View
52
Download
6
Category
Preview:
DESCRIPTION
MATHEMATHIC Differrentiation
Citation preview
B2001/UNIT 6/1 PEMBEZAAN
PEMBEZAAN
OBJEKTIF Objektif Am : Memahami konsep pembezaan peringkat kedua. Objektif Khusus : Di akhir unit ini, anda dapat :
Menyatakan tatatanda pembezaan peringkat kedua.
Menggunakan petua-petua pembezaan untuk menghasilkan pembezaan peringkat kedua.
UNIT 6
download@http://math2ever.blogspot.com
B2001/UNIT 6/2 PEMBEZAAN
6.0 PENGENALAN KEPADA PEMBEZAAN PERINGKAT KEDUA
Di dalam Unit 2 hingga 5, petua-petua asas pembezaan telah pun diperkenalkan dengan panjang lebarnya. Daripada hasil pembezaan tersebut, didapati bahawa pembezaan suatu fungsi akan menghasilkan suatu fungsi yang lain. Proses ini dapat diteruskan kepada pembezaan peringkat kedua, ketiga dan seterusnya hingga ke peringkat ke n.
Dalam unit 6, pembezaan peringkat kedua akan dibincangkan dan dalam unit-unit seterusnya akan dibincangkan tentang penggunaan pembezaan di dalam kehidupan seharian.
INPUT
download@http://math2ever.blogspot.com
B2001/UNIT 6/3 PEMBEZAAN
6.1 PEMBEZAAN PERINGKAT KEDUA
Jika y adalah fungsi dalam x , maka pembezaan peringkat pertama bagi ditulis
sebagai dxdy Membezakan
dxdy bagi kali kedua ditulis sebagai 2
2
)(dx
yddxdy
dxd
= di
mana ini dikenali sebagai Pembezaan Peringkat Kedua. Secara amnya tatatanda bagi
pembezaan Peringkat Pertama ditulis sebagai dxdy atau f '(x) manakala bagi
Pembezaan Peringkat Kedua ditulis sebagai 2
2
dxyd atau f "(x).
Contoh 6.1
Cari dxdy dan 2
2
dxyd jika
a. y = 2x3 + x - x3 b. y = ( 1 - x 2 ) 3
Penyelesaian
a. y = 2x3 + x - 3x -1 Menggunakan petua pembezaan
dxdy = 6x 2 + 1 - ( -3x - 2 )
= 6x 2 + 1 +3x - 2
1−= nnxdxdy
INPUT
download@http://math2ever.blogspot.com
B2001/UNIT 6/4 PEMBEZAAN
Membezakan sekali lagi terhadap x ,
2
2
dxyd = 12x + ( -6x -3 )
= 12x - 6x -3 => 6 ( 2x - x - 3 )
b. y = ( 1 - x 2 ) 3
Dengan menggunakan Petua Rantai
dxdy = 3 ( 1 - x 2 ) 2 ( -2x )
= -6x ( 1 - x 2 ) 2
Oleh kerana pembezaan peringkat pertama menghasilkan fungsi hasil darab, maka untuk pembezaan peringkat kedua, Petua Hasil darab digunakan. Kaedah alternatif yang boleh digunakan ialah dengan mengembangkan kedua-dua ungkapan tersebut.
Katakan u = -6x dan v = ( 1 - x 2 ) 2
Maka dxdu = -6 )2)(1(2 2 xx
dxdv
−−=
2
2
dxyd = -6x (- 4x) (1 - x 2 ) + ( 1 - x 2 ) 2 ( -6 )
= 24x 2 ( 1 - x 2 ) - 6 ( 1 - x 2 )2
= 6 ( 1 - x 2 )[ 4x2 - ( 1 - x 2 ) ] = 6 ( 1 - x 2 )( 5x2 - 1 ) => 6 ( 5x 2 + x2 - 5x 4 - 1 ) = 6 ( - 5x 4 + 6x 2 - 1 )
atau dengan mendarabkan kedua ungkapan
dxdy = -6x ( 1 - x 2 ) ( 1- x2 )
= -6x + 12x 3 - 6x 5
dan dengan menggunakan pembezaan biasa, maka
dudy
dxdu
dxdy
•=
dxdvu
dxduv
dxdy
+=
download@http://math2ever.blogspot.com
B2001/UNIT 6/5 PEMBEZAAN
2
2
dxyd = - 6 + 36 x 2 - 30 x 4
= 6 ( - 5 x 4 + 6 x 2 – 1 )
Contoh 6.2
Jika y = 2x 3 - 21 x2 + 74x - 86, dapatkan nilai-nilai bagi dxdy dan 2
2
dxyd
apabila x = 1.
Penyelesaian
y = 2x 3 - 21 x2 + 74x - 86
Menggunakan petua pembezaan biasa
dxdy = 6x 2 - 42 x + 74
Apabila x = 1 , dxdy = 6 (12 ) - 42 (1) + 74 = 38
2
2
dxyd = 12 x - 42
Apabila x = 1 , 2
2
dxyd = 12 ( 1 ) - 42 = - 30
download@http://math2ever.blogspot.com
B2001/UNIT 6/6 PEMBEZAAN
Aktiviti 6.1
UJIKAN KEFAHAMAN ANDA SEBELUM MENERUSKAN INPUT SELANJUTNYA……..! 1. Dapatkan pembezaan peringkat pertama dan kedua bagi ungkapan-ungkapan di
bawah
a. y = 3x3 - 2x2 - 4x + 1
b. y = 5x 4- 6x2 - 1
c. y = 2)12(x
+
d. p = ( q 2 - 1 ) 2
e. f(t) = 45t + 11t 2 - t 3
f. y = (5 - 3 x 2 ) 3
download@http://math2ever.blogspot.com
B2001/UNIT 6/7 PEMBEZAAN
Maklum Balas Aktiviti 6.1
1 a. 449 2 −−= xxdxdy
)29(22
2
−= xdx
yd
b. 1220 3 −= xdxdy
)15(12 22
2
−= xdx
yd
c. )12(22 xxdx
dy+−=
432
2 68xxdx
yd+=
d. )1(4 2 −= qqdqdp
)13(4 22
2
−= qdq
pd
e. f ' ( t ) = 45 + 22t - 3t2 f " ( t ) = 22 - 6t
f. 22 )35(18 xxdxdy
−−=
)5918(90 422
2
−−= xxdx
yd
download@http://math2ever.blogspot.com
B2001/UNIT 6/8 PEMBEZAAN
PENILAIAN KENDIRI 6
Anda telah menghampiri kejayaan. Sila cuba semua soalan dalam penilaian kendiri ini dan semak jawapan anda pada maklum balas yang disediakan. Jika ada masalah yang timbul, sila berbincang dengan pensyarah anda. Selamat mencuba dan semoga berjaya!!!…
1. Dapatkan terbitan pertama dan kedua bagi fungsi-fungsi berikut:
a. 10x 4 b. x5 + 2x + 1 c. 5x + 1
2. Dapatkan terbitan kedua bagi fungsi-fungsi berikut:
a. x ( x 2 + 3 ) b. t 2 - 3t c. ( x + 1 )( 2x - 3)
3. Dapatkan nilai-nilai terbitan kedua bagi fungsi-fungsi berikut apabila x = 2.
a. 1 - 2x - 5x 4
b. x 3 - 3x + 4x c. 1+x
download@http://math2ever.blogspot.com
B2001/UNIT 6/9 PEMBEZAAN
Maklum Balas Penilaian Kendiri 6 Adakah anda telah mencuba dahulu????..Jika “YA”, sila semak jawapan anda.
