View
10
Download
1
Category
Preview:
Citation preview
BİYOİSTATİSTİK
Dr. Öğr. Üyesi Aslı SUNER KARAKÜLAH
Ege Üniversitesi, Tıp Fakültesi, Biyoistatistik ve Tıbbi Bilişim AD.
Web: www.biyoistatistik.med.ege.edu.tr
Bazı Olasılık Dağılışları
1
• Uygulamalı bilim dallarında çoğu
kez üzerinde araştırma yapılan
özellikler, belirli varsayımlar
altında belirli olasılık dağılışları
göstermektedir.
• Doğada ve deneysel ortamlarda,
çoğu olay belirli olasılık kurallarına
göre oluşmaktadır.
• Şans değişkeni (rassal değişken)
sınıflamasına uygun olarak, kesikli ve
sürekli şans değişkenleri için uygulamada
yaygın olarak pek çok olasılık dağılımı
kullanılmaktadır.
• Binom
• Negatif Binom
• Geometrik
• Poisson
Olasılık Dağılımları
Kesikli değişkenler için
Sürekli değişkenler için
• Uniform
• Üssel
• Gamma
• Weibull
• Normal
• Deney birbirine benzer şekilde n kez tekrarlanır.
• Tekrarlanan bu n deneyin her birinin sonunda iki olaydan biri gözlenir (HT+, HT-).
• Her deneyde (+) sonucunun gözlenme olasılığı p’ye eşittir ve değişmez. ((-) olasılığı, p+q=1, q=1-p)
• p=q ise dağılım simetriktir, aksi halde dağılım çarpıklık gösterir.
• Deneyler birbirinden bağımsız olarak yapılmaktadır.
• Bizim ilgilendiğimiz şans değişkeni (X), n defa tekrarlanan deneylerin sonucunda (+) sonuçların gözlenme sıklığıdır.
Bu deneme bir BİNOM denemesidir. 5
1. Binom Dağılımı (Kesikli Dağılım):
• Binom Dağılımı Örnekleri;
– Yazı-tura denemeleri
– Bir soruya verilen evet-hayır cevabı
– Bir laboratuar testinin sonucunun + ve – çıkması
– Rasgele seçilen bir kişinin sigara içip içmemesi
– İncelenen bir elektronik devrenin bozuk olup
olmaması
– Bir kişinin hasta olup olmaması vb.
X: 50 yaş üzeri erkeklerde HT görülme sıklığı
n→ deneme yapıldığında (gözlem sayısı)
x = 0,1,2,….,n (Kesikli şans değişkeni)
P(X=x)=?
P(X≤x) =?
7
1. Binom Dağılımı (devam):
8
X ~ B(n,p) x = 0,1,2,….,n
P(X=x) =
P(X≤x) =
μ = E(x) = np σ2 = E(x-μ)2 = npq
x
x
xnxqpx
n
0
xnxxnx qp
xnx
nqp
x
n
!!
!
1. Binom Dağılımı (devam):
Herhangi bir ameliyatta başarı oranının %40 olduğu bilinsin. 5 hasta ameliyat edildiğine göre;
a) Bu 5 hastanın kaçında başarı beklersiniz?
b) En az 4 başarı olasılığı nedir?
Örnek 1
Herhangi bir ameliyatta başarı oranının %40 olduğu bilinsin. 5 hasta ameliyat edildiğine göre;
a) Bu 5 hastanın kaçında başarı beklersiniz?
b) En az 4 başarı olasılığı nedir?
a) X: Başarılı geçen operasyon sayısı
X~B(n=5;p=0.40) x = 0,1,2,3,4,5
E(X) =µ=(n)*(p)=5*0.4=2 operasyon
b)
Örnek 1
Bir şehirde bulunan 4 ambulansın herhangi bir
zamanda servise çıkmaya hazır olması
olasılığı 0.8’dir ve ambulanslar birbirinden
bağımsız olarak hareket etmektedir. Herhangi
bir gereksinim olduğunda;
a) Sadece 2 ambulansın hazır olma olasılığı
nedir?
b) En az 2 ambulansın hazır olma olasılığı nedir?
c) 4 ambulansın birden hazır olma olasılığı
nedir?
Örnek 2
a) Sadece 2 ambulansın hazır olma olasılığı
nedir?
Ambulanslar birbirinden bağımsız hareket
ettikleri ve her birinin servise çıkmaya hazır
olma olasılıkları birbirine eşit olduğu için,
deney bir binom denemesidir.
n=4 ve p=0.8 olarak soruda verilmiştir.
1536.0)04.0)(64.0(
!24!2
!4
)2.0()8.0(2
4)2(
)2.0()8.0(4
)(
242
4
XP
xxXP xx
b) En az 2 ambulansın hazır olma olasılığı
nedir?
9728.0
)2.0()8.0(1
4)2.0()8.0(
0
41
)1()0(1
)4()3()2()2 azen (
141040
PP
PPPP
c) 4 ambulansın birden hazır olma olasılığı
nedir?
4096.0)2.0()8.0(!0!4
!4
)2.0()8.0(4
4)4(
04
444
XP
2. Normal Dağılım (Sürekli Dağılım)
• X şans değişkeni süreklidir. Genellikle ölçümle elde edilir.
• Sürekli bir şans değişkeni olan X, normal dağılıma uyuyor ise,
X~N(µ ,σ2) olur.
• µ, popülasyon ortalamasını ve 2, popülasyon varyansı olmak üzere olasılık fonksiyonu,
-∞ < x < ∞, -∞ < µ < ∞ ve 2>0
21
21( )
2
x
f x e
16
• Gauss tarafından bulunup özellikle ölçüm hatalarının
dağılımlarının incelenmesinde kullanılmaktadır.
