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8/3/2019 Aula de lgebra Linear - 22 de Novembro
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l g e b r a L i n e a r
T h i a g o V e d o V a t t o
C u r s o d e l g e b r a L i n e a r
I s o m o r s m o s e a M a t r i z d e u m a T r a n s f o r m a o L i n e a r
P r o f . E s p . : T h i a g o V e d o V a t t o
U n i v e r s i d a d e F e d e r a l d e G o i s
C a m p u s J a t a
C o o r d e n a o d e M a t e m t i c a
2 2 d e n o v e m b r o d e 2 0 1 1
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l g e b r a L i n e a r
T h i a g o V e d o V a t t o
I s o m o r s m o s e
A u t o m o r s m o s
L e m a
T e o r e m a 2
O p e r a e s c o m
T r a n s f o r m a e s
L i n e a r e s
S o m a
P r o d u t o p o r
E s c a l a r
C o m p o s i o
P a r t e I
I s o m o r s m o s e a M a t r i z d e u m a
T r a n s f o r m a o L i n e a r
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l g e b r a L i n e a r
T h i a g o V e d o V a t t o
I s o m o r s m o s e
A u t o m o r s m o s
L e m a
T e o r e m a 2
O p e r a e s c o m
T r a n s f o r m a e s
L i n e a r e s
S o m a
P r o d u t o p o r
E s c a l a r
C o m p o s i o
O b j e t i v o s d a A u l a
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l g e b r a L i n e a r
T h i a g o V e d o V a t t o
I s o m o r s m o s e
A u t o m o r s m o s
L e m a
T e o r e m a 2
O p e r a e s c o m
T r a n s f o r m a e s
L i n e a r e s
S o m a
P r o d u t o p o r
E s c a l a r
C o m p o s i o
N a n o s s a l t i m a a u l a v i m o s q u e
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T h i a g o V e d o V a t t o
I s o m o r s m o s e
A u t o m o r s m o s
L e m a
T e o r e m a 2
O p e r a e s c o m
T r a n s f o r m a e s
L i n e a r e s
S o m a
P r o d u t o p o r
E s c a l a r
C o m p o s i o
N a n o s s a l t i m a a u l a v i m o s q u e :
D e n i o ( I s o m o r s m o e A u t o m o r s m o )
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T h i a g o V e d o V a t t o
I s o m o r s m o s e
A u t o m o r s m o s
L e m a
T e o r e m a 2
O p e r a e s c o m
T r a n s f o r m a e s
L i n e a r e s
S o m a
P r o d u t o p o r
E s c a l a r
C o m p o s i o
N a n o s s a l t i m a a u l a v i m o s q u e :
D e n i o ( I s o m o r s m o e A u t o m o r s m o )
E n t e n d e - s e p o r i s o m o r s m o d o e s p a o v e t o r i a l U n o e s p a o
v e t o r i a l V u m a t r a n s f o r m a o l i n e a r F :
U V q u e s e j a b i j e t o r a
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S o m a
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N a n o s s a l t i m a a u l a v i m o s q u e :
D e n i o ( I s o m o r s m o e A u t o m o r s m o )
E n t e n d e - s e p o r i s o m o r s m o d o e s p a o v e t o r i a l U n o e s p a o
v e t o r i a l V u m a t r a n s f o r m a o l i n e a r F :
U V q u e s e j a b i j e t o r a . U m i s o m o r s m o F
:U
U u m a u t o m o r s m o d e U .
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S o m a
P r o d u t o p o r
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C o m p o s i o
N a n o s s a l t i m a a u l a v i m o s q u e :
D e n i o ( I s o m o r s m o e A u t o m o r s m o )
E n t e n d e - s e p o r i s o m o r s m o d o e s p a o v e t o r i a l U n o e s p a o
v e t o r i a l V u m a t r a n s f o r m a o l i n e a r F :
U V q u e s e j a b i j e t o r a . U m i s o m o r s m o F
:U
U u m a u t o m o r s m o d e U .
P r o p o s i o
S e F u m i s o m o r s m o d e U e m V , e n t o F
1 : V U t a m b m u m i s o m o r s m o ( d e V e m U ) .
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S o m a
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C o m p o s i o
N a n o s s a l t i m a a u l a v i m o s q u e :
D e n i o ( I s o m o r s m o e A u t o m o r s m o )
E n t e n d e - s e p o r i s o m o r s m o d o e s p a o v e t o r i a l U n o e s p a o
v e t o r i a l V u m a t r a n s f o r m a o l i n e a r F :
U V q u e s e j a b i j e t o r a . U m i s o m o r s m o F
:U
U u m a u t o m o r s m o d e U .
P r o p o s i o
S e F u m i s o m o r s m o d e U e m V , e n t o F
1 : V U t a m b m u m i s o m o r s m o ( d e V e m U ) .
A p r o p o s i o n o s m o s t r a q u e s e e x i s t e u m i s o m o r s m o F:
U
V
t a m b m e x i s t e u m i s o m o r s m o F
1 :V
U ( I s o m o r s m o
I n v e r s o d e F ) e d e v i d o a i s s o d i z e m o s ; n e s s e c a s o , q u e U e V s o
E s p a o s V e t o r i a i s I s o m o r f o s . D o i s e s p a o s v e t o r i a i s i s o m o r f o s U e
V m u i t a s v e z e s s o c o n s i d e r a d o s i n d i s t i n t o s
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S o m a
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C o m p o s i o
N a n o s s a l t i m a a u l a v i m o s q u e :
D e n i o ( I s o m o r s m o e A u t o m o r s m o )
E n t e n d e - s e p o r i s o m o r s m o d o e s p a o v e t o r i a l U n o e s p a o
v e t o r i a l V u m a t r a n s f o r m a o l i n e a r F :
U V q u e s e j a b i j e t o r a . U m i s o m o r s m o F
:U
U u m a u t o m o r s m o d e U .
