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13. Teora de Campos
13.3. Construcciones clasicas de Regla y Compas
Como una aplicacion simple de los resultados que hemos obtenido en
las extensiones algebraicas, y en particular en la multiplicatividad de grados
de extension, podemos responder (negativamente)los siguientes problemas
geometricos propuestos por los Griegos:
1. (Duplicar el Cubo) Es posible usando solo regla y compas construir
un cubo con precisamente el doble del volumen de un cubo dado?
2. (Trisecar un Angulo) Es posible usando solo regla y compas trisecar
un angulo dado ?
3. (Cuadratura del Crculo) Es posible usando solo regla y compas con-
struir un cuadrado cuya area es precisamente el area de un crculo
dado?
Para responder estas preguntas debemos trasladar la construccion de lon-
gitudes por compas y regla en terminos algebraicos. Denote 1 una unidad fija
de distancia dada. Entonces cualquier distancia es determinada por su longi-
tud a R, lo cual nos permite ver las distancias geometricas como elementosde numeros reales R. Usando la unidad de distancia dada 1 para definir laescala en los ejes, podemos entonces construir el plano Cartesiano usual R2
y ver todas nuestras construcciones ocurriendo en R2. Un punto (x, y) R2es entonces construible empezando con la distancia dada 1 si y solo si sus
coordenadas x e y son elementos construibles de R. Los problemas de arribaentonces consisten en determinar si unas longitudes particulares en R puedenser obtenidas por construcciones por regla y compas a partir de una distan-
cia unidad fija. La coleccion de tales numeros reales junto con sus negativos
seran llamados elementos construibles de R, y no haremos distincion entrelas longitudes que con construibles y los numeros reales que son construibles.
Cada construccion por regla y compas consiste de una serie de operaciones
1
de los siguientes cuatro tipos: (1) conectar dos puntos dados por una lnea
recta, (2) encontrar un punto de interseccion de dos lneas rectas, (3) dibu-
jar un crculo con un radio y centro dados, y (4) encontrar el punto(s) de
interseccion de un lneas recta y un crculo o la interseccion de dos crculos.
Es un hecho elemental de la geometra que si dos longitudes a y b son dadas,
una podra construir usando regla y compas las longitudes a b, ab y a/b(los primeros dos son claros y los ultimos dos son dados por construccion de
lneas paralelas (Figura 1)).
Figura 1:
Es tambien un construccion geometrica elemental el construira si a es
dado: construya el crculo con diametro 1 + a y trace la perpendicular al
diametro como se indica en la Figura 2. Entoncesa es la longitud de esta
perpendicular.
Figura 2:
Se sigue que las construcciones con regla y compas dan todas las op-
eraciones algebraicas de adicion, sustraccion, multiplicacion y division (entre
2
elementos no nulos) en lo reales as que la coleccion de elementos construibles
es un subcampo de R. Uno podra tambien tomar races cuadradas de ele-mentos construibles. Veremos ahora que estas son esencialmente las unicas
operaciones posibles. A partir de una longitud dada 1 es posible construir
por estas operaciones todos los numeros racionales Q. Entonces uno podraconstruir todos los puntos (x, y) R2 cuyas coordenadas son racionales.Podramos construir elementos adicionales de R al tomar races cuadradas,as que la coleccion de elementos construibles a partir de 1 de R formanun campo estrictamente mayor que Q. La formulas usual (forma de dospuntos) para la recta que conecta dos puntos cuyas coordenadas en algun
campo F dan una ecuacion para la recta de la forma ax + by c = 0 cona, b, c F . Resolviendo dos de tales ecuaciones simultaneamente para deter-minar el punto de interseccion de tales rectas da soluciones tambien en F .
