Aula 11 Sistemas Estruturais

2/6/2011

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CAMPUS CATALODEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL

Sistemas Estruturais

Tpico:

Placas, chapas e cascas

Sistemas Estruturais Prof. Wellington Andrade 1

Quando o elemento possui uma das trs dimenses muito menor que as outrasduas, esses elementos so chamados de elementos de superfcie.

Superfcies

duas, esses elementos so chamados de elementos de superfcie.

As superfcies podem ser planas, como nos casos de chapas e placas, ou espaciaisno caso de cascas

chapas placas cascas

chapas de ligaoemendas

Chapas

viga parede

Placas

lajes em geral

Cascas

cascacilndrica abbodas

2Sistemas Estruturais Prof. Wellington Andrade

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Definio: As placas, chapas ou cascas so elementos estruturais superficiais (umadimenso muito menor que as outras duas) O que difere uma das outras a forma fsica e

Superfcies

chapasplacascascas

dimenso muito menor que as outras duas). O que difere uma das outras a forma fsica e,consequentemente, o modo como as solicitaes internas acontecem.

Compresso direta podendo estarassociada a uma flexo de viga setiverem apoios discretos como tal.

Flexo nas duasdirees como vigasnas duas direes.

Compresso como em um arcogeralmente associada a flexo porserem cascas esbeltas e abatidas


Placas

Definio: elemento superficial com carregamento normal (ortogonal) a essasuperfcie. Os principais representantes destes elementos so as lajes em geral.

Comportamento: A sua forma e o modo de suas aes atuantes fazem com queas placas se comportem como associaes de vigas (de pequena altura) em uma ounas duas direes. Assim sendo, nelas estaro ocorrendo flexo (em uma ou nasduas direes) e cisalhamento. Como possuem pequena altura, o cisalhamentoacaba por no atuar de modo considervel, sendo desprezado (as lajes de concretoem geral no preciso serem armadas para o cisalhamento estribos) Para


em geral no preciso serem armadas para o cisalhamento estribos). Parasabermos se a placa ir fletir em uma ou nas duas direes devemos analisar aforma. Se forem placas (lajes) alongadas lado maior pelo menos duas vezes olado menor, a laje vai fletir apenas em uma direo. Caso a forma em planta sejaprxima da quadrada (lado maior menor que duas vezes o lado menor), haverflexo nas duas direes.

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y Se apoiadas nas quatro bordas:Placas

laje alongada laje no-alongada

y Materiais: teoricamente os materiais ideais deveriam ser o ao e a madeira por secomportarem melhor na flexo mas placas destes materiais so difceis de se obterou construir. Sendo assim, geralmente so utilizados os concretos armados, compossibilidades de associaes com o ao ou a madeira.


Definio: elemento superficial com carregamento ao longo desta superfcie,tid l O i i i t t d t l t d d

Chapas

contido no plano. Os principais representantes destes elementos so as paredes dasalvenarias estruturais e pelas vigas paredes.

Comportamento: As chapas so elementos que recebem as aes diretamente,geralmente as comprimindo ao longo de toda a sua extenso, principalmente asparedes apoiadas em toda sua extenso (fundaes em sapatas corridas). Quando haberturas do tipo janelas e portas as solicitaes as contornam e se estabilizamnovamente. No caso de vigas paredes (apoios discretos como sapatas isoladas),alm desta compresso direta, aparece uma flexo associada, como nas vigas. Talcomo nas placas (lajes) no se considera o cisalhamento mas aqui pelo fato da


como nas placas (lajes), no se considera o cisalhamento, mas aqui pelo fato daaltura da seo ser muito grande.

Materiais: quanto aos materiais, temos os mesmo empecilhos das placas quantoao ao e a madeira, mas alm das paredes e vigas paredes de concreto armado,podemos utilizar outros materiais como os materiais cermicos das alvenariasestruturais.

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Definio: elemento superficial com curvas, com seus carregamentos tanto ao

Cascas

longo desta superfcie como normal ou inclinado a sua superfcie. Os principaisrepresentantes destes elementos so as cascas cilndricas e as abbodas.

Comportamento: As cascas so elementos que por serem curvos, de cilndricosa geodsicos, sempre estaro tentando se aproximarem do comportamento dosarcos (compresso). As cascas modernas so geralmente muito mais abatidas(flechas menores) que os arcos conceituais fazendo com que aparea flexo sempre.O cisalhamento tambm pode ser desprezado.


Materiais: quanto aos materiais, temos os mesmo empecilhos das placas echapas quanto ao ao e a madeira por isso geralmente encontraremos cascas deconcreto armado. O ao e a madeira podem ser utilizados como domos de modoque ser comportem como cascas.

