Ders 14 - siirt.edu.tr · 1 Ders 14 Bazı Kesikli Olasılık Dağılımları-I Bazı Kesikli Olasılık Dağılımları • Bernoulli Dağılımı • Binom Dağılımı(İkiTerimli

1

Ders 14

Bazı Kesikli Olasılık Dağılımları-I

Bazı Kesikli Olasılık

Dağılımları

• Bernoulli Dağılımı

• Binom Dağılımı (İki Terimli Dağılım)

• Çok Terimli Dağılım

• Geometrik Dağılım

• Negatif Binom Dağılımı

• Hipergeometrik Dağılım

• Poisson Dağılımı

• Düzgün (Uniform) Dağılım

Bernoulli Rasgele Değişkeni

Tanım 6.2.1: Bir X rasgele değişkeni için yalnız iki sonuç

varsa X’e Bernoulli rasgele değişkeni denir.

Bir denemede elde edilecek iki sonuç için genellikle 0 ve 1

değerleri karşılık getirilir. 1 değeri belli bir denemenin

başarılı olmasına, 0 ise başarısızlığına karşılıktır.

Bernoulli Dağılımı

Örnek 6.2.1: Aşağıdaki denemelerde Bernoulli rasgele

değişkenini tanımlayınız.

1) Para atılması

2) İçinde M siyah ve N beyaz top bulunan bir kavanozdan

bir top çekilmesi

3) Kusurlu ve kusursuz parçaların bulunduğu bir kutudan

bir parça çekilmesi

2


Tanım 6.2.2: (Bernoulli Dağılımı) X rasgele değişkeni

0 ve 1 değerlerini alsın. X’in olasılık fonksiyonu:

1

( 1)

( 0) 1 yada

( ) ( ) .(1 ) , 0,1 dir. x x

P X p

P X p q

f x P X x p p x

Bu dağılıma Bernoulli dağılımı denir.


1( ) ( ) .(1 ) , 0,1 x xf x P X x p p x

Teorem 6.2.1: X, Bernoulli dağılımına sahip bir rasgele

değişken olsun.

Bernoulli dağılımının ortalaması μ ve varyansı σ2, sırasıyla

2 2 2

( )

( ) [ ( )] . .(1 )

E X p

E X E X p q p p


1 11

0 0

( ) . ( ) . (1 )x x

x x

E X x f x x p p p

2 2 2

12 2 1

0

( ) [ ( )]

( ) . (1 )x x

x

E X E X

E X x p p p

İspat: Beklenen değer tanımından

2 2 (1 ) .p p p p p q

Binom Dağılımı

(İki Terimli Dağılım)

Tanım 6.3.1: (Binom Rasgele Değişkeni) Birbirinden

bağımsız n Bernoulli denemesinden başarılı olanların

toplam sayısı X rasgele değişkeni olsun. Bir tek deneme

için başarılı olma olasılığı p, başarısız olma olasılığı 1-p

ise aşağıdaki koşulları sağlayan X’e binom rasgele

değişkeni denir.

3

Binom Dağılımı


1) Deney n özdeş denemeden oluşmaktadır.

2) Her bir deneme için yalnız iki sonuç vardır.

Başarı (S) ve başarısızlık (F)

3) Bir tek deneme için başarı olasılığı olan p her deneme

için aynıdır. Başarısızlık olasılığı q=1-p dir.

4) Denemeler birbirinden bağımsızdırlar.

Binom Dağılımı


Örnek 6.3.1: Aşağıdaki deneylerde tanımlanan X, binom rasgele

değişkenidir.

1) Bir para 10 kez atılsın. X rasgele değişkeni gözlenen turların

sayısıdır.

2) İçinde 8 siyah ve 4 beyaz top bulunan bir kavanozdan tekrar

yerine koyarak 3 top çekilsin. X rasgele değişkeni çekilen siyah

top sayısıdır.

3) İçinde 3 kusurlu ve 7 kusursuz parça bulunan bir kutudan tekrar

yerine koyarak 4 parça seçelim. X rasgele değişkeni seçilen

kusurlu parçaların sayısıdır.

