View
25
Download
1
Category
Preview:
Citation preview
2/6/2011
1
CAMPUS CATALODEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
Sistemas Estruturais
Tpico:
Placas, chapas e cascas
Sistemas Estruturais Prof. Wellington Andrade 1
Quando o elemento possui uma das trs dimenses muito menor que as outrasduas, esses elementos so chamados de elementos de superfcie.
Superfcies
duas, esses elementos so chamados de elementos de superfcie.
As superfcies podem ser planas, como nos casos de chapas e placas, ou espaciaisno caso de cascas
chapas placas cascas
chapas de ligaoemendas
Chapas
viga parede
Placas
lajes em geral
Cascas
cascacilndrica abbodas
2Sistemas Estruturais Prof. Wellington Andrade
2/6/2011
2
Definio: As placas, chapas ou cascas so elementos estruturais superficiais (umadimenso muito menor que as outras duas) O que difere uma das outras a forma fsica e
Superfcies
chapasplacascascas
dimenso muito menor que as outras duas). O que difere uma das outras a forma fsica e,consequentemente, o modo como as solicitaes internas acontecem.
Compresso direta podendo estarassociada a uma flexo de viga setiverem apoios discretos como tal.
Flexo nas duasdirees como vigasnas duas direes.
Compresso como em um arcogeralmente associada a flexo porserem cascas esbeltas e abatidas
3Sistemas Estruturais Prof. Wellington Andrade
Placas
Definio: elemento superficial com carregamento normal (ortogonal) a essasuperfcie. Os principais representantes destes elementos so as lajes em geral.
Comportamento: A sua forma e o modo de suas aes atuantes fazem com queas placas se comportem como associaes de vigas (de pequena altura) em uma ounas duas direes. Assim sendo, nelas estaro ocorrendo flexo (em uma ou nasduas direes) e cisalhamento. Como possuem pequena altura, o cisalhamentoacaba por no atuar de modo considervel, sendo desprezado (as lajes de concretoem geral no preciso serem armadas para o cisalhamento estribos) Para
4Sistemas Estruturais Prof. Wellington Andrade
em geral no preciso serem armadas para o cisalhamento estribos). Parasabermos se a placa ir fletir em uma ou nas duas direes devemos analisar aforma. Se forem placas (lajes) alongadas lado maior pelo menos duas vezes olado menor, a laje vai fletir apenas em uma direo. Caso a forma em planta sejaprxima da quadrada (lado maior menor que duas vezes o lado menor), haverflexo nas duas direes.
2/6/2011
3
y Se apoiadas nas quatro bordas:Placas
laje alongada laje no-alongada
y Materiais: teoricamente os materiais ideais deveriam ser o ao e a madeira por secomportarem melhor na flexo mas placas destes materiais so difceis de se obterou construir. Sendo assim, geralmente so utilizados os concretos armados, compossibilidades de associaes com o ao ou a madeira.
5Sistemas Estruturais Prof. Wellington Andrade
Definio: elemento superficial com carregamento ao longo desta superfcie,tid l O i i i t t d t l t d d
Chapas
contido no plano. Os principais representantes destes elementos so as paredes dasalvenarias estruturais e pelas vigas paredes.
Comportamento: As chapas so elementos que recebem as aes diretamente,geralmente as comprimindo ao longo de toda a sua extenso, principalmente asparedes apoiadas em toda sua extenso (fundaes em sapatas corridas). Quando haberturas do tipo janelas e portas as solicitaes as contornam e se estabilizamnovamente. No caso de vigas paredes (apoios discretos como sapatas isoladas),alm desta compresso direta, aparece uma flexo associada, como nas vigas. Talcomo nas placas (lajes) no se considera o cisalhamento mas aqui pelo fato da
6Sistemas Estruturais Prof. Wellington Andrade
como nas placas (lajes), no se considera o cisalhamento, mas aqui pelo fato daaltura da seo ser muito grande.
Materiais: quanto aos materiais, temos os mesmo empecilhos das placas quantoao ao e a madeira, mas alm das paredes e vigas paredes de concreto armado,podemos utilizar outros materiais como os materiais cermicos das alvenariasestruturais.
2/6/2011
4
Definio: elemento superficial com curvas, com seus carregamentos tanto ao
Cascas
longo desta superfcie como normal ou inclinado a sua superfcie. Os principaisrepresentantes destes elementos so as cascas cilndricas e as abbodas.