P r o p o s i o
S e F u m i s o m o r s m o d e U e m V , e n t o F
1 : V U t a m b m u m i s o m o r s m o ( d e V e m U ) .
A p r o p o s i o n o s m o s t r a q u e s e e x i s t e u m i s o m o r s m o F:
U
V
t a m b m e x i s t e u m i s o m o r s m o F
1 :V
U ( I s o m o r s m o
I n v e r s o d e F ) e d e v i d o a i s s o d i z e m o s ; n e s s e c a s o , q u e U e V s o
E s p a o s V e t o r i a i s I s o m o r f o s . D o i s e s p a o s v e t o r i a i s i s o m o r f o s U e
V m u i t a s v e z e s s o c o n s i d e r a d o s i n d i s t i n t o s . P a r a t a n t o , s e F o
i s o m o r s m o c o n s i d e r a d o d e U e m V , i d e n t i c a - s e c a d a e l e m e n t o
u
U c o m s u a i m a g e m F(
u)
V .
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p a r a o s i s o m o r s m o s e n t r e e s p a o s v e t o r i a i s d e d i m e n s o n i t a ,
e m t e r m o s d e d i m e n s o
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L i n e a r e s
S o m a
P r o d u t o p o r
E s c a l a r
C o m p o s i o
O s e g u i n t e r e s u l t a d o n o s p e r m i t e e s t a b e l e c e r u m a c a r a c t e r i z a o
p a r a o s i s o m o r s m o s e n t r e e s p a o s v e t o r i a i s d e d i m e n s o n i t a ,
e m t e r m o s d e d i m e n s o .
P r o p o s i o ( L e m a )
S e j a m U e V e s p a o s v e t o r i a i s s o b r e R
. S e d i m U=
n e
B= {u
1
, . . . , un
} u m a b a s e d e U
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p a r a o s i s o m o r s m o s e n t r e e s p a o s v e t o r i a i s d e d i m e n s o n i t a ,
e m t e r m o s d e d i m e n s o .
P r o p o s i o ( L e m a )
S e j a m U e V e s p a o s v e t o r i a i s s o b r e R
. S e d i m U=
n e
B= {u
1
, . . . , un
} u m a b a s e d e U , e n t o , p a r a t o d a s e q u n c i a d e v
1
, . . . ,v
n
d e v e t o r e s d e V , a a p l i c a o F :
U
V , d e n i d a p o r
F
n
i
=1
i
u
i
=
ni
=1
i
v
i
l i n e a r e F (
u
i
) =v
i
(i
=1 , . . . , n )
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S o m a
P r o d u t o p o r
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O s e g u i n t e r e s u l t a d o n o s p e r m i t e e s t a b e l e c e r u m a c a r a c t e r i z a o
p a r a o s i s o m o r s m o s e n t r e e s p a o s v e t o r i a i s d e d i m e n s o n i t a ,
e m t e r m o s d e d i m e n s o .
P r o p o s i o ( L e m a )
S e j a m U e V e s p a o s v e t o r i a i s s o b r e R
. S e d i m U=
n e
B= {u
1
, . . . , un
} u m a b a s e d e U , e n t o , p a r a t o d a s e q u n c i a d e v
1
, . . . ,v
n
d e v e t o r e s d e V , a a p l i c a o F :
U
V , d e n i d a p o r
F
n
i
=1
i
u
i
=
ni
=1
i
v
i
l i n e a r e F (
u
i
) =v
i
(i
=1 , . . . , n ). A d e m a i s , s e G : U V
l i n e a r e G
(u
i
) =v
i
(i
=1
, . . . ,n
), e n t o G
=F
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A u t o m o r s m o s
L e m a
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O p e r a e s c o m
T r a n s f o r m a e s
L i n e a r e s
S o m a
P r o d u t o p o r
E s c a l a r
C o m p o s i o
O s e g u i n t e r e s u l t a d o n o s p e r m i t e e s t a b e l e c e r u m a c a r a c t e r i z a o
p a r a o s i s o m o r s m o s e n t r e e s p a o s v e t o r i a i s d e d i m e n s o n i t a ,
e m t e r m o s d e d i m e n s o .
P r o p o s i o ( L e m a )
S e j a m U e V e s p a o s v e t o r i a i s s o b r e R
. S e d i m U=
n e
B= {u
1
, . . . , un
} u m a b a s e d e U , e n t o , p a r a t o d a s e q u n c i a d e v
1
, . . . ,v
n
d e v e t o r e s d e V , a a p l i c a o F :
U
V , d e n i d a p o r
F
n
i
=1
i
u
i
=
ni
=1
i
v
i
l i n e a r e F (
u
i
) =v
i
(i
=1 , . . . , n ). A d e m a i s , s e G : U V
l i n e a r e G
(u
i
) =v
i
(i
=1
, . . . ,n
), e n t o G
=F .
O s v e t o r e s v
1
, . . . ,v
n
n e s t e l e m a n o s o n e c e s s a r i a m e n t e d i s t i n t o s
e n t r e s i . P o d e m , i n c l u s i v e , s e r t o d o s i g u a i s . M a s o s
u
i
(i
=1
, . . . ,n
)s o d i s t i n t o s e n t r e s i p o i s B u m a b a s e d e U .
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P a r a d e m o n s t r a r e s s e r e s u l t a d o d e v e m o s :
M o s t r a r q u e F u m a t r a n s f o r m a o l i n e a r
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P a r a d e m o n s t r a r e s s e r e s u l t a d o d e v e m o s :
M o s t r a r q u e F u m a t r a n s f o r m a o l i n e a r B a s t a m o s t r a r q u e
F(
w
1
+w
2
) = F
(w
1
) +F
(w
2
)
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P a r a d e m o n s t r a r e s s e r e s u l t a d o d e v e m o s :
M o s t r a r q u e F u m a t r a n s f o r m a o l i n e a r B a s t a m o s t r a r q u e
F(
w
1
+w
2
) = F
(w
1
) +F
(w
2
); ( E x e r c c i o )
M o s t r a r q u e F(
u
i
) =v
i
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S o m a
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D e m o n s t r a o .