Se sigue que si las coordenadas de dos puntos yacen en el campo F entonces
las construcciones rectas solas no produciran puntos adicionales cuyas coor-
denadas no estan tambien en F . Un construccion con compas (de tipo(3) o
(4) arriba) definen puntos obtenidos por la interseccioon de un crculo con
una lnea recta u otro crculo. Un crculo con centro (h, k) y radio r tiene
ecuacion
(x h)2 + (y k)2 = r2
As que cuando consideramos el efecto de construcciones de compas en ele-
mentos de un campo F estamos considerando soluciones simultaneas de tal
ecuacion con una ecuacion lineal ax + by c = 0 donde a, b, c, h, k, r F , olas soluciones simultaneas de dos ecuaciones cuadraticas. En el caso de una
ecuacion lineal y la ecuacion de un crculo, resolviendose digamos para y, en
la ecuacion lineal y sustituyendo da una ecuacion cuadratica para x (e y es
dado lnealmente en terminos de x). Entonces las coordenadas del punto de
interseccion son en el peor de los caso extensiones cuadraticas de F. En el
caso de la interseccion de dos crculos, digamos
(x h)2 + (y k)2 = r2
3
y(x h)2 + (y k)2 = (r)2
La sustraccion de la segunda ecuacion de la primera muestra que tenemos
la misma interseccion al considerar las dos ecuaciones
(x h)2 + (y k)2 = r2
y
2(h h)x+ 2(k k)y = r2 h2 k2 (r)2 + (h)2 + (k)2
la cual es la interseccion de un crculo con una lnea recta(la lnea recta que
conecta los dos puntos de interseccion, de hecho) del tipo que se acaba de
considerar. Se sigue que si una coleccion de elementos construibles es dado,
entonces uno puede construir todos los elementos en el subcampo F de Rgenerado por estos elementos y que cualquier operacion de recta y compas
en elementos de F produce elementos en el peor de los casos una extension
cuadratica de F. Dado que las extensiones cuadraticas tienen grado 2 y los
grados de extension son multiplicativos, se sigue que si R es obtenido apartir de elementos en un campo F por una serie (finita) de operaciones de
regla y compas entonces es un elemento de una extension K de F de grado
de un potencia de 2: [K : F ] = 2m para algun m. Dado que [F () : F ] divide
este grado de extension, tambien sebe ser una potencia de 2.
Proposicion 1. Si el elemento R es obtenido a partir de un campoF R por una serie de construcciones con relga y compas entonces [F () :F ] = 2k para algun entero k 0
Teorema 2. Ninguno de los problemas griegos clasicos: (I) Duplicar el cubo,
(II) Trisecar el angulo, y (III) La cuadratura del crculo, es posible
Demostracion. (I) Duplicar el cubo involucra construir 3
2 en los reales em-
pezando con la unidad 1. Dado que [Q( 3
2) : Q] = 3 no es una potenciade 2, esto es imposible, (II) Si un angulo puede ser construido, entonces
determinar el punto a una distancia 1 del origen y angulo a partir del eje x
4
positivo de R2 muestra que cos() (la coordenada x de este punto) purde serconstruida (as que sin() tambien puede ser construido). Recprocamente si
cos(), entonces sin(), puede ser construido, el punto con esas coordenadas
da el angulo . El problema de trisecar el angulo es entonces el equivalente
al problema: dado cos() construya cos()/3 Para ver que esto no es siempre
posible (es ciertamente posible ocasionalmente, por ejemplo para = 180),
considere = 60. Entonces cos() = 12. Por la formula del angulo triple para
cosenos:
cos() = 4 cos3(/3) 3 cos(/3)sustituyendo = 60, vemos que = cos(20) satisface la ecuacion
43 3 1/2 = 0
O 83 6 1 = 0. Esto puede ser escrito como (2)3 3(2) 1 = 0. Sea = 2. Entonces es el numero real entre 0 y 2 que satisface la ecuacion
3 3 1 = 0
Pero consideramos esta ecuacion en la ultima seccion y determinados que
[Q() : Q] = 3, y como antes vemos que no es construible. (III) Lacuadratura del crculo es equivalente a determinar si el numero real pi =
3,14159 . . . es construible. Como se menciono previamente, es un difcil prob-
lema incluso probar que este numero no es racional. Es de hecho transcen-
dente (lo cual asumiremos sin demostracion), as que [Q(pi) : Q] no es nisiquiera finito, y menos aun una potencia de 2, mostrando la imposibilidad
de la cuadratura del crculo por regla y compas.
Observacion: La demostracion de arriba muestra que si cos(20) y sin(20)
no puede ser construido. Surge la pregunta de cuales angulos enteror (me-
didos en grados) son construibles? Los angulos 1 y 2 no son construibles,
dado que de otra forma las formulas adicionales para senos y cosenos daran la
construibilidad de 20. Por el otro lado, construcciones elementales geometri-
cas (del pentagono regular para un angulo de 72 y del triangulo equilatero
5
para un angulo de 60) junto con la formula de adicion y angulo medio mues-
tran que cos(3) y sin(3) son construibles. Se sigue de esto que las funciones
trigonometricas de un angulo de grados enteros son precismaente construibles
cuando el angulo es un multiplo de 3. Explcitamente,
cos(3) =1
8(
3 + 1)
5 +
5 +1
16(
6
2)(
5 1)
cos(3) =1
16(
6 +
2)(
5 1) 18
(
3 1)
5 +
5
mostrando que estas son obtenidas a partir de Q por extraccion sucesiva deraces cuadradas y operaciones de campo.
