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Geoestadistica aplicada en mineria
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GEOSTADSTICA
CAPTULO 3
El Semivariograma Terico
Ing. Luis E. Vargas R.
2013
EL SEMIVARIOGRAMA TERICO
CAPTULO 3
Geoestadstica - Ing. Luis E. Vargas
3.1 Modelos de semivariogramas
Sabemos que un semivariograma se define como:
(h) = E[Z(x+h) Z(x)]2
Experimentalmente, para una malla regular, se tiene que:
(jh) = 1 [z(xi +jh) z(xi)]2
2nj
nj
Geoestadstica - Ing. Luis E. Vargas
A partir de un variograma experimental trataremos de encontrar una ecuacin (variograma terico) que corresponda a esta expresin.
Por qu determinar tal ecuacin?
Porque, en las diversas aplicaciones geoestadsticas, por ejemplo, la estimacin de la variable en un punto a travs del krigeaje necesita de la utilizacin del semivariograma que contenga informacin en todos los puntos de anlisis y este dato lo puede proporcionar slo el semivariograma terico.
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Adems es evidente que el trabajo se tornar ms confiable, ptimo y cmodo si se considera una ecuacin formal que con datos brutos.
De la serie de semivariogramas tericos, se tiene que escoger aquel que se ajuste mejor a nuestro semivariograma experimental, sobre todo en las proximidades del origen porque es la zona ms confiable del variograma.
A continuacin describiremos los modelos tericos existentes.
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3.1.1 Semivariograma con efecto de "pepita":
El nombre de efecto de pepita, est de alguna manera relacionado con la aparicin, ms o menos errtica, de pepitas de oro en algunos yacimientos aurferos. Las posibles causas de la presencia de este efecto las detallaremos ms adelante.
0 h
(h)
C0 (h) = C0, para h=0
Es el caso de la aleatoriedad pura
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El semivariograma muestra fluctuaciones aleatorias alrededor de una lnea horizontal.
Los modelos pueden agruparse en dos grandes categoras: los que alcanzan una meseta (modelos de transicin) y los que no presentan meseta.
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3.1.2 Semivariograma con meseta:
0 h
(h) Meseta
a
C
(h) = constante = C
Este semivariograma es muy frecuente, a es el alcance y para h superior al valor de a:
Hablaremos de dos tipos de semivariogramas segn a sea infinito o finito.
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Para a = , el modelo correspondiente es el exponencial. Existen dos tipos:
a) Modelo de Formery
En este modelo la tangente en el origen, intercepta a
la meseta a un valor de a/3.
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b) Modelo Gaussiano
En este modelo la tangente en el origen, intercepta a la meseta en un valor de a/3.
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Para a finito, le corresponde el Modelo Esfrico o Modelo de Matheron.
La ecuacin de este modelo, se define como:
0 h
(h)
2/3 a a
T
C
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En este modelo, la interseccin de la tangente en el
origen, h=0, con la meseta se sita a 2/3 del alcance.
Demostraremos la validez de esta relacin:
La ecuacin de la tangente T, en h = 0.
Derivando con respecto a (h) se obtiene:
h = 2/3 a
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Si = 1, al modelo se conoce como lineal de
ecuacin: * (h) = ph + k, donde p es la pendiente, h el lag y k el intercepto. Este modelo, segn Annels, 1991
suele presentarse en yacimientos de hierro.
3.1.3 Semivariograma sin meseta:
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Existe otro tipo de variograma: El Modelo Logartmico, de la forma: (h) = C lnh, con h1.
El inconveniente de este modelo es el de no pasar por el origen.
Este modelo se us al inicio de la geoestadstica, actualmente ha quedado descartado.
En el modelo de Wijsian al igual que en el lineal, (h) se incrementa ms all del valor de la varianza de los datos. Tiene por expresin:
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L 2
*(h) = 3 ln h + 3
Donde:
es el coeficiente de dispersin absoluto (medida de la variacin espacial).
L es el espesor equivalente.
Este modelo se presenta slo en algunos yacimientos hidrotermales, principalmente de estao.