Cascas so estruturas de superfcie delgadas, no planas, que recebem

Cascas

p g , p , qcargas distribudas e reagem atravs de esforos solicitantespredominantemente de trao e compresso.

Quando a espessura da casca pequena, comparando-se com as outrasdimenses, a rigidez a momento fletor (que proporcional ao momento deinrcia) muito pequena, e pode ser considerada igual a zero. Neste casosas cascas podem ser estudadas pela teoria da membrana.as cascas podem ser estudadas pela teoria da membrana.


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Membranas so estruturas de superfcie no planas, de pequena espessura,

Teoria de Membrana

p p , p q p ,que absorvem as cargas externas por esforos solicitantes normais s seestransversais de trao ou compresso.

A expresso membrana vem de estruturas inflveis, de tecido ou deelastmero.

Exemplos: balo dirigvel, armazm inflado para estoque de gros,


Exemplos: balo dirigvel, armazm inflado para estoque de gros,tensoestruturas.

Exemplos


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Teoria de membrana aplicada ao ConcretoArmadoAplica-se ao concreto armado, desprezada a rigidez flexo da estrutura, comboa aproximao.

A pequena rigidez do elemento da estrutura (espessura pequena) no implica empequena rigidez do conjunto, que pode resistir aos esforos de compresso sem riscode flambagem: o conjunto de superfcie curva como um todo tem grande rigidezquando comparado com a mesma superfcie plana.


Quando existem cargas concentradas (pilares de lanternim, por exemplo), torna-se necessrio a adoo de elemento estrutural de transio pra transformar a cargaconcentrada em carga distribuda (anel superior contnuo).

Exemplo: cpula esfrica

Note-se que as reaes das cascas, nos apoios, devem ter a direo da tangente superfcie noponto. Quando isto no acontece, so geradas perturbaes nas bordas das cascas, dandoorigem a esforos de flexo maiores na regio prxima s bordas.


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Gerao de Superfcies de CascasA maioria das superfcies geometricamente definidas, usadas nas estruturas emcascas, so geradas por um dos processos bsicos: rotao ou translao de uma

Curva de equao z = f(x)

cascas, so geradas por um dos processos bsicos: rotao ou translao de umacurva. No primeiro processo, a curva girando ao redor de um eixo, chamado eixo derotao, gera as superfcies de revoluo.

Superfcie de equao z = f(x,y)


No segundo processo, a curva translada-se paralelamente a si mesma,apoiando se constantemente numa curva diretriz gerando as superfcies

Gerao de Superfcies de Cascas

apoiando-se constantemente numa curva diretriz, gerando as superfciesde translao.

Curva Diretriz

Curva geratriz


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Q d i d f i d l ti l i t t

Superfcie de revoluo

Meridiano

ParalelasEixo

Esfera Tangente em P

Quando o eixo da superfcie de revoluo vertical e a curva interceptaeste eixo, a casca denominada cpula.

Esfera Tangente


Qualquer curva pode ser usada como meridiano, gerando diferentessuperfcies

Superfcie de revoluo

superfcies.


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Influncia da curvatura na capacidade resistenteda casca

A carga atuante resistida como se houvesse, passando em duas direesortogonais, dois arcos pelo ponto em cascas de dupla curvatura.


Influncia da curvatura na capacidade resistenteda casca

No caso de cascas de simples curvatura, a carga p resistida em uma direo porarco e em outra como viga. Assim, as cascas de simples curvatura so menoseficientes do ponto de vista estrutural que as de dupla curvatura (embora asprimeiras sejam construtivamente menos trabalhosas).


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Placa Retangular com relao de lados maior que 2, apoiadas nas duas bordasmaiores, sujeitas carga q distribuda uniformemente em toda a superfcie Para a

Rigidez flexo de placas

maiores, sujeitas carga qs distribuda uniformemente em toda a superfcie. Para afaixa de largura unitria tem-se:

.1 33 ttI

Momento de Inrcia

sqq .1=Carga Distribuda


1212I ==

66.1 22 ttW == 26t

MWM

x ==Mdulo Resistncia Flexo Tenso Normal Mxima

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2qlM =Momento Fletor

Mdulo de Rigidez Flexo da PlacaRigidez flexo de placas

( )23

112 =EtD

A constante D anloga constante EI utilizada no estudo das vigas. Nota-seque a rigidez flexo das placas ligeiramente superior rigidez flexo dasvigas. No caso do ao, em que adotado igual a 0,3, obtm-se

EID 11


EID 1,1 Flecha Mxima

Dql

3845 4

0 = ( )240 13845 = EIql

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As mesmas expresses poderiam ser usadas, como aproximao, caso as bordas

Rigidez flexo de placas

p p , p ,menores tambm fossem apoiadas e a relao de lados fosse maior do que 2.

