View
2
Download
0
Category
Preview:
Citation preview
Biomatematika 1Parciális deriváltak 2Grádiens
Dr. Bugyi Beáta2019
Parciális derivált - szemléltetése, hőmérséklet eloszlás egy szobában
Melyik irányban változik a legnagyobb mértékben (növekszik, csökken) a hőmérséklet?Mekkora ez a változás?
T ( X, y ) = 20T 2X they PARCIA 'Ll 's DERNA
'
LT
I fcxiy )=
O
(201-2×+49)=2oxOx
y Y
Offx. y )=
d(20t2xt4y )= yOY
x OY x
2 2y=A 'LL ANDO
'
4 21-4=6 TELJES DIFFERENCIA 't
4
dfcx ,y)=df(" Y ) dxtdflxis ) dy .
oxy OY x
= Zdxt 4dg
X= A' LLANDO'
Irány, egységvektorok
azi
, j ,k : EGYSEG VIKTOR
!q hossza = IEGYSEG ↳
eghatarozottiranybai
,X Ii 1=1
, Ij 1=1,
1h14 mutat
j i : X TENG ELY
j : y TENGE LY
k : 2 TENG ELY
"
Ya z 3 3i
I I
717 X
3 i :3EGYSEGET HALA DOK X IRA'
NYBAN →x ) .
, - g- 3 i : - 3 EGYSEGET HALA DOK X IRA
'
NYBAN ←
2J
2x3it2j
:3EGYSEGET HALA DOK AZ X IRA'
NNYAL
ELLEN TETE SEN ←v IRA
'
NYA
Y tana = 23 2=33.70Zj : 2 EGYSEGET HALA DOK tf IRA
'
NYBAN INAGYSA
'
G ( PITAGORASZTETELE )Ji t 2J g2= 32+22 → g
- 3.6
SETTE 'SELT AZ
IRA'
NYT2 - KE RE SEM
4
<
Melyik irányban változik a legnagyobb mértékben (növekszik, csökken) a hőmérséklet?Mekkora ez a változás?INTUITÍV MÓDON
f ( x ,y ) -- 201-2×+4 y dfcx, y ) dfcxiy )
= 2 = 4f ( 4,51=201-2.41-4 - 5=48 d X
ydy ×
X IRAINYBAN ( i )" Y )
= 2 EGYSEGGEL NO"
→ Zi
y IRAINYBAN ( y ) doff " Y )= 4 EGYSEGGEL NO
"→ 4J
y
SETTE 'S : LEGNAGYOBB MERTEK "U N'OVEKEDES : Zit 4J RAINY BAN
V At LTO 2A 'sIRA '
NYA
tana =
42
4=63.430
VA'
LTO 2A 's
MERT E KE
52 53 54
Zi BECSLES
52 - 54 KOZOIT>
•52¥g! 2 't 4
'
g g = 4.
47
481-4.47=52.5
4J v 2 it 4J
f- ( x ,y)=20t2xt4y
f- ( 4,51=201-2.4+4 - 5=48
LEGNAGYOBB MERTEK "U N'OVEKEDES : Zit 4J RAINY BAN
dfcx.gl/bdfCxiy)
oxy OY x
At LTALAINOSAN
Off"Ytyitdffy" 't) ,
j-gradfcxiyl-tlfcx.gl/RA'NYMEfNTllRA'NYMtENTlGRAIDIENS DIEL
operatorDERNA 'LT DERNA 'LT
VEKTOR !
( i :X IRA 'NY ) ( j .
- Y IRA 'NY )
Gradiens, grad f(x,y,z)vektor = irány és nagyságiránya: az f(x,y,z) függvény legnagyobb változásának iránya egy adott P(x,y,z) pontbannagysága: az f(x,y,z) változásának mértéke ebben az irányban
grad fl x , y , 2) =
Off " Yi 2) it 0741912 )y+dfcxiy , 2) qOx Oy02
IRAINYMENTI IRAINYMENTI IRAINYMENTIDERNA
'LT DERNA
'LT DERIV A' LT
i :X IRA'
NY j i Y IRA'
NY k : 21RAINY
A domborzati viszonyokat az alábbi függvény írja le. Egy adott pontból (P) melyik irányban kell elindulni, hogy a legmeredekebb úton haladjuk? Mekkora ebben az irányban a szintemelkedés? Ha a pontban (P) egy labdát leejtünk melyik irányban fog gurulni? Mekkora ebben az irányban a lejtés?