Variable: espesor del cuerpo mineralizado.
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Algunos semivariogramas experimentales no se pueden ajustar exactamente a los modelos comunes, sin embargo no hay razones para rechazar la posibilidad de buscar una continuidad espacial.
Annels y otros autores han puesto de manifiesto ciertas particularidades y caractersticas en los modelos, a saber: semivariogramas con tendencia, efecto de agujero, efecto proporcional y semivariogramas compuestos.
3.1.4. Efectos que se manifiestan en los semivariogramas:
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Un semivariograma como el de la figura adjunta, muestra cambios en la tendencia de la meseta, denominado "ruptura.
a) Semivariogramas con tendencia
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Se produce a una distancia mayor al alcance, por lo que no tiene mayor incidencia en la estimacin local de los bloques definidos para el yacimiento, puesto que las dimensiones del rea de bsqueda (alcance) son menores que la distancia representada por el punto donde se produce la ruptura.
Cuando un semivariograma presenta esta tendencia, es decir, la ruptura se produce a distancias prximas al alcance, el concepto de estacionariedad ya no se cumple.
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En tales casos es necesario utilizar el krigeaje universal (Journel y Huijbregts, 1978), en vez del krigeaje ordinario que es aplicable a casos de estacionariedad.
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Un semivariograma presenta un efecto de agujero, si su crecimiento no es montono , este efecto puede presentarse en esquemas con o sin meseta.
b) Efecto de agujero (trou)
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El efecto de agujero es muy frecuente, pero no siempre es perceptible en el variograma experimental.
El modelo correspondiente es:
(r) = 1- senr r
C(r) = senr r
Si el semivariograma presenta un comportamiento parablico en el origen, con efecto de agujero y alcance entonces se verifica que:
(r) = r2 , cuando 0 6
r
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Es el valor mnimo de la covarianza con respecto a C(o).
Amplitud () del efecto de agujero:
Si un semivariograma presenta un efecto de agujero de amplitud superior a 0,217 (amplitud mxima de un efecto de agujero a tres dimensiones), podemos afirmar que:
Este efecto no es significativo y que se debe a las fluctuaciones del semivariograma experimental, o
Que este efecto es direccional, es decir que slo se manifiesta en determinadas direcciones en el espacio R3.
= Inf. C(h)
C0
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Si se presenta un fuerte efecto de agujero direccional, entonces debemos utilizar un esquema de tipo positivo unidimensional, por ejemplo:
(r) = 1- cosr , con r R1 (a = 1 >0,217)
El esquema anterior es peridico sin amortizacin. En la prctica es frecuente asociarlo a otro esquema, por ejemplo multiplicarlo a un esquema exponencial, para
obtener la covarianza e-arcos(r) de tal forma que las oscilaciones cosenoidales son amortizadas.
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Una componente pseudo peridica de la regionalizacin puede provocar un efecto de agujero en un semivariograma experimental.
As la sucesin estacionaria en un yacimiento de dos tipos de mineralizacin claramente diferenciados, si esta sucesin no es istropa (en general no hay razn para que lo sea), el efecto de agujero se observar slo en ciertas direcciones.
Interpretacin
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Con respecto al grfico siguiente existe un fenmeno pseudo peridico de estratificaciones horizontales. Ejercicio calificado N 2: Qu podemos decir al respecto?
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Recomendacin: Elaborar el posible semivariograma en la direccin vertical y horizontal, analizar y comentar.
En algunos casos, es frecuente observar que la variabilidad de los datos evoluciona con su media aritmtica. Por ejemplo, consideremos n sondajes para reconocer la misma mineralizacin con las siguientes caractersticas:
m*A : promedio de los datos del sondaje A.
D2A (0/L ): varianza de dispersin del sondaje A.
Se supone que los n sondajes tienen la misma longitud L.
*A(h): variograma experimental calculado en el sondaje A.
c) Efecto Proporcional
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Se dice que existe "efecto proporcional si los distintos variogramas elementales *A(h): son afines, o se corresponden, de tal manera que el mdulo depende del cociente de los promedios experimentales (vase la siguiente figura).
