhimédész (i.e. 240)még a 11. században is görög mozaikok

Arkhimédesz

Hellász földrajza

Kis-Ázsia (mai Törökország): Thálesz (Milétosz) i.e. 600Nagy-Görögország (Itália): Püthagorasz (Croton) i.e. 550)Athén (Görögország): Eudoxosz (i.e. 370)

Hellász: Alexandria (Egyiptom): Eukleidész (i.e. 300)Szicília: Szirakúza (Olaszország) Arkhimédész (i.e. 240)még a 11. században is görög mozaikok

Arkhimédesz

Hellász földrajza

Kis-Ázsia (mai Törökország): Thálesz (Milétosz) i.e. 600Nagy-Görögország (Itália): Püthagorasz (Croton) i.e. 550)Athén (Görögország): Eudoxosz (i.e. 370)Hellász: Alexandria (Egyiptom): Eukleidész (i.e. 300)

Szicília: Szirakúza (Olaszország) Arkhimédész (i.e. 240)még a 11. században is görög mozaikok

Arkhimédesz

Hellász földrajza

Kis-Ázsia (mai Törökország): Thálesz (Milétosz) i.e. 600Nagy-Görögország (Itália): Püthagorasz (Croton) i.e. 550)Athén (Görögország): Eudoxosz (i.e. 370)Hellász: Alexandria (Egyiptom): Eukleidész (i.e. 300)Szicília: Szirakúza (Olaszország) Arkhimédész (i.e. 240)még a 11. században is görög mozaikok

Arkhimédesz

Élete és munkássága

Arkhimédesz

Élete

i.e. 287 körül született, Szirakúzában (Szicília), apjacsillagász, rokona uralkodó

Tanulmányutak AlexandriábaÁllandó levelezés Eratoszthenésszel: α > β

i.e. 214: II. pun háború, Szirakúza ostromai.e. 212: Arkhimédesz halála: ne bántsd a köreimet

Arkhimédesz

Élete

i.e. 287 körül született, Szirakúzában (Szicília), apjacsillagász, rokona uralkodóTanulmányutak Alexandriába

Állandó levelezés Eratoszthenésszel: α > β

Arkhimédesz

Élete

i.e. 287 körül született, Szirakúzában (Szicília), apjacsillagász, rokona uralkodóTanulmányutak AlexandriábaÁllandó levelezés Eratoszthenésszel: α > β

Arkhimédesz

Élete

i.e. 214: II. pun háború, Szirakúza ostroma

i.e. 212: Arkhimédesz halála: ne bántsd a köreimet

Arkhimédesz

Élete

Arkhimédesz

Munkássága-1: emelok

Axiómák:

1. A szimmetrikus terhelt emelo egyensúlyban van2. A felfüggesztési pontban az egész tömeg hatKövetkezmény:

m1r1 = m2r2

Arkhimédesz

Axiómák:1. A szimmetrikus terhelt emelo egyensúlyban van

2. A felfüggesztési pontban az egész tömeg hatKövetkezmény:

m1r1 = m2r2

Arkhimédesz

Axiómák:1. A szimmetrikus terhelt emelo egyensúlyban van2. A felfüggesztési pontban az egész tömeg hat

Következmény:m1r1 = m2r2

Arkhimédesz

Axiómák:1. A szimmetrikus terhelt emelo egyensúlyban van2. A felfüggesztési pontban az egész tömeg hatKövetkezmény:

m1r1 = m2r2

Arkhimédesz

Kimozdítom a világot!

Arkhimédesz

Hajómarkoló

Arkhimédesz

Munkássága-2: úszó testek és egyéb

A csaló ötvös esete a hamis koronával

Minden vízbe mártott test, a súlyából annyit veszt...:Heuréka!!!A hamisított korona által kiszorított víz magassága csak0,4 mm, de emelovel kombinálva OKHajók stabilitása: tömegközpontArkhimédeszi csavar vízkiemelésreCsigasorok, tükrök

Arkhimédesz

A csaló ötvös esete a hamis koronávalMinden vízbe mártott test, a súlyából annyit veszt...:Heuréka!!!