1. a. 40x 3 , 120x2 b. 5x 4 + 2 , 20x3
c. 5 , 0
2. a. 3x2 + 3 , 6x b. 2t – 3 , 2 c. 4x – 1 , 4
3. a. –240 b. 6
c. 274
1−
TAHNIAH!!!!…..Semoga kejayaan sentiasa mengiringi kehidupan anda….
download@http://math2ever.blogspot.com
B2001/UNIT 2/1 PEMBEZAAN
PEMBEZAAN
OBJEKTIF
Objektif Am : Memahami konsep pembezaan dan idea had serta boleh melakukan pembezaan dengan cara Prinsip Ppertama.
Objektif Khusus : Di akhir unit ini, anda pelajar :
Menyatakan pembezaan sebagai perubahan suatu kuantiti terhadap suatu kuantiti yang lain.
Mencari had dengan menggunakan jadual.
Mencari had dengan menggunakan kaedah gantian memusat.
Mendapatkan pembezaan suatu fungsi dengan menggunakan
idea had.
Mendapatkan pembezaan dengan kaedah Prinsip Pertama.
UNIT 2
download@http://math2ever.blogspot.com
B2001/UNIT 2/2 PEMBEZAAN
2.0 PENGENALAN PEMBEZAAN
Pembezaan adalah proses mencari kadar perubahan suatu kuantiti terhadap suatu kuantiti yang lain. Ia adalah satu cabang ilmu Kalkulus yang mula diperkenalkan sejak kurun ke 17. Ia digunakan untuk menyelesaikan masalah dalam pelbagai bidang misalnya kejuruteraan, perubatan, perdagangan, pertanian dan lain-lain.
Pada setiap hari Rabu, Unit Polibriged politeknik dikehendaki berjogging mendaki sebuah anak bukit berhampiran politeknik tersebut. Ahmad, seorang ahli Polibriged terpaksa berjogging dengan hati-hati kerana kecerunan bukit yang berbeza-beza. Kadangkala Ahmad bergerak perlahan kerana tanahnya yang curam dan kadang kala dia memecut kerana tanahnya lebih landai.
Kecerunan bukit pada titik-titik tertentu Ahmad menapak boleh ditentukan
dengan proses yang dinamakan PEMBEZAAN.
INPUT
Istilah 'terbitan' boleh juga digunakan untuk perkataan 'pembezaan'. P
•
δ
TAHNIAH !!! Semoga kejayaan sentiasa mengiringi
Perubahan dalam x
Perubahan dalam y
download@http://math2ever.blogspot.com
B2001/UNIT 2/3 PEMBEZAAN
Kecerunan bukit boleh ditentukan dengan mempertimbangkan perubahan pada nilai menegak, y terhadap perubahan nilai mengufuk, x. Kecerunan bagi satu garis lurus ditakrifkan sebagai: Kecerunan = Perubahan pada y Perubahan pada x
Untuk fungsi linear, kecerunannya sentiasa tetap iaitu tiada kadar perubahan. Jika fungsi bukan linear dipertimbangkan, didapati bahawa kadar perubahannya tidak tetap. Oleh kerana kecerunan pada setiap titik Ahmad menapak sentiasa berubah, adalah lebih mudah nilai kecerunan ini diterangkan dengan proses pembezaan. Proses menentukan perubahan y berbanding x ialah proses pembezaan dan boleh
ditulis sebagai dxdy .
Konsep pembezaan boleh diaplikasikan dalam konsep halaju dan sesaran.
Halaju, v ialah bezaan sesaran, s terhadap masa, t dan ditulis sebagai dtds
sementara, pecutan , a ialah bezaan halaju, v terhadap masa, t dan ditulis sebagai
dtdv
.
Jika y ialah suatu fungsi x iaitu y= f(x), pembezaan y terhadap x, dxdy
boleh ditulis juga sebagai f '(x) , dxdy
= f '(x).
download@http://math2ever.blogspot.com
B2001/UNIT 2/4 PEMBEZAAN
2.1 IDEA HAD Di sekitar kampus PSA, had laju maksimum bagi kenderaan bermotor ialah 30 km/j. Pemandu yang melebihi had laju tersebut akan disaman. Daripada situasi ini, had laju kenderaan ialah 30 km/j. Apakah yang dimaksudkan dengan istilah 'had'. Idea had ini boleh digunakan untuk menerangkan pembezaan Contoh 2.1 Pertimbangkan persamaan linear f(x) = 2x – 1. Dengan menggunakan kalkulator, tentukan had apabila x menghampiri 0. Penyelesaian Dari kiri
x -0.1 -0.01 -0.001 -0.0001 0 y -1.2 -1.02 -1.002 -1.0002 -1
Dari kanan
x 0 0.0001 0.001 0.01 0.1 y -1 -0.9998 -0.998 -0.98 -0.8
Jadual 2.1
30
INPUT
download@http://math2ever.blogspot.com
B2001/UNIT 2/5 PEMBEZAAN
Daripada jadual 2.1, didapati bahawa apabila nilai x menghampiri 0 dari kiri atau dari kanan, had fungsi f(x) = 2x –1 ialah tetap –1. Oleh itu, nilai had f(x) ialah –1. Secara am, persamaan matematik untuk menulis idea had ini ialah
had ( 2x – 1 ) = -1 δx 0
Selain daripada kaedah jadual, kita juga boleh mengira had suatu fungsi dengan cara menggunakan sifat-sifat had. Contoh 2.2
Kirakan had abgi fungsi-fungsi berikut:
a. had ( x + 2 ) b. had ( 2x 2 + 5 ) x →1 x → 0
Penyelesaian
a. had ( x + 2 ) = had x + had 2 = 0 + 2 = 2 x → 0 x → 0 x → 0
b. had ( 2x 2 + 5 ) = 2 had x2 + had 5 = 2(1) + 5 = 7
x →1 x → 1 x → 1
Dibaca had 2x - 1 apabila δx menghampiri 0 ialah -1
Sifat-Sifat Had : 1. had [f(x) + g ( x )] = had f (x ) + had g (x ) x→a x → a x → a
2. had [f(x) - g ( x )] = had f (x ) - had g (x ) x→a x → a x → a
3. had f(x).g ( x ) = had f (x ) . had g (x ) x→a x → a x → a 4. had c = c dimana c ialah pemalar x→a
5. had c . g(x ) = c had g(x) dimana c ialah x→a pemalar 6 had xn = an
download@http://math2ever.blogspot.com
B2001/UNIT 2/6 PEMBEZAAN
Aktiviti 2.1
UJIKAN KEFAHAMAN ANDA SEBELUM MENERUSKAN INPUT SELANJUTNYA……..!