Despues de discutir los campos ciclotomicos en la seccion 14.5 consider-
aremos otra pregunta geometrica clasica: Cuales de los polgonos regulares
pueden ser construidos con regla y compas? (ver Proposicion 14.29) Hemos
sido cuidados aqu hemos sido cuidadosos de considerar las construcciones
usando un regla sin graduar. Si uno usa una regla graduada, es posible con-
struir muchos elementos geometricos adicionales. Por ejemplo, suponga que
es un angulo dado y la distancia unidad 1 esta marcada en la regla. Dibuje
un crculo de radio 1 con angulo central como se muestra en la Figura 3
y luego deslice la regla hasta que la distancia entre los puntos A y B en el
crculo es 1. Entonces algo de geometra elemental muestra que el angulo
indicada es /3, es decir (debida a Arqumedes) triseca a . En particular, el
segundo problema clasico en el Teorema 24 (Trisecar un angulo) puede ser
resuelto con regla graduada y compas
Figura 3:
El primero de los problemas clasicos en el Teorema 2 (Duplicacion del
Cubo), el cual consiste en la construccion de 3
2, puede ser tambien resuelto
6
con regla graduada y compas. Lo que sigue da una construccion para k1/3
para cualquie real positivo dado k el cual es menor que 1. Esta construccion
nos fue mostrada por J.H. Conway. Dibujar un crculo de radio 1 y usando
el punto A = (k, 0) como centro, construya el punto B = (0,
1 k2).Dividiendo esta distancia por 3, construya el punto (0,1
3
1 k2) y dibuje
la lnea que conecta este punto con A. Deslice la regla con longitud unidad 1
marcada tal que pasa a traves del punto B y tal que la distancia a partir del
punto de interseccion C al punto de interseccion D con el eje x es de longitud
1, como se indica en la Figura 4. Entonces la distancia entre A y D es 2k1/3
y la distancia entre B y C es 2k2/3.
Figura 4:
13.4. Cuerpos de Descomposicion y Clausuras Alge-
braicas
Sea F un campo. Si f(x) es cualquier polinomio en F [x] entonces hemos
visto en la Seccion 2 que existe un campo K el cual puede (Identificando F
con una copia isomorfica de F ) ser considerado una extension de F en el cual
f(x) tiene una raz . Esto es equivalente a afirmar que f(x) tiene un factor
linear x en K[x] (Esta es la proposicion 9 del Captulo 9)
Definicion 1. El campo extension K de F es llamado un cuerpo de descom-
posicion para el polinomio f(x F [x]) si f(x) se factoriza completamenteen factores lineales (o se descompone completamente) en K[x] y f(x) no se
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factoriza completamente en factores lineales sobre cualquier subcampo propio
de K que contiene a F.
Si f(x) es de grado n, entonces f(x) tiene como maximo n races en
F (Proposicion 17 del Captulo 9) y tiene precisamente n races (contando
multiplicidades) en F si y solo si f(x) se descompone completamente en F [x]
Teorema 3. Para cualquier campo F , si f(x) F [x] entonces existe unaextension K de F el cual es un cuerpo de descomposicion para f(x)
Demostracion. Primero mostramos que existe una extension E de F sobre
la cual f(x) se descompone completamente en factores lineales por induccion
en el grado n de f(x). Si n = 1, entonces tomamos E = F . Suponga ahora
que n > 1. Si los factores irreducibles de f(x) sobre F son todos de grado
1, entonces F es un cuerpo de descomposicion para f(x) y podramos tomar
E = F . De otra manera, al menos uno de los factores irreducibles, digamos
p(x) de f(x) en F [x] es de grado al menos 2. Por el Teorema 3 existe una
extension E1 de F que contiene una raz de p(x). Sobre E1 el polinomio
f(x) tiene el factor lineal x . El grado del factor restante f1(x) de f(x)es n 1, as que por induccion existe una extension E de E1 que contienetodas las races de f1(x). Dado que E, E es una extension de F quecontienen todas las races de f(x). Ahora sea K la interseccion de todos los
subcampos de E que contienen a F el cual tambien contiene todas las races
de f(x). Entonces K es un campo el cual es un cuerpo de descomposicion
para f(x).
