Aula de Álgebra Linear - 3 de Novembro

8/3/2019 Aula de lgebra Linear - 3 de Novembro

1/95

l g e b r a L i n e a r

P r o f . E s p . : T h i a g o

V e d o V a t t o

P r o p r i e d a d e s d a s

T r a n s f o r m a e s

L i n e a r e s

P r o p r i e d a d e P

1


2


3


4


5

N c l e o e I m a g e m

P r o p o s i o 1

T e o r e m a d o N c l e o

e I m a g e m


T r a n s f o r m a e s L i n e a r e s

P r o f . E s p . : T h i a g o V e d o V a t t o

U n i v e r s i d a d e F e d e r a l d e G o i s

C a m p u s J a t a

C o o r d e n a o d e M a t e m t i c a

3 d e n o v e m b r o d e 2 0 1 1
http://find/http://goback/


2/95



V e d o V a t t o



L i n e a r e s


1


2


3


4


5


P r o p o s i o 1


e I m a g e m

O b j e t i v o s d a A u l a

P r o p r i e d a d e s d a s T r a n s f o r m a e s L i n e a r e s


1


2


3


4


5


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V e d o V a t t o



L i n e a r e s


1


2


3


4


5


P r o p o s i o 1


e I m a g e m




1


2


3


4


5


P r o p o s i o 1


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V e d o V a t t o



L i n e a r e s


1


2


3


4


5


P r o p o s i o 1


e I m a g e m




1


2


3


4


5


P r o p o s i o 1

T e o r e m a d o N c l e o e I m a g e m


5/95



V e d o V a t t o



L i n e a r e s


1


2


3


4


5


P r o p o s i o 1


e I m a g e m

P r o p o s i o ( P r o p r i e d a d e P

1

)

F(

o) =

o


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V e d o V a t t o



L i n e a r e s


1


2


3


4


5


P r o p o s i o 1


e I m a g e m


1

)

F(

o) =

o . ( F l e v a o v e t o r n u l o d e U n o v e t o r n u l o d e V )


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V e d o V a t t o



L i n e a r e s


1


2


3


4


5


P r o p o s i o 1


e I m a g e m


1

)

F(

o) =


D e m o n s t r a o .

C o m o o u m e l e m e n t o n e u t r o d a a d i o e m V


8/95



V e d o V a t t o



L i n e a r e s


1


2


3


4


5


P r o p o s i o 1


e I m a g e m


1

)

F(

o) =



C o m o o u m e l e m e n t o n e u t r o d a a d i o e m V :

F(

o) +

o=

F(

o)

( 1 )


9/95



V e d o V a t t o



L i n e a r e s


1


2


3


4


5


P r o p o s i o 1


e I m a g e m


1

)

F(

o) =




F(

o) +

o=

F(

o)

( 1 )

O f a t o d e F s e r l i n e a r e o f a t o d e o s e r o v e t o r n u l o d e U d o


10/95



V e d o V a t t o



L i n e a r e s


1


2


3


4


5


P r o p o s i o 1


e I m a g e m


1

)

F(

o) =




F(

o) +

o=

F(

o)

( 1 )

O f a t o d e F s e r l i n e a r e o f a t o d e o s e r o v e t o r n u l o d e U d o :

F(

o)


11/95



V e d o V a t t o



L i n e a r e s


1


2


3


4


5


P r o p o s i o 1


e I m a g e m


1

)

F(

o) =




F(

o) +

o=

F(

o)

( 1 )


F(

o) =

F(

o+

o)


12/95



V e d o V a t t o



L i n e a r e s


1


2


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4


5


P r o p o s i o 1


e I m a g e m


1

)

F(

o) =




F(

o) +

o=

F(

o)

( 1 )


F(

o) =

F(

o+

o) =

F(

o) +

F(

o)

( 2 )


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V e d o V a t t o



L i n e a r e s


1


2


3


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5


P r o p o s i o 1


e I m a g e m


1

)

F(

o) =




F(

o) +

o=

F(

o)

( 1 )


F(

o) =

F(

o+

o) =

F(

o) +

F(

o)

( 2 )

C o m p a r a n d o 1 c o m 2 o b t e m o s q u e


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V e d o V a t t o



L i n e a r e s


1


2


3


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5


P r o p o s i o 1


e I m a g e m


1

)

F(

o) =




F(

o) +

o=

F(

o)

( 1 )


F(

o) =

F(

o+

o) =

F(

o) +

F(

o)

( 2 )