1. Dengan menggunakan jadual, tentukan nilai had fungsi-fungsi berikut: a. y = 2x +1, apabila x menghampiri 0 b. y = x2 + 4 apabila x menghampiri 1
2. Dengan menggunakan sifat-sifat had, tentukan nilai had bagi fungsi-fungsi berikut: a. s = 2t +7, apabila t menghampiri 0 b. y = x3 + 1, apabila x menghampiri 2 c. y = ½ x + 4 , apabila x menghampiri 1
download@http://math2ever.blogspot.com
B2001/UNIT 2/7 PEMBEZAAN
Maklum Balas Aktiviti 2.1
1. a. x 0 ← -0.001 -0.01 -0.1 y 1← 0.998 0.98 0.8
b.
x 1 ← 0.99 0.95 0.9 y 5← 4.98 4.90 4.81
2. a. had 2t +7 = 2 had t + had 7 x →0 x →0 x →0 = 2 ( 0 ) + 7 = 7
b. had x 3 + 1 = had x3 + had 1 x →2 x →2 x →2 = 23 + 1 = 9 c. had ½ x + 4 = 1/2 had x + had 4 x → 1 x →1 x →1 = 1/2 (1 ) + 4
= 4.5
download@http://math2ever.blogspot.com
B2001/UNIT 2/8 PEMBEZAAN
2.2 PEMBEZAAN MENGGUNAKAN PRINSIP PERTAMA
Pertimbangkan y= f(x) dan titik P (x , y ) di atas lengkung pada rajah 2.1.
Jika x bertambah sebanyak δx, y bertambah sebanyak δy, maka koordinatnya menjadi satu titik baru iaitu Q ( x + δx , y + δy ). Perhatikan apabila Q menghampiri P, δx menghampiri sifar,ditulis sebagai δx 0.
Oleh yang demikian, daripada idea had, pembezaan dxdy mewakili kecerunan
lengkung pada suatu titik dan kita akan memperolehi bahawa
dxdy
≅xyhad
x δδ
δ 0→
y
P( x , y )
Rajah 2 1
y = f ( x )
x
Q ( x + δx , y + δy )
δx
δy
INPUT
download@http://math2ever.blogspot.com
B2001/UNIT 2/9 PEMBEZAAN
Dengan demikian, dxdy boleh diterbitkan sebagai had
xyδδ apabila x menghampiri
sifar.
Kaedah mencari pembezaan menggunakan idea had dikenali sebagaai kaedah Prinsip Pertama.
Contoh 2. 3
Dengan menggunakan prinsip pertama, bezakan y terhadap x bagi persamaan y = x 2 + 1.
Penyelesaian
y = x 2 + 1 persamaan (1) y + δy = ( x + δx )2 + 1 y + δy = x2 +2x δx +( δx)2 + 1 persamaan 2 Gantikan persamaan (1) ke dalam persamaan (2) x 2 + 1 + δy = x2 +2x δx +( δx)2 + 1 δy = 2x δx +( δx)2 = δx(2x + δx)
Bahagikan δy dengan δx
xxxy δδδ
+= 2
xyhad
x δδ
δ 0→= 2x + 0
dxdy = 2x
Tambahkan y = y + δy x = x + δ
Bahagikan δy dengan δx
download@http://math2ever.blogspot.com
B2001/UNIT 2/10 PEMBEZAAN
Aktiviti 2.2 UJIKAN KEFAHAMAN ANDA SEBELUM MENERUSKAN INPUT SELANJUTNYA……..! 1. Dengan menggunakan Prinsip Pertama, bezakan yang berikut:
a. y = 2x2 b. y = x2 + 2x – 4
c. x
y 3=
download@http://math2ever.blogspot.com
B2001/UNIT 2/11 PEMBEZAAN
Maklum Balas Aktiviti 2.2
1. a. y = 2x 2 (1) y + δy = 2( x + δx )2 ( 2 )
= 2x2 + 4x δx + 2( δx)2
Gantikan persamaan (1) ke dalam persamaan ( 2 ) 2x 2 + δy = 2x2 +4x δx + 2( δx)2 δy = 4x δx +2( δx)2 = δx( 4x + 2δx)
Bahagikan δy dengan δx
xxxy δδδ
+= 4
Oleh kerana xyhad
dxdy
dx δδ
0→=
xyhad
dx δδ
0→= 4x + 0
dxdy = 4x
b. 2x + 2
c. 2
3x
−
Bagi soalan (b) dan (c), ikut seperti soalan 1(a)
download@http://math2ever.blogspot.com
B2001/UNIT 2/12 PEMBEZAAN
PENILAIAN KENDIRI 2
Anda telah menghampiri kejayaan. Sila cuba semua soalan dalam penilaian kendiri ini dan semak jawapan anda pada maklum balas yang disediakan. Jika ada masalah yang timbul, sila berbincang dengan pensyarah anda. Selamat mencuba dan semoga anda berjaya!!!… 1. Dengan membina jadual yang sesuai, cari nilai bagi setiap had yang berikut:
a. had ( x2 – 3 ) b. had (2 x2 + 1 )
x 0 x 0 2. Dengan menggunakan sifat-sifat had , cari nilai bagi setiap had yang berikut:
a. had ( 5x + 1 ) b. had 2x( 3x + 2 )
x 0 x 0
3. Dengan menggunakan kaedah prinsip pertama, bezakan yang berikut:
a. f(x) = 3x2
b. f(t) = t2
4. Cari kecerunan f(x) = 3x + 5. Apakah kecerunan f(x) apabila x =7 dan x = -2 Apakah yang anda boleh simpulkan mengenai f(x) ?