Pronto veremo que cualquiera dos cuerpos de descomposicion para f(x)
son isomorfos (lo cual extiende el teorema 8), as (por abuso) frecuentemente
nos referiremos a el cuerpo de descomposicion de un polinomio.
Definicion 2. Si K es una extension algebraica de F el cual es un cuerpo
de descomposicion sobre F para una colecciond de polinomios f(x) F [x]entonces K es llamada una extension normal de F
8
Generalmente usaremos el termino cuerpo de descomposicion en lugar
de extension normal
Ejemplos
1. El cuerpo de descomposicion para x2 2 sobre Q es tan solo Q(2),dado que las dos races son 2 y 2 Q(2)
2. El cuerpo de descomposicion para (x22)(x23) es el campoQ(2,3)generado sobre Q por
2 y
3 dado que las races del polinomio son
2,3. Ya hemos visto que esta es una extension de grado 4 sobreQ y tenemos el siguiente diagrama de subcampos conocidos:
3. El cuerpo de descomposicion de x32 sobre Q no es tan solo Q( 32) da-do que, como se hizo notar previamente,las tres races de este polinomio
en C son3
2,3
2(1 + i3
2),
3
2(1 i3
2)
y estas dos ultimas races no son elementos de Q( 3
2), dado que los
elementos de este campo son de la forma a + b 3
2 + c 3
4 con a, b, c
racionales y todos estos numeros son reales. El cuerpo de descomposi-
cion K de este polinomio es obtenido al adjuntar todas estas tres races
a Q. Note que dado que K contiene a las primeras dos races de arriba,entonces contiene a su cociente 1+
32
por tanto K contiene al ele-
mento3. Por otro lado, cualquier campo que contiene a 32 y 3
contiene todas las tres races de arriba. Se sique que:
K = Q( 3
2,3)
9
es el cuerpo de descomposicion de x3 2 sobre Q. Dado que 3satisface la ecuacion x2+3 = 0, el grado de esta extension sobre Q( 3
2)
es como maximo 2, por tanto debe ser 2 dado que antes hemos visto
que Q( 3
2) no es un cuerpo de decomposicion. Se sigue que
[Q( 3
2,3) : Q] = 6
Note que podramos haber procedido de una manera ligeramente difer-
ente al final notando que Q(3) es un subcampo de K, as que el
ndice [Q(3) : Q] = 2 divide [K : Q]. Dado que este grado de ex-
tension es tambien divisible por 3 (dado que Q( 3
2) K), el gradoes divisible por 6, por tanto debe ser 6. Esto nos da el diagrama de
subcampos conocidos: donde
1 =3
2, 2 =3
2(1 + i3
2), 3 =
3
2(1 i3
2)
4. Uno debe ser cuidado en el calculo de cuerpos de descomposicion. El
cuerpo de descomposicion para el polinomio x4 + 4 sobre Q es maspequeno de lo que uno podra en principio sospechar. De hecho este
polinomio se factoriza sobre Q:
x4 + 4 = x4 + 4x2 + 4 4x2 = (x2 + 2)2 4x2
= (x2 + 2x+ 2)(x2 2x+ 2)
donde estos dos factores son irreducibles (Eisenstein de nuevo). Re-
solviendo para las races de los dos factores por la formula cuadratica,
encontramos las cuatro races
1 i
10
as que el cuerpo de descomposicion de este polinomio es tan solo el
campo Q(i), una extension del grado 2 de Q
En general, si f(x) F [x] es un polinomio de grado n, entonces adjun-tando una raz de f(x) a F genera una extension F1 de grado como maximo
n (e igual a n si y solo si f(x) es irreducible). Sobre F1 el polinomio f(x)
ahora tiene al menos un factor linea, as que cualquier otra raz de f(x) sat-
isface una ecuacion de grado a lo mas n 1 sobre F1. Adjuntado tal raz af1 obtenemos entonces una extension de grado a lo mas n 1 de F1, etc.USando la multiplicatividad de los grados de extension, esto prueba
Proposicion 4. Un cuerpo de descomposicion de un polinomio de grado n
sobre F es de grado a lo mas n! sobre F
Como muestran los ejemplos anteriores, el grado de un cuerpo de descom-
posicion podra ser menor a n!. Sera probado luego usado Teora de Galois
que un polinomio general de grado n (en un sentido bien definido) sonre Qtiene un cuerpo de descomposicion de grado n!, as que esto puede ser visto
como la situacion generica (Aunque la mayora de ejemplos interesantes