Comportamento: As cascas so elementos que por serem curvos, de cilndricosa geodsicos, sempre estaro tentando se aproximarem do comportamento dosarcos (compresso). As cascas modernas so geralmente muito mais abatidas(flechas menores) que os arcos conceituais fazendo com que aparea flexo sempre.O cisalhamento tambm pode ser desprezado.
7Sistemas Estruturais Prof. Wellington Andrade
Materiais: quanto aos materiais, temos os mesmo empecilhos das placas echapas quanto ao ao e a madeira por isso geralmente encontraremos cascas deconcreto armado. O ao e a madeira podem ser utilizados como domos de modoque ser comportem como cascas.
Cascas so estruturas de superfcie delgadas, no planas, que recebem
Cascas
p g , p , qcargas distribudas e reagem atravs de esforos solicitantespredominantemente de trao e compresso.
Quando a espessura da casca pequena, comparando-se com as outrasdimenses, a rigidez a momento fletor (que proporcional ao momento deinrcia) muito pequena, e pode ser considerada igual a zero. Neste casosas cascas podem ser estudadas pela teoria da membrana.as cascas podem ser estudadas pela teoria da membrana.
8Sistemas Estruturais Prof. Wellington Andrade
2/6/2011
5
Membranas so estruturas de superfcie no planas, de pequena espessura,
Teoria de Membrana
p p , p q p ,que absorvem as cargas externas por esforos solicitantes normais s seestransversais de trao ou compresso.
A expresso membrana vem de estruturas inflveis, de tecido ou deelastmero.
Exemplos: balo dirigvel, armazm inflado para estoque de gros,
9Sistemas Estruturais Prof. Wellington Andrade
Exemplos: balo dirigvel, armazm inflado para estoque de gros,tensoestruturas.
Exemplos
10Sistemas Estruturais Prof. Wellington Andrade
2/6/2011
6
Teoria de membrana aplicada ao ConcretoArmadoAplica-se ao concreto armado, desprezada a rigidez flexo da estrutura, comboa aproximao.
A pequena rigidez do elemento da estrutura (espessura pequena) no implica empequena rigidez do conjunto, que pode resistir aos esforos de compresso sem riscode flambagem: o conjunto de superfcie curva como um todo tem grande rigidezquando comparado com a mesma superfcie plana.
11Sistemas Estruturais Prof. Wellington Andrade
Quando existem cargas concentradas (pilares de lanternim, por exemplo), torna-se necessrio a adoo de elemento estrutural de transio pra transformar a cargaconcentrada em carga distribuda (anel superior contnuo).
Exemplo: cpula esfrica
Note-se que as reaes das cascas, nos apoios, devem ter a direo da tangente superfcie noponto. Quando isto no acontece, so geradas perturbaes nas bordas das cascas, dandoorigem a esforos de flexo maiores na regio prxima s bordas.
12Sistemas Estruturais Prof. Wellington Andrade
2/6/2011
7
Gerao de Superfcies de CascasA maioria das superfcies geometricamente definidas, usadas nas estruturas emcascas, so geradas por um dos processos bsicos: rotao ou translao de uma
Curva de equao z = f(x)
cascas, so geradas por um dos processos bsicos: rotao ou translao de umacurva. No primeiro processo, a curva girando ao redor de um eixo, chamado eixo derotao, gera as superfcies de revoluo.
Superfcie de equao z = f(x,y)
13Sistemas Estruturais Prof. Wellington Andrade
No segundo processo, a curva translada-se paralelamente a si mesma,apoiando se constantemente numa curva diretriz gerando as superfcies
Gerao de Superfcies de Cascas
apoiando-se constantemente numa curva diretriz, gerando as superfciesde translao.
Curva Diretriz
Curva geratriz
14Sistemas Estruturais Prof. Wellington Andrade
2/6/2011
8
Q d i d f i d l ti l i t t
Superfcie de revoluo
Meridiano
ParalelasEixo
Esfera Tangente em P
Quando o eixo da superfcie de revoluo vertical e a curva interceptaeste eixo, a casca denominada cpula.
Esfera Tangente
15Sistemas Estruturais Prof. Wellington Andrade
Qualquer curva pode ser usada como meridiano, gerando diferentessuperfcies
Superfcie de revoluo
superfcies.
16Sistemas Estruturais Prof. Wellington Andrade
2/6/2011
9
Influncia da curvatura na capacidade resistenteda casca
A carga atuante resistida como se houvesse, passando em duas direesortogonais, dois arcos pelo ponto em cascas de dupla curvatura.