A hamisított korona által kiszorított víz magassága csak0,4 mm, de emelovel kombinálva OKHajók stabilitása: tömegközpontArkhimédeszi csavar vízkiemelésreCsigasorok, tükrök

Arkhimédesz

A csaló ötvös esete a hamis koronávalMinden vízbe mártott test, a súlyából annyit veszt...:Heuréka!!!A hamisított korona által kiszorított víz magassága csak0,4 mm, de emelovel kombinálva OK

Hajók stabilitása: tömegközpontArkhimédeszi csavar vízkiemelésreCsigasorok, tükrök

Arkhimédesz

A csaló ötvös esete a hamis koronávalMinden vízbe mártott test, a súlyából annyit veszt...:Heuréka!!!A hamisított korona által kiszorított víz magassága csak0,4 mm, de emelovel kombinálva OKHajók stabilitása: tömegközpont

Arkhimédeszi csavar vízkiemelésreCsigasorok, tükrök

Arkhimédesz

A csaló ötvös esete a hamis koronávalMinden vízbe mártott test, a súlyából annyit veszt...:Heuréka!!!A hamisított korona által kiszorított víz magassága csak0,4 mm, de emelovel kombinálva OKHajók stabilitása: tömegközpontArkhimédeszi csavar vízkiemelésre

Csigasorok, tükrök

Arkhimédesz

A csaló ötvös esete a hamis koronávalMinden vízbe mártott test, a súlyából annyit veszt...:Heuréka!!!A hamisított korona által kiszorított víz magassága csak0,4 mm, de emelovel kombinálva OKHajók stabilitása: tömegközpontArkhimédeszi csavar vízkiemelésreCsigasorok, tükrök

Arkhimédesz

Hajók stabilitása

Arkhimédesz

Arkhimédeszi csavar

Arkhimédesz

Hajók felgyújtása tükörrel

Arkhimédesz már ismerte Apollóniosz eredményét aparabolatükör tökéletesen fókuszál

Tudtak-e a görögök parabolatükröt csiszolni?

Arkhimédesz

Arkhimédesz már ismerte Apollóniosz eredményét aparabolatükör tökéletesen fókuszálTudtak-e a görögök parabolatükröt csiszolni?

Arkhimédesz

Arkhimédeszi félig szabályos poliéderek

Arkhimédesz

Munkássága-3: parabola területe heurisztikusan

A módszer: infinitezimálisok, palimpszeszt, 1906

Emelo: Simonyi Károly

A = 4/3A∆

Arkhimédesz

A módszer: infinitezimálisok, palimpszeszt, 1906Emelo: Simonyi Károly

A = 4/3A∆

Arkhimédesz

A módszer: infinitezimálisok, palimpszeszt, 1906Emelo: Simonyi Károly

A = 4/3A∆

Arkhimédesz

Parabola területe mint statikai feladat

Arkhimédesz

Munkássága-4: parabola területe négyzetszámokösszegeként

Descartes-i koordinátarendszer: y = x2, [0, 1]-en

Riemann-integrál: h = 1/n lépésközzel, osztópontok:xi = ih, yi = (ih)2

S =n∑

(ih)2h =n(n + 1)(2n + 1)

6n3 → 13

ha n→∞Nem általánosítható törtkitevore!!!

Arkhimédesz

Descartes-i koordinátarendszer: y = x2, [0, 1]-enRiemann-integrál: h = 1/n lépésközzel, osztópontok:xi = ih, yi = (ih)2

S =n∑

(ih)2h =n(n + 1)(2n + 1)

6n3 → 13

Arkhimédesz

S =n∑

(ih)2h =n(n + 1)(2n + 1)

6n3 → 13

ha n→∞

Nem általánosítható törtkitevore!!!