que consideraremos tiene cuerpos de descomposicion de grado menor)
Ejemplo:(Cuerpo de descomposicion de xn1: Campos ciclotomicos) Con-sidere el cuerpo de descomposicion del polinomio xn 1 sobre Q. Las racesde este polinomio son llamados las n-esimas raices de unidad Recuerde que
todo numero comple no cero a + bi C puede ser escrito de manera unicaen la forma
rei = r(cos() + i sin()) r > 0, 0 < 2pi
el cual es simplemente representar el punto a + bi en el plano complejo en
terminos de coordenadas polares: r es la distancia de (a, b) desde el origen
y es el angulo hecho con el eje real positivo. Sobre C existen n solucionesdistintas de la ecuacion xn = 1, a saber los elementos
e2piki/n = cos(2pik
n) + i sin(
2pik
n)
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para k = 0, 1, . . . , n 1. Estos puntos son dados geometricamente por npuntos espaciados igualmente empezando con el punto (1,0) (correspondiente
a k = 0) en un crculo de radio 1 en el plano complejo (Vea la figura 6). El
hecho que estos son la n-esimas races de unidad es inmediato, dado que
(e2piki/n)n = e(2piki/n)n = e2piki = 1
Se sigue que C contiene al cuerpo de descomposicion para xn 1 y veremosfrecuentemente que el campo de descomposicion para xn 1 sobre Q comoel campo generado sobre Q en C por los numeros de arriba.
Figura 5:
En cualquier cuerpo de descomposicion K/Q para xn 1 la coleccion dela n-esimas races de unidad forman un grupo bajo la multiplicacion dado
que si n = 1 y n = 1 entonces ()n = 1, as que el subconjunto de
K es cerrado bajo la multiplicacion. Se sigue que este es un grupo cclico
(Proposicion 18 del captulo 9); veremos que existen n races distintas en K
as que tiene orden n.
Definicion 3. Un generador del grupo cclico de todas la n-esimas races de
unidad es llamado una raz n-esima primitiva de unidad
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Denote an donde 1 a < n es un entero primo entre s con n, dado queestos son los otros generados para el grupo cclico de orden n. En particular
existen precisamente (n) races n-esimas primitivas de unidad, donde (n)
denota la funcion de Euler. Sobre C podemos ver todo esto directamenteal hacer
n = e2pii/n
(las primeras n-esimas races de unidad en sentido antihorario desde 1). En-
tonces todas las otras races de unidad son potencias de n:
e2piki/n = kn
as que n es un posible generador para el grupo multiplicativo de races
n-esimas de unidad. Cuando vemos las races de unidad en C usualmenteusaremos n para denotar la eleccion de un raz n-esima primitiva de unidad.
Las races primitivas de unidad en C para algunos valores pequenos de n son
1 = 1
2 = 13 =
1 + i32
4 = i
5 =
5 14
+ i(
10 + 2
5
4)
6 =1 + i
3
2
8 =
2
2+ i
2
2
(Esta formulas se siguen a partir de la geometra elementa de polgonos y en
cualquier caso pueden ser verificas directamente al elevarlas a las potencias
apropiadas). El cuerpo de descomposicion xn 1 sobre Q es el campo Q(n)y a este campo se le da un nombre:
Definicion 4. El campo Q(n) es llamado el campo ciclotomico de racesn-esimas de unidad.
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Determinar el grado de esta extension requiere cierto analisis de poli-
nomios mnimos sobre n sobre Q y sera pospuesto para despues (Seccion6). Un caso especial importante el cual ya hemos en realidad considerado es
cuando n = p es un primo. En este caso, tenemos la factorizacion
xp 1 = (x 1)(xp1 + xp2 + . . .+ x+ 1)
y dado que p 6= 1 se sigue que p es una raz del polinomio
p(x) =xp 1x 1 = x
p1 + xp2 + . . .+ x+ 1
el cual mostramos que era irreducible en la seccion 9.4. Se sigue que p(x)
es el polinomio mnimo de p sobre Q, as que
[Q(p) : Q] = p 1
Veremos luego que en general [Q(n) : Q] = (n), donde (n) es ela funcionphi de Euler de n (as que (p) = p 1).