P a r a d e m o n s t r a r e s s e r e s u l t a d o d e v e m o s :
M o s t r a r q u e F u m a t r a n s f o r m a o l i n e a r B a s t a m o s t r a r q u e
F(
w
1
+w
2
) = F
(w
1
) +F
(w
2
); ( E x e r c c i o )
M o s t r a r q u e F(
u
i
) =v
i
O b s e r v e m o s q u e
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I s o m o r s m o s e
A u t o m o r s m o s
L e m a
T e o r e m a 2
O p e r a e s c o m
T r a n s f o r m a e s
L i n e a r e s
S o m a
P r o d u t o p o r
E s c a l a r
C o m p o s i o
D e m o n s t r a o .
P a r a d e m o n s t r a r e s s e r e s u l t a d o d e v e m o s :
M o s t r a r q u e F u m a t r a n s f o r m a o l i n e a r B a s t a m o s t r a r q u e
F(
w
1
+w
2
) = F
(w
1
) +F
(w
2
); ( E x e r c c i o )
M o s t r a r q u e F(
u
i
) =v
i
O b s e r v e m o s q u e :
F (u1
) = F (1 u1
+ 0 u2
. . . + 0 un
)
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O p e r a e s c o m
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S o m a
P r o d u t o p o r
E s c a l a r
C o m p o s i o
D e m o n s t r a o .
P a r a d e m o n s t r a r e s s e r e s u l t a d o d e v e m o s :
M o s t r a r q u e F u m a t r a n s f o r m a o l i n e a r B a s t a m o s t r a r q u e
F(
w
1
+w
2
) = F
(w
1
) +F
(w
2
); ( E x e r c c i o )
M o s t r a r q u e F(
u
i
) =v
i
O b s e r v e m o s q u e :
F (u1
) = F (1 u1
+ 0 u2
. . . + 0 un
)
=1 v
1
+0 v
2
. . . +0 v
n
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S o m a
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P a r a d e m o n s t r a r e s s e r e s u l t a d o d e v e m o s :
M o s t r a r q u e F u m a t r a n s f o r m a o l i n e a r B a s t a m o s t r a r q u e
F(
w
1
+w
2
) = F
(w
1
) +F
(w
2
); ( E x e r c c i o )
M o s t r a r q u e F(
u
i
) =v
i
O b s e r v e m o s q u e :
F (u1
) = F (1 u1
+ 0 u2
. . . + 0 un
)
=1 v
1
+0 v
2
. . . +0 v
n
=v
1
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P a r a d e m o n s t r a r e s s e r e s u l t a d o d e v e m o s :
M o s t r a r q u e F u m a t r a n s f o r m a o l i n e a r B a s t a m o s t r a r q u e
F(
w
1
+w
2
) = F
(w
1
) +F
(w
2
); ( E x e r c c i o )
M o s t r a r q u e F(
u
i
) =v
i
O b s e r v e m o s q u e :
F (u1
) = F (1 u1
+ 0 u2
. . . + 0 un
)
=1 v
1
+0 v
2
. . . +0 v
n
=v
1
L o g o c a c l a r o q u e F(
u
i
) =v
i
.
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M o s t r a r q u e s e G:
U V l i n e a r e G (ui
) =v
i
, e n t o G=
F
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M o s t r a r q u e s e G:
U V l i n e a r e G (ui
) =v
i
, e n t o G=
F
S e j a w
U
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M o s t r a r q u e s e G:
U V l i n e a r e G (ui
) =v
i
, e n t o G=
F
S e j a w
U . E n t o w s e e s c r e v e d e m a n e i r a n i c a ,
c o m o w
= n
i
=1
i
u
i
. C o m o G l i n e a r
G(
w) =
G
n
i
=1
i
u
i
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M o s t r a r q u e s e G:
U V l i n e a r e G (ui
) =v
i
, e n t o G=
F
S e j a w
U . E n t o w s e e s c r e v e d e m a n e i r a n i c a ,
c o m o w= n
i
=1
i
u
i
. C o m o G l i n e a r
G(
w) =
G
n
i
=1
i
u
i
=
ni
=1
i
G
(u
i
)
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M o s t r a r q u e s e G:
U V l i n e a r e G (ui
) =v
i
, e n t o G=
F
S e j a w
U . E n t o w s e e s c r e v e d e m a n e i r a n i c a ,
c o m o w= n
i
=1
i
u
i
. C o m o G l i n e a r
G(
w) =
G
n
i
=1
i
u
i
=
ni
=1
i
G
(u
i
)
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ni
=1
i
F(
u
i
)
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M o s t r a r q u e s e G:
U V l i n e a r e G (ui
) =v
i
, e n t o G=
F
S e j a w
U . E n t o w s e e s c r e v e d e m a n e i r a n i c a ,
c o m o w= n
i
=1
i
u
i
. C o m o G l i n e a r
G(
w) =
G
n
i
=1
i
u
i
=
ni
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i
G
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i
)
=
ni
=1
i
F(
u
i
)
=F
ni
=1
iu
i
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S o m a
P r o d u t o p o r
E s c a l a r
C o m p o s i o
M o s t r a r q u e s e G:
U V l i n e a r e G (ui
) =v
i
, e n t o G=
F
S e j a w
U . E n t o w s e e s c r e v e d e m a n e i r a n i c a ,
c o m o w= ni = 1 i u i . C o m o G l i n e a r
G(
w) =
G
n
i
=1
i
u
i
=
ni
=1
i
G
(u
i
)
=
ni
=1
i
F(
u
i
)
=F
ni
=1
iu
i
=
F
(w
)
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M o s t r a r q u e s e G:
U V l i n e a r e G (ui
) =v
i
, e n t o G=
F
S e j a w
U . E n t o w s e e s c r e v e d e m a n e i r a n i c a ,
c o m o w= ni = 1 i u i . C o m o G l i n e a r
G(
w) =
G
n
i
=1
i
u
i
=
ni
=1
i
G
(u
i
)
=
ni
=1
i
F(
u
i
)
=F
ni
=1
iu
i
=
F
(w
)
w , c o m o w a r b i t r r i o , G=
F .