5. Apakah kecerunan f(x) = 2x 2 + 4x – 1 apabila x = 0.
download@http://math2ever.blogspot.com
B2001/UNIT 2/13 PEMBEZAAN
Maklum Balas Penilaian Kendiri 2
Adakah anda telah mencuba dahulu???..Jika “YA”, sila semak jawapan anda. 1. a. b.
2. a. 1 b. 0
3. a. 6x b. 2
2t
−
4 3, 3 ; f(x) adalah suatu garislurus 5. -1
x 2x2 + 1 2.5 12.50 2.6 14.52 2.7 15.58 2.8 16.68 2.9 17.82
2.99 18.82 3.0 19.90
x (x2 - 3) 1.0 -2.00 0.8 -2.36 0.6 -2.64 0.4 -2.84 0.2 -2.96 0.1 -2.99 0 -3.00
TAHNIAH !!! Semoga mengiringi
download@http://math2ever.blogspot.com
B2001/UNIT 3/1 PEMBEZAAN
PEMBEZAAN
OBJEKTIF
Objektif Am : Memahami petua asas yang diperlukan untuk membezakan fungsi algebra.
Objektif Khusus : Di akhir unit ini, anda dapat :
Menyatakan petua asas pembezaan.
Menggunakan petua asas untuk membezakan fungsi
algebra.
Menggunakan petua asas dalam pembezaan hasil tambah dan hasil tolak fungsi algebra.
Menggunakan petua rantai dalam pembezaan fungsi gubahan.
UNIT 3
download@http://math2ever.blogspot.com
B2001/UNIT 3/2 PEMBEZAAN
3.0 PETUA ASAS PEMBEZAAN
Seperti yang telah dibincangkan dalam unit 2, membezakan sebarang fungsi dengan kaedah Prinsip Pertama adalah panjang dan kadangkala merumitkan . Satu kaedah yang lebih ringkas boleh dicapai dengan mengkaji pola-pola berikut:
y = x 1 , dxdy = 1x 0 = 1
y = x 2 , dxdy = 2x 1 = 2x
y = x 3 , dxdy = 3x2 = 3x 2
Daripada pola di atas, kita boleh menjangkakan bahawa jika y = x4 ,
dxdy = 4x3.
Ciri-ciri penting yang dapat diperhatikan dalam pembezaan di atas ialah:
i. Indek bagi x berkurang 1 unit ii. Hasil pembezaan didarab dengan indeks asal bagi x
Secara amnya, jika y = nx, maka dxdy = nx n –1 dan pernyataan ini adalah benar jika
n ialah sebarang nombor nyata.
INPUT
download@http://math2ever.blogspot.com
B2001/UNIT 3/3 PEMBEZAAN
Contoh 3.1
Cari dxdy dalam setiap kes berikut :
a. y = x6 b. y = - 2x5 c. y = x5
d. y = x 1/3 e. y = 4 Penyelesaian
a. y = x6 b. y = - 2x5.
dxdy = 6x6 – 1
dxdy = 5 x ( -2 ) x5 – 1
= 6x5 = - 10x4
c. y = x5
= 5x –1, dxdy = -1 (5x –1 – 1 ) = -5x –2 atau 2
5x
−
d. y = 31
x
32
31 −
= xdxdy
e. y = 4
= 4 x 0
dxdy = 0 (4) x 0 – 1 = 0
Daripada contoh (e) di atas, didapati bahawa pembezaan bagi sebarang pemalar
ialah 0.
Maka, boleh disimpulkan,
Jika y = a
Maka dxdy = 0
11 −= xx
download@http://math2ever.blogspot.com
B2001/UNIT 3/4 PEMBEZAAN
Aktiviti 3.0
UJIKAN KEFAHAMAN ANDA SEBELUM MENERUSKAN INPUT SELANJUTNYA……..!
1. Carikan hasil pembezaan bagi setiap yang berikut:
a. 4x b. 2x5
c. x6 d. x –8
e. 10
2. Bezakan fungsi-fungsi berikut terhadap x:
a. 4x –5 b. 6
52 x
c. 341x
d. 2
3x−
e. 2512x
download@http://math2ever.blogspot.com
B2001/UNIT 3/5 PEMBEZAAN
Maklum Balas Aktiviti 3.0
1. a. dy = 4 dx
b. dy = 10x4 dx
c. dxdy = 2
6x−
d. dxdy = - 8x – 9
e. dxdy = 0
2. a. dxdy = –20x –6
b. dxdy = 5
512 x
c. dxdy = 44
3x
−
d. dxdy = 3
6x
e. dxdy = 35
24x
−
download@http://math2ever.blogspot.com
B2001/UNIT 3/6 PEMBEZAAN
3.1 PEMBEZAAN BAGI FUNGSI-FUNGSI HASIL TAMBAH DAN HASIL TOLAK Kaedah asas pembezaan juga digunakan untuk mencari hasil pembezaan yang melibatkan hasil tambah dan hasil tolak suatu ungkapan algebra. Misalnya, bagi fungsi f(x ) = 4x + x2, pembezaan bagi f(x) = 4x ialah 4 manakala pembezaan bagi f(x)= x2 ialah 2x. Oleh yang demikian f ′(x) = 4 + 2x.
Secara amnya, jika y = f(x ) + g(x ) maka =dxdy f ′(x) + g′(x)
dan jika y = f(x ) - g(x ) maka =dxdy f ′(x) – g ′(x)
Contoh 3.2 Bezakan fungsi berikut terhadap x:
a. y = 2x4 + 6x b. y = x
xx 323 +−
Penyelesaian
a. =dxdy (4)(2)x3 + 1(6)x0 b. =
dxdy 3(x)2 – 2 (x)0 + 3( -1)x-2
= 8x3 + 6 = 3x2 - 2 -3x – 2
INPUT
download@http://math2ever.blogspot.com
B2001/UNIT 3/7 PEMBEZAAN
Aktiviti 3.1
UJIKAN KEFAHAMAN ANDA SEBELUM MENERUSKAN INPUT SELANJUTNYA……..!