• İstatistik teorisinin bel kemiği olan normal dağılım, çan
eğrisi şeklindeki eğrisi ile bilimsel ve teknolojik
araştırmalarda üzerinde çalışılan pek çok değişkenin
modellenmesinde kullanılmaktadır.
• Bazı koşullar sağlandığında kesikli ve sürekli pek çok
değişken normal dağılıma yaklaşım gösterir.
19
• Dağılım ortalamaya göre
simetriktir.
• Alanın %50’si ortalamadan
geçen dikey çizginin sağına,
%50’si soluna düşer.
• Simetrik bir dağılım olduğu için,
eğri altında kalan toplam alan
bir birim karedir.
µ ( ) 1f x dx
• Aritmetik ortalama, ortanca ve tepe değeri birbirine
eşittir.
µ
Eğri altında kalan alan = Olasılık
%68,26
µ- µ+
P (µ - ≤ x ≤ µ+) = 0,6826 20
µ
%95,44
µ-2 µ+2
P (µ - 2 ≤ x ≤ µ+2) = 0,9544 21
Eğri altında kalan alan = Olasılık
µ
%99,74
µ-3 µ+3
P (µ - 3 ≤ x ≤ µ+3) = 0,9974 22
Eğri altında kalan alan = Olasılık
23
Normal dağılımda ampirik kurala göre;
µ ± sınırları verilerin %68.26’sını,
µ ± 2 sınırları verilerin %95.44’ünü,
µ ± 3 sınırları verilerin %99.74’ünü
kapsar.
24
Normal dağılımda yığılımlı (birikimli) olasılıklar
işlemi ile,
herhangi [a b] aralığına ilişkin olasılık
işlemi ile bulunabilir.
Yukarıdaki hesaplamaları yapmak kolay
olmadığından, bu hesaplamalar için standart
normal dağılım dönüşümünden yararlanılır.
b
dxxfbXP )()(
b
a
dxxfbXaP )()(
25
3. Standart Normal Dağılım
• Normal dağılımın özel bir biçimidir. Normal
dağılıma dayalı hesaplamalarda kullanıcılara
kolaylık sağlar.
• X ~ N (0, 1)
• µ = 0 ve 2 = 1 dir.
• Yoğunluk fonksiyonu aşağıdaki gibidir:
2
2
1
2
1)(
z
ezf
26
• Eğer bir X şans değişkeninin (ş.d.) normal dağıldığı biliniyorsa
eşitliği ile elde edilen z değerleri ortalaması 0 ve varyansı 1 olan standart normal dağılıma uyar.
Dağılımın grafiği aşağıdadır:
xz
µ=0 Z
Z~N(µ=0 ,σ2=1)
X şd.: Bebeklerin doğum ağırlığı (gr.)
X ~ N ( = 3100 ; 2 = 90000)
a) Doğum ağırlığının 2500 gr’ın altında olma olasılığı nedir?
b) Doğum ağrılığının 2500-3500 gr arasında olma olasılığı nedir?
28
Örnek 3:
3100 2500
xz
z = 2500-3100
300
z = -2
X şd.: Bebeklerin doğum ağırlığı (gr.)
X ~ N ( = 3100 ; 2 = 90000)
a) Doğum ağırlığının 2500 gr’ın altında olma olasılığı nedir?
b) Doğum ağrılığının 2500-3500 gr arasında olma olasılığı nedir?
29
Örnek 3:
0 -2 Standart Normal Dağılım Tablosu kullanarak
4 7 7 2.0)20(
)2()2 5 0 0(
ZP
ZPXP
0 2 2 8,04 7 7 2,05,0)2( ZP
0,4772
32
0,0228
0 -2 1,33
0,4772 0,4082
21
z
xz
33.1
300
31003500
2
2
z
z
8 8 5 4.04 0 8 2.04 7 7 2.0
)3 3.12()3 5 0 02 5 0 0(
ZPXP33
Alıştırmalar
1. Aynı koşullar altında n kez tekrarlanan
deneyde istenilen sonucun elde edilme
olasılığı ………….…………………..
dağılımında denemeden denemeye
değişmez.
1. Aynı koşullar altında n kez tekrarlanan
deneyde istenilen sonucun elde edilme
olasılığı ……binom…………………..
dağılımında denemeden denemeye
değişmez.
2. …………. Dağılımda, aritmetik
ortalama, ortanca ve tepe değeri birbirine
eşittir.
2. …Normal…. Dağılımda, aritmetik
ortalama, ortanca ve tepe değeri birbirine
eşittir.
3. Eğer bir X şans değişkeninin (ş.d.) normal
dağıldığı biliniyorsa, bu X şans değişkeni
kullanılarak yapılan z dönüşümü ile elde
edilen z değerleri ortalaması ……….. ve
varyansı ………. olan standart normal
dağılıma uyar.
3. Eğer bir X şans değişkeninin (ş.d.) normal
dağıldığı biliniyorsa, bu X şans değişkeni
kullanılarak yapılan z dönüşümü ile elde
edilen z değerleri ortalaması …..0….. ve
varyansı …..1…. olan standart normal
dağılıma uyar.
4. Normal dağılımda ampirik kurala göre;
µ ± 3 sınırları verilerin %95.44’ünü
kapsar.
Yanlış
5. Bir binom deneyi için aşağıdaki koşullardan hangileri geçerlidir.
I) Denemler birbirinden bağımsız olmalıdır.
II) n tane özdeş deneme olmalıdır.
III) İki sonucun olasılıkları denemeden denemeye değişmeyip hep aynı olmalıdır.
a. I ve II b. I ve III c. II ve III d. I,II ve III
Recommended