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P r o d u t o p o r
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C o m p o s i o
P r o p o s i o ( T e o r e m a 2 )
D o i s e s p a o s U e V d e d i m e n s o n i t a s o i s o m o r f o s s e , e
s o m e n t e s e , d i m U=
d i m V
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C o m p o s i o
P r o p o s i o ( T e o r e m a 2 )
D o i s e s p a o s U e V d e d i m e n s o n i t a s o i s o m o r f o s s e , e
s o m e n t e s e , d i m U=
d i m V .
D e m o n s t r a o .
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L i n e a r e s
S o m a
P r o d u t o p o r
E s c a l a r
C o m p o s i o
S e j a m U e V e s p a o s v e t o r i a i s s o b r e
R
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P r o d u t o p o r
E s c a l a r
C o m p o s i o
S e j a m U e V e s p a o s v e t o r i a i s s o b r e
R;
I n d i c a r e m o s p o r L
(U , V ), d a q u i p a r a f r e n t e , o C o n j u n t o d a s
T r a n s f o r m a e s L i n e a r e s d e U e m V
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P r o d u t o p o r
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C o m p o s i o
S e j a m U e V e s p a o s v e t o r i a i s s o b r e
R;
I n d i c a r e m o s p o r L
(U , V ), d a q u i p a r a f r e n t e , o C o n j u n t o d a s
T r a n s f o r m a e s L i n e a r e s d e U e m V ;
S e U =V , o C o n j u n t o d o s O p e r a d o r e s L i n e a r e s d e U s e r
d e n o t a d o p o r L(
U)
.
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P r o d u t o p o r
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D e n i o ( S o m a d e T r a n s f o r m a e s L i n e a r e s )
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C o m p o s i o
D e n i o ( S o m a d e T r a n s f o r m a e s L i n e a r e s )
D a d o s F , G L (U , V ), d e n i m o s a s o m a F + G d a s t r a n s f o r m a e s l i n e a r e s F c o m G d a s e g u i n t e m a n e i r a
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P r o d u t o p o r
E s c a l a r
C o m p o s i o
D e n i o ( S o m a d e T r a n s f o r m a e s L i n e a r e s )
D a d o s F , G L (U , V ), d e n i m o s a s o m a F + G d a s t r a n s f o r m a e s l i n e a r e s F c o m G d a s e g u i n t e m a n e i r a :
F+
G:
U V e (F + G )(u ) = F ( u ) + G (u ),u U
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T r a n s f o r m a e s
L i n e a r e s
S o m a
P r o d u t o p o r
E s c a l a r
C o m p o s i o
A a p l i c a o s o m a t a m b m u m a t r a n s f o r m a o l i n e a r , b a s t a
d e m o n s t r a r q u e
F,
G
L(
U,
V)
e R
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O p e r a e s c o m
T r a n s f o r m a e s
L i n e a r e s
S o m a
P r o d u t o p o r
E s c a l a r
C o m p o s i o
A a p l i c a o s o m a t a m b m u m a t r a n s f o r m a o l i n e a r , b a s t a
d e m o n s t r a r q u e
F,
G
L(
U,
V)
e R
: ( V e r i c a r c o m o
E x e r c c i o )
(F
+G
)(u
1
+u
2
) = (F
+G
)(u
1
) + (F
+G
)(u
2
)
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L i n e a r e s
S o m a
P r o d u t o p o r
E s c a l a r
C o m p o s i o
A a p l i c a o s o m a t a m b m u m a t r a n s f o r m a o l i n e a r , b a s t a
d e m o n s t r a r q u e
F,
G
L(
U,
V)
e R
: ( V e r i c a r c o m o
E x e r c c i o )
(F
+G
)(u
1
+u
2
) = (F
+G
)(u
1
) + (F
+G
)(u
2
)
P a r a a a d i o
(F
,G
) F
+G e m L
(U
,V
)v a l e m a s s e g u i n t e s
p r o p r i e d a d e s F , G , H L (U , V )
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S o m a
P r o d u t o p o r
E s c a l a r
C o m p o s i o
A a p l i c a o s o m a t a m b m u m a t r a n s f o r m a o l i n e a r , b a s t a
d e m o n s t r a r q u e
F,
G
L(
U,
V)
e R
: ( V e r i c a r c o m o
E x e r c c i o )
(F
+G
)(u
1
+u
2
) = (F
+G
)(u
1
) + (F
+G
)(u
2
)
P a r a a a d i o
(F
,G
) F
+G e m L
(U
,V
)v a l e m a s s e g u i n t e s
p r o p r i e d a d e s F , G , H L (U , V ): ( V e r i c a r c o m o E x e r c c i o )
A s s o c i a t i v a
l g e b r a L i n e a r