Observa-se que foi utilizada uma expresso corrigida da flecha de viga, paralevar em conta o efeito das tenses transversais faixa considerada (efeito dePoisson).


Placas em balano, sujeitas a cargas distribudas ou concentradas.Rigidez flexo de placas

Para a carga qs tem-se, na faixa de largura unitria:

qq 1=Carga Distribuda


66.1 22 ttW == 26t

MWM

x ==Mdulo Resistncia Flexo Tenso Normal Mxima

2

2qlM =Momento Fletor

sqq .1=

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Placas em balano, sujeitas a cargas distribudas ou concentradas.Rigidez flexo de placas

Para a carga concentrada tem-se:

cab 2+=


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2' btW

'

'

WM

x =Mdulo Resistncia Flexo Tenso Normal Mxima

PcM ='Momento Fletor

Os valores de tenses e deslocamentos (ou flechas) obtidos pelas equaesanteriores possuem validade apenas para o trecho central, pois prximo aos cantos

Efeitos de Borda

anteriores possuem validade apenas para o trecho central, pois prximo aos cantosestas tenses e deslocamentos (ou flechas) mudam de sentido, dando origem afenmeno conhecido como efeito de borda (tendncia de levantamento dos cantos);

Como os cantos esto ligados aos apoios, estes possuem reaes negativas, queatingem um valor mximo no encontro das duas bordas. Essas reaes introduzemum momento no sentido contrrio ao momento que ocorre no centro da placa. Essesmomentos que surgem nos cantos so denominados de momentos volventes, e a


no considerao dos mesmos costuma ser uma hiptese conservadora.

Devido as perturbaes que surgem nos cantos, as reaes e, consequentemente,as tenses ao longo das bordas no possuem valores constantes.

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Variao que ocorre na distribuio real das reaes de apoio nas bordas de umaplaca uniformemente carregada e, a distribuio que normalmente adotada:

Efeitos de Borda

placa uniformemente carregada e, a distribuio que normalmente adotada:


Placas apoiadas nas quatro bordas distribuiodas cargasAnalisando uma placa retangular de lados L e l, deseja-se conhecer a parcela decarregamento distribudo q que ser distribudo para cada direo. Comoaproximao, pode-se isolar duas faixas unitrias centrais da placa, uma em cadadireo, e compatibilizar as flechas, obtendo-se:

Direo a:

( )24 15 = lqaDireo b:

( )24 15 = LqbComo ba =qq ba = qqq +=


( )1384

=EIa

( )1384

=EIb 44 lL

= ba qqq +=

Portanto:

)( 444

lLqLqa += )( 44

4

lLqlqb +=

No caso de placa quadrada (L=l):

5,0== ba qq

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Placas apoiadas nas quatro bordas distribuiodas cargas

Neste caso possvel admitir que placas com relao entre lados (L/l) maiorque dois, so consideradas, por simplificao, como apoiadas em uma nicadireo.

qqqa 941,01716 == qqqb 059,017

1 ==No caso, por exemplo, em que L=2l, obtm-se:


Nas lajes, tal com vigas, calculada uma armadura de ao para absorver assolicitaes de trao.

As lajes com relao entre lados menor ou igual a 2 so, usualmente, calculadascomo fletidas nas duas direes (armadas nas duas direes).

Placas apoiadas nas quatro bordas distribuiodas cargas Quando a relao entre lados ultrapassa o limite de 2, costuma-se dimension-lascomo fletidas apenas na direo do menor vo, sendo a direo mais rgida(armadas em uma direo, com armadura de distribuio na outra direo).

Para resistir o momento volvente deve ser colocada uma armadura nos cantos dalaje, local onde ocorre. A posio destas armaduras definida pelo sentido dassolicitaes, ou seja, sempre na parte tracionada. Caso possa ocorrer uma inversodas solicitaes devem ser providenciadas duas armaduras uma em cada face da


das solicitaes, devem ser providenciadas duas armaduras, uma em cada face dalaje.

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As chapas, quando solicitadas por foras de compresso (por exemplo, mesa deuma viga) ou de cisalhamento (por exemplo alma de um viga) podem perder

Flambagem de chapas

uma viga) ou de cisalhamento (por exemplo, alma de um viga) podem perderestabilidade, como qualquer outro elemento comprimido. Entretanto, por seremelementos planos, conduzem a formulaes diferentes das encontradas para abarras.

Analisando uma chapa comprimida em uma s direo, sem apoio ao longo dasbordas no solicitadas, pode-se fazer a analogia desta com a barra comprimida.


