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Cap-4-Equações Na Forma Integral
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Cap. 4 – Equações básicas na forma integral para volumes de controle
4.1 – Equações para sistema
4.2 – Relação entre as equações para sistema e a formulação para VC
4.3 – Conservação da massa para volume de controle
4.4 – Conservação da Quantidade de movimento para VC inercial
4.5 – Conservação da Quantidade de movimento para volume de controle sob aceleração retilínea
4.6 – Conservação da Quantidade de movimento para volume de controle sob aceleração arbitrária
4.7 – Quantidade de movimento angular
4.8 – Conservação da Energia
4.1 – Equações para sistema
0dt
dm
Sistema
4.1.1 – Conservação da massa:
(sem reações químicas)
Sistemadt
4.1.2 – Conservação da quantidade de movimento
(Segunda lei de Newton):
Sistema
dmVP
(Força resultante)
(Quantidade de movimento)
(Torque resultante)
Sistemadt
HdT
4.1.3 – Conservação da quantidade de movimento angular
(Segunda lei de Newton-sistemas em rotação):
Sistema
dmVXrH(Quantidade de
movimento angular)
4.1.4 – Conservação da energia(Primeira lei da termodinâmica):
Sistemadt
dEQW
(Energia
total)
Sistema
2
SistemadV)gz
2
Vu(dmeE
4.2 – Relação entre as equações para sistema e a formulação para volume de controle
SistemaSistema
dVdmN
Propriedade Extensiva - N Propriedade Intensiva -
mN Massa 1
VmPN
Quantidade de movimento
V
)Vxr(mHN
Quantidade de movimento angular
Vxr
EN Energia gz2
Vue
2
Ad.Vt
dV
dt
dNSC
VC
Sistema
Teorema de Transporte de Reynolds
fluxo da propriedade N através da superfície
de controle
taxa de variação da propriedade N no
volume de controle
taxa de variação da propriedade N para
sistemas
4.3 – Conservação da massa para volume de controle
SC
VC
.Sist
Ad.Vt
dV0
dt
dm
fluxo de massa através da superfície
de controle
taxa de variação da massa no volume de
controle
taxa de variação da massa para sistemas é zero
Escoamento uniforme( uma entrada / uma saída ): eeesssSC
AVAVAd.V
AdV Velocidade paralela ao vetor área
(sempre para o exterior do V.C.):
0Ad.V
0Ad.V
saídas
entradas
SC
VC Ad.Vt
dV0
Equação da Conservação da massa
Exemplo 4.1: Calcule a velocidade média na seção 4 do misturador da figura:
1 3
4
A1 = 25 cm2
V1 = 2 m/s
A4 = 25 cm2V4 = ?
2143 mmmm0
5x50x2x25xxV25x10x50x0 4
2
A2 = 50 cm2
V2 = 5 m/s
A3 = 50 cm2
V3 = 10 m/s
SC
VC Ad.Vt
dV0
entsai mm00
em regime permanente e escoamento uniforme:
22114433 VAVAVAVA0
25050xV255000 4
4xV25200300500
]s/m[8V4
Valor negativo implica que a direção é contrária a dir. suposta inicialmente.
Exemplo 4.2: Calcule a vazão em volume e a velocidade média na seção da tubulação da figura, sendo que o perfil de velocidades é parabólico, umáx = 1 m/s e R = 1 m.
V
2
máxz R
r1u)r(V perfil de velocidades
parabólico
z)r(VV z
escoamento uni-dimensional
A
Ad.VQ
vazão em volume
A z zrdr2.z)r(VQ
R
0
2
máx rdr2R
r1uQ
R
0 2
3
máx drR
rru.2Q
2
R.u
R.4
R
2
R.u.2Q
2máx
2
42
máx
A
QVAVAd.VQ
A
2
u
R
1.