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A a p l i c a o s o m a t a m b m u m a t r a n s f o r m a o l i n e a r , b a s t a
d e m o n s t r a r q u e
F,
G
L(
U,
V)
e R
: ( V e r i c a r c o m o
E x e r c c i o )
(F
+G
)(u
1
+u
2
) = (F
+G
)(u
1
) + (F
+G
)(u
2
)
P a r a a a d i o
(F
,G
) F
+G e m L
(U
,V
)v a l e m a s s e g u i n t e s
p r o p r i e d a d e s F , G , H L (U , V ): ( V e r i c a r c o m o E x e r c c i o )
A s s o c i a t i v a F+ (
G+
H) = (
F+
G) +
H
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d e m o n s t r a r q u e
F,
G
L(
U,
V)
e R
: ( V e r i c a r c o m o
E x e r c c i o )
(F
+G
)(u
1
+u
2
) = (F
+G
)(u
1
) + (F
+G
)(u
2
)
P a r a a a d i o
(F
,G
) F
+G e m L
(U
,V
)v a l e m a s s e g u i n t e s
p r o p r i e d a d e s F , G , H L (U , V ): ( V e r i c a r c o m o E x e r c c i o )
A s s o c i a t i v a F+ (
G+
H) = (
F+
G) +
H ;
C o m u t a t i v a
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A a p l i c a o s o m a t a m b m u m a t r a n s f o r m a o l i n e a r , b a s t a
d e m o n s t r a r q u e
F,
G
L(
U,
V)
e R
: ( V e r i c a r c o m o
E x e r c c i o )
(F
+G
)(u
1
+u
2
) = (F
+G
)(u
1
) + (F
+G
)(u
2
)
P a r a a a d i o
(F
,G
) F
+G e m L
(U
,V
)v a l e m a s s e g u i n t e s
p r o p r i e d a d e s F , G , H L (U , V ): ( V e r i c a r c o m o E x e r c c i o )
A s s o c i a t i v a F+ (
G+
H) = (
F+
G) +
H ;
C o m u t a t i v a F+
G=
G+
F
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F,
G
L(
U,
V)
e R
: ( V e r i c a r c o m o
E x e r c c i o )
(F
+G
)(u
1
+u
2
) = (F
+G
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1
) + (F
+G
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2
)
P a r a a a d i o
(F
,G
) F
+G e m L
(U
,V
)v a l e m a s s e g u i n t e s
p r o p r i e d a d e s F , G , H L (U , V ): ( V e r i c a r c o m o E x e r c c i o )
A s s o c i a t i v a F+ (
G+
H) = (
F+
G) +
H ;
C o m u t a t i v a F+
G=
G+
F ;
E l e m e n t o N e u t r o
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F,
G
L(
U,
V)
e R
: ( V e r i c a r c o m o
E x e r c c i o )
(F
+G
)(u
1
+u
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) = (F
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1
) + (F
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P a r a a a d i o
(F
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) F
+G e m L
(U
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)v a l e m a s s e g u i n t e s
p r o p r i e d a d e s F , G , H L (U , V ): ( V e r i c a r c o m o E x e r c c i o )
A s s o c i a t i v a F+ (
G+
H) = (
F+
G) +
H ;
C o m u t a t i v a F+
G=
G+
F ;
E l e m e n t o N e u t r o A t r a n s f o r m a o l i n e a r n u l a 0 :
U
V
t a l q u e F+
0=
F
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d e m o n s t r a r q u e
F,
G
L(
U,
V)
e R
: ( V e r i c a r c o m o
E x e r c c i o )
(F
+G
)(u
1
+u
2
) = (F
+G
)(u
1
) + (F
+G
)(u
2
)
P a r a a a d i o
(F
,G
) F
+G e m L
(U
,V
)v a l e m a s s e g u i n t e s
p r o p r i e d a d e s F , G , H L (U , V ): ( V e r i c a r c o m o E x e r c c i o )
A s s o c i a t i v a F+ (
G+
H) = (
F+
G) +
H ;
C o m u t a t i v a F+
G=
G+
F ;
E l e m e n t o N e u t r o A t r a n s f o r m a o l i n e a r n u l a 0 :
U
V
t a l q u e F+
0=
F ;
E l e m e n t o O p o s t o
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A a p l i c a o s o m a t a m b m u m a t r a n s f o r m a o l i n e a r , b a s t a
d e m o n s t r a r q u e
F,
G
L(
U,
V)
e R
: ( V e r i c a r c o m o
E x e r c c i o )
(F
+G
)(u
1
+u
2
) = (F
+G
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1
) + (F
+G
)(u
2
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P a r a a a d i o
(F
,G
) F
+G e m L
(U
,V
)v a l e m a s s e g u i n t e s
p r o p r i e d a d e s F , G , H L (U , V ): ( V e r i c a r c o m o E x e r c c i o )
A s s o c i a t i v a F+ (
G+
H) = (
F+
G) +
H ;
C o m u t a t i v a F+
G=
G+
F ;
E l e m e n t o N e u t r o A t r a n s f o r m a o l i n e a r n u l a 0 :
U
V
t a l q u e F+
0=
F ;
E l e m e n t o O p o s t o P a r a t o d a t r a n s f o r m a o l i n e a r F e x i s t e a
t r a n s f o r m a o (
F)
t a l q u e F+ (
F) =
0 .