17Sistemas Estruturais Prof. Wellington Andrade
Influncia da curvatura na capacidade resistenteda casca
No caso de cascas de simples curvatura, a carga p resistida em uma direo porarco e em outra como viga. Assim, as cascas de simples curvatura so menoseficientes do ponto de vista estrutural que as de dupla curvatura (embora asprimeiras sejam construtivamente menos trabalhosas).
18Sistemas Estruturais Prof. Wellington Andrade
2/6/2011
10
Placa Retangular com relao de lados maior que 2, apoiadas nas duas bordasmaiores, sujeitas carga q distribuda uniformemente em toda a superfcie Para a
Rigidez flexo de placas
maiores, sujeitas carga qs distribuda uniformemente em toda a superfcie. Para afaixa de largura unitria tem-se:
.1 33 ttI
Momento de Inrcia
sqq .1=Carga Distribuda
19Sistemas Estruturais Prof. Wellington Andrade
1212I ==
66.1 22 ttW == 26t
MWM
x ==Mdulo Resistncia Flexo Tenso Normal Mxima
8
2qlM =Momento Fletor
Mdulo de Rigidez Flexo da PlacaRigidez flexo de placas
( )23
112 =EtD
A constante D anloga constante EI utilizada no estudo das vigas. Nota-seque a rigidez flexo das placas ligeiramente superior rigidez flexo dasvigas. No caso do ao, em que adotado igual a 0,3, obtm-se
EID 11
20Sistemas Estruturais Prof. Wellington Andrade
EID 1,1 Flecha Mxima
Dql
3845 4
0 = ( )240 13845 = EIql
2/6/2011
11
As mesmas expresses poderiam ser usadas, como aproximao, caso as bordas
Rigidez flexo de placas
p p , p ,menores tambm fossem apoiadas e a relao de lados fosse maior do que 2.
Observa-se que foi utilizada uma expresso corrigida da flecha de viga, paralevar em conta o efeito das tenses transversais faixa considerada (efeito dePoisson).
21Sistemas Estruturais Prof. Wellington Andrade
Placas em balano, sujeitas a cargas distribudas ou concentradas.Rigidez flexo de placas
Para a carga qs tem-se, na faixa de largura unitria:
qq 1=Carga Distribuda
22Sistemas Estruturais Prof. Wellington Andrade
66.1 22 ttW == 26t
MWM
x ==Mdulo Resistncia Flexo Tenso Normal Mxima
2
2qlM =Momento Fletor
sqq .1=
2/6/2011
12
Placas em balano, sujeitas a cargas distribudas ou concentradas.Rigidez flexo de placas
Para a carga concentrada tem-se:
cab 2+=
23Sistemas Estruturais Prof. Wellington Andrade
6
2' btW
'
'
WM
x =Mdulo Resistncia Flexo Tenso Normal Mxima
PcM ='Momento Fletor
Os valores de tenses e deslocamentos (ou flechas) obtidos pelas equaesanteriores possuem validade apenas para o trecho central, pois prximo aos cantos
Efeitos de Borda
anteriores possuem validade apenas para o trecho central, pois prximo aos cantosestas tenses e deslocamentos (ou flechas) mudam de sentido, dando origem afenmeno conhecido como efeito de borda (tendncia de levantamento dos cantos);
Como os cantos esto ligados aos apoios, estes possuem reaes negativas, queatingem um valor mximo no encontro das duas bordas. Essas reaes introduzemum momento no sentido contrrio ao momento que ocorre no centro da placa. Essesmomentos que surgem nos cantos so denominados de momentos volventes, e a
24Sistemas Estruturais Prof. Wellington Andrade
no considerao dos mesmos costuma ser uma hiptese conservadora.
Devido as perturbaes que surgem nos cantos, as reaes e, consequentemente,as tenses ao longo das bordas no possuem valores constantes.
2/6/2011
13
Variao que ocorre na distribuio real das reaes de apoio nas bordas de umaplaca uniformemente carregada e, a distribuio que normalmente adotada:
Efeitos de Borda
placa uniformemente carregada e, a distribuio que normalmente adotada:
25Sistemas Estruturais Prof. Wellington Andrade
Placas apoiadas nas quatro bordas distribuiodas cargasAnalisando uma placa retangular de lados L e l, deseja-se conhecer a parcela decarregamento distribudo q que ser distribudo para cada direo. Comoaproximao, pode-se isolar duas faixas unitrias centrais da placa, uma em cadadireo, e compatibilizar as flechas, obtendo-se:
Direo a:
( )24 15 = lqaDireo b:
( )24 15 = LqbComo ba =qq ba = qqq +=
26Sistemas Estruturais Prof. Wellington Andrade
( )1384
=EIa
( )1384
=EIb 44 lL
= ba qqq +=
Portanto:
)( 444
lLqLqa += )( 44
4
lLqlqb +=
No caso de placa quadrada (L=l):
5,0== ba qq
2/6/2011
14
Placas apoiadas nas quatro bordas distribuiodas cargas
Neste caso possvel admitir que placas com relao entre lados (L/l) maiorque dois, so consideradas, por simplificao, como apoiadas em uma nicadireo.