Arkhimédesz

S =n∑

(ih)2h =n(n + 1)(2n + 1)

6n3 → 13

Arkhimédesz

Munkássága-5: parabola területe mértani sorral

osztópontok: xi = qn−i , yi = (qn−i)2 = q2(n−i), lépésköz,qn = 1/n

s =n∑

q2(n−i)(qn−i − qn−i+1) =q − 1q3 − 1

(1− q3n)→ 13

ha n→∞, mert 1. tényezo 1/3-hoz, 2. tényezo 1-hez tartFelhasználta, hogy q3 deriváltja 3q2,Newton–Leibniz-szabály

Arkhimédesz

s =n∑

q2(n−i)(qn−i − qn−i+1) =q − 1q3 − 1

(1− q3n)→ 13

ha n→∞, mert 1. tényezo 1/3-hoz, 2. tényezo 1-hez tart

Felhasználta, hogy q3 deriváltja 3q2,Newton–Leibniz-szabály

Arkhimédesz

s =n∑

q2(n−i)(qn−i − qn−i+1) =q − 1q3 − 1

(1− q3n)→ 13

ha n→∞, mert 1. tényezo 1/3-hoz, 2. tényezo 1-hez tartFelhasználta, hogy q3 deriváltja 3q2,Newton–Leibniz-szabály

Arkhimédesz

Munkássága-6: a kör kerülete és területe

Eudoxosz: kör kerülete = beírt és körül írt sokszögekkerületnek közös határértéke

szabályos n-szögek oldalhossza közti rekurzió

a2n =an√

2(1 +√

1− a2n), A2n =

An√A2

n + 1 + 1

Oldalszám 6 12 · · · 96Belso kerület 3,0000 3,1058 · · · 3,1410Külso kerület 3,4641 3,2154 · · · 3,1427

π =3,1416

Arkhimédesz

Eudoxosz: kör kerülete = beírt és körül írt sokszögekkerületnek közös határértékeszabályos n-szögek oldalhossza közti rekurzió

a2n =an√

2(1 +√

1− a2n), A2n =

An√A2

n + 1 + 1

π =3,1416

Arkhimédesz

a2n =an√

2(1 +√

1− a2n), A2n =

An√A2

n + 1 + 1

π =3,1416

Arkhimédesz

a2n =an√

2(1 +√

1− a2n), A2n =

An√A2

n + 1 + 1

π =3,1416

Arkhimédesz

Körbe beírt és kör köré írt szabályos sokszögek

Arkhimédesz

Munkássága-7: a gömb térfogata

Térfogat: Henger – Kúp = Félgömb

mertTerület: Körgyuru = Kör

r2 = R2 − h2

és Cavalieri-elv

Arkhimédesz

Munkássága-7: a gömb térfogata

Térfogat: Henger – Kúp = FélgömbmertTerület: Körgyuru = Kör

r2 = R2 − h2

és Cavalieri-elv

Arkhimédesz

Munkássága-8: a spirál

Polárkoordinátával: r(θ) = aθ

Alkalmazás a szögharmadolásra: nemeuklidesziszerkesztésElsoként határozta meg egy mechanikus görbe érintojét

Arkhimédesz

Polárkoordinátával: r(θ) = aθAlkalmazás a szögharmadolásra: nemeuklidesziszerkesztés

Elsoként határozta meg egy mechanikus görbe érintojét

Arkhimédesz

Polárkoordinátával: r(θ) = aθAlkalmazás a szögharmadolásra: nemeuklidesziszerkesztésElsoként határozta meg egy mechanikus görbe érintojét

Arkhimédesz

Arkhimédeszi spirál

Arkhimédesz

Munkássága-9: A homokszámláló

Hány homokszem fér el az arisztarkhoszivilágegyetemben? 1085 tizedesrendszer nélkül

Cáfolja a Napközpontú rendszert, mert szabad szemmelnem látható a parallaxisArisztarkhosz alábecsülte a távolságokat, de tudta, hogyazok nagyok

Arkhimédesz

Hány homokszem fér el az arisztarkhoszivilágegyetemben? 1085 tizedesrendszer nélkülCáfolja a Napközpontú rendszert, mert szabad szemmelnem látható a parallaxis

Arisztarkhosz alábecsülte a távolságokat, de tudta, hogyazok nagyok

Arkhimédesz

Hány homokszem fér el az arisztarkhoszivilágegyetemben? 1085 tizedesrendszer nélkülCáfolja a Napközpontú rendszert, mert szabad szemmelnem látható a parallaxisArisztarkhosz alábecsülte a távolságokat, de tudta, hogyazok nagyok

Arkhimédesz

Planetárium

Arkhimédesz

Hatása

Arkhimédesz

Hatása az ókorban

Csökkeno

Római hódítás, az ókori tudomány válságaPlutarkhosz: Párhuzamos életrajzok (Marcellus)