Ejemplo: Cuerpo de Descomposicion de xp 2, p un primo Sea pun primo y considere el cuerpo de descomposicion de xp 2. Si es una razde esta ecuacion, es decir, p = 2, entonces ()p = 2 donde es cualquier
p-esima raz de unidad. Dadp qie las soliciones de esta ecuacion son
p
2, una raiz p esima de unidad
donde como es usual el smbolo p
2 denota la p-esima raz real positiva de 2 si
deseamos ver estos elementos como numeros complejos, y denota a cualquiera
de las soluciones de xp = 2 si vemos estas races de manera abstracta. Dado
que el cociente de dos soluciones pp
2 y p
2 para una p-esima raz primitiva
de unidad p es tan solo p, el cuerpo de descomposicion de xp 2 sobre Q
contiene a Q( p
2, p). Por el contrario, todas las races de arriba yacen en
este campo, as que el cuerpos de descomposicion es precisamente
Q( p
2, p)
Este campo contiene campo ciclotomico de p-esimas races de unidad y es
generado sobre el por p
2, por tanto es una extension de grado a lo mas p. Se
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sigue que el grado de esta extension sobre Q es p(p 1). Dado que tantoQ( p
2) y Q(p) son subcampos, el grado de la extension sobre Q es divisiblepor p y por p 1. Dado que estos dos numeros son primos entre s se sigueque el grado de extension es divisible por p(p 1) as que debemos tener
[Q( p
2, p) : Q] = p(p 1)
(Este es el corolario 22akdpadkspdas). Note en particular que themos proba-
do que xp2 permanece irreducible sobre Q(p), lo cual no es del todo obvio.Tenemos el siguiente diagrama de subcampos conocidos:
El caso especial p = 3 fue el ejemplo 3 anterior, donde simplemente
indicamos la races 3ras de unidad explcitamente.
Ahora regresamos al problema de robar que no exite diferencia en como
el cuerpo de descomposicion de un polinomio f(x) sobre un campo F es
construido. Como en el teorema 824432424234324 es conveniente enunciar el
resultado para un isomorfismo arbitrario : FF entre dos campos.
Teorema 5. Sea : FF un isomorfismo de campos. Sea f(x) F [x] unpolinomio y sea f (x) F [x] el polinomio obtenido al aplicar a los coefi-cientes de f(x). Sea E un cuerpo de descomposicion para f(x) sobre F y sea
E un cuerpo de descomposicion para f (x) sobre F . Entonces el isomorfismo
se extiende a un isomorfismo : EE , es decir, es restringido a F esel isomorfismo :
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Demostracion. Procederemos por induccion en el grado n de f(x). Como en
la discusion antes del Teorema 82139102312093, recuerde que un isomorfismo
de un campo F a otro campo F induce un isomorfismo natural entre los
anillos polinomicos F [x] y F [x]. En particular, si f(x) y f (x) corresponden
el uno al otro bajo este isomorfismo entonces los factores irreducibles de f(x)
en F [x] corresponden a los factores irreducibles de f (x) en F [x]. Si f(x)
tiene todas sus races en F entonces f(x) se descompone completamente en
F[x] y f (x) se descompone completamente F [x] (con sus factores lineales
siendo las imagenes de los factores lineales para f(x)). Por tanto E = F y
E = F , y en este caso podramos tomar = . Esto muestra que el resultado
es verdadero para n = 1 y en el caso donde todos los factores irreducibles
de f(x) tienen grado 1. Asuma ahora por induccion que el teorema ha sido
probado para cualquier campo F , isomorfismo , y polinomio f(x) F [x]de grado < n. Sea p(x) un factore irreducible de f(x) en F[x] de grado al
menos 2 y sea p(x) el factor irreducible correspondiente de f (x) en F [x].
Si E es una raz de p(x) y E es una raz de p(x), entonces por elteorema 8123123 podemos extender a un isomorfismo : F ()F ():
Sea F1 = F (),F1 = F
(), tal que tenemos el isomorfismo : F1F 1.Tenemos f(x) = (x )f1(x) sobre F1 donde f1(x) tiene grado n 1 yf (x) = (x )f 1(x). El campo E es un cuerpo de descomposicion paraf1(x) sobre F1: todas las races de f1(x) estan en E y si estuviesen contenidos
en cualquier extension menor L que contiene a F1, entonces, dado que F1
contiene a , L tambien contendra todas las races de f(x), lo cual contradira
la minimalidad de E como un cuerpo de descomposicion de f(x) sobre F.