C o m p a r a n d o 1 c o m 2 o b t e m o s q u e :

F (o ) + o = F (o ) + F (o )


15/95



V e d o V a t t o



L i n e a r e s


1


2


3


4


5


P r o p o s i o 1


e I m a g e m


1

)

F(

o) =




F(

o) +

o=

F(

o)

( 1 )


F(

o) =

F(

o+

o) =

F(

o) +

F(

o)

( 2 )


F (o ) + o = F (o ) + F (o )

F(

o) +

o+ (

F(

o)) =

F(

o) +

F(

o) + (

F(

o))


16/95



V e d o V a t t o



L i n e a r e s


1


2


3


4


5


P r o p o s i o 1


e I m a g e m


1

)

F(

o) =




F(

o) +

o=

F(

o)

( 1 )


F(

o) =

F(

o+

o) =

F(

o) +

F(

o)

( 2 )


F (o ) + o = F (o ) + F (o )

F(

o) +

o+ (

F(

o)) =

F(

o) +

F(

o) + (

F(

o))

o=

F(

o)


17/95



V e d o V a t t o



L i n e a r e s


1


2


3


4


5


P r o p o s i o 1


e I m a g e m


2

)

F(

u) =

F(

u)

,

u

U


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V e d o V a t t o



L i n e a r e s


1


2


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4


5


P r o p o s i o 1


e I m a g e m


2

)

F(

u) =

F(

u)

,

u

U


O b s e r v e q u e


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V e d o V a t t o



L i n e a r e s


1


2


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5


P r o p o s i o 1


e I m a g e m


2

)

F(

u) =

F(

u)

,

u

U


O b s e r v e q u e :

F(

u) + (

F(

u))


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V e d o V a t t o



L i n e a r e s


1


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P r o p o s i o 1


e I m a g e m


2

)

F(

u) =

F(

u)

,

u

U



F(

u) + (

F(

u)) =

o


21/95



V e d o V a t t o



L i n e a r e s


1


2


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5


P r o p o s i o 1


e I m a g e m


2

)

F(

u) =

F(

u)

,

u

U



F(

u) + (

F(

u)) =

o

=F

(o

)



22/95


V e d o V a t t o



L i n e a r e s


1


2


3


4


5


P r o p o s i o 1


e I m a g e m


2

)

F(

u) =

F(

u)

,

u

U



F(

u) + (

F(

u)) =

o

=F

(o

)

=F

(u

+ (u

))



23/95


V e d o V a t t o



L i n e a r e s


1


2


3


4


5


P r o p o s i o 1


e I m a g e m


2

)

F(

u) =

F(

u)

,

u

U



F(

u) + (

F(

u)) =

o

=F

(o

)

=F

(u

+ (u

))

=F

(u

) +F

(u )



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V e d o V a t t o



L i n e a r e s


1


2


3


4


5


P r o p o s i o 1


e I m a g e m


2

)

F(

u) =

F(

u)

,

u

U



F(

u) + (

F(

u)) =

o

=F

(o

)

=F

(u

+ (u

))

=F

(u

) +F

(u )

L o g o



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V e d o V a t t o



L i n e a r e s


1


2


3


4


5


P r o p o s i o 1


e I m a g e m


2

)

F(

u) =

F(

u)

,

u

U



F(

u) + (

F(

u)) =

o

=F

(o

)

=F

(u

+ (u

))

=F

(u

) +F

(u )

L o g o :

F ( u ) + F ( u ) = F (u ) + (F ( u ))



26/95


V e d o V a t t o



L i n e a r e s


1


2


3


4


5


P r o p o s i o 1


e I m a g e m


2

)

F(

u) =

F(

u)

,

u

U



F(

u) + (

F(

u)) =

o

=F

(o

)

=F

(u

+ (u

))

=F

(u

) +F

(u )

L o g o :

F ( u ) + F ( u ) = F (u ) + (F ( u ))F

(u

) +F

(u

) F

(u

) =F

(u

) + (F

(u

))F

(u

)



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V e d o V a t t o



L i n e a r e s


1


2


3


4


5


P r o p o s i o 1


e I m a g e m


2

)

F(

u) =

F(

u)

,

u

U



F(

u) + (

F(

u)) =

o

=F

(o

)

=F

(u

+ (u

))

=F

(u

) +F

(u )

L o g o :

F ( u ) + F ( u ) = F (u ) + (F ( u ))F

(u

) +F

(u

) F

(u

) =F

(u

) + (F

(u

))F

(u

)