1. Bezakan setiap yang berikut:
a. y = x2 – 2x5
b. 21
31
2 tts +=
c. xx
y324
2 +=
d. x
xy +=
3
e. m = 2n2(n – 1) f. p = ( q - 2 )( 2q + 3 )
2. Bezakan setiap yang berikut berbanding x:
a. y = 3x5 + x 4 – 5
b. y = 8x -5 - x
c. xx
xy 24
2 +=
d. 2
83x
xy −=
e. y = x ( x3 + 2x-4 )
f. )39
2(53
+=xxy
download@http://math2ever.blogspot.com
B2001/UNIT 3/8 PEMBEZAAN
Maklum Balas Aktiviti 3.1 1. a. 2x – 10x4
b. tt 2
13
23/2 +
c. 23 328xx
−−
d. e. 2n(3n - 2) f. 4q - 1
2. a. 15 x4
+ 4x3
b. – 40 x –6 – 1 c. 2x - 2x –2
d. 3 + 16 x – 3 e. 4x 3 - 6x –4
f. 159
40 3
+x
xx 21
2
33 +−
download@http://math2ever.blogspot.com
B2001/UNIT 3/9 PEMBEZAAN
3.2 PEMBEZAAN FUNGSI GUBAHAN
Pembezaan bagi fungsi-fungsi algebra seperti y=(1+x)4 atau 21 xy += tidak dapat dilakukan menggunakan kaedah-kaedah seperti yang dibincangkan di atas. Fungsi di atas dikenali sebagai fungsi gubahan dan untuk melakukan pembezaan bagi fungsi tersebut, Petua Rantai digunakan. Petua ini kadangkala dikenali sebagai “ Pembezaan menggunakan Gantian “. Jika y = f (u), di mana u adalah fungsi dalam x, maka
. Contoh 3.3
Cari dxdy bagi fungsi
a. y = ( 2x + 3 )4 b. 42 += xy
Penyelesaian
a. y = ( 2x + 3 )4
Katakan u = 2x + 3 maka y = u 4
2=dxdu 34u
dudy
=
)4(2 3udxdy
= => 8 ( 2x + 3 )3
dxdu
dudy
dxdy .=
INPUT
download@http://math2ever.blogspot.com
B2001/UNIT 3/10 PEMBEZAAN
b. 42 += xy
Katakan u = 42 +x maka y = 21
u
2=dxdu x 2
1
21 −
= ududy
)21(2 2
1−
= uxdxdy => 2
12 )4(
−+xx
= 42 +x
x
Daripada contoh-contoh di atas, didapati bahawa pembezaan fungsi gubahan dapat dilakukan tanpa menggunakan Petua Rantai. Berikut adalah alternatif penyelesaian kepada contoh-contoh di atas.
SEMAK !
a. 4)32( +xdxd = 14)32(4 −+x )32( +x
dxd
= 2)32(4 3+x
= 3)32(8 +x
b. 42 +xdxd = 2/12 )4( +x
dxd = )4()4(
21 22/12 ++ − x
dxdx
= xx 2)4(21 2/12 −+
= 42 +x
x
Secara amnya ,
)()()( 1 baxdxdbaxkbax
dxd nknkn ++=+ −
11 )( −− += knn baxkanx
download@http://math2ever.blogspot.com
B2001/UNIT 3/11 PEMBEZAAN
Contoh 3.4
Dengan menggunakan pola di atas, bezakan fungsi-fungsi berikut terhadap x:
a. y = ( 2x + 3 )4 b. y = ( 2 + x2 )3
Penyelesaian
a. )32()32(4 3 ++= xdxdx
dxdy
= )2()32(4 3+x = 8(2x + 3)3
b. )2()2(3 222 xdxdx
dxdy
++=
= 3( 2 + x2 ) 2 ( 2x ) = 6x (2 +x 2 )2 = 6x ( 4 + 4x2 + x 4 ) = 24 x + 24x3 +6x5
download@http://math2ever.blogspot.com
B2001/UNIT 3/12 PEMBEZAAN
Aktiviti 3.2
UJIKAN KEFAHAMAN ANDA SEBELUM MENERUSKAN INPUT SELANJUTNYA……..!
1. Cari dxdu ,
dudy dan
dxdy bagi
a. 8)2( xx
y +=
b. y = (5x – x3 )5
c. xy −= 2 d. )3( += xxy
e. 3
12 −
=x
y
f. 23 2
xxy +=
download@http://math2ever.blogspot.com
B2001/UNIT 3/13 PEMBEZAAN
Maklum Balas Aktiviti 3.2
1. a. 122 +−
x, 8u7, )12()2(8 2
7 +−+x
xx
b. 5 – 3x2, 5u4, 5(5x – x3 )4 ( 5 – 3x2 )
c. –1, 21
21 −
u , x−
−221
d . 2x + 3, 21
21 −
u , )32()3(21 2
12 ++
−xxx
e. 2x , 23
21 −
− u , 23
2 )3(−
−− xx
f. 3x2 - 4x –3, 21
21 −
u , 23
32
2243
−
−
+
−
xxxx
download@http://math2ever.blogspot.com
B2001/UNIT 3/14 PEMBEZAAN
PENILAIAN KENDIRI 3
Anda telah menghampiri kejayaan. Sila cuba semua soalan dalam penilaian kendiri ini dan semak jawapan anda pada Maklum Balas yang disediakan. Jika ada masalah yang timbul, sila berbincang dengan pensyarah anda. Selamat mencuba dan semoga berjaya!!!…
1. Cari dxdy bagi setiap yang berikut:
a. y = 10x5
b. y = 3
41 x
c. 5x –3
d. y = - 6x -2
2. Bezakan terhadap pembolehubah masing-masing bagi persamaan-persamaan berikut:
a. y = 2x2 – x + 1 b. y = ( x – 4 )2 c. s = t3 ( t + 4 )
d. x
xxy 23 +=
e. z = ( k + 1 )( 2k – 3)
f. p = )32(2
qqq +
3. Cari dxdy bagi setiap yang berikut:
a. y = ( 7x – 3 )5 b. p = 5 ( q – 3 )3
c. 5)23(4
xy
−=
d. y = ( 3x2 –5 )7
e. )12(
1+
=x
y
f. x
xy 33 −=
download@http://math2ever.blogspot.com
B2001/UNIT 3/15 PEMBEZAAN
Maklum Balas Penilaian Kendiri 3 Adakah anda telah mencuba dahulu???..Jika “YA”, sila semak jawapan anda.
1. a. 50x4
b. 2
43 x
c. –15x –4 d. 12x -3
2. a. 14 −= xdxdy
b. )4(2 −= xdqdp
c. )3(4 2 += ttdtds
d. xdxdy 2=
e. 14 −= kdkdz
f. 36 2 += qdqdp
3. a. 35 ( 7x –3 ) 4 b. 15(q – 3 )2
c. 40(3 – 2x )-6 d. 42x(3x2 –5)6
e. 3)12(
1+
−
x
f . 2
32x
x +
TAHNIAH!!!!…..Semoga kejayaan sentiasa mengiringi kehidupan anda….
download@http://math2ever.blogspot.com
B2001/UNIT 4/1 PEMBEZAAN
PEMBEZAAN
OBJEKTIF
Objektif Am : Memahami petua hasil darab dan hasil bahagi pembezaan. Objektif Khusus : Di akhir unit ini, anda dapat :
Menyatakan petua hasil darab dan hasil bahagi pembezaan.