qqqa 941,01716 == qqqb 059,017
1 ==No caso, por exemplo, em que L=2l, obtm-se:
27Sistemas Estruturais Prof. Wellington Andrade
Nas lajes, tal com vigas, calculada uma armadura de ao para absorver assolicitaes de trao.
As lajes com relao entre lados menor ou igual a 2 so, usualmente, calculadascomo fletidas nas duas direes (armadas nas duas direes).
Placas apoiadas nas quatro bordas distribuiodas cargas Quando a relao entre lados ultrapassa o limite de 2, costuma-se dimension-lascomo fletidas apenas na direo do menor vo, sendo a direo mais rgida(armadas em uma direo, com armadura de distribuio na outra direo).
Para resistir o momento volvente deve ser colocada uma armadura nos cantos dalaje, local onde ocorre. A posio destas armaduras definida pelo sentido dassolicitaes, ou seja, sempre na parte tracionada. Caso possa ocorrer uma inversodas solicitaes devem ser providenciadas duas armaduras uma em cada face da
28Sistemas Estruturais Prof. Wellington Andrade
das solicitaes, devem ser providenciadas duas armaduras, uma em cada face dalaje.
2/6/2011
15
As chapas, quando solicitadas por foras de compresso (por exemplo, mesa deuma viga) ou de cisalhamento (por exemplo alma de um viga) podem perder
Flambagem de chapas
uma viga) ou de cisalhamento (por exemplo, alma de um viga) podem perderestabilidade, como qualquer outro elemento comprimido. Entretanto, por seremelementos planos, conduzem a formulaes diferentes das encontradas para abarras.
Analisando uma chapa comprimida em uma s direo, sem apoio ao longo dasbordas no solicitadas, pode-se fazer a analogia desta com a barra comprimida.
29Sistemas Estruturais Prof. Wellington Andrade
Quando a chapa possuir as quatro bordas apoiadas continuamente, tem-se umasituao mais favorvel que a anterior, pois ocorre uma contribuio entre uma eoutra direo, restringindo os deslocamentos de flexo devido flambagem.
Flambagem de chapa (com espessura t), sem apoio ao longo das bordas nosolicitadas:
Flambagem de chapas
solicitadas:
AlEI
AFcr
cr 2
2 ==
30Sistemas Estruturais Prof. Wellington Andrade
2/6/2011
16
Flambagem para chapa quadrada (l = b) e chapas longas , com l >> b (aconfigurao da flambagem constituda por ondas senoidais longitudinais)
Flambagem de chapas
configurao da flambagem constituda por ondas senoidais longitudinais)
31Sistemas Estruturais Prof. Wellington Andrade
Tenso de compresso:Flambagem de chapas
( )23
112 =EtDEISubstitui por btA = l por b
emAlEI
AFcr
cr 2
2 ==
Resulta em:2Ek =
32Sistemas Estruturais Prof. Wellington Andrade
Resulta em: 22 )/)(1(12 tbkcr
A equao anterior a expresso geral para tenso crtica de flambagem elsticade chapas, sendo k um coeficiente adimensional que considera as condies deapoio das bordas e a relao entre o comprimento e largura da chapa (l/b).
2/6/2011
17
Chapas comprimidas:Flambagem de chapas
Esta situao ocorre na verificao da estabilidade local de mesas de perfismetlicos submetidos flexo ou flexo-compresso, e de mesas e almas de perfismetlicos solicitados por compresso.
33Sistemas Estruturais Prof. Wellington Andrade
Chapas submetidas a tenses de compresso e trao:Flambagem de chapas
Esta situao ocorre na verificao da estabilidade local de almas de vigas, cujosvalores apresentados para k valem apenas para flexo simtrica.
b/2
b
34Sistemas Estruturais Prof. Wellington Andrade
k = 39,6 quando as duas bordas forem engastadas;k = 24,9 quando as duas bordas forem apoiadas.
b
l
2/6/2011
18
Chapas submetidas a tenses de cisalhamento:Flambagem de chapas
Esta situao ocorre na alma de vigas na direo da diagonal comprimida de umapainel solicitado por tenses de cisalhamento.