F(

u) =

F(

u)



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V e d o V a t t o



L i n e a r e s


1


2


3


4


5


P r o p o s i o 1


e I m a g e m


2

)

F(

u) =

F(

u)

,

u

U



F(

u) + (

F(

u)) =

o

=F

(o

)

=F

(u

+ (u

))

=F

(u

) +F

(u )

L o g o :

F ( u ) + F ( u ) = F (u ) + (F ( u ))F

(u

) +F

(u

) F

(u

) =F

(u

) + (F

(u

))F

(u

)

F(

u) =

F(

u)



29/95


V e d o V a t t o



L i n e a r e s


1


2


3


4


5


P r o p o s i o 1


e I m a g e m


3

)

F(

u

1

u2

) =F

(u

1

) F (u2

), u

1

, u2

U



30/95


V e d o V a t t o



L i n e a r e s


1


2


3


4


5


P r o p o s i o 1


e I m a g e m


3

)

F(

u

1

u2

) =F

(u

1

) F (u2

), u

1

, u2

U


E x e r c c i o .



31/95


V e d o V a t t o



L i n e a r e s


1


2


3


4


5


P r o p o s i o 1


e I m a g e m


4

)

S e W u m s u b e s p a o d e U , e n t o a i m a g e m d e W p o r F u m

s u b e s p a o d e V .



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V e d o V a t t o



L i n e a r e s


1


2


3


4


5


P r o p o s i o 1


e I m a g e m


4

)




L e m b r e m o s q u e F(

W) = {F (W )|w W } a i m a g e m d e W p o r

F



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V e d o V a t t o



L i n e a r e s


1


2


3


4


5


P r o p o s i o 1


e I m a g e m


4

)






F . P a r a d e m o n s t r a r o f a t o c o n s i d e r e m o s v

1

,v

2

F

(W

)e

R



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V e d o V a t t o



L i n e a r e s


1


2


3


4


5


P r o p o s i o 1


e I m a g e m


4

)







1

,v

2

F

(W

)e

R.

E n t o v

1

=F

(u

1

)e v

2

=F

(u

2

), c o m u

1

,u

2

W



35/95


V e d o V a t t o



L i n e a r e s


1


2


3


4


5


P r o p o s i o 1


e I m a g e m


4

)







1

,v

2

F

(W

)e

R.

E n t o v

1

=F

(u

1

)e v

2

=F

(u

2

), c o m u

1

,u

2

W . L o g o

v

1

+v

2



36/95


V e d o V a t t o



L i n e a r e s


1


2


3


4


5


P r o p o s i o 1


e I m a g e m


4

)







1

,v

2

F

(W

)e

R.

E n t o v

1

=F

(u

1

)e v

2

=F

(u

2

), c o m u

1

,u

2

W . L o g o

v

1

+v

2

= F

(u

1

) +F

(u

2

)



37/95


V e d o V a t t o



L i n e a r e s


1


2


3


4


5


P r o p o s i o 1


e I m a g e m


4

)







1

,v

2

F

(W

)e

R.

E n t o v

1

=F

(u

1

)e v

2

=F

(u

2

), c o m u

1

,u

2

W . L o g o

v

1

+v

2

= F

(u

1

) +F

(u

2

)

=F

( u1

) +F

(u

2

)



38/95


V e d o V a t t o



L i n e a r e s


1


2


3


4


5


P r o p o s i o 1


e I m a g e m


4

)







1

,v

2

F

(W

)e

R.

E n t o v

1

=F

(u

1

)e v

2

=F

(u

2

), c o m u

1

,u

2

W . L o g o

v

1

+v

2

= F

(u

1

) +F

(u

2

)

=F

( u1

) +F

(u

2

)

=F

(u

1

+u

2

)



39/95


V e d o V a t t o



L i n e a r e s


1


2


3


4


5


P r o p o s i o 1


e I m a g e m


5

)

S e n d o F :

U V l i n e a r e n t o



40/95


V e d o V a t t o



L i n e a r e s


1


2


3


4


5


P r o p o s i o 1


e I m a g e m


5

)

S e n d o F :

U V l i n e a r e n t o :

F

n

i =1a

i

u

i

=

n

i = 1a

i

F(

u

i

)



41/95


V e d o V a t t o



L i n e a r e s


1


2


3


4


5


P r o p o s i o 1


e I m a g e m


5

)

S e n d o F :

U V l i n e a r e n t o :

F

n

i =1a

i

u

i

=

n

i = 1a

i

F(

u

i

)


P o r i n d u o s o b r e n .