0 h
*(h) m*B m*A
afi
nid
ad
m*A
alcance
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La presencia de un efecto proporcional en los variogramas experimentales no implica necesariamente la no estacionariedad de un fenmeno subyacente.
*A(h) f m*A *B(h)
m*B
D2A (0/L ) f m*A D2
B(0/L )
m*B
Implica que: para todo A, B = desde 1 hasta n
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1. Un efecto proporcional se dice que es directo si el variograma crece con el promedio experimental. Este efecto se espera cuando los datos presentan una distribucin lognormal, por ejemplo las leyes en Cu, Au de pequeo soporte, la mayora de los datos corresponden a leyes bajas.
2. Un efecto proporcional es inverso si el variograma decrece cuando el promedio crece. Este fenmeno es menos frecuente que el anterior, es de esperarlo cuando los datos presentan una distribucin lognormal inversa, por ejemplo leyes de yacimiento: en Fe-hematita, en fosfatos triclcicos,
Observaciones:
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y en general cuando las leyes de mineralizacin presentan fuertes concentraciones. A mayores valores del promedio, menor es la dispersin.
3. En la prctica el efecto proporcional observado es del tipo m2:
Observaciones:
f m*A m2
A
m*B m2
B
El variograma relativo
*A(h)
m*2
y las distintas varianzas relativas son independientes del promedio local.
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4. Despus de corregir el efecto proporcional, se remite a un modelo de cuasi-estacionariedad local, es decir a un modelo de regionalizacin donde se puede conocer, para cada punto (x,y) por las distancias h limitadas a una vecindad V(x) , los dos primeros momentos:
La esperanza E(Z(x)) = m(x), estimada por m* sobre V(x).
El variograma E[(Z(x+h)-Z(X))2] = 2(x,h), estimado por f(m*).20(h)
5. El efecto proporcional afecta slo a la varianza, no altera en nada las caractersticas geomtricas (por ejemplo a las mesetas) de los variogramas, contrariamente a la anisotropa geomtrica.
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6. En estructuras superpuestas, el efecto proporcional puede jugar roles diferentes en cada una de las estructuras constituyentes. As por ejemplo en la figura adyacente, el efecto proporcional en m2 afecta slo al efecto de pepita C0.
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7. Cuando se grfica los promedios al cuadrado versus las respectivas varianzas, es posible poner en evidencia el efecto proporcional. Este efecto sirve para determinar las reas ricas, intermedias y estriles en un yacimiento y determinar la variabilidad en cada uno de los sectores estudiados.
El yacimiento de plata de Uchucchacua presenta este efecto: ciertas labores de las zonas ricas e intermedias manifiestan alta variabilidad, en cambio las zonas ms pobres en plata tienen menor variabilidad y por tanto los costos de explotacin son menores.
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Ejercicio calificado N 3: Graficar el posible diagrama que evidenciara el efecto proporcional mencionado en el prrafo anterior, analizar y comentar.
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Es frecuente encontrar variogramas con configuraciones como el de la figura adjunta, llamadas estructuras superpuestas.
c) Semivariogramas compuestos
C
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Una estructura de esta forma, puede explicarse de la siguiente manera:
La existencia del efecto de pepita (C0 ) puede deberse:
1. A la taza de recuperacin,
2. A la presencia de micro estructuras o,
3. A errores de muestreo.
El primer alcance (a1) explicara las caractersticas petrogrficas.
El segundo alcance (a2) puede caracterizar la mineralizacin.
El tercer alcance (a3) nos indicara diferencias a nivel regional del yacimiento (matalognesis).
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(h) se escribir entonces de la siguiente manera:
(h)= C0 + 1(h) + 2(h) + 3(h)
C1; a1 C2; a2 C3; a3
Concretamente, estamos frente a un efecto de pepita con dos estructuras superpuestas (modelos de variogramas esfricos).
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Este tipo de estructuras, tambin se presenta en zonas mineralizadas de mena dentro de una matriz de mineralizacin dispersa.
As mismo son comunes en yacimientos aluviales de oro, donde el menor alcance rinde cuenta de los canales individuales y el mayor alcance se podra interpretar como el espesor total de la zona de inters econmico.