2
R.u
A
QV máx
2
2máx
]s/m[5,0V]s/m[57,1Q 3
]s/lb[30me
]s/lb[L9ms
L [ft]
A=3 [ft2]
= 62,4 [lb/ft3]Exemplo 4.3: Esboçar graficamente a variação da altura de líquido com o tempo no tanque da figura. 1 [lb] = 0,453
[kg]1[ft] = 0,3048 [m]
]s/kg[6,13me A=0,279 [m2] = 998 [kg/m3]
]s/lb[3048,0/L9m ms
]s/kg[453,03048,0/L9m ms
]s/kg[L37,13m ms
entsaiVC mm
dt
dm0
mVC ALVm
dt
dLA
dt
dm mVC esm mm
dt
dLA0
21 CyCdtdy
tC
1
2 1e1CC
y 049,0L048,0dt
dLm
m
t048,0m e102,1L L[m]
t[s]
Am
C e2
ALm
C s1
6,13L37,13dt
dL279,0x9980 m
m
Exemplo: Considerando o conceito de camada-limite, modelo de escoamento próximo a uma placa plana onde o perfil da velocidade na direção x é dado pela equação u=f(y,), determine a vazão em massa através da superfície bc do volume de controle mostrado na figura, sendo que a largura da placa, W, é 0,6 [m].
a
b c
d
5 [mm]
U U
2yy
2U
u
perfil da velocidade na camada
SC
Ad.V0
Eq. da conservação da massa(regime permanente)
cdbcab
Ad.VAd.VAd.V0
Conservação da massa aplicada ao VC abcd
a
b c
d
5 [mm]
U U
cdbcab
Ad.VAd.VAd.V0
2yy
2U
u
cd
Ad.Vm)W(U0
cd
Ad.V)W(Um
cd
)Wdy(u)W(Um
0
2
)Wdy(yy
2U)W(Um
cd
2
dyyy
2WUm
0
3
2
2
3
y1
2
y2WUm
3
WUm3
WUm
s
kg037,03
005,0x6,0x30x24,1m
F
1V 2V
4.4 – Conservação da Quantidade de movimento para volume de controle inercial
SC
VCSC
.Sist
Ad.VVt
dVVFFF
dt
)Vm(d
Exemplo típico: Curva de 90o
1VMudança de quantidade de
movimento do escoamento depara através da aplicação da
força externa 2V
F
SC
VCSC Ad.VV
t
dVVFFF
fluxo da quantidade de movimento através da superfície de controle
taxa de variação da quantidade de movimento no
volume de controle
taxa de variação da quantidade de movimento para sistemas é igual a força externa aplicada (soma das forças de campo e de superfície)
Conservação da Quantidade de movimento para volume de controle
inercial
Exemplo 4.4: Calcular a força de reação que atua sobre o anteparo devido ao jato de d´água com vazão em massa de 1 kg/s e velocidade de 1 m/s.
SC
VC Ad.VVt
dVVF
Em regime permanente o termo da taxa de variação da
quantidade de mov. no VC é zero
0
SCSC Ad.VVFFF
Equação da Quant. de Mov.
Desprezando a força peso: 0FC
SCXS Ad.VVz.RF
Injetor
Base do anteparo
V1
r
z
V2
AXR
XR
SCX Ad.VVz.R
21
Ad.VVAd.VV
rVVzVV 2211
2 222
1 111
rdA.rVrVAd.VV
)z(dA.zVzVAd.VV
0dArVAd.VV
zAVdAzVAd.VV
2
222
12
11
211
zVmzR 1X
1X VmR
)z(VmR 1X
Sobre o fluido )z(VmR 1AX
Sobre o anteparo
Injetor
V1
r
z
V2
AXR
XR
]N[1R AX
Exemplo 4.5: Calcular a força que atua sobre a estrutura curva, que descarrega água na atmosfera, para mantê-la fixa, considerando os seguintes dados:
F
1V
2Vp1 = 221 kPa (absoluta)
pATM = 101 kPaV2 = 16 m/s A1= 0,01 m2
A2 = 0,0025 m2
SCSC Ad.VVFFF
Equação da Quant. de Mov. em regime permanente
SCpresS Ad.VVRFF
Desprezando as forças de campo gravitacional
R
1V
2V
V.C.
21xxp Ad.VuAd.VuRF
Decompondo a equação vetorial nas direções x e y:
21yyp Ad.VvAd.VvRFy
x
LATM1LATM1abs1xp A.p)AA.(pA.pF
Determinação das forças de pressão nas direções x e y:
V.C.