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P r o d u t o p o r
E s c a l a r
C o m p o s i o
D e n i o ( P r o d u t o d e T r a n s f o r m a e s L i n e a r e s )
l g e b r a L i n e a r
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S o m a
P r o d u t o p o r
E s c a l a r
C o m p o s i o
D e n i o ( P r o d u t o d e T r a n s f o r m a e s L i n e a r e s )
D a d o s F L (U , V ) e R , d e n i m o s a p r o d u t o F d e F p o r d a s e g u i n t e m a n e i r a
l g e b r a L i n e a r
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S o m a
P r o d u t o p o r
E s c a l a r
C o m p o s i o
D e n i o ( P r o d u t o d e T r a n s f o r m a e s L i n e a r e s )
D a d o s F L (U , V ) e R , d e n i m o s a p r o d u t o F d e F p o r d a s e g u i n t e m a n e i r a :
F : U V e ( F )(u ) = F (u ),u U
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E s c a l a r
C o m p o s i o
A a p l i c a o p r o d u t o t a m b m u m a t r a n s f o r m a o l i n e a r ,
b a s t a d e m o n s t r a r F L (U , V ) e , R
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b a s t a d e m o n s t r a r F L (U , V ) e , R : ( V e r i c a r c o m o E x e r c c i o )
(F )( u1
+u
2
) = F ( u1
) + F (u2
)
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A a p l i c a o p r o d u t o t a m b m u m a t r a n s f o r m a o l i n e a r ,
b a s t a d e m o n s t r a r F L (U , V ) e , R : ( V e r i c a r c o m o E x e r c c i o )
(F )( u1
+u
2
) = F ( u1
) + F (u2
)
P a r a a m u l t i p l i c a o
R
L
(U
,V
) F e m L
(U
,V
)v a l e m
a s s e g u i n t e s p r o p r i e d a d e s , R e F , G L ( U , V )
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b a s t a d e m o n s t r a r F L (U , V ) e , R : ( V e r i c a r c o m o E x e r c c i o )
(F )( u1
+u
2
) = F ( u1
) + F (u2
)
P a r a a m u l t i p l i c a o
R
L
(U
,V
) F e m L
(U
,V
)v a l e m
a s s e g u i n t e s p r o p r i e d a d e s , R e F , G L ( U , V ) :( V e r i c a r c o m o E x e r c c i o )
A s s o c i a t i v a
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A a p l i c a o p r o d u t o t a m b m u m a t r a n s f o r m a o l i n e a r ,
b a s t a d e m o n s t r a r F L (U , V ) e , R : ( V e r i c a r c o m o E x e r c c i o )
(F )( u1
+u
2
) = F ( u1
) + F (u2
)
P a r a a m u l t i p l i c a o
R
L
(U
,V
) F e m L
(U
,V
)v a l e m
a s s e g u i n t e s p r o p r i e d a d e s , R e F , G L ( U , V ) :( V e r i c a r c o m o E x e r c c i o )
A s s o c i a t i v a ()
F= (
F)
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A a p l i c a o p r o d u t o t a m b m u m a t r a n s f o r m a o l i n e a r ,
b a s t a d e m o n s t r a r F L (U , V ) e , R : ( V e r i c a r c o m o E x e r c c i o )
(F )( u1
+u
2
) = F ( u1
) + F (u2
)
P a r a a m u l t i p l i c a o
R
L
(U
,V
)
F e m L
(U
,V
)v a l e m
a s s e g u i n t e s p r o p r i e d a d e s , R e F , G L ( U , V ) :( V e r i c a r c o m o E x e r c c i o )
A s s o c i a t i v a ()
F= (
F)
;
D i s t . d a S o m a d o s E s c a l a r e s
l g e b r a L i n e a r
T h i a g o V e d o V a t t o
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A a p l i c a o p r o d u t o t a m b m u m a t r a n s f o r m a o l i n e a r ,
b a s t a d e m o n s t r a r F L (U , V ) e , R : ( V e r i c a r c o m o E x e r c c i o )
(F )( u1
+u
2
) = F ( u1
) + F (u2
)
P a r a a m u l t i p l i c a o
R
L
(U
,V
)
F e m L
(U
,V
)v a l e m
a s s e g u i n t e s p r o p r i e d a d e s , R e F , G L ( U , V ) :( V e r i c a r c o m o E x e r c c i o )
A s s o c i a t i v a ()
F= (
F)
;
D i s t . d a S o m a d o s E s c a l a r e s ( + )
F=
F+
F
l g e b r a L i n e a r
T h i a g o V e d o V a t t o
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L i n e a r e s
S o m a
P r o d u t o p o r
E s c a l a r
C o m p o s i o
A a p l i c a o p r o d u t o t a m b m u m a t r a n s f o r m a o l i n e a r ,
b a s t a d e m o n s t r a r F L (U , V ) e , R : ( V e r i c a r c o m o E x e r c c i o )
(F )( u1
+u
2
) = F ( u1
) + F (u2
)
P a r a a m u l t i p l i c a o
R
L
(U
,V
)
F e m L
(U
,V
)v a l e m
a s s e g u i n t e s p r o p r i e d a d e s , R e F , G L ( U , V ) :( V e r i c a r c o m o E x e r c c i o )
A s s o c i a t i v a ()
F= (
F)
;
D i s t . d a S o m a d o s E s c a l a r e s ( + )
F=
F+
F ;
D i s t . d a S o m a d a s T r a n s f o r m a e s
l g e b r a L i n e a r
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A a p l i c a o p r o d u t o t a m b m u m a t r a n s f o r m a o l i n e a r ,
b a s t a d e m o n s t r a r F L (U , V ) e , R : ( V e r i c a r c o m o E x e r c c i o )
(F )( u1
+u
2
) = F ( u1
) + F (u2
)
P a r a a m u l t i p l i c a o
R
L
(U
,V
)
F e m L
(U
,V
)v a l e m
a s s e g u i n t e s p r o p r i e d a d e s , R e F , G L ( U , V ) :( V e r i c a r c o m o E x e r c c i o )
A s s o c i a t i v a ()
F= (
F)
;
D i s t . d a S o m a d o s E s c a l a r e s ( + )
F=
F+
F ;
D i s t . d a S o m a d a s T r a n s f o r m a e s (F + G ) = F + G
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A a p l i c a o p r o d u t o t a m b m u m a t r a n s f o r m a o l i n e a r ,
b a s t a d e m o n s t r a r F L (U , V ) e , R : ( V e r i c a r c o m o E x e r c c i o )
(F )( u1
+u
2
) = F ( u1
) + F (u2
)
P a r a a m u l t i p l i c a o
RL
(U
,V
) F e m L
(U
,V
)v a l e m
a s s e g u i n t e s p r o p r i e d a d e s , R e F , G L ( U , V ) :( V e r i c a r c o m o E x e r c c i o )
A s s o c i a t i v a ()
F= (
F)
;
D i s t . d a S o m a d o s E s c a l a r e s ( + )
F=
F+
F ;
D i s t . d a S o m a d a s T r a n s f o r m a e s (F + G ) = F + G ;E l e m e n t o N e u t r o
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b a s t a d e m o n s t r a r F L (U , V ) e , R : ( V e r i c a r c o m o E x e r c c i o )
(F )( u1
+u
2
) = F ( u1
) + F (u2
)
P a r a a m u l t i p l i c a o
RL
(U
,V
) F e m L
(U
,V
)v a l e m
a s s e g u i n t e s p r o p r i e d a d e s , R e F , G L ( U , V ) :( V e r i c a r c o m o E x e r c c i o )
A s s o c i a t i v a ()
F= (
F)
;
D i s t . d a S o m a d o s E s c a l a r e s ( + )
F=
F+
F ;
D i s t . d a S o m a d a s T r a n s f o r m a e s (F + G ) = F + G ;E l e m e n t o N e u t r o 1 F
=F .