Arkhimédesz

Hatása az ókorban

CsökkenoRómai hódítás, az ókori tudomány válsága

Plutarkhosz: Párhuzamos életrajzok (Marcellus)

Arkhimédesz

Hatása az ókorban

CsökkenoRómai hódítás, az ókori tudomány válságaPlutarkhosz: Párhuzamos életrajzok (Marcellus)

Arkhimédesz

Hatása a középkorban

Arab–latin fordítások a középkorban, foleg Ibériában ésSzicíliában

Egyre kevésbé, majd egyre jobban értették

Arkhimédesz

Hatása a középkorban

Arab–latin fordítások a középkorban, foleg Ibériában ésSzicíliábanEgyre kevésbé, majd egyre jobban értették

Arkhimédesz

Hatása az újkorban

Cavalieri (1635) az infinitezimálisok újrafelfedezése

Fermat (1640): a mértani sorozatos osztópontokalkalmazása tetszoleges hatványfüggvényre∫ b

axα dx =

bα+1 − aα+1

α+ 1, α 6= −1.

Newton és Leibniz 1680 körül feláldozták az arkhimédeszikorlátozott szabatosságot az általános heurisztikának

0π(R2 − h2)dh = π(R3 − R3/3) =

1820–1870: Cauchy és Weierstrass egyesítették aszabatosságot és az általánosságot

Arkhimédesz

Cavalieri (1635) az infinitezimálisok újrafelfedezéseFermat (1640): a mértani sorozatos osztópontokalkalmazása tetszoleges hatványfüggvényre∫ b

axα dx =

bα+1 − aα+1

α+ 1, α 6= −1.

0π(R2 − h2)dh = π(R3 − R3/3) =

Arkhimédesz

axα dx =

bα+1 − aα+1

α+ 1, α 6= −1.

0π(R2 − h2)dh = π(R3 − R3/3) =

Arkhimédesz

axα dx =

bα+1 − aα+1

α+ 1, α 6= −1.

0π(R2 − h2)dh = π(R3 − R3/3) =

Arkhimédesz

Következtetések

Arkhimédesz kora gyermeke volt: axiomatikusgondolkodás, elméletalkotási igény, mérnöki készség?

Olyan feladatokat is megoldott, amelyeket kortársai(Erathosztenész, Apollóniusz) nemMegelozte korát?Matematikája túl speciális és túl bonyolult volt, pl. nemoldotta meg Zénon paradoxonát

Arkhimédesz

Következtetések

Arkhimédesz kora gyermeke volt: axiomatikusgondolkodás, elméletalkotási igény, mérnöki készség?Olyan feladatokat is megoldott, amelyeket kortársai(Erathosztenész, Apollóniusz) nem

Megelozte korát?Matematikája túl speciális és túl bonyolult volt, pl. nemoldotta meg Zénon paradoxonát

Arkhimédesz

Következtetések

Arkhimédesz kora gyermeke volt: axiomatikusgondolkodás, elméletalkotási igény, mérnöki készség?Olyan feladatokat is megoldott, amelyeket kortársai(Erathosztenész, Apollóniusz) nemMegelozte korát?

Matematikája túl speciális és túl bonyolult volt, pl. nemoldotta meg Zénon paradoxonát

Arkhimédesz

Következtetések

Arkhimédesz kora gyermeke volt: axiomatikusgondolkodás, elméletalkotási igény, mérnöki készség?Olyan feladatokat is megoldott, amelyeket kortársai(Erathosztenész, Apollóniusz) nemMegelozte korát?Matematikája túl speciális és túl bonyolult volt, pl. nemoldotta meg Zénon paradoxonát

Arkhimédesz

Irodalom I

Simonyi Károly (1980): A fizika kultúrtörténete.

Rényi Alfréd (1965): Dialógusok a matematikáról

Simonovits András (2009): Válogatott fejezetek amatematika történetébol.

Arkhimédesz

Arkhimédesz - i.e. 287 i.e. 212...BevezetésArhimédesz élete és...