Menentukan fungsi algebra yang boleh dibezakan dengan fungsi hasil darab dan fungsi hasil bahagi.
Menggunakan petua-petua tersebut untuk melakukan
pembezaan terhadap sebarang fungsi algebra.
UNIT 4
download@http://math2ever.blogspot.com
B2001/UNIT 4/2 PEMBEZAAN
4.0 PENGENALAN
Pembezaan bagi fungsi-fungsi yang berbentuk hasil tambah atau hasil tolak suatu ungkapan algebra dapat dilakukan dengan membezakannya secara satu demi satu.
Walau bagaimanapun, bagi fungsi-fungsi seperti y = x( x 2 + 3)5 atau y = 3)4( +xx ,
kita tidak dapat melakukan pembezaan terhadap fungsi-fungsi tersebut dengan menggunakan kaedah dalama unit 3. Oleh yang demikian, untuk membezakan fungsi seperti di atas, Petua Hasil Darab dan Petua Hasil Bahagi perlu digunakan.
4.1 PETUA HASIL DARAB
Jika y = uv, di mana u dan v adalah fungsi-fungsi bagi x, maka
dxduv
dxdvu
dxdy
+=
Perhatikan u ialah satu rangkap yang mengandungi sebutan x dan y ialah rangkap lain yang juga mengandungi sebutan x.
INPUT
INPUT
download@http://math2ever.blogspot.com
B2001/UNIT 4/3 PEMBEZAAN
Contoh 4.1
Cari dxdy jika
a. y = x4 ( 3x + 5 )6 b. y = ( x – 4 )2( 2x3 – 3x + 5 ) Penyelesaian a. y = x4 ( 3x + 5 )6
Katakan u = x4 dan v = ( 3x + 5 )6
34xdxdu
= dan )3()53(6 5+= xdxdv
maka )4()53()53)(18( 3654 xxxxdxdy
+++=
= )4()53()53(18 3654 xxxx +++
= [ ])53(29)53(2 53 +++ xxxx
= [ ]1069)53(2 53 +++ xxxx
= [ ]1015)53(2 53 ++ xxx b. y = ( x – 4 )2( 2x3 – 3x + 5 ) Katakan u = ( x – 4 )2 dan v = 2x3 – 3x + 5
)1)(4(2 −= xdxdu 36 2 −= x
dxdv
)4(2)532()36()4( 322 −+−+−−= xxxxxdxdy
)]532(2)36)(4[()4( 32 +−+−−−= xxxxx
)1064324126[)4( 323 +−+−−+−= xxxxxx
)2292410()4( 23 +−−−= xxxx
dxduv
dxdvu
dxdy
+=
(3x +5)5 – Faktor Sepunya Terbesar
download@http://math2ever.blogspot.com
B2001/UNIT 4/4 PEMBEZAAN
Aktiviti 4.1
UJIKAN KEFAHAMAN ANDA SEBELUM MENERUSKAN INPUT SELANJUTNYA…! Bezakan terhadap x
a. y = x ( 4 – x )8 b. ( 3x + 1 )3 ( x + 2 )5
c. y = xx 5)12( +
d. xx −− 6)12( 2 e. y = ( x – 3 )( 5 – 2x )6
download@http://math2ever.blogspot.com
B2001/UNIT 4/5 PEMBEZAAN
Maklum Balas Aktiviti 4.1
a. (4 – x )7 (4 – 9x )
b. (3x + 1 )2 ( x + 2 )4(24x + 23)
c. x
xx2
)122()12( 4 ++
d. x
xx−−−
62)1049)(12(
e. (5 – 2x )5 (41 – 14x)
download@http://math2ever.blogspot.com
B2001/UNIT 4/6 PEMBEZAAN
4.2 PETUA HASIL BAHAGI
Jika y = vu , di mana u dan v adalah fungsi-fungsi bagi x maka
Contoh 4.2
Bezakan terhadap x :
a. y = 10)1( +xx b. y =
1)12( 43
−+
xx
Penyelesaian
a. y = 10)1( +xx
Katakan u = x dan v = ( x + 1)10
1=dxdu dan 9)1(10 += x
dxdv
Menggunakan 2vdxdvu
dxduv
dxdy −
= ,
2vdxdvu
dxduv
dxdy −
=
INPUT
download@http://math2ever.blogspot.com
B2001/UNIT 4/7 PEMBEZAAN
Maka 210
910
))1((10)1()1()1(
++−+
=x
xxxdxdy
210
910
))1(()1(10)1(
++−+
=x
xxx => ])1(10)1([)1( 20
9
+−+
+x
xxx
= 11)1()91(
xx
+−
b. y = 1
)12( 43
−+
xx
Katakan u = ( 2x 3 + 1 )4 dan v = x – 1
)6()12(4 233 xxdxdu
+= dan 1=dxdv
Menggunakan 2vdxdvu
dxduv
dxdy −
=
Maka,
2
43332
)1()1()12()12)(24)(1(
−+−+−
=x
xxxxdxdy
2
323
)1(])12()1(24[)12(
−+−−+
=x
xxxx
= 2
3233
)1(]122424[)12(
−−−−+
xxxxx
= 2
3233
)1(]122422[)12(
−−−−+
xxxxx
download@http://math2ever.blogspot.com
B2001/UNIT 4/8 PEMBEZAAN
Aktiviti 4.2
UJIKAN KEFAHAMAN ANDA SEBELUM MENERUSKAN INPUT SELANJUTNYA…!
Bezakan ungkapan berikut terhadap pembolehubah masing-masing:
a. x−2
3
b. 2321
t+
c. 1
2−zz
d. 1
12 ++
xx
e. 432
−+
xx
f. 112
+−
kk
download@http://math2ever.blogspot.com
B2001/UNIT 4/9 PEMBEZAAN
Maklum Balas Aktiviti 4.2
a. 2)2(3x−
b. 22 )32(6
tt
+−
c. 2)1(2
−−
z
d. 22
2
)1(12
++−−
xxx
e. 2)4(11−
−x
f. 3)1(2
52
+
+
k
k
download@http://math2ever.blogspot.com
B2001/UNIT 4/10 PEMBEZAAN
PENILAIAN KENDIRI 4 Anda telah menghampiri kejayaan. Sila cuba semua soalan dalam penilaian kendiri
ini dan semak jawapan anda pada Maklum Balas yang disediakan. Jika ada masalah yang timbul, sila berbincang dengan pensyarah anda. Selamat mencuba dan semoga berjaya.