Para l/b > 1
+= 2)/(434,5bl
k
35Sistemas Estruturais Prof. Wellington Andrade
Para l/b < 1
+= 2)/(34,54bl
k
Exemplos de Cascas e Cpulas
9Pantheon, Roma, Itlia. 75 a 138 D.C.9Dimetro de 43,3m (entre eixos). Foi a maior cpula construdaat os tempos modernos. Possui a forma cilndrica com paredesde 6m de espessura. A cpula tem 22 de altura da base, de 6m deespessura at a abetura de 9m de dimetro e 1,5m de espessura.
36Sistemas Estruturais Prof. Wellington Andrade
2/6/2011
19
Hagia Sofia, Istambul, Turquia. 532a 537 D.C.
Exemplos de Cascas e Cpulas
Considerado uma das peas principaisda arquitetura Bizantina. Possui umambiente quadrado de 32m de lado, ondese apoia a cpula cujo pice est a 55mde altura.
9Vista interna da cpula com 40 costelas terminandoem 40 janelas. A cpula de 12,5m de altura foireconstruda, com blocos de 60 e 70cm com 5cm deespessura, em 563 depois da destruio da originalpor um terremoto em 558.
37Sistemas Estruturais Prof. Wellington Andrade
Exemplos de Cascas e Cpulas
9Catedral de St. Paul, Londres, Inglaterra. 1710.9Projetado em estilo barroco por Sir Christopher Wren. Acpula tem 34 m de dimetro e a cruz est a 111m dealtura. A estrutura complexa consistindo de uma cascaexterna, um cone intermedirio que suporta os pesos dolanternin e da casca interna.
38Sistemas Estruturais Prof. Wellington Andrade
2/6/2011
20
Exemplos de Cascas e Cpulas
9Novo Edifcio das Naes Unidas, Genebra, Sua.9Cpula com doze faixas separadas por arcos bem abatidos que proporcionam o aparecimento deflexo.
39Sistemas Estruturais Prof. Wellington Andrade
Exemplos de Cascas e Cpulas
9Anfiteatro, Universidade de Illinois - Urbana, EUA.9Grande cpula de 122m de dimetro com costelas em CA sobreanel de trao. Este anel est sobre uma estrutura de vigas querecebem, tambm, o peso da estrutura interna.
40Sistemas Estruturais Prof. Wellington Andrade
2/6/2011
21
Exemplos de Cascas e Cpulas
9Tacoma Dome, Tacoma - WA, EUA.9Ginsio de esportes e eventos com capacidade de 30000pessoas. A cpula de 161,5m de dimetro treliada de madeiracom anel de trao de CA.
41Sistemas Estruturais Prof. Wellington Andrade
Exemplos de Cascas e Cpulas
9Forum. Denver, EUA.9Cobertura em casca de CA com espessurasvariando de 7,5cm no alto at 15cm nos apoios.Cobre uma rea de 32m x 32m, alcanando alturade 10m.
42Sistemas Estruturais Prof. Wellington Andrade
2/6/2011
22
Exemplos de Cascas e Cpulas
yForum. Denver, EUA.{Apoios metlicos em diagonal, seguindo aresultante das foras. Detalhe de um dos quatroapoios fixos que sustentam toda a casca.
43Sistemas Estruturais Prof. Wellington Andrade
Exemplos de Cascas e Cpulas
9 Piscina coberta - Bad Drrheim - Alemanha - 1987
44Sistemas Estruturais Prof. Wellington Andrade
2/6/2011
23
Exemplos de Cascas e Cpulas
45Sistemas Estruturais Prof. Wellington Andrade
9 Piscina coberta - Bad Drrheim - Alemanha - 1987
Exemplos de Cascas e Cpulas
9Capela. Misouri, EUA.9Consiste em duas fileiras de cascas. Formainspirada no colarinho de freira medieval.9A esttica interior, apesar de agradvel, inadequada acusticamente.
46Sistemas Estruturais Prof. Wellington Andrade
2/6/2011
24
Exemplo de Casca
Igreja So Francisco de Assis, BH
47Sistemas Estruturais Prof. Wellington Andrade
Exemplos de Placas
48Sistemas Estruturais Prof. Wellington Andrade
2/6/2011
25
Exemplos de Placas
49Sistemas Estruturais Prof. Wellington AndradeLajes e Balano
Exemplos de Placas
50Sistemas Estruturais Prof. Wellington AndradeLajes e Balano
2/6/2011
26
Exemplos de Placas
51Sistemas Estruturais Prof. Wellington Andrade
Recommended