A1
AS
AL
pATM
pATM
pATM
y
x
1rel1xp A.pF 0F yp
SATMSATMyp A.pA.pF
1V
2V
V.C.
xR
yR
21x1rel1 Ad.V0Ad.VuRAp
21y Ad.VvAd.V0R0
y
x 11rel1x Ad.VuApR
2y Ad.VvR
111rel1x Ad.VVApR
22y Ad.V)V(R
)Q(VApR 11rel1x
QVR 2y
11rel1x VmApR
2y VmR
11rel1Ex VmApR
2Ey VmR
EyR
ExR
]kN[36,1R Ex
]kN[64,0R Ey
Exemplo 4.6: Um reservatório metálico com altura de 1 [m] e área de 2 [m2] pesa 2.000 [N]. Este é colocado sobre uma balança e água escoa para o reservatório através de uma entrada no topo, e para fora através de duas aberturas iguais nas laterais, conforme esquema. Sob condições de escoamento permanente, a altura da água no tanque é 0,9 [m], determine a leitura da balança.
Dados :V1 = 1,6 [m/s] A1 = A2 = A3 = 0,1 [m2]
Balança
V1
V2 V3 Como a área total de escoamento na saída é o dobro da entrada, pela conservação da massa, a velocidade nas seções
de saída serão a metade da velocidade na entrada :
V2 = V3 =0,8 [m/s]
Balança
V1
V2 V3
SCSC Ad.VVFFF
Como o fluxo da quantidade de movimento da saída pelas duas laterais do reservatório se anulam (direção x), a equação será aplicada somente para a entrada (direção y):
x
y
SCySyC Ad.VvFF
VC
WR
WA
FBal
V1
SCBalAR Ad.VvFWW
1BalAR VmFWW
1ARBal VmWWF
6,1.m)9,0x2(x000.2FBal
]N[896.196,1.160640.17000.2FBal
4.4.1 – Análise do Volume de Controle diferencial
0dzg2
Vd
dp 2s
+Equação da Quant. de Mov.
em regime permanente
Equação da Conservação da Massa em regime permanente
0dzg2
Vd
dp 2s
ctegz2
Vp 2s
Fluido incompressível:
Equação de Bernoulli
Exemplo 4.6 : Bocal
Expressar a vazão em volume, Q, como função de p1, sendo D1 = n D2 (n>1) e p2 = pATM.
2
222
1
211 gz
2
Vpgz
2
Vp
2
222
1
211 gz
2
Vpctegz
2
Vp
Simplificações:
21 zz 0pp ATM2 (Pressões relativas)
2
V
2
Vp 22
211
2211 AVAVQ Conservação da massa:
22
11 A
QVAQV
22
2
21
21
A2
Q
A2
Qp
21
22
21
A
1
A
1
2
Qp
1
A
A
A2
Qp22
21
21
21 1n
A2
Qp 421
21
)1n(
2pAQ
41
1
158,0pAQ3n
365,0pAQ2n
11
11
Equação de Bernoulli: para escoamento sem perdas por atrito
2
22
21
21
1 Zg2
VpZg
2
Vp
p
2
V2
Zg
= pressão estática na seção
= pressão dinâmica na seção
= pressão de "posição"
Linhas de corrente
Seção 1 Seção 2
Unidade => N/m2
2
2
sm
kgJ
2
222
1
211 ougz
2
Vpctegz
2
Vp
Exemplo: Descarga de um reservatório através de uma tubulação para atmosfera, calcule a velocidade de saída.
2
22
21
21
1 Zg2
VpZg
2
Vp
Bernoulli: escoamento sem perdas
1
2
2
V)ZZ(g
22
21
Z1
Z2
H=30 m
Condições do problema:
ATM21 ppp
2
V
2
V 22
21
HZZ 21
gH2V2
s/m26,2430x81,9x2V2
Quais são as transformações de energia que ocorrem em um escoamento deste tipo ?