Binom Dağılımı


Teorem 6.3.1: (Binom Dağılımı) Birbirinden bağımsız n

Bernoulli denemesi için X, her bir denemede başarı

olasılığı p, başarısızlık olasılığı q olan binom rasgele

değişkeni ise, X’in olasılık fonksiyonu:

( ) . . , x=0,1,2,...,nx n xn

f x p qx

Binom Dağılımı


İspat: n bağımsız denemede başarı sayısı X; 0, 1, …, n

olabilir.SSS…..S

x

FFF…..F

n-x

Çarpım teoreminden ilk x denemenin başarılı, geri kalan

n-x denemenin başarısız olması olasılığı px.(1-p)n-x dir.

Denemeler birbirinden bağımsız olduğundan diğer bir x

“başarı” ve n-x “başarısızlık” dizisinin olasılığı da px.qn-x dir.

Bir grupta x, diğerinde n-x sonuç bulunan n sonucun farklı

dizilerinin sayısı dir.n

x

4

Binom Dağılımı


Bir defada bir olay elde edileceğinden bu olaylar ayrıktır.

Toplama kuralı nedeniyle f(x) (n denemedeki başarı sayısı)

aşağıdaki gibidir.

( ) . . , x=0,1,2,...,n (Binom Dağılımı)x n xn

f x p qx

Olasılıklar toplamı:

0 0

( ) . . ( ) 1n n

x n x n

x x

nf x p q p q

x

Binom Dağılımı


Örnek 6.3.2: Bir para 4 kez atılsın.

a) İki tura

b) En az bir tura

c) 1’den fazla tura gelmesi olasılıkları nedir?

Binom Dağılımı


44 1 1

( ) ( )2 2

x x

f x P X xx

Çözüm: 4 atıştaki turaların sayısı X olsun. Böylece X

rasgele değişkeni için olasılık fonksiyonu

a) İki tura gelme olasılığı

2 4 24 1 1 1 1 3

(2) ( 2) 6. .2 2 2 4 4 8

f P X

Binom Dağılımı


b) En az bir tura elde etme olasılığı, bir yada daha çok tura

elde etme olasılığına eşittir.

0 4 0

( 1) ( 1) ( 2) ( 3) ( 4) 1 ( 0)

4 1 1 1 151 . . 1

0 2 2 16 16

P x P X P X P X P X P X

c) Birden fazla tura elde etmenin olasılığı

4 4

( 1) ( 2) ( 3) ( 4)

1 ( 0) ( 1)

1 1 111 4.

2 2 16

P X P X P X P X

P X P X

5

Binom Dağılımı


( ) . . , x=0,1,2,...,n x n xn

f x p qx

Teorem 6.3.2: X rasgele değişkeninin olasılık fonksiyonu

aşağıdaki gibi olsun.

2 2 2

( )

( ) [ ( )]

E X np

E X E X npq

Binom Dağılımı


İspat: Binom rasgele değişkeni X, her biri 1 değerini p,

0 değerini 1-p olasılığı ile alan n bağımsız Xi, Bernoulli

değişkeninin toplamıdır.

X=X1+X2+…+Xn olduğundan

1 2( ) ( ... )

...

nE X E X X X

p p p np

Binom Dağılımı


X’in varyansı:

2

1 2( ) ( ... )nVar X Var X X X

Xi’ler bağımsız olduklarından

2

1 2( ) ( ) ( ) ... ( )

...

nVar X Var X Var X Var X

pq pq pq

npq

Binom Dağılımı


Örnek 6.3.6: Üç ildeki üç farklı göreve, üç farklı meslekten,

üç aday başvuruyor. Her adayın bulunduğu ildeki göreve

seçilmesi olasılığı 1/3 olmak üzere en az birinin oturduğu

ilde görev alma olasılığı nedir?

p=1/3 (Adayın oturduğu ilde göreve seçilmesi)

q=2/3 (Adayın oturduğu ilde göreve seçilmemesi)

6

Binom Dağılımı

(İki Terimli Dağılım)Çözüm:

Binom deneyi için koşullar:

1) n=3 (sabit)

2) Her aday ya yaşadığı yere görevli gider, ya da gidemez.(iki

sonuç var)

3) p=1/3, q=2/3 (Her aday için aynıdır)

4) Görevlendirmeler bağımsızdır.

0 3

( 1) 1 ( 0)

3 1 2 191 . .

0 3 3 27

P X P X

İstenen olasılık:

Çok Terimli Dağılım

(Multinomial Distribution)

Bir deneyde E1, E2, …, Ek ile gösterilen ayrık sonuçların

elde edildiğini kabul edelim. Denemeler n kez

tekrarlandığında her bir Ei’nin (i=1, 2, …, k) elde ediliş

sayısının ortak dağılımı çok terimli dağılımdır. Çok

terimli dağılım binom dağılımının genelleştirilmesidir.