D e n i o


42/95

V e d o V a t t o



L i n e a r e s


1


2


3


4


5


P r o p o s i o 1


e I m a g e m

S e j a m U e V e s p a o s v e t o r i a i s s o b r e R

e F:

U

V u m a

t r a n s f o r m a o l i n e a r . I n d i c a - s e p o r K e r (

F)

e d e n o m i n a - s e n c l e o

d e F o s e g u i n t e s u b c o n j u n t o d e U



D e n i o


43/95

V e d o V a t t o



L i n e a r e s


1


2


3


4


5


P r o p o s i o 1


e I m a g e m


e F:

U

V u m a


F)


d e F o s e g u i n t e s u b c o n j u n t o d e U :

K e r (F

) = {u

U|

F(

u) =

o}

E x a m p l e

S e j a F: R2 R3

a t r a n s f o r m a o l i n e a r d a d a p o r :

F(

x , y ) = (0 , x + y , 0 )



D e n i o


44/95

V e d o V a t t o



L i n e a r e s


1


2


3


4


5


P r o p o s i o 1


e I m a g e m


e F:

U

V u m a


F)



K e r (F

) = {u

U|

F(

u) =

o}

E x a m p l e

S e j a F: R2 R3


F(

x , y ) = (0 , x + y , 0 )

A c h e m o s o n c l e o d e F



D e n i o


45/95

V e d o V a t t o



L i n e a r e s


1


2


3


4


5


P r o p o s i o 1


e I m a g e m


e F:

U

V u m a


F)



K e r (F

) = {u

U|

F(

u) =

o}

E x a m p l e

S e j a F: R2 R3


F(

x , y ) = (0 , x + y , 0 )

A c h e m o s o n c l e o d e F . T e m o s q u e :

(x , y ) K e r (F ) (0 , x + y , 0 ) = (0 , 0 , 0 )



D e n i o


46/95

V e d o V a t t o



L i n e a r e s


1


2


3


4


5


P r o p o s i o 1


e I m a g e m


e F:

U

V u m a


F)



K e r (F

) = {u

U|

F(

u) =

o}

E x a m p l e

S e j a F: R2 R3


F(

x , y ) = (0 , x + y , 0 )


(x , y ) K e r (F ) (0 , x + y , 0 ) = (0 , 0 , 0 )

x

= y



D e n i o


47/95

V e d o V a t t o



L i n e a r e s


1


2


3


4


5


P r o p o s i o 1


e I m a g e m


e F:

U

V u m a


F)



K e r (F

) = {u

U|

F(

u) =

o}

E x a m p l e

S e j a F: R2 R3


F(

x , y ) = (0 , x + y , 0 )


(x , y ) K e r (F ) (0 , x + y , 0 ) = (0 , 0 , 0 )

x

= y

L o g o K e r (

F) = {x ,x |x R}.




48/95

V e d o V a t t o



L i n e a r e s


1


2


3


4


5


P r o p o s i o 1


e I m a g e m

P r o p o s i o

S e j a F :

U V u m a t r a n s f o r m a o l i n e a r




49/95

V e d o V a t t o



L i n e a r e s


1


2


3


4


5


P r o p o s i o 1


e I m a g e m

P r o p o s i o

S e j a F :

U V u m a t r a n s f o r m a o l i n e a r . E n t o :

1 .K e r (

F)

u m s u b e s p a o v e t o r i a l d e U



V e d o V a t t o


50/95



L i n e a r e s


1


2


3


4


5


P r o p o s i o 1


e I m a g e m

P r o p o s i o

S e j a F :

U V u m a t r a n s f o r m a o l i n e a r . E n t o :

1 .K e r (

F)

u m s u b e s p a o v e t o r i a l d e U ;

2 . A t r a n s f o r m a o l i n e a r F i n j e t o r a s e , e s o m e n t e s e ,

K e r (F

) = {o }.



V e d o V a t t o


( ) R


51/95



L i n e a r e s


1


2


3


4


5


P r o p o s i o 1


e I m a g e m

1 . S e j a m u

1

,u

2

K e r (F

)e

R



V e d o V a t t o


( ) R ( ) ( )


52/95



L i n e a r e s


1


2


3


4


5


P r o p o s i o 1


e I m a g e m

1 . S e j a m u

1

,u

2

K e r (F

)e

R. E n t o F

(u

1

) =F

(u

2

) =o



V e d o V a t t o


( ) R ( ) ( )


53/95



L i n e a r e s


1


2


3


4


5


P r o p o s i o 1


e I m a g e m

1 . S e j a m u

1

,u

2

K e r (F

)e

R. E n t o F

(u

1

) =F

(u

2

) =o .