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La tangente para los dos primeros puntos corta al eje vertical en Co = 0.4(%)2, la interseccin con la meseta principal (2.55 (%)2) se da a una distancia lag= 14m, indicando que el alcance debera ser 20m.
Sin embargo, la curva principal alcanza la meseta a un rango de 50m, por tanto se puede asumir la presencia de dos semivariogramas esfricos de parmetros:
Observacin:
1(h): C0 = 0.4(%)2
2/3a1 = 9 a1 = 14m
C1 = 1.95(%)2
2(h): C0 = 0.4(%)2 ; a2 = 50m ; C2 = 0.6(%)
2
14
Para h < 14m
Frmula del modelo compuesto:
Para h entre 14 y 50m
Para h > 50m
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Un fenmeno se dice istropo cuando la magnitud del vector h permanece constante cualquiera sea la direccin () del vector, es decir, la variabilidad es simtrica.
En este caso es suficiente ajustar el variograma omnidireccional (omni ,h).
Ejemplo: Si analizamos los resultados del ejercicio calificado N 1, observamos que el comportamiento del semivariograma es similar para las cuatro direcciones consideradas, en tal caso podemos afirmar que el fenmeno es istropo.
3.2 Isotropa
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En estas circunstancias conviene calcular el promedio ponderado de los variogramas direccionales ((i ,h), conocido como variograma onmidireccional:
(omni ,h) = Ni i =1
Ni (i ,h) i =1
n
n
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Ejercicio calificado N 4: Graficar el variograma omnidireccional, analizar y comentar.
En minera, es raro encontrar un fenmeno istropo, en cambio son frecuentes los fenmenos anistropos.
Existen dos grandes tipos de anisotropa: geomtrica y zonal.
3.3 Anisotropa
Para las dos direcciones, se tiene una misma meseta, mientras que los alcances son diferentes es la anisotropa geomtrica.
0 h
(h)
N-S
E-W
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Las mesetas son diferentes. Es el caso de la anisotropa zonal
0 h
(h) Direccin vertical
Direccin horizontal
aH aV
Este tipo de fenmeno suele ser evidente en yacimientos aluviales, donde el alcance en la direccin vertical es mucho ms pequeo que a lo largo de la direccin principal del depsito, conservando la variabilidad en ambos casos (misma meseta).
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En este caso el semivariograma puede expresarse como la composicin de 2 semivariogramas: uno segn la direccin horizontal y el otro siguiendo la direccin vertical.
h2
h1
h
(h) = H(h1) + V(h2)
Con h = h1 + h2
h1: direccin horizontal
h2: direccin vertical
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La anisotropa direccional (geomtrica o zonal) aparece cuando los semivariogramas son diferentes en distintas direcciones, en otras palabras, existen direcciones privilegiadas en el yacimiento.
Para precisar la morfologa del fenmeno conviene calcular semivariogramas en distintas direcciones (p.e. 8).
Los alcances obtenidos se representan en un diagrama polar: lneas radiales a partir de un punto central, de esta manera obtenemos una mejor visualizacin de la forma y orientacin de la elipse.
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Con los valores de los alcances obtenidos en los semivariogramas para distintas direcciones, cons- truimos el diagrama de rosas de alcances.
3.3.1. Modelizacin de variogramas anistropos
0 h
*(h)
a1 a2
C
1
2
i: son direcciones en las cuales se ha construido el semivariograma. Geoestadstica - Ing. Luis E. Vargas
El diagrama de rosas de los alcances, de los semi-variogramas anteriores sera:
y
y
x
x
a1
a2
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Esta anisotropa puede modelizarse mediante una transformacin lineal de coordenadas:
y
x a1
a2
y
x a1
a2
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h= (hx cos1 + hy sen 1)2 + k2 (hy cos1 - hx sen 1)
2
(h)= (1,h),
Se hace coincidir los ejes de anisotropa con los ejes principales, para luego corregir los ejes de la elipse con un factor k = a1/a2 .