2 3
fcxiy ) = Xy-
Xy
# P( 2,1 ) fl2,17=271
- 2.13=2
dflxiy)=2×y - y's OFCXIY)=×2 - 3xy
'
ox Oy
Off 2111=2.21- 13=3 OFCXIY )= 22-3.212=-2
ox Oy
IRAINYMENTI DERNA 'lT
X : 3iy : -2J
GRADIENT
gradfcx , y ) = grad f ( 2,1 )=3i - 2J LEGNAGYOBBEMELKEDES
#
LABDA LEGNAGYOBB LEITE 'S
LEGNAGYOBBEMELKEDES
gradfcx , y ) = grad f- ( 2,1 )=3i - 2J
LEGNAGYOBB LEITE 'S
- gradfcx , y )= - grad f ( 2, 1) = -Di -2j)= - 3it2j
LEGNAGYOBBEMELKEDES
grad FC 2,1 )=3i - 2g. tante } 9=33.70
-2g.-2 g2=22t5g= 3.6 ( m )
- 11
- 3i a) 233inI I I > X3
I1,2J2
y'
- grad fc2.tl ) - - 3it2j
LEGNAGYOBB LEITE 'S
Ji
- 2J 4
# PC 1,2) fcxiy ) -12.2-1.23=-6
Off,YiY)=2×y - y's OFCXIY)=×2 - 3xy
'
Oy
Off
2111=2.1. z - 23
076141=12-3.1-22=-11
ox Oy
IRAINYMENTI DERNA 'lT
x :- 4i
y : - MjGRADIENS
gradfcxiy ) = gradfu
,
2)= - 4i - Mj
11
gradfcl , 2) = - 4i -
Mj tuna = 4=7004
→ ,g
-= 4 't 11
"
g= in 7 ( m )
'
,
- Mj/
I
I
I
I
s
I
I
K '
I I I I g X- 4
- 4i>
y
A baktériumok esetén a kemotaxis fontos a tápanyagok fellelésében (pl. glükóz). A kemotaxis során a baktériumok mindig a koncentráció legnagyobb változásának irányában mozognak. A glükóz koncentrációját az alábbi függvény írja le. Milyen irányban indul el a baktérium? Ebben az irányban mekkora a koncentráció változása?
C ( x ,y)= Xl y- xy Play )=P(
3,2)
( 0¥)y=2xy
-
y -_2-3.2-2=10do XL -
x=32-3=6 6J > y
( Ty )x=j
ygradccxiy )
p a )g
gradccx ,y)= doit Gj i
tantto
Aoi6
4=590s
×
g2= 62+10"
g= 11.66 ( mm )
Diffúzió
FICK I.
TORVENYEGRA
"
DIENSSEL ELLEN TES IRA' NYU ANYAGDKAMLA's
ANYAGAKAM silk"usEGg
,
On f KONCENTR At GO
F = ) GRA 'D LENSOA Ot
F =-DOC
(mole
)OX
m2 's [DIFF 'u2lO'sEGYIIITHATO
'
OA OA
.
-.
.
. of . .
.
-.
.'
. X .
GRA'
DIENS ANYAG A' RAMLA 'S
FICK I.
TORVENYE
AD CC x )
dux )F = - D i
ox
3D ccxiy , 2)
F = - Dgradccxiy , 2) = - D 0%41912) it %×yHMj +04×1812)q02
FICK Il.
TORVENYE C ( x, Y ,2 ,
t )
ID C ( x ,t )
g2
.DERNA 'LT
dccxit ) 02Gt )=DOt 0×2F I
A KONCENTRAICIO'
GRA 'D LENS
AKONCENTRA'
CIO"
MEGVAILTOZA 'S At NAK SEBESSEGEID BELI VALTOZA 'S A
3D CC x , y , a,
t )2 2 2
OCCXIY 121T)
=D02cg,y,z , f) =D
dclxiyiz ,t ) dccxiyiz ,
t )+
dccxiyiz ,t )
Ot 0×2t
Oyl Ozz
A kálium ionok koncentrációját az alábbi függvény (c(x,y)) írja le, számítsa ki az x és az y irányú valamint az eredő koncentrációgrádienst egy adott P pontban.
- x'
D= 1. 95.10512C ( x ,y)=3y
'te
s
PC 1,3 )
do - x'
do
(a) y-- Ot I YC
- 2x ) = - 2xe ( Oy)× =3 . 2y=6y-12
= - 2.1 . C = - 0.74 = 6.3=18
IRAINYMENM DERNA 'LT
X : -0.74 i y= 18J
GRADI ENS
gradccxiy ) - -0.74 it 18J
- y- 0.74in
a XI I 18
µ tank = 87.6400.74
g2=( 0.74 ) 't ( 1812
gradccxiy ) -
- no
g- 18.021mm )
= -0.74in -118J18J
- 20
v Y
Recommended