Similarmente E es un cuerpo de descomposicion para f 1(x) sobre F1. Dado
que los grados de f1(x) y f1(x) son menores que n, por induccion existe
un mapeo : EE que extiende el isomorfismo : F1F 1. Esto da eldiagrama extendido:
16
Luego como el diagrama indica, restringido a F1 es el isomorfismo ,
asi que en particular restringido a F es restringido a F, el cual es ,
mostrando que es una extension , completando la prueba.
Corolario 6. Unicidad de los cuerpos de descomposicion Cualquiera dos
cuerpos de descomposicion para un polinomio f(x) F [x] sobre un campo Fson isomorficos.
Demostracion. Tome como el mapeo identidad de F en s mismo y E y E
como dos cuerpos de descomposicion para f(x)(= f (x))
Como mencionamos antes, este resultado justifica la terminologa de el
cuerpo de descomposicion de f(x) sobre F, dado que cualquiera dos de ellos
son isomorficos. Los cuerpos de descomposicion juegan un rol natural en el
estudio de elementos algebraicos (Si usted esta adjuntando una raz de un
polinomio, Por que no adjuntar todas las races?) y por tanto toman un role
particularmente importante en la Teora de Galois. Terminamos esta seccion
con una discusion de campos de extension de F que contienen todas la races
de todos los polinomios sobre F.
Definicion. El campo F es llamada una cerradura algebraica de F si F es
algebraica sobre F y si todo polinomio f(x) F [x] se descompone completa-mente sobre F (As que se puede decir que F contiene todos los elementos
algebraicos sobre F)
Definicion. Se dice que un campo K es algebraicamente cerrado si todo poli-
nomio con coeficientes en K tiene una raz en K.
No es obvio que los campos cerrados algebraicamente existen ni que existe
una cerradura algebraica de un campo dado F (probaremos esto en pronto)
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Note que si K es algebraicamente cerrado, entonces de hecho todo f(x) K[x] tiene todas sus races en K, dado que por definicion f(x) tiene una
raz K, por tanto tiene un factor x en K[x]. El factor restantede f(x) entonces es un polinomio en K[x], por tanto tiene una raz, as que
tiene un factor lneal, etc., as que f(x) debe descomponerse completamente.
Por tanto si K es cerrado algebraicamente, entonces K en en s mismo una
cerradura algebraica de K y el recproco es tambien obvio, as que K = K si
y solo si K es cerrado algebraicamente. El siguiente resultado muestra que el
proceso de tomar la cerradura algebraica.en realidad para luego de un paso
- tomar la cerradura algebraica de una cerradura algebraica no da un campo
mator: el campo es ya algebraicamente cerrado (simbolicamente: F = F )
Proposicion 7. Sea F una cerradura algebraica de F. Entonces F es cerrado
algebraicamente.
Demostracion. Sea f(x) un polinomio den F [x] y sea una raz de f(x).
Entonces genera una extension algebraica F () de F , y F es algebraica
sobre F. Por el teorema 20!!!, F () es algebraica sobre F as que en particular
su elemento es algebraico sobre F. Pero entonces F , mostrando que Fes cerrado algebraicamente.
Dado un campo F ya hemos mostrado como construir extensiones (finitas)
de F que contengan todas las races de un polinomio dado f(x) F [x]. Intu-itivamente, una cerradura algebraica de F es dada por el campo generado
por todos estos subcampos. La dificultada con es generado donde?, dado
que no todos son subcampos de un campo dado. Para una coleccion finita de
polinomios f1(x), . . . , fk(x), podemos identificar sus cuerpos de descomposi-
cion como subampos de un cuerpo descomposicion del polinomio producto
f1(x) . . . fk(x), pero la misma idea usada para un numero infinito de poli-
nomios requiere numerosas identificaciones bookkeeping!!! 2una aplicacion
del Lema de Zorn. Construiremos en lugar de ello una cerradura algebraica
de F construyendo primero un campo cerrado algebraicamente que contiene
a F. La prueba usa un idea astuta de Artin el cual resuelve elegantemente
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el problema de bookkeepingde construir un campo que contiene las races
apropiadas de polinomios (el cual tambien se apoya finalmente en el Lema
de Zorn) al introducir una variable separada para todo polinomio.