1
2
energia potencial (Z)para
energia de pressão (p)
energia de pressão (p)para
energia cinética (V2/2)
paraenergia de pressão (p)
energia potencial (Z)
1 2
2
V2
g.Z
p
fora
de
esc
ala
2
22
21
21
1 Zg2
VpZg
2
Vp
2
222
1
211 Zg
2
VpZg
2
Vp
Unidade => m2/s2 = J/kg
4.4.2 – Volume de Controle movendo em velocidade constante
Um volume de controle, fixo em relação a um sistema de referência xyz, movendo-se a velocidade constante , Vrf, em relação a um sistema de referência fixo (e inercial) XYZ, também é inercial, visto que não possui aceleração em relação a XYZ.
xyz
XYZ
Vrf
U = 10 [m/s]
V = 30 [m/s]
Bocal
SC xyzxyzVC xyzSC Ad.VVdVV
tFFF
Velocidades no volume de controle em relação ao sistema de referência xyz (móvel)xyzV
Exemplo) O esquema mostra uma aleta de ângulo de curvatura igual a 60o, que se move em velocidade constante U igual a 10 [m/s], recebendo um jato d´água que sai do bocal estacionário a uma velocidade V igual a 30 [m/s]. Sabendo que o bocal tem uma área de saída de 0,003 [m2], calcule a força externa que atua na aleta.
x
i20V1
20V2
xSF
ySF
U = 10 [m/s]
V = 30 [m/s]
Bocal
SC xyzxyzSC Ad.VVFFF
Equação da Cons. da Quant. de Movimento, em regime permanente :
Desconsiderando as forças de campo (massa da água)
SC xyzxyzS Ad.VVF
)jseni(cos20V2
)j32,17i10V2
xxSF
ySF
SC xyzxyzS Ad.VVF
j32,17i10V2
i20V1
2 xyz21 xyz1xS Ad.V)iV(Ad.V)iV(F
2 xyz21 xyz1yS Ad.V)jV(Ad.V)jV(F
)m)(i10()m)(i20(F xS
)m)(j32,17()m)(j0(F yS
]s/kg[6020x003,0x000.1AVm
]N[j2,039.1j32,17mF yS
]N[i600i)2010(mF xS
4.5 – Conservação da Quantidade de movimento para volume de controle sob aceleração retilínea
xyz
XYZrfa
Um volume de controle, fixo em relação a um sistema de referência xyz, que se move com aceleração retilínea, , em relação a um sistema de referência inercial (fixo) XYZ, não é inercial, visto que possui aceleração em relação a XYZ.
rfa
Sistema
XYZ
dt
Segunda lei de Newton:
Sistema XYZXYZ dmVP
(Força resultante)
(Quantidade de movimento)
dt
dmVdsist XYZ
sist
XYZ dmdt
Vd
sist XYZdmaF
rfxyzXYZ aaa
Quando o movimento é somente de translação :
sist rfsist xyzsist XYZ dmadmadmaF
sist xyzsist rf dmadmaF
sist
xyz
sist rf dmdt
VddmaF
dt
PddmaF xyz
sist rf
SC xyzxyzVC xyzVC rfSC Ad.VVdVV
tdVaFF
Equação da Conservação da Quantidade de movimento para volume de controle sob aceleração retilínea
dt
dmVddmaF sist xyz
sist rf
V = 35 [m/s]
Bocal
U
Exemplo) Uma aleta de ângulo de curvatura igual a 60o, é fixada a um carrinho. O carrinho e aleta, de massa M=75 [kg], rolam sobre uma pista nivelada. O atrito e a resistência do ar podem sere desprezados. A aleta recebe um jato d´água, que parte de um bocal estacionário horizontalmente, com V=35 [m/s]. A área de saída do bocal é de 0,003 [m2]. Determine a velocidade, U, do carrinho como função do tempo.