D e s t e m o d o :

F

(u

1

+u

2

) =F

(u

1

) +F

(u

2

)



V e d o V a t t o


( ) R ( ) = ( ) =


54/95



L i n e a r e s


1


2


3


4


5


P r o p o s i o 1


e I m a g e m

1 . S e j a m u

1

,u

2

K e r (F

)e

R. E n t o F

(u

1

) =F

(u

2

) =o .

D e s t e m o d o :

F

(u

1

+u

2

) =F

(u

1

) +F

(u

2

)=

F(

u

1

) +F

(u

2

)



V e d o V a t t o


( ) R ( ) = ( ) =


55/95



L i n e a r e s


1


2


3


4


5


P r o p o s i o 1


e I m a g e m

1 . S e j a m u

1

,u

2

K e r (F

)e

R. E n t o F

(u

1

) =F

(u

2

) =o .

D e s t e m o d o :

F

(u

1

+u

2

) =F

(u

1

) +F

(u

2

)=

F(

u

1

) +F

(u

2

)

=o

+o



V e d o V a t t o


( ) R ( ) = ( ) =


56/95



L i n e a r e s


1


2


3


4


5


P r o p o s i o 1


e I m a g e m

1 . S e j a m u

1

,u

2

K e r (F

)e

R. E n t o F

(u

1

) =F

(u

2

) =o .

D e s t e m o d o :

F

(u

1

+u

2

) =F

(u

1

) +F

(u

2

)=

F(

u

1

) +F

(u

2

)

=o

+o

=o



V e d o V a t t o


( ) R ( ) = ( ) =


57/95



L i n e a r e s


1


2


3


4


5


P r o p o s i o 1


e I m a g e m

1 . S e j a m u

1

,u

2

K e r (F

)e

R. E n t o F

(u

1

) F

(u

2

) o .

D e s t e m o d o :

F

(u

1

+u

2

) =F

(u

1

) +F

(u

2

)=

F(

u

1

) +F

(u

2

)

=o

+o

=o

C o m o u 1 + u 2 K e r ( F )



V e d o V a t t o


, ( ) R ( ) = ( ) =


58/95



L i n e a r e s


1


2


3


4


5


P r o p o s i o 1


e I m a g e m

1 . S e j a m u

1

,u

2

K e r (F

)e

R. E n t o F

(u

1

) F

(u

2

) o .

D e s t e m o d o :

F

(u

1

+u

2

) =F

(u

1

) +F

(u

2

)=

F(

u

1

) +F

(u

2

)

=o

+o

=o

C o m o u 1 + u 2 K e r ( F ) l o g o K e r (F ) s u b e s p a o d e U



V e d o V a t t o


1 . S e j a m u,

u K e r (

F)

e R

. E n t o F(

u) =

F(

u) =

o .


59/95



L i n e a r e s


1


2


3


4


5


P r o p o s i o 1


e I m a g e m

1

,2

( ) (1

) (2

)D e s t e m o d o :

F

(u

1

+u

2

) =F

(u

1

) +F

(u

2

)=

F(

u

1

) +F

(u

2

)

=o

+o

=o

C o m o u 1 + u 2 K e r ( F ) l o g o K e r (F ) s u b e s p a o d e U .

2 .

()S u p o n h a m o s F i n j e t o r a



V e d o V a t t o


1 . S e j a m u,

u K e r (

F)

e R

. E n t o F(

u) =

F(

u) =

o .


60/95



L i n e a r e s


1


2


3


4


5


P r o p o s i o 1


e I m a g e m

1

,2

( ) (1

) (2

)D e s t e m o d o :

F

(u

1

+u

2

) =F

(u

1

) +F

(u

2

)=

F(

u

1

) +F

(u

2

)

=o

+o

=o


2 .

()S u p o n h a m o s F i n j e t o r a . S e j a u

K e r

(F

)



V e d o V a t t o


1 . S e j a m u

1

,u

2

K e r (F

)e

R. E n t o F

(u

1

) =F

(u

2

) =o .


61/95



L i n e a r e s


1


2


3


4


5


P r o p o s i o 1


e I m a g e m

, ( ) ( ) ( )D e s t e m o d o :

F

(u

1

+u

2

) =F

(u

1

) +F

(u

2

)=

F(

u

1

) +F

(u

2

)

=o

+o

=o


2 .