En definitiva se ha corregido la disimetra del fenmeno, reducindolo a un variograma istropo (crculo). Analticamente la transformacin se logra haciendo:
Geoestadstica - Ing. Luis E. Vargas
Analicemos el caso de anisotropa cuyos ejes anistropos coinciden con los ejes principales y en cuya primera aproximacin, los variogramas experimentales corresponden a modelos lineales de la forma:
(h) = (1,|h|) E-W: (h) = (0
, |h|) = 0,0015|h|
(h) = (2,|h|) N-S : (h) = (90
, |h|) = 0,0054|h|
El factor de correccin de alcances ser:
k = 0.0054/0.0015 = 3.6
3.3.2. Ejemplo de ajuste de un variograma anistropo:
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El modelo resultante (h), tomando como referencia i= 0, ser:
(h) = 0.0015 (h2x + 12.96 h2
y
(h) = 0.0015 h2x + k2h2y
y
x a1
a2 En este caso una transformacin lineal de las coordenadas no ser suficiente. Para ajustar un modelo de esta naturaleza, se recurre a los variogramas imbricados, en que cada componente traduce su propia anisotropa.
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Ambos modelos son vlidos hasta la distancia d, en consecuencia si el objetivo fuera estimar las leyes de un bloque mineralizado de dimensiones inferiores a d es perfectamente vlido utilizar cualquiera de los dos modelos.
0 h
(h) Modelo 2
Modelo 1 2
d
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Ejercicio calificado N 5: Para la disposicin de muestras del grfico, calcular los variogramas en las direcciones Norte-Sur y Este-Oeste e indicar el tipo de anisotropa.
N
10m
10m Geoestadstica - Ing. Luis E. Vargas
En el captulo 2 en soporte y regularizacin se establecen las diferencias entre variograma puntual y regularizado, se manifest que en la prctica, los datos fsicos se miden por volmenes y no por puntos, salvo que el tamao de la muestra sea muy pequea en relacin, por ejemplo, con el alcance.
3.4. Relaciones volumen-varianza
Geoestadstica - Ing. Luis E. Vargas
Sin embargo cuando las muestras proceden de sondajes, las diferencias pueden ser notables, por lo que resulta imprescindible trabajar con volmenes y hacer las correcciones pertinentes.
Es evidente que los resultados que se obtendran cuando las leyes en tramos de, por ejemplo 50 cm, seran diferentes si se toman tramos de un metro, de 2 o de 3 metros.
En cada caso, la diferencia entre los valores de las leyes y las varianzas en cada tramo sern diferentes, es fcil deducir que los semivariogramas que se obtendran tampoco sern similares.
Geoestadstica - Ing. Luis E. Vargas
El objetivo es definir un semivariograma puntual que no est influido por el soporte de la muestra.
Al aumentar el tamao del soporte, los resultados son cada vez ms regulares (similares).
El mtodo a seguir para obtener el variograma puntual es el siguiente:
Se define el rango real del semivariograma puntual
como: a = a* -l, donde:
a = alcance real del semivariograma puntual, a* = alcance del semivariograma experimental, l = longitud de la muestra en la direccin del
semivariograma. Geoestadstica - Ing. Luis E. Vargas
Los valores de C y C0 para el semivariograma puntual se calculan a partir de las siguientes ecuaciones y con ayuda del baco "Grfico de regularizacin".
(l) = C0 + CX1 () = C0 + CX2
Para h = l, h = , en el grfico de regularizacin, se leen los valores X1 y X2 , a partir de los correspondientes valores de h/a y l/a, donde h es el lag y l la longitud de la muestra.
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Ejercicio calificado N 6: En un yacimiento aluvial de diamantes, los canales de muestreo eran de 20m de longitud por 1 m de ancho. La V.R. para calcular las reservas fue el peso, en quilates, de los diamantes encontrados en cada muestra. Los valores de (h) obtenidos fueron:
1 (20m) = 0,0147
2 (40m) = 0,0213
3 (60m) = 0,0226
C = 0,0226.
Definir los valores de (h) para calcular el semivariograma puntual.
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Grfico de Regularizacin
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