SC xyzxyzVC xyzVC rfSC Ad.VVdVV
tdVaFF
Não há forças resistentes ao movimento (dir. x)
atuando no V.C. :0F xS
e 0F xC
SC xyzxyzVC xyzVC xrf Ad.VudVut
dVa
V = 35 [m/s]
Bocal
U
Pode-se desprezar a variação da quantidade de movimento no V.C. se considerarmos que a massa de água é bem menor que a massa do carrinho :
0dVut VC xyz
SC xyzxyzVC xrf Ad.VudVa
]A)UV([cos)UV(]A)UV()1[()UV(dVaVCx
]A)UV([cos)UV(]A)UV()1[()UV(dVaVCx
V = 35 [m/s]
Bocal
U
A)UV()1(cosdVa 2
VCx A)UV()cos1(Ma 2
x
A)UV()cos1(Mdt
dU 2
dtM
A)cos1(
)UV(
dU2
4.6 – Conservação da Quantidade de movimento para volume de controle sob aceleração arbitrária
4.7 – Quantidade de movimento angular
SC
VCeixos Ad.VVr
t
dVVrTdmgrFrT
Lei da conservação da quantidade de movimento angular:
4.8 – Conservação da Energia
Sistemadt
dEWQ
Sistema
2
SistemadV)gz
2
Vu(dmeE
Q > 0 W > 0++
Q < 0 W < 0_ _Sistema
Ad.Vet
dVe
dt
dESC
VC
Sistema
Ad.Vet
dVe
dt
dESC
VC
Sistema
fluxo de energia específica através da superfície de controle
taxa de variação de energia específica no volume de controle
taxa de variação da propriedade energia
para sistemas
Equação da energia para Vez:
gz2
Vue
2
4.8.1 – Taxa de trabalho realizado em um Volume de Controle
outrostocisalhamennormale WWWWW
1 – Trabalho de eixo
eW Trabalho de eixo que cruza a superfície de controleEx.: Motor elétrico, turbina ou bomba hidráulica, compressores e etc.
scsc nnnormal Ad.VpAd.VW
2 – Trabalho realizado pelas tensões normais (pressão) na superfície de controle
sd.FW
V.Ft
sd.Flim
t
WlimW
0t0t
Ad.VV.AdV.FdW nnnnnormal
O sinal – aparece devido a convenção de sinais para sist.
sctocisalhamen dAV.W
3 – Trabalho realizado pelas tensões de cisalhamento na superfície de controle
dAV.V.dAV.FdW tocisalhamen
4 – Outros trabalhos
0Woutros
Nas paredes, se , tem-se,0V
0W tocisalhamen
Nas entradas e saídas, se , tem-se,
V 0W tocisalhamen
Portanto, em geral, tem-se: 0W tocisalhamen
Ad.Vgz2
Vu
t
dVeWQ
SC
2VC
Equação da energia para VCs:
Ad.Vgz2
Vu
t
dVeWWQ
SC
2VC
normale
Ad.Vgz2
Vu
t
dVeAd.VpWQ
SC
2VC
SCe
Ad.Vgz2
Vpu
t
dVeWQ
SC
2VC
e
Equação da energia para VCs:
Ad.Vgz2
Vh
t
dVeWQ
SC
2VC
e
p
uhDefinição de entalpia
Em regime permanente:
Ad.Vgz2
VhWQ
SC
2
e
4.7) Determine a taxa de transferência de calor de um compressor cuja potência mecânica é de 600 [HP] e vazão em massa de 20 [lbm/s] sendo que as condições de entrada e saída são dadas na figura.