Quando a chapa possuir as quatro bordas apoiadas continuamente, tem-se umasituao mais favorvel que a anterior, pois ocorre uma contribuio entre uma eoutra direo, restringindo os deslocamentos de flexo devido flambagem.

Flambagem de chapa (com espessura t), sem apoio ao longo das bordas nosolicitadas:

Flambagem de chapas

solicitadas:

AlEI

AFcr

cr 2

2 ==


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Flambagem para chapa quadrada (l = b) e chapas longas , com l >> b (aconfigurao da flambagem constituda por ondas senoidais longitudinais)

Flambagem de chapas

configurao da flambagem constituda por ondas senoidais longitudinais)


Tenso de compresso:Flambagem de chapas

( )23

112 =EtDEISubstitui por btA = l por b

emAlEI

AFcr

cr 2

2 ==

Resulta em:2Ek =


Resulta em: 22 )/)(1(12 tbkcr

A equao anterior a expresso geral para tenso crtica de flambagem elsticade chapas, sendo k um coeficiente adimensional que considera as condies deapoio das bordas e a relao entre o comprimento e largura da chapa (l/b).

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Chapas comprimidas:Flambagem de chapas

Esta situao ocorre na verificao da estabilidade local de mesas de perfismetlicos submetidos flexo ou flexo-compresso, e de mesas e almas de perfismetlicos solicitados por compresso.


Chapas submetidas a tenses de compresso e trao:Flambagem de chapas

Esta situao ocorre na verificao da estabilidade local de almas de vigas, cujosvalores apresentados para k valem apenas para flexo simtrica.

b/2

b


k = 39,6 quando as duas bordas forem engastadas;k = 24,9 quando as duas bordas forem apoiadas.

b

l

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Chapas submetidas a tenses de cisalhamento:Flambagem de chapas

Esta situao ocorre na alma de vigas na direo da diagonal comprimida de umapainel solicitado por tenses de cisalhamento.

Para l/b > 1

+= 2)/(434,5bl

k


Para l/b < 1

+= 2)/(34,54bl

k

Exemplos de Cascas e Cpulas

9Pantheon, Roma, Itlia. 75 a 138 D.C.9Dimetro de 43,3m (entre eixos). Foi a maior cpula construdaat os tempos modernos. Possui a forma cilndrica com paredesde 6m de espessura. A cpula tem 22 de altura da base, de 6m deespessura at a abetura de 9m de dimetro e 1,5m de espessura.


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Hagia Sofia, Istambul, Turquia. 532a 537 D.C.


Considerado uma das peas principaisda arquitetura Bizantina. Possui umambiente quadrado de 32m de lado, ondese apoia a cpula cujo pice est a 55mde altura.

9Vista interna da cpula com 40 costelas terminandoem 40 janelas. A cpula de 12,5m de altura foireconstruda, com blocos de 60 e 70cm com 5cm deespessura, em 563 depois da destruio da originalpor um terremoto em 558.



9Catedral de St. Paul, Londres, Inglaterra. 1710.9Projetado em estilo barroco por Sir Christopher Wren. Acpula tem 34 m de dimetro e a cruz est a 111m dealtura. A estrutura complexa consistindo de uma cascaexterna, um cone intermedirio que suporta os pesos dolanternin e da casca interna.


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9Novo Edifcio das Naes Unidas, Genebra, Sua.9Cpula com doze faixas separadas por arcos bem abatidos que proporcionam o aparecimento deflexo.



9Anfiteatro, Universidade de Illinois - Urbana, EUA.9Grande cpula de 122m de dimetro com costelas em CA sobreanel de trao. Este anel est sobre uma estrutura de vigas querecebem, tambm, o peso da estrutura interna.


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9Tacoma Dome, Tacoma - WA, EUA.9Ginsio de esportes e eventos com capacidade de 30000pessoas. A cpula de 161,5m de dimetro treliada de madeiracom anel de trao de CA.



9Forum. Denver, EUA.9Cobertura em casca de CA com espessurasvariando de 7,5cm no alto at 15cm nos apoios.Cobre uma rea de 32m x 32m, alcanando alturade 10m.


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yForum. Denver, EUA.{Apoios metlicos em diagonal, seguindo aresultante das foras. Detalhe de um dos quatroapoios fixos que sustentam toda a casca.



9 Piscina coberta - Bad Drrheim - Alemanha - 1987


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9 Piscina coberta - Bad Drrheim - Alemanha - 1987


9Capela. Misouri, EUA.9Consiste em duas fileiras de cascas. Formainspirada no colarinho de freira medieval.9A esttica interior, apesar de agradvel, inadequada acusticamente.


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Exemplo de Casca

Igreja So Francisco de Assis, BH


Exemplos de Placas


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Exemplos de Placas

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Exemplos de Placas

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Exemplos de Placas


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