Çok Terimli Rasgele

Değişken

Tanım 6.4.1: E1, E2,…, Ek bir deneyin ayrık sonuçları

olsunlar. (X1, X2, …, Xk) rasgele değişkeni n bağımsız

denemede her bir Ei’nin elde ediliş sayısını göstermek

üzere bir tek denemede Ei’nin elde edilme olasılığı pi

(i=1, 2,…, k) olsun. Bu takdirde (X1, X2, …, Xk) rasgele

değişkenine çok terimli rasgele değişken denir.

Çok Terimli Rasgele Değişken

Örnek 6.4.1:

1) Bir kavanozda N1 siyah, N2 kırmızı, N3 yeşil top vardır.

Yine yerine koyarak ardışık olarak n top çekilmiş olsun.

Çekilen siyah topların sayısı X1, kırmızı topların sayısı X2,

yeşil topların sayısı X3 olsun. Bu durumda (X1, X2, X3) çok

terimli rasgele değişkendir.

2) 52’lik bir desteden ardışık olarak yine yerine koyarak 13

kart çekiliyor. Çekilen kupaların sayısı X1, karoların sayısı

X2, maçaların sayısı X3, sineklerin sayısı X4 olsun. (X1, X2,

X3, X4) çok terimli rasgele değişkendir.

7


1 2

1 2 1 2

1 2

!( , ,..., ) . ...

!. !... !kxx x

k k

k

nf x x x p p p

x x X

Teorem 6.4.1: (X1, X2, …, Xk) bir tek denemede pi olasılıkları

(i=1, 2, …, k) ile n bağımsız denemeden oluşan bir deney için

çok terimli rasgele değişken ise (X1, X2, …, Xk)’nin ortak

olasılık dağılımı aşağıdaki f fonksiyonu ile verilir.

Xi=0,1,2,…,n ve i=1,2,…,k.

1 1

, 1 dir.k k

i i

i i

x n p

Bu dağılıma çok terimli dağılım denir.


1 2

1 2. ... kxx x

kp p p

İspat: n bağımsız denemede belli bir sırada E1’in x1 kez,

E2’nin x2 kez, …, Ek’nın xk kez elde edilmesi olasılığı:

Olayların herhangi bir sırada elde edilmesi ile

ilgilendiğimizden buradaki ayrık yolların sayısı:

1 2

!

!. !... !k

n

x x x


1 2

1 2 1 2

1 2

0,1,...,!( , ,..., ) . . ...

1,2,...!. !... !k ixx x

k k

k

x nnf x x x p p p

i kx x x

Bu olasılık fonksiyonu (p1+p2+…+pk)n’nin çok terimli

açılımındaki genel terim olduğundan bu olasılık dağılımına

çok terimli dağılım denir.

Bu dağılım k=2 için iki terimli binom dağılımına indirgenir.

olmak üzere (X1, X2, …, Xk) rasgele

değişkeninin ortak olasılık fonksiyonu:1 1

ve 1k k

i i

i i

x n p


Örnek 6.4.2: Bir zar 12 kez atılsın. İki kere 1, üç kere 2, bir

kere 3, iki kere 4, üç kere 5, bir kere 6 gelmesi olasılığı nedir?

(X1,X2,…,X6) rasgele değişkeni çok terimli dağılıma sahiptir.

1 2 3 4 5 6

1, 1,2,...,6; 2, 3, 1, 2, 3, 1

6

12

ip i x x x x x x

n

2 3 1 2 3 1 12

( 1 2, 2 3, 3 1, 4 2, 5 3, 6 1) (2,3,1,2,3,1)

12! 1 1 1 1 1 1 11! 1. . . . . . .

2!.3!.1!.2!.3!.1!. 6 6 6 6 6 6 12 6

P X X X X X X f

8


Teorem 6.4.2: (X1,X2,…,Xk) rasgele değişkeni çok terimli

dağılıma sahip olsun. Bu durumda,

( )

ve

( ) (1 ), 1,2,...,

i i

i i i

E X np

Var X np p i k

Geometrik Dağılım

Bir deneyin bağımsız Bernoulli denemelerinden

oluştuğunu kabul edelim. İlk “başarıyı” elde edinceye

kadar bağımsız denemeleri yapmaya devam edersek, ilk

başarının elde edilmesi için gereken denemelerin sayısı

geometrik rasgele değişkendir.