Proposicion 8. Para cualquier campo F existe un campo K cerrado alge-
braicamente que contiene a F
Demostracion. Para todo polinomio monico no constante f = f(x) con co-
eficientes en F, denote xf una incognita y considere el anillo polinomico
F [. . . , xf , . . .] generado sobre F por las variables xf . En este anillo polinomi-
co considere el ideal I generado por los polinomios f(xf ). Si este ideal no es
propio, entonces 1 es un elemento del ideal, por tanto tenemos la relacion
g1f1(xf1) + g2f2(xf2) + . . .+ gnfn(xfn) = 1
donde los gi,i = 1, 2, . . . , n son polinomios en los xf . Para i = 1, 2, . . . , n
sea xfi = xi y sea xn+1, . . . , xm el resto de variables que aparecen en los
polinomios gj, j = 1, 2, . . . , n. Entonces la relacion de antes sera
g1(x1, x2, . . . , xm)f1(x1) + . . .+ gn(x1, x2, . . . , xm)fn(xn) = 1
Sea F una extension finita de F que contiene una raz i de fi(x) para i =
1, 2, . . . , n. Haciendo xi = i, i = 1, 2, . . . , n y haciendo xn+1 = . . . = xm = 0,
digamos, en la ecuacion polinomica de arriba implicara que 0 = 1 en F ,
claramente imposible. Dado que el ideal I es un ideal propio, esta contenido
en un ideal maximo M (aqu es donde el torema de Zorn es usado). Entonces
el cociente
K1 = F [. . . , xf , . . .]/M
es un campo que contiene a (una copia isomorfica de) F. Cada uno de los
polinomios f tiene una raz en K1 por construccion, a saber la imagen de
xf , dado que f(xf ) I M . Hemos construido un campo K1 en el cualtodo polinomio con coeficientes de F tiene una raz. Realizando la misma
construccion con K1 en lugar de F da un campo K2 que contiene a K1 en el
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cual todos los polinomios con coeficientes de K1 tiene una raz. Continuando
de este modo obtenemos una sucesion de campos
F = K0 K1 K2 . . . Kj Kj+1 . . .
donde todo polinomio con coeficientes en Kj tiene una raz en Kj+1, j =
0, 1, . . .. Sea
K = j0Kjla union de estos campos. Entonces K es claramente un campo que contiene
a F. Dado que K es la union de campos Kj, todos los coeficientes de todo
polinomio h(x) en K[x] yacen en algun campo KN para N suficientemente
grande. Pero entonces h(x) tiene una raz en KN+1, as que tiene una raz en
K. Se sigue que K es cerrado algebraicamente, completando la prueba.
Ahora usamos el campo cerrado algebraicamente que contiene a F para
construir una cerradura algebraica de F:
Proposicion 9. Sea K un campo cerrado algebraicamente y sea F un sub-
campo de K. Entonces la coleccion de elementos F de K que son algebraicos
sobre F es una cerradura algebraica de F. Una cerradura algebraica de F es
unica con respecto a isomorfismos.
Demostracion. Por definicion, F es una extension algebraica de F. Todo poli-
nomio f(x) F [x] se descompone completamente sobre K en factores linealesx (lo mismo es verdad para todo polinomio par en K[x]). Pero cada es una raz de f(x), as que es algebraica sobre F, por tanto es un elemento
de F . Se sigue que todos los factores lineales x tiene coeficientes en F ,es decir, f(x) se descompone completamente en F [x] y F es una cerradura
algebraica de F. La unicidad (con respecto a isomorfismos) de la cerradura
algebraica es natural en vista de la unicidad (respecto a isomorfismos) de
cuerpos de descomposicion, y es probado siguiendo los mismos lineamientos
junto con una aplicacion del Lema de Zorn y sera omitido
Probaremos mas adelante usando la teora de Galois el siguiente resultado
(las pruebas puramente anlticas usando analisis complejo tambien existen)
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Teorema 10. (Teorema Fundamental del Algebra) El campo C es algebraica-mente cerrado.
Por la proposicion 9, obtenemos inmediatamente:
Corolario 11. El campo C contiene una cerradura algebraica para cualquierde sus subcampos. En particular, Q, la coleccion de numeros complejos alge-braicos sobre Q, es una cerradura algebraica de Q.
El punto de estas consideraciones es que todos los calculos que involucran
elementos algebraicos sobre un campo F podrian ser vistos como tomando
lugar en un campo (amplio), a saber F . Similarmente, podemos hablar de
manera sensata de la composicion de cualquier coleccion de extensiones al-
gebraicas viendo todos los subcampos de una cerradura algebraica. En el caso
de Q o extensiones finitas de Q podriamos considerar todos nuestros calculoscomo realizados en C.
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