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D e n i o ( C o m p o s i o d e T r a n s f o r m a e s L i n e a r e s )
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D e n i o ( C o m p o s i o d e T r a n s f o r m a e s L i n e a r e s )
S e j a m U , V e W e s p a o s v e t o r i a i s s o b r e R
. S e F :
U
V e
G:
V W s o t r a n s f o r m a e s l i n e a r e s , d e n i - s e a a p l i c a o c o m p o s t a F
G d e F e G d a s e g u i n t e m a n e i r a :
G F : U W e (G F )(u ) = G (F (u )),u U
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b a s t a d e m o n s t r a r q u e
F , G L (U , V ) e R
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A a p l i c a o c o m p o s t a t a m b m u m a t r a n s f o r m a o l i n e a r ,
( )
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b a s t a d e m o n s t r a r q u e
F , G L (U , V ) e R : ( V e r i c a r c o m o E x e r c c i o )
(G
F)( u
1
+u
2
) = (G F )(u1
) + (G
F)(
u
2
)
l g e b r a L i n e a r
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I s o m o r s m o s e
A a p l i c a o c o m p o s t a t a m b m u m a t r a n s f o r m a o l i n e a r ,
( ) R
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b a s t a d e m o n s t r a r q u e
F , G L (U , V ) e R : ( V e r i c a r c o m o E x e r c c i o )
(G
F)( u
1
+u
2
) = (G F )(u1
) + (G
F)(
u
2
)
N o c a s o e m q u e U
=V
=W . P o i s q u a n d o i s s o a c o n t e c e
(G
,F
) G
F p a s s a a s e r u m a o p e r a o e m L
(U
)q u e
a p r e s e n t a a s s e g u i n t e s p r o p r i e d a d e s
F,
G,
H
L(
U)
l g e b r a L i n e a r
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I s o m o r s m o s e
A a p l i c a o c o m p o s t a t a m b m u m a t r a n s f o r m a o l i n e a r ,
( ) R
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b a s t a d e m o n s t r a r q u e
F , G L (U , V ) e R : ( V e r i c a r c o m o E x e r c c i o )
(G
F)( u
1
+u
2
) = (G F )(u1
) + (G
F)(
u
2
)
N o c a s o e m q u e U
=V
=W . P o i s q u a n d o i s s o a c o n t e c e
(G
,F
) G
F p a s s a a s e r u m a o p e r a o e m L
(U
)q u e
a p r e s e n t a a s s e g u i n t e s p r o p r i e d a d e s
F,
G,
H
L(
U)
:
( V e r i c a r c o m o E x e r c c i o )
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A a p l i c a o c o m p o s t a t a m b m u m a t r a n s f o r m a o l i n e a r ,
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b a s t a d e m o n s t r a r q u e
F , G L (U , V ) e R : ( V e r i c a r c o m o E x e r c c i o )
(G
F)( u
1
+u
2
) = (G F )(u1
) + (G
F)(
u
2
)
N o c a s o e m q u e U
=V
=W . P o i s q u a n d o i s s o a c o n t e c e
(G
,F
) G
F p a s s a a s e r u m a o p e r a o e m L(
U)
q u e
a p r e s e n t a a s s e g u i n t e s p r o p r i e d a d e s
F,
G,
H
L(
U)
:
( V e r i c a r c o m o E x e r c c i o )
A s s o c i a t i v a (
H G ) F = H (G F )
l g e b r a L i n e a r
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I s o m o r s m o s e
A a p l i c a o c o m p o s t a t a m b m u m a t r a n s f o r m a o l i n e a r ,
( ) R
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P r o d u t o p o r
E s c a l a r
C o m p o s i o
b a s t a d e m o n s t r a r q u e
F , G L (U , V ) e R : ( V e r i c a r c o m o E x e r c c i o )
(G
F)( u
1
+u
2
) = (G F )(u1
) + (G
F)(
u
2
)
N o c a s o e m q u e U
=V
=W . P o i s q u a n d o i s s o a c o n t e c e
(G
,F
) G
F p a s s a a s e r u m a o p e r a o e m L(
U)
q u e
a p r e s e n t a a s s e g u i n t e s p r o p r i e d a d e s
F,
G,
H
L(
U)
:
( V e r i c a r c o m o E x e r c c i o )
A s s o c i a t i v a (
H G ) F = H (G F );E l e m e n t o N e u t r o
l g e b r a L i n e a r
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I s o m o r s m o s e
A a p l i c a o c o m p o s t a t a m b m u m a t r a n s f o r m a o l i n e a r ,
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P r o d u t o p o r
E s c a l a r
C o m p o s i o
b a s t a d e m o n s t r a r q u e
F , G L (U , V ) e R : ( V e r i c a r c o m o E x e r c c i o )
(G
F)( u
1
+u
2