Geometrik Rasgele

Değişken

Tanım 6.5.1: Bağımsız Bernoulli denemelerinin bir

dizisinde her bir deneme için başarı olasılığı p ve ilk

başarının elde edilmesi için gerekli denemelerin sayısı X

rasgele değişkeni olsun. Bu durumda X’e geometrik

rasgele değişken denir.

Geometrik Rasgele

Değişken

Örnek 6.5.1: Aşağıdaki örnekler geometrik rassal

değişkenlerle ilgilidir.

1) Bir para tura gelinceye kadar atılsın. X ilk turayı bulmak

için gereken atışların sayısı olsun. X, geometrik rassal

değişkendir.

2) Bir kutuda 6 kusurlu, 7 kusursuz parça vardır. Parçalar

ardışık olarak tekrar yerine konarak çekiliyor. Burada X,

kusurlu parça elde edilinceye kadar gereken çekilişlerin

sayısı X geometrik rassal değişkenidir.

9


Teorem 6.5.1: X, bir tek denemede başarısızlık olasılığı

q=1-p ve başarı olasılığı p olan geometrik rassal değişken

ise, X’in olasılık fonksiyonu:

1( ) ( ) . , 1,2,...xf x P X x q p x


İspat: İlk başarının elde edilmesi için gereken denemelerin

sayısı X, 1,2,3,… değerlerinden biri olabilir. X-1, ilk

başarıdan önceki denemelerin sayısı olsun.

1( ) ( ) . , 1,2,...xf x P X x q p x

FF… … F S

X-1

X-1 başarısızlığı, başarının takip ettiği dizinin olasılığı qx-1.p dir


1,2,3,… denemede ilk başarının elde edilmesi olasılıkları

aşağıdaki sonsuz serideki ardışık terimlere karşılık gelir.

2

2

1

( ) . . ...

:

1( ) .(1 ...) . 1

1x

f x p q p q p

Olasılıklar Toplamı

f x p q q pq


Örnek 6.5.2: 1 elde edinceye kadar zarı atalım.

a) Bağımsız atışlar dizisinde, ilk 1’in elde edilmesi için

gereken atışların sayısının olasılık fonksiyonu nedir?

b) 3. atışta 1 bulmanın olasılığı nedir?

10

Geometrik DağılımÇözüm:

a) X’in olasılık fonksiyonu:

15 1

( ) ( ) . , 1,2,...6 6

x

P X x f x x

b) 3. atışta 1 elde etme olasılığı:

3 1 25 1 5 1

( 3) (3) . .6 6 6 6

25

216

P X f

Geometrik DağılımTeorem 6.5.2: X rassal değişkeninin olasılık fonksiyonu

aşağıdaki gibi olsun.

1( ) . , 1,2,...xf x q p x

Bu durumda

2 2 2

2

1( )

( ) [ ( )]

E xp

qE X E X

p

Geometrik Dağılımın

ortalama ve varyansı

1

Bazı Kesikli Olasılık Dağılımları-II

Ders 15

Negatif Binom Dağılımı

Varsayalım ki bir deney birbirinden bağımsız Bernoulli

denemelerinden oluşmaktadır. Bu deneye K başarı elde

edinceye kadar devam edersek, K başarının elde edilmesi

için gerekli denemelerin sayısı negatif binom rasgele

değişkenidir.

Binom Dağılımı Negatif Binom Dağılımı

Rassal Değ.: Başarı Sayısı

Sabit : Deneme Sayısı

Rassal Değ.: Deneme Sayısı

Sabit : Başarı Sayısı

Negatif Binom Rassal

Değişkeni

Tanım 6.6.1: Bağımsız Bernoulli denemeleri dizisinde her

bir denemede başarı olasılığı p olmak üzere K≥1

başarının elde edilmesi için gereken denemelerin sayısı X

rasgele değişkeni olsun. Bu durumda X’e negatif binom

rasgele değişkeni denir.

Negatif Binom Rassal

Değişkeni

Örnek 6.6.1:

1) 3 tura gelinceye kadar bir paranın ardışık olarak atılması

durumunda X, “3 tura elde etmek için gereken atışların

sayısı” negatif binom rassal değişkenidir.