Equação da energia em regime permanente: Ad.Vgz
2
VhWQ
SC
2
e
Desprezando a energia potencial e considerando escoamento uniforme :
2
Vhm
2
VhmWQ
21
1
22
2e
compressor
p1 = 14,7 [psia]
T1 = 70 [F]
p2 = 50 [psia]
T2 = 100 [F]
A2 = 1 [ft2]V1 = 0
]HP[600We
2
Vhm
2
VhmWQ
21
1
22
2e
1
22
2e hm2
VhmWQ
2
VmTTcmWQ
22
12pe Considerando o ar
como gás perfeito:
]s/kg[072,9]lbm/kg[4536,0x]s/lbm[20m
C1,219/5x)32T(T oF1C1 C7,379/5x)32T(T o
F2C2
]W[10x476,4]HP/W[746x]HP[600W 5e
]K.kg/J[006.1cp
]Pa[750.344]psia/m/N[895.6x]psia[50p 22
]m[0929,0]ft/m[0929,0x]ft[1A 22222
compressor
p1 = 14,7 [psia]
T1 = 70 [F]
p2 = 50 [psia]
T2 = 100 [F]
A2 = 1 [ft2]V1 = 0
2
VmTTcmWQ
22
12pe
222222 RT/pRTp
]m/kg[86,3 32 )A/(mVVAm 222222
]s/m[3,25)0929,0x86,3/(072,9V2
2
3,25072,91,217,37x006.1x072,9)10x47,4(Q
25
000.447903.2500.151Q ]W[600.292Q
]kW[6,292Q
compressor
p1 = 14,7 [psia]
T1 = 70 [F]
p2 = 50 [psia]
T2 = 100 [F]
A2 = 1 [ft2]V1 = 0
85,310x287/750.3442
Equação da energia para VC em regime permanente:
Ad.Vgz2
VhWQ
SC
2
e
Se a troca de calor e o trabalho de eixo forem iguais a zero :
Ad.Vgz2
Vh0
SC
2
Para um VC com uma entrada e uma saída, em escoamento uniforme:
E
2
S
2
gz2
Vhmgz
2
Vhm0
E
2
S
2
gz2
Vpugz
2
Vpu
Em temperatura constante 2
222
1
211 gz
2
Vpgz
2
Vp
Equação de
Bernoulli
Determine a potência transferida à água pela bomba.
Exercício 4.8) A vazão da bomba instalada no caminhão mostrado na figura é 42,5 [l/s] e o jato d água lançado pelo canhão deve alcançar o plano distante 18,3 [m] do hidrante. A pressão da água na seção de alimentação da mangueira, que apresenta diâmetro igual a 102 [mm], é 69 [kPa].
Considerando escoamento uniforme, a seção de entrada na seção após o hidrante (onde z=0 ) e a seção de saída onde a velocidade é praticamente zero (ponto mais
alto da trajetória do jato), tem-se:
Ad.Vgz2
VhWQ
SC
2
e
cteT0Q
Ad.Vgz2
VpW
SC
2
e
1
211
2
222
e gz2
Vpmgz
2
VpmW
0V2 0z1
2
Vpgz
pmW
211
22
e
p1 = 69.000 [N/m2] e p2 = 0 (atmosfera)
2
VpgzmW
211
2e
Determinação de V1 211
1 D
Q4
A
QV
2102,0
0425,0x4
][2,5 s
m
2
2,5
000.1
000.693,18x8,90425,0x000.1W
2
e
52,156934,1795,42We ]W[030.4We
Se p1 = 0 52,1534,1795,42We ]W[962.6We
Exercício 4.9) A vazão de óleo no tubo inclinado mostrado na figura é 142 [l/s].
Sabendo que a densidade do óleo é igual a 0,88 e que o manômetro de mercúrio indica uma diferença entre as alturas das superfícies livres do mercúrio igual a 914 [mm], determine a potência que a bomba transfere ao óleo.
1
211
2
222e gz
2
Vpgz
2
Vp
m
WQ
Eq. da energia para um VC com uma entrada e uma saída, em escoamento uniforme, em temperatura constante:
0Q
)zz(g2
V
2
Vpp
m
W12
21
22
O
12e
hHLLHpp OOOHgO12 Manometria :
ghgLLgpp
O
Hg
O
12
Q = 142 [l/s] d=0,88
)h(g2
V
2
VghgL
d
Lgd
m
W 21
22
O
Hge
2
V
2
VgL
d
Lgd
m
W 21
22
O
Hge
hgLgLgpp OOHg12
1
2
Q = 142 [l/s] d=0,88
2
V
2
VgL
d
Lgd
m
W 21
22
O
Hge
211
1 D
Q4
A
QV
222
2 D
Q4
A
QV
41
2
2
42
2
2
O
Hge
D
Q8
D
Q8gL
d
Lgd
m
W
41
42
2
2
O
HgOe D
1
D
1Q81
d
dgLQW
442
2
e 305,0
1
152,0
1142,0x81
88,0
6,13914,0x8,9142,0x880W
73,2847,12996,124We ]kW[8,19]W[768.19We
1
2
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