1. Dengan menggunakan petua hasildarab atau sebagainya, bezakan terhadap x a. 5)1( −xx
b. 1+xx
c. 5)3)(2( −+ xx
d. 132 −xx
e. 722 )3( −xx
f. )3()52( 22 +− xx
2. Dengan menggunakan petua hasilbahagi atau sebagainya, terbitkan ungkapan berikut:
a. 2)1( −xx
b. 22 )3( +kk
c. 1
3−ll
d. 1
1−+
pp
e. )1(
512
2
mm
−+
f. 152
+−
zz
download@http://math2ever.blogspot.com
B2001/UNIT 4/11 PEMBEZAAN
Maklum Balas Penilaian Kendiri 4
Adakah anda telah mencuba dahulu????? Jika “YA”…, sila semak jawapan anda.
1. a. ( x –1 )4 ( 6x – 1)
b. 12
23++x
x
c. ( x – 3 )4 ( 6x + 7 )
d. 13
29−−
xx
e. 2x( x2 – 3 ) 6 ( 8x2 - 3 ) f. 2 (2x – 5 ) ( 4x2 – 5x + 6 )
2 a. 3)1(1
−−−
xx
b. 3
2
)1()1(3
+−
kk
c. 2)1(2
23−−
ll
d. 2)1(2−
−p
e. 22 )1(14
mm
−
f. 3)1(2)32(3
+
+
zz
TAHNIAH!!!!…..Semoga kejayaan sentiasa mengiringi kehidupan anda….
download@http://math2ever.blogspot.com
B2001/UNIT 5/1 PEMBEZAAN
PEMBEZAAN
OBJEKTIF Objektif Am : Memahami konsep pembezaan bagi fungsi-fungsi trigonometri
mudah, fungsi logarithma dan fungsi eksponen.
Objektif Khusus : Di akhir unit ini, anda dapat :
Menyelesaikan pembezaan bagi fungsi trigonometri mudah.
Menggunakan kaedah-kaedah pembezaan untuk melakukan
pembezaan fungsi trigonometri yang lebih kompleks.
Menyelesaikan pembezaan bagi fungsi logarithma.
Menyelesaikan pembezaan bagi fungsi eksponen.
Menggunakan kaedah-kaedah pembezaan untuk melakukan
pembezaan fungsi logarithma dan fungsi eksponen.
UNIT 5
download@http://math2ever.blogspot.com
B2001/UNIT 5/2 PEMBEZAAN
5.0 Pengenalan
Selain fungsi algebra yang telah dibincangkan di atas, pembezaan juga boleh dilakukan ke atas fungsi-fungsi trigonometri, logarithma dan eksponen. Penggunaan pembezaan dalam fungsi-fungsi banyak digunakan dalam bidang-bidang kejuruteraan, perubatan dan penyelidikan.
5.1 Pembezaan Fungsi Trigonometri
Pembezaan bagi fungsi-fungsi trigonometri dapatlah diringkaskan seperti berikut :
Contoh 5.1
Cari dxdy jika
a. y = sin 3x b. y = kos ( 3x +1 ) c. y = tan ( x 2 + 2 )
Penyelesaian a. y = sin 3x
Mengunakan petua rantai dudy
dxdu
dxdy .=
Katakan u = 3x maka y = sin u
kosxxdxd
=sin
xkosxdxd sin−=
xsekxdxd 2tan =
INPUT
download@http://math2ever.blogspot.com
B2001/UNIT 5/3 PEMBEZAAN
3=dxdu dan ukos
dudy
=
ukos
dxdy 3=
xkos
dxdy 33=
b. y = kos ( 3x + 1)
Katakan u = 3x + 1 maka y = kos u
3=dxdu u
dudy sin−=
)sin(3 udxdy
−= => )13(sin3 +−= xdxdy
c. y = tan (x 2 + 2 ) Katakan u = x 2 + 2 maka y = tan u
xdxdu 2= usek
dudy 2=
usekxdxdy 22= => )2(2 22 += xsekx
dxdy
Daripada contoh-contoh di atas didapati bahawa
)()sin( baxkosabaxdxd
+=+
)sin()( baxabaxkosdxd
+−=+
)()tan( 2 baxsekabaxdxd
+=+
download@http://math2ever.blogspot.com
B2001/UNIT 5/4 PEMBEZAAN
Bandingkan contoh 5.1(b) dengan menggunakan kaedah di atas: Jika y = kos ( 3x + 1), maka a = 3 dan b = 1
dan )13sin(3)13( +−=+ xxkosdxd
Dengan menggunakan Petua Rantai juga, pembezaan fungsi-fungsi trigonometri
dapat dicapai menggunakan petua-petua berikut:
kosxxnxdxd nn 1sinsin −=
xxkosnxkosdxd nn sin1−−=
xsekxnxdxd nn 21tantan −=
dan seterusnya
)()(sin)(sin 1 baxkosbaxanbaxdxd nn ++=+ −
)sin()()( 1 baxbaxkosanbaxkosdxd nn ++−=+ −
)()(tan)(tan 21 baxsekbaxanbaxdxd nn ++=+ −
download@http://math2ever.blogspot.com
B2001/UNIT 5/5 PEMBEZAAN
Aktiviti 5 .1 UJIKAN KEFAHAMAN ANDA SEBELUM MENERUSKAN INPUT SELANJUTNYA…! SILA SEMAK JAWAPAN ANDA PADA MAKLUM BALAS DI HALAMAN BERIKUTNYA.