) = (G F )(u1
) + (G
F)(
u
2
)
N o c a s o e m q u e U
=V
=W . P o i s q u a n d o i s s o a c o n t e c e
(G
,F
) G
F p a s s a a s e r u m a o p e r a o e m L(
U)
q u e
a p r e s e n t a a s s e g u i n t e s p r o p r i e d a d e s
F,
G,
H
L(
U)
:
( V e r i c a r c o m o E x e r c c i o )
A s s o c i a t i v a (
H G ) F = H (G F );E l e m e n t o N e u t r o I
F
=F
I=
F , o n d e I o o p e r a d o r
i d n t i c o
l g e b r a L i n e a r
T h i a g o V e d o V a t t o
I s o m o r s m o s e
A a p l i c a o c o m p o s t a t a m b m u m a t r a n s f o r m a o l i n e a r ,
( ) R
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P r o d u t o p o r
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C o m p o s i o
b a s t a d e m o n s t r a r q u e
F , G L (U , V ) e R : ( V e r i c a r c o m o E x e r c c i o )
(G
F)( u
1
+u
2
) = (G F )(u1
) + (G
F)(
u
2
)
N o c a s o e m q u e U
=V
=W . P o i s q u a n d o i s s o a c o n t e c e
(G
,F
) G
F p a s s a a s e r u m a o p e r a o e m L(
U)
q u e
a p r e s e n t a a s s e g u i n t e s p r o p r i e d a d e s
F,
G,
H
L(
U)
:
( V e r i c a r c o m o E x e r c c i o )
A s s o c i a t i v a (
H G ) F = H (G F );E l e m e n t o N e u t r o I
F
=F
I=
F , o n d e I o o p e r a d o r
i d n t i c o ;
D i s t r i b u t i v a d a A d i o
l g e b r a L i n e a r
T h i a g o V e d o V a t t o
I s o m o r s m o s e
A a p l i c a o c o m p o s t a t a m b m u m a t r a n s f o r m a o l i n e a r ,
( ) R
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S o m a
P r o d u t o p o r
E s c a l a r
C o m p o s i o
b a s t a d e m o n s t r a r q u e
F , G L (U , V ) e R : ( V e r i c a r c o m o E x e r c c i o )
(G
F)( u
1
+u
2
) = (G F )(u1
) + (G
F)(
u
2
)
N o c a s o e m q u e U
=V
=W . P o i s q u a n d o i s s o a c o n t e c e
(G
,F
) G
F p a s s a a s e r u m a o p e r a o e m L(
U)
q u e
a p r e s e n t a a s s e g u i n t e s p r o p r i e d a d e s
F,
G,
H
L(
U)
:
( V e r i c a r c o m o E x e r c c i o )
A s s o c i a t i v a (
H G ) F = H (G F );E l e m e n t o N e u t r o I
F
=F
I=
F , o n d e I o o p e r a d o r
i d n t i c o ;
D i s t r i b u t i v a d a A d i o H (
F+
G) =
H
F+
H
G
l g e b r a L i n e a r
T h i a g o V e d o V a t t o
I s o m o r s m o s e
A u t o m o r s m o s
A a p l i c a o c o m p o s t a t a m b m u m a t r a n s f o r m a o l i n e a r ,
( ) R
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S o m a
P r o d u t o p o r
E s c a l a r
C o m p o s i o
b a s t a d e m o n s t r a r q u e
F , G L (U , V ) e R : ( V e r i c a r c o m o E x e r c c i o )
(G
F)( u
1
+u
2
) = (G F )(u1
) + (G
F)(
u
2
)
N o c a s o e m q u e U
=V
=W . P o i s q u a n d o i s s o a c o n t e c e
(G
,F
) G
F p a s s a a s e r u m a o p e r a o e m L(
U)
q u e
a p r e s e n t a a s s e g u i n t e s p r o p r i e d a d e s
F,
G,
H
L(
U)
:
( V e r i c a r c o m o E x e r c c i o )
A s s o c i a t i v a (
H G ) F = H (G F );E l e m e n t o N e u t r o I
F
=F
I=
F , o n d e I o o p e r a d o r
i d n t i c o ;
D i s t r i b u t i v a d a A d i o H (
F+
G) =
H
F+
H
G e
(F
+G
) H
=F
H+
G
H
l g e b r a L i n e a r
T h i a g o V e d o V a t t o
I s o m o r s m o s e
A u t o m o r s m o s
A a p l i c a o c o m p o s t a t a m b m u m a t r a n s f o r m a o l i n e a r ,
( ) R
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S o m a
P r o d u t o p o r
E s c a l a r
C o m p o s i o
b a s t a d e m o n s t r a r q u e
F , G L (U , V ) e R : ( V e r i c a r c o m o E x e r c c i o )
(G
F)( u
1
+u
2
) = (G F )(u1
) + (G
F)(
u
2
)
N o c a s o e m q u e U
=V
=W . P o i s q u a n d o i s s o a c o n t e c e
(G
,F
) G
F p a s s a a s e r u m a o p e r a o e m L(
U)
q u e
a p r e s e n t a a s s e g u i n t e s p r o p r i e d a d e s
F,
G,
H
L(
U)
:
( V e r i c a r c o m o E x e r c c i o )
A s s o c i a t i v a (
H G ) F = H (G F );E l e m e n t o N e u t r o I
F
=F
I=
F , o n d e I o o p e r a d o r
i d n t i c o ;
D i s t r i b u t i v a d a A d i o H (
F+
G) =
H
F+
H
G e
(F
+G
) H
=F
H+
G
H ;
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