K e r

(F

). E n t o

F ( u ) = o



V e d o V a t t o


1 . S e j a m u

1

,u

2

K e r (F

)e

R. E n t o F

(u

1

) =F

(u

2

) =o .


62/95



L i n e a r e s


1


2


3


4


5


P r o p o s i o 1


e I m a g e m

( ) ( ) ( )D e s t e m o d o :

F

(u

1

+u

2

) =F

(u

1

) +F

(u

2

)=

F(

u

1

) +F

(u

2

)

=o

+o

=o


2 .


K e r

(F

). E n t o

F ( u ) = o . M a s F (o ) = o



V e d o V a t t o


1 . S e j a m u

1

,u

2

K e r (F

)e

R. E n t o F

(u

1

) =F

(u

2

) =o .


63/95



L i n e a r e s


1


2


3


4


5


P r o p o s i o 1


e I m a g e m

D e s t e m o d o :

F

(u

1

+u

2

) =F

(u

1

) +F

(u

2

)=

F(

u

1

) +F

(u

2

)

=o

+o

=o

C o m o

u

1 +u

2 K e r

(F

)l o g o

K e r

(F

) s u b e s p a o d e U .

2 .


K e r

(F

). E n t o

F ( u ) = o . M a s F (o ) = o . L o g o F (u ) = F (o )



V e d o V a t t o


1 . S e j a m u

1

,u

2

K e r (F

)e

R. E n t o F

(u

1

) =F

(u

2

) =o .


64/95



L i n e a r e s


1


2


3


4


5


P r o p o s i o 1


e I m a g e m

D e s t e m o d o :

F

(u

1

+u

2

) =F

(u

1

) +F

(u

2

)=

F(

u

1

) +F

(u

2

)

=o

+o

=o

C o m o

u

1 +u

2 K e r

(F

)l o g o

K e r

(F


2 .


K e r

(F

). E n t o

F ( u ) = o . M a s F (o ) = o . L o g o F (u ) = F (o ) . D o n d e u = o



V e d o V a t t o


1 . S e j a m u

1

,u

2

K e r (F

)e

R. E n t o F

(u

1

) =F

(u

2

) =o .


65/95



L i n e a r e s


1


2


3


4


5


P r o p o s i o 1


e I m a g e m

D e s t e m o d o :

F

(u

1

+u

2

) =F

(u

1

) +F

(u

2

)=

F(

u

1

) +F

(u

2

)

=o

+o

=o

C o m o

u

1 +u

2 K e r

(F

)l o g o

K e r

(F


2 .


K e r

(F

). E n t o

F ( u ) = o . M a s F (o ) = o . L o g o F (u ) = F (o ) . D o n d e u = o ; () S u p o n h a m o s K e r (F ) = {o }



V e d o V a t t o


1 . S e j a m u

1

,u

2

K e r (F

)e

R. E n t o F

(u

1

) =F

(u

2

) =o .


66/95



L i n e a r e s


1


2


3


4


5


P r o p o s i o 1


e I m a g e m

D e s t e m o d o :

F

(u

1

+u

2

) =F

(u

1

) +F

(u

2

)=

F(

u

1

) +F

(u

2

)

=o

+o

=o

C o m o

u

1 +u

2 K e r

(F

)l o g o

K e r

(F


2 .


K e r

(F

). E n t o

F ( u ) = o . M a s F (o ) = o . L o g o F (u ) = F (o ) . D o n d e u = o ; () S u p o n h a m o s K e r (F ) = {o }. D a d o s u

1

,u

2

U , e n t o :

F

(u

1

) =F

(u

2

) F

(u

1

)F

(u

2

) =o



V e d o V a t t o


1 . S e j a m u

1

,u

2

K e r (F

)e

R. E n t o F

(u

1

) =F

(u

2

) =o .


67/95



L i n e a r e s


1


2


3


4


5


P r o p o s i o 1


e I m a g e m

D e s t e m o d o :

F

(u

1

+u

2

) =F

(u

1

) +F

(u

2

)=

F(

u

1

) +F

(u

2

)

=o

+o

=o

C o m o

u

1 +u

2 K e r

(F

)l o g o

K e r

(F


2 .


K e r

(F

). E n t o


1

,u

2

U , e n t o :

F

(u

1

) =F

(u

2

) F

(u

1

)F

(u

2

) =o

F (u

1

u

2

) = o



V e d o V a t t o


1 . S e j a m u

1

,u

2

K e r (F

)e

R. E n t o F

(u

1

) =F

(u

2

) =o .