2) Bir kutuda 3 kusurlu, 7 kusursuz parça vardır. Parçalar

tekrar yerine konularak ardışık olarak çekildiği durumda

X, “3 kusursuz parça elde edinceye kadar gerekli

çekilişlerin sayısı” negatif binom rassal değişkenidir.

2

Negatif Binom Dağılımı

Teorem 6.6.1: Bir tek denemedeki başarısızlık olasılığı

q=1-p ve başarı olasılığı p olmak üzere, X negatif binom

rasgele değişkeni ise, K başarının gerçekleşmesi için, X

rasgele değişkeninin olasılık fonksiyonu aşağıdadır:

1( ) . .(1 ) , x=K, K+1,...

1

K x Kx

f x p pK

Bu fonksiyona PASCAL Dağılımı da denir.

K=1 ise Negatif Binom Dağılımı, Geometrik Dağılıma indirgenir.

İspatK ve x için sabit değerler seçip A ve B olaylarını düşünelim.

1( ) . .(1 ) , x=K, K+1,...

1

K x Kx

f x p pK

A={İlk x-1 deneme K-1 başarı içeriyor}

B={x’nci denemede başarı var}

Denemeler bağımsız kabul

edildiğinden A ve B birbirinden

bağımsızdır (P(B)=p) .

( ) ( ) ( ) ( ). ( )f x P X x P A B P A P B

(x-1)<(K-1) yada eşdeğer olarak x<K için P(A)=0’ dır.

1 1 ( 1)1

( ) . . . (x K ise)1

K x Kx

f x p q pK

Sonuç:

Örnek

Örnek 6.6.2: Bir zar atılsın. Yedinci atışta üçüncü kez 6

elde etme olasılığı nedir?

Çözüm:

x=7, K=3 ve p=1/6 olmak üzere

3 46 1 5

(7. denemede 3. kez 6 elde etme) . .2 6 6

P

Negatif Binom Dağılımın

Beklenen Değeri ve Varyansı

Teorem 6.6.2: X rasgele değişkeni negatif binom dağılıma

sahip olsun. Bu durumda;

( )K

E Xp

2

2

Kq

p

3

İspatX1= İlk başarıya kadar gereken denemelerin sayısıX2= İlk başarıdan ikinci başarıya kadar (ikinci başarı dahil) iki

başarı arasındaki denemelerin sayısı ...

XK= (K-1)’nci başarı ve K’ncı başarı arasındaki (K’ncı dahil) gereken denemelerin sayısı

K başarı için istenen denemelerin toplam sayısı:

X=X1+X2+…+XK’dır (Xi’lerin her biri geometrik dağılıma sahip

bağımsız rassal değişken).

E(Xi)=1/p (i=1,2,…,K) (Geometrik Dağılımın Beklenen Değeri)

1 2

1 1 1( ) ( ) ( ) ... ( ) ...K

KE X E X E X E X

p p p p

İspat

Xi’ler (i=1,2,…,K) bağımsız olduğundan

2

1 2( ) ( ) ( ) ... ( )KVar X Var X Var X Var X

2( ) (i=1,2,...,K) (Geometrik Dağılımın Varyansı)i

qVar X

p

2

2 2 2 2( ) ...

q q q KqVar X

p p p p

Hipergeometrik Dağılım

Tanım 6.7.1: Sonlu sayıda N öğeden oluşan bir kitle

içinde belli bir A tipindeki öğelerin sayısı a olsun. Tekrar

yerine koymaksızın rasgele çekilen ve n birimden oluşan

bir örneklemdeki A tipinden öğelerin sayısı X olsun. Bu

durumda X’e hipergeometrik rassal değişken denir.

Hipergeometrik Dağılım

Örnek 6.7.1:

1) Bir kavanozda 4 beyaz ve 6 s,yah top vardır. Tekrar

yerine koymaksızın 3 top çekiliyor. Bu durumda X

rassal değişkeni “çekilen siyah topların sayısı”

hipergeometrik rassal değişkendir.

2) Bir kutuda 4 kusurlu, 8 kusursuz parça vardır. Çekileni

yerine koymadan 3 parça çekiliyor. X rassal değişkeni

“çekilen kusurlu parçaların sayısı” hipergeometrik rassal

değişkendir.

Documents

Ders 14 - siirt.edu.tr · 1 Ders 14 Bazı Kesikli Olasılık Dağılımları-I Bazı Kesikli Olasılık Dağılımları • Bernoulli Dağılımı • Binom Dağılımı(İkiTerimli