1. Bezakan setiap yang berikut terhadap x: a. sin 5x
b. kos 4x
c. tan 3x
d. 2 tan x + 3 sin 2x
e kos ( 2x – 5 )
f. sin x + tan ( 2x + 1)
g. sin ( 3 – 4x3 )
h. kos ( 3x 2 + 2 )
i. tan ( 2x2 + 3x + 1 )
2. Bezakan fungsi trigonometri berikut terhadap x:
a. sin 3 4x
b. kos 6 2x
c. tan 2 3x
d. kos 2 ( x 2 + 1 )
e. sin 2 ( 2x + 1 )
f. kos ( x 3)
download@http://math2ever.blogspot.com
B2001/UNIT 5/6 PEMBEZAAN
Maklum Balas Aktiviti 5.1
1. a. 5 kos 5x
b. 4
sin41 x
−
c. 3 sek 2 3x d. 2 sek 2 x + 6 kos 2x
e. – 2 sin ( 2x – 5 )
f. kos x + 2 sek 2 ( 2x + 1 )
g. – 12 x2 kos ( 3 – 4x3 )
h. - 6x sin ( 3x2 + 2 )
i. ( 4x + 3 ) sek2 (2x2 + 3x + 1 ) 2. a. 12 sin 2 4x kos 4x
b. –12 kos 5 2x sin 2x
c. 6 tan 3x sek2 3x d. – 4x kos (x 2 + 1 ) sin ( x 2 + 1 )
e. 4 sin ( 2x + 1 )kos ( 2x + 1) f. –3x 2 sin ( x3 )
download@http://math2ever.blogspot.com
B2001/UNIT 5/7 PEMBEZAAN
5.2 Pembezaan Bagi Fungsi Logarithma
xx
dxd 1ln =
bax
abaxdxd
+=+ )ln(
Contoh 5.2 Bezakan setiap yang berikut terhadap x a. ln x4 b. ln ( 2x2 + 5 )3
c. ln x31− d. ln x2
Penyelesaian a. y = ln x4 => y = 4 ln x Menggunakan petua pembezaan ln, maka
)1(4xdx
dy= =>
x4
b. y = ln ( 2x2 + 5 )3 => 3 ln ( 2x2 + 5 )
)52
4(3 2 +=
xx
dxdy
5212
2 +=
xx
INPUT
xx
dxd 1ln =
download@http://math2ever.blogspot.com
B2001/UNIT 5/8 PEMBEZAAN
c. y = ln x31− => )31ln(21 x−
)313(
21
xdxdy
−−
=
)31(2
3x−
−=
d. y = ln x2 => ln 2 – ln x
xdx
dy 10 −=
x1
−=
download@http://math2ever.blogspot.com
B2001/UNIT 5/9 PEMBEZAAN
Aktiviti 5.2
UJIKAN KEFAHAMAN ANDA SEBELUM MENERUSKAN INPUT SELANJUTNYA…! SILA SEMAK JAWAPAN ANDA PADA MAKLUM BALAS DI HALAMAN BERIKUTNYA.
1. Bezakan fungsi-fungsi berikut terhadap x:
a. ln 3x
b. ln ( 1 – 2x )
c. 4)35(3ln
x−
d. )34(
9lnx−
e. ln (x –1 )(x + 2)5
download@http://math2ever.blogspot.com
B2001/UNIT 5/10 PEMBEZAAN
Maklum Balas Aktiviti 5.2
1. a. x1
b. x21
2−
−
c. x35
12−
d. x34
3−
e. )2)(1(
)12(3+−
−xx
x
download@http://math2ever.blogspot.com
B2001/UNIT 5/11 PEMBEZAAN
5.3 Pembezaan Fungsi Eksponen
Jika y = ex , maka xx eedxd
=
dan axax aeedxd
=
baxbax aeedxd ++ =
Contoh 5.3
Bezakan setiap yang berikut terhadap x
a. e3x b. e 2x +1 c. e 1 – 2x
Penyelesaian
a. y = e3x c. y = e1 - 2x
xedxdy 33= xe
dxdy 212 −−=
b. y = e 2x +1
122 += xedxdy
INPUT
download@http://math2ever.blogspot.com
B2001/UNIT 5/12 PEMBEZAAN
Aktiviti 5 .3
UJIKAN KEFAHAMAN ANDA SEBELUM MENERUSKAN INPUT SELANJUTNYA…! SILA SEMAK JAWAPAN ANDA PADA MAKLUM BALAS DI HALAMAN BERIKUTNYA.
1. Bezakan terhadap x
a. e 2x b. e x/3 c. e 3x + 1 d. e 1 – 2x e. 2e3x + 8e –2x f. e x – e –x
download@http://math2ever.blogspot.com
B2001/UNIT 5/13 PEMBEZAAN
Maklum Balas Aktiviti 5.3
1. a. 2e 2x
b. 3
31 x
e
c. 3e 3x + 1
d. -2e 1 – 2x
f. 6e3x -16e –2x
g. e x + e–x
download@http://math2ever.blogspot.com
B2001/UNIT 5/14 PEMBEZAAN
PENILAIAN KENDIRI 5
Anda telah menghampiri kejayaan. Sila cuba semua soalan dalam penilaian kendiri ini dan semak jawapan anda pada Maklum Balas yang disediakan. Jika ada masalah yang timbul, sila berbincang dengan pensyarah anda. Selamat mencuba dan semoga berjaya.
1. Bezakan yang berikut terhadap x
a. kot x
b. x
xsin
c. tan 2 ( 5x + 3 ) d. sin 2 x + 2 kos 2( x- 1)
2. Bezakan terhadap x a. ln 7x b. 1ln 2 +x
c. 2)34(2ln−x
d. ln (2x –3)(x + 5)4
3. Bezakan terhadap x
a. e x + 1 b. ex + e-x c. ( ex + e-x )2
d. x
x
ee+− −
21
download@http://math2ever.blogspot.com
B2001/UNIT 5/15 PEMBEZAAN
Maklum Balas Penilian Kendiri 5
Adakah anda telah mencuba dahulu????? Jika “YA”…, sila semak jawapan anda.
1. a. – kosek2 x
b. 2
sinx
xxkosx −
c. Katakan y = tan 2 ( 5x + 3 )
Menggunakan pola pembezaan trigonometri di halaman 4/4, maka dy/dx = 5(2) tan (5x + 3 ) sek2 (5x + 3 ) = 10 tan ( 5x + 3 ) sek 2 ( 5x + 3 ) .
d. sin 2x – 10 kos4 (x – 1 ) sin ( x – 1)
2. a. x1
b. 12 +x
x
c. 34
8−
−x
e. Katakan y = ln (2x –3)(x + 5)4
Menggunakan petua log, y = ln ( 2x – 3) + 4 ln (x + 5 )
maka dy/dx = )5
1(4)32(
)2(1+
+− xx
=)5)(32(
)32(4)5(2+−−++
xxxx ⇒
)5)(32(128102
+−−++
xxxx
download@http://math2ever.blogspot.com
B2001/UNIT 5/16 PEMBEZAAN
d. )5)(32(
)15(2+−
−xx
x
3. a. e x + 1 b. ex - e-x
c. Katakan y = ( ex – e –x ) 2 Kembangkan ⇒ y = ex . e x + e –x . e - x – e –x ex – e –x e x = e 2x + e – 2x – 2 dy/dx = 2e 2x +(-2 ) e – 2x = 2 ( e2x – e-2x )
d. 2)2(22
x
xx
eee
+−+−
TAHNIAH!!!!…..Semoga kejayaan sentiasa mengiringi kehidupan anda….
download@http://math2ever.blogspot.com
Recommended