68/95



L i n e a r e s


1


2


3


4


5


P r o p o s i o 1


e I m a g e m

D e s t e m o d o :

F

(u

1

+u

2

) =F

(u

1

) +F

(u

2

)=

F(

u

1

) +F

(u

2

)

=o

+o

=o

C o m o

u

1 +u

2 K e r

(F

)l o g o

K e r

(F


2 .


K e r

(F

). E n t o


1

,u

2

U , e n t o :

F

(u

1

) =F

(u

2

) F

(u

1

)F

(u

2

) =o

F (u

1

u

2

) = o

u

1

u

2

K e r ( F )



V e d o V a t t o


1 . S e j a m u

1

,u

2

K e r (F

)e

R. E n t o F

(u

1

) =F

(u

2

) =o .


69/95



L i n e a r e s


1


2


3


4


5


P r o p o s i o 1


e I m a g e m

D e s t e m o d o :

F

(u

1

+u

2

) =F

(u

1

) +F

(u

2

)=

F(

u

1

) +F

(u

2

)

=o

+o

=o

C o m o

u

1 +u

2 K e r

(F

)l o g o

K e r

(F


2 .


K e r

(F

). E n t o


1

,u

2

U , e n t o :

F

(u

1

) =F

(u

2

) F

(u

1

)F

(u

2

) =o

F (u

1

u

2

) = o

u

1

u

2

K e r ( F )

u

1

u

2

= o



V e d o V a t t o


1 . S e j a m u

1

,u

2

K e r (F

)e

R. E n t o F

(u

1

) =F

(u

2

) =o .


70/95



L i n e a r e s


1


2


3


4


5


P r o p o s i o 1


e I m a g e m

D e s t e m o d o :

F

(u

1

+u

2

) =F

(u

1

) +F

(u

2

)=

F(

u

1

) +F

(u

2

)

=o

+o

=o

C o m o

u

1 +u

2 K e r

(F

)l o g o

K e r

(F


2 .


K e r

(F

). E n t o


1

,u

2

U , e n t o :

F

(u

1

) =F

(u

2

) F

(u

1

)F

(u

2

) =o

F (u

1

u

2

) = o

u

1

u

2

K e r ( F )

u

1

u

2

= o

u

1

= u2



V e d o V a t t o


71/95



L i n e a r e s


1


2


3


4


5


P r o p o s i o 1


e I m a g e m

E x a m p l e

O o p e r a d o r l i n e a r D:

P

n

(R) P

n

(R)d a d o p o r D

(f

(t

)) =f

(t

)

u m a t r a n s f o r m a o l i n e a r i n j e t o r a ( o p e r a d o r i n j e t o r ) ?



V e d o V a t t o


72/95



L i n e a r e s


1


2


3


4


5


P r o p o s i o 1


e I m a g e m

E x a m p l e


P

n

(R) P

n

(R)d a d o p o r D

(f

(t

)) =f

(t

)


S o l u o



V e d o V a t t o



73/95


L i n e a r e s


1


2


3


4


5


P r o p o s i o 1


e I m a g e m

E x a m p l e


P

n

(R) P

n

(R)d a d o p o r D

(f

(t

)) =f

(t

)


S o l u o

S e f

(t

) =a

0 +a

1

t

+ . . . +a

n

t

n

, e n t o

D(

f(

t)) =

a

1

+2 a

2

t+ . . . +

n a

n

t

n 1



V e d o V a t t o



74/95


L i n e a r e s


1


2


3


4


5


P r o p o s i o 1


e I m a g e m

E x a m p l e


P

n

(R) P

n

(R)d a d o p o r D

(f

(t

)) =f

(t

)


S o l u o

S e f

(t

) =a

0 +a

1

t

+ . . . +a

n

t

n

, e n t o

D(

f(

t)) =

a

1

+2 a

2

t+ . . . +

n a

n

t

n 1. L o g o f

(t

) =0 t e m c o m o

c o n s e q u n c i a q u e a

1

=a

2

= . . . = an

=0



V e d o V a t t o



75/95


L i n e a r e s


1


2


3


4


5


P r o p o s i o 1


e I m a g e m

E x a m p l e


P

n

(R) P

n

(R)d a d o p o r D

(f

(t

)) =f

(t

)


