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CC/EC/UFES2010/2 Teoria dos Grafos(INF 5037)
Conectividade e Separabilidade
CC/EC/UFES2010/2 Teoria dos Grafos(INF 5037)
Conectividade de arestas
• Em um grafo conexo G, o número de arestas do menor corte de arestas de G é definido como conectividade de arestas de G (K´ (G))
• K´ (G): número mínimo de arestas cuja remoção reduz o rank de G em uma unidade.
• K´(T) = ????, onde T é uma árvore.
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Corte de vértices
• Subconjunto minimal de vértices V´ V, cuja remoção de G o desconecta ou o transforma em um grafo nulo, n > 1.
• G – V´: desconexo ou nulo e subconjunto próprio V” V´, G – V” é conexo e não nulo.
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Conectividade de vértices
• O número mínimo de vértices que desconecta o grafo G ou o reduz a um único vértice é definido como conectividade de vértices de G (K (G))
• K(T) = ????, onde T é uma árvore.
• Conectividade de vértices tem sentido apenas para grafos conexos com mais de três vértices e não completos.
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Conectividade de vértices
• K´(G) = K(G) = 0, G desconexo
• K(G) n – 2, G Kn
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Grafo separável
• Um grafo G é dito separável quando
K(G) = 1.
• Neste caso, G pode ser decomposto em subgrafos G1 e G2 tal que G1 e G2 tem apenas um vértice em comum.
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Articulação
• Vértice cuja remoção desconecta o grafo.
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Teorema
Seja G (V,E) um grafo conexo, |V| > 2. Então:
a) Um vértice v de V é articulação sss existem dois vértices x e y em G, x, y v, tais que todo caminho entre x e y passa por v;
b) Uma aresta {p,q} de E é ponte sss {p, q} for o único caminho entre p e q em G.
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Exemplo
Suponha que são dadas n estações que devem ser conectadas por e linhas,
e ≥ n-1. Qual é a melhor maneira de conectá-las, de maneira a evitar sua
destruição devido à destruição de estações individuais e/ou linhas individuais?
Maior conectividade de vértices e arestas
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Teorema
A conectividade de arestas de um grafo G não pode exceder o grau do vértice com o
menor grau de G
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Prova
• Seja w o vértice de grau mínimo de G ()
• É possível desconectar G, removendo-se as arestas incidentes a w.
• ≥ K´(G)
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Teorema
A conectividade de vértices de um grafo G não pode exceder a conectividade de
arestas de G
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Questão
Sejam G = (V,E) um grafo e
E´ um corte de arestas de G.
É sempre possível encontrar
um corte de vértices V´
tal que |V´| |E´|?
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G, K(G) K´(G)
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Corolário
Todo corte de arestas em um grafo não separável com mais de dois vértices contém
pelo menos duas arestas
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Grafo k-conexo
• Seja k um inteiro positivo. Diz-se que um grafo G é k-conexo em vértices quando não existe corte de vértices de tamanho menor que k
• Analogamente, diz-se que G é k-conexo em arestas
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Grafo biconexo
• Um grafo é biconexo ou 2-conexo em vértices (arestas) sss não possuir articulações (pontes).
• Componentes biconexos ou blocos: subgrafos maximais de G que sejam biconexos em vértices ou isomorfos a K2.
• G é biconexo em vértices: possui um único bloco que é o próprio G.
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Teorema
Seja G = (V, E) um grafo. Então:
a) Cada aresta de E pertence exatamente a um bloco do grafo;
b) Um vértice v de V é articulação sss v pertencer a mais de um bloco do grafo.
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Teorema
Um grafo G = (V,E), |V| > 2 é biconexo
sss
cada par de vértices de G está contido em algum ciclo
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Teorema
Seja G um grafo k-conexo. Então existe
algum ciclo de G passando por cada subconjunto de k vértices
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Teorema
O valor máximo de K(G) de um grafo
G = (V,E), com n vértices e m arestas
(m ≥ n-1) é 2m/n
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