Documents

ARKHIMÉDÉSZ (kb. i. e. 287.,Szrakuszai - i. e. 212 ...mail.bercsenyi.eu/www/kepek/matematika/Segedanyagok_fizikabol/... · törvénye) frdés közben, minek örömére kiugrott

GENERALITES SUR LES SUITES - maths et tiques · Yvan Monka – Académie de Strasbourg – GENERALITES SUR LES SUITES Dès l'Antiquité, Archimède de Syracuse (-287 ; -212), met

cdigital.dgb.uanl.mxcdigital.dgb.uanl.mx/la/1020115156/1020115156_013.pdf · PRINCIPIOS DE PASCAL Y ARQUIMEDES. 6-1 INTRODUCC16N. Sobre Arquímedes (287—212 a.C.) ... El principio

EN PROCÉS. 1. EUFORIA Eureka!! Arquímedes (287 - 212 a.C.)

287-212 av. J.-C. Montage préparé par : André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon Archimède

Parole chiave - geometria pratica* Alberto Durero, e cioè il tedesco Albrecht Dürer (1471-1528). * Archimede (⁓287 – 212 a.C.). * Euclide (IV – III secolo a.C.). * Gemma Frisio,

PROGRAMA DE COMPLEMENTACIÓN ACADÉMICArepositorio.umch.edu.pe/bitstream/UMCH/287/1/31... · docentes de la I.E. Nº 0756 del distrito de Pinto Recodo y de la I.E. Nº 0271 de Pamashto

KM 287-20171112160546fpn.ump.ma/uploads/files/1/5bea8c1a3e4f6.pdf · nador faculte de 10 2018 16 +(212) 536 60 9147 / +(212) 536 35 89 41 62700 - ... jamal tahiri boutrigui jamal

Archimedes Geschichte der Mathematik. 2 Archimedes von Syrakus (287 ? – 212 v.Chr.)

Il problema ed il ruolo dell’infinito - famigliafideus.com · nella Sacra Scrittura: settanta volte sette. In un trattato di Archimede (287 - 212 a.C.), l'Arenario per mostrare

I.E. MERCEDES CABELLO 74160560 I.E. MERCEDES CABELLO

Ágrip - Heim | Skemman · 2 Arkimedes var grískur stærðfræðingur (287-212 f.Kr). 3 Newton var enskur stærðfræðingur (1642-1727). 4 Gauss var þýskur stærðfræðingur

INFORME ESTATAL DE MONITOREO - iepcgro.mx ANEXO... · DIRECCIÓN EJECUTIVA DE PRERROGATIVAS Y PARTIDOS POLÍTICOS ... Pautados 287 287 287 334 381 287 381 378 287 345 375 316 360

역학의개요 - gnu.ac.krmsjoun.gnu.ac.kr/note/2011/statics/static_mechanics.pdf · 역학 역사 Archimedes (B.C 287 ~ 212) –지렛대원리, 부력의원리 Stevinus (1548 ~

Física, Estática de Fluidos: Principios de Arquímedes y Pascal · 2019. 5. 29. · Flotación: Principio de Arquímedes Arquímedes (287 a.c.- 212 a.c) Enunciado: Si un cuerpo

(Archimedes) By sean. Personal Profile Born c. 287 BC Syracuse, Sicily Magna Graecia Syracuse, Sicily Magna Graecia Died c. 212 BC (aged around 75) Syracuse

Archimedes (287 – 212 prˇ. Kr.)euler.fd.cvut.cz/predmety/matematika/historie/files/...Archimedes (287 – 212 prˇ. Kr.) Nejveˇtsˇı´m matematikem a fyzikem staroveˇku byl Archimedes,

ARQUIMEDES (287-212) · • Agora, Arquimedes usa alguns resultados que já tinha demonstrado anteriormente para uma região parabólica APB: • 1 –a reta tangente em P é paralela

nsportal.ruAug 25, 2016 · Apxu.ueÒ (287-212 Òo 11.9.) ApeBHerpeqecKHi MareMaTHK. pa3pa60ran Hax0*AeHHB nnouaae" noeepxHocreù 06béMOB pa3nw4Hblx Ten, KOTOPbte npeABocxHTv.nH

Arquimedes 287 a. c. a 212 a.c.. A cidade do sábio