S o l u o

S e f

(t

) =a

0 +a

1

t

+ . . . +a

n

t

n

, e n t o

D(

f(

t)) =

a

1

+2 a

2

t+ . . . +

n a

n

t

n 1. L o g o f

(t

) =0 t e m c o m o


1

=a

2

= . . . = an

=0 . P o r t a n t o f

(t

) =a

0

e

d a K e r (

D) = {

a

0

|a

0

R} = R



V e d o V a t t o



76/95


L i n e a r e s


1


2


3


4


5


P r o p o s i o 1


e I m a g e m

E x a m p l e


P

n

(R) P

n

(R)d a d o p o r D

(f

(t

)) =f

(t

)


S o l u o

S e f

(t

) =a

0 +a

1

t

+ . . . +a

n

t

n

, e n t o

D(

f(

t)) =

a

1

+2 a

2

t+ . . . +

n a

n

t

n 1. L o g o f

(t

) =0 t e m c o m o


1

=a

2

= . . . = an


(t

) =a

0

e

d a K e r (

D) = {

a

0

|a

0

R} = R, o u s e j a ,

K e r (D

) o c o n j u n t o d o s

p o l i n m i o s r e a i s c o n s t a n t e s



V e d o V a t t o



77/95


L i n e a r e s


1


2


3


4


5


P r o p o s i o 1


e I m a g e m

E x a m p l e


P

n

(R) P

n

(R)d a d o p o r D

(f

(t

)) =f

(t

)


S o l u o

S e f

(t

) =a

0 +a

1

t

+ . . . +a

n

t

n

, e n t o

D(

f(

t)) =

a

1

+2 a

2

t+ . . . +

n a

n

t

n 1. L o g o f

(t

) =0 t e m c o m o


1

=a

2

= . . . = an


(t

) =a

0

e

d a K e r (

D) = {

a

0

|a

0

R} = R, o u s e j a ,

K e r (D

) o c o n j u n t o d o s

p o l i n m i o s r e a i s c o n s t a n t e s . L o g o D n o u m o p e r a d o r i n j e t o r .



V e d o V a t t o



78/95


L i n e a r e s


1


2


3


4


5


P r o p o s i o 1


e I m a g e m

N a l t i m a a u l a d e n i m o s o c o n c e i t o d e i m a g e m d a s e g u i n t e f o r m a



V e d o V a t t o



79/95


L i n e a r e s


1


2


3


4


5


P r o p o s i o 1


e I m a g e m

N a l t i m a a u l a d e n i m o s o c o n c e i t o d e i m a g e m d a s e g u i n t e f o r m a :

D e n i o

D a d o W

U d e n o m i n a - s e i m a g e m d e W p o r F o s u b c o n j u n t o d e

V t a l q u e F (

W) = {F (u )|u W }



V e d o V a t t o



80/95


L i n e a r e s


1


2


3


4


5


P r o p o s i o 1


e I m a g e m

N a l t i m a a u l a d e n i m o s o c o n c e i t o d e i m a g e m d a s e g u i n t e f o r m a :

D e n i o

D a d o W

U d e n o m i n a - s e i m a g e m d e W p o r F o s u b c o n j u n t o d e

V t a l q u e F (

W) = {F (u )|u W }. S e W = U , e n t o F (U )

r e c e b e o n o m e d e i m a g e m d e F e a n o t a o s e r a I m (

F)

.



V e d o V a t t o



81/95


L i n e a r e s


1


2


3


4


5


P r o p o s i o 1


e I m a g e m

P r o p o s i o

S e j a m U e V e s p a o s v e t o r i a i s d e d i m e n s o n i t a s o b r e R



V e d o V a t t o




82/95

L i n e a r e s


1


2


3


4


5


P r o p o s i o 1


e I m a g e m

P r o p o s i o


. D a d a

u m a t r a n s f o r m a o l i n e a r F :

U

V , e n t o



V e d o V a t t o




83/95

L i n e a r e s


1


2


3


4


5


P r o p o s i o 1


e I m a g e m

P r o p o s i o


. D a d a

u m a t r a n s f o r m a o l i n e a r F :

U

V , e n t o :

d i m U

=d i m

K e r

(F

) +d i m

I m

(F

)



V e d o V a t t o




S e j a B

1

= {u

1

, . . . ,u

r

}u m a b a s e d e

K e r (F

)


84/95

L i n e a r e s


1


2


3


4


5


P r o p o s i o 1


e I m a g e m



V e d o V a t t o




S e j a B

1

= {u

1

, . .

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Aula de Álgebra Linear - 3 de Novembro