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01/04/2021 1
Année 2020-2021
A ne pas confondre avec
la Mécanique de la Rupture
(«Fracture Mechanics»):
analyse de la fissuration des
matériaux et des structuresdéplacement
chargement
E
EP
Charge limite / rupture
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…structures métalliques
Analyse à la rupture des…
…ouvrages de géotechnique(voir cours Conception des Ouvrages Géotechniques)
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méthode des «bielles et tirants»méthode des «lignes de rupture»
…structures en béton armé(voir cours Béton Armé et Précontraint)
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Objectifs généraux du cours de Calcul à la Rupture
Prendre en compte les propriétés de résistance des matériaux en vue
d’un dimensionnement aux États Limites Ultimes (E.L.U) des ouvrages
(constr. métal., structures en BA, ouvrages de géotechnique, ...) visant à
assurer la sécurité des constructions.
Définir les concepts, méthodes et outils permettant l’analyse à la rupture des
structures/ouvrages/systèmes mécaniques.
Raisonnement typique du Génie Civil (analyses de stabilité par «surfaces de
rupture», méthode des «lignes de rupture»,…des «bielles et tirants», etc).
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Séance Thème Intervenants
7- Jeudi 01/04 De l’analyse limite au calcul à la rupture : l’exemple
des systèmes à barres fléchies
A (1h30): PB
PC (1h30) : MA/CB/GH
8- Jeudi 08/04 Théorie du calcul à la rupture pour le milieu continu
3D: approches statique et cinématique
A (1h30): PB
PC (1h30) : MA/CB/GH
9- Jeudi 15/04 Applications I: systèmes en milieu purement cohérent
(Tresca, von Mises)
PC (3h00) : MA/CB/GH
10- Jeudi 22/04 Applications II : systèmes en milieu frottant (Mohr-
Coulomb)
A (1h00): PB
PC (2h00) : MA/CB/GH
11- Jeudi 06/05 Problèmes de Calcul à la Rupture (utilisation du
logiciel Optum)
PC (3h00) : MA/CB/GH
12- Jeudi 20/05 Calcul à la Rupture des plaques et dalles minces (1) A (1h30): PB
PC (1h30) : MA/CB/GH
13- Jeudi 27/05 Calcul à la Rupture des plaques et dalles minces (2) PC (3h00) : MA/CB/GH
14-Jeudi 03/06 Examen de calcul à la rupture PB/MA/CB/GH
CALCUL À LA RUPTURE: programme prévisionnel
(Jeudi 08h30-11h45)
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De l’élasto-plasticité au calcul à la rupture:l’exemple des structures à barres fléchies
(voir chapitre V du cours écrit)
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Q
q
Retour sur l’exemple de la poutreQ
l lq
phase élastique
phase élasto-plastiquelm 3/8
limite d’élasticité
charge limitelm /3
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Q
q
lm /3m
m
Charge limite
3 / m l
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Critèrede plasticité mMm
mMm
O
A
Charge limite: calcul direct
+
lmYlm //
lQlmYlQlm 2/)( 2/)(
lYMA
lQYM O )2( Y
Equilibre
x
Q
3 /Q m l
? Y tel que :
( )
( )
M x QK Q
M x m
t.q. avec S.A.
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lmlmK /3 , /3 Domaine des chargements supportés
K indépendant de:
• l’état initial;
• l’élasticité des matériaux;
• l ’histoire du chargement.
critère
définition
Théorèmes généraux
d’élasto-plasticité
équilibre
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Analyse limite
Critère de
plasticité
Charge
limite
K: domaine des
chargements
supportés
Calcul àla rupture
Critère de
résistance
Charge
extrême
K: domaine des
chargements
potentiellement
supportables
(J. Salençon, 1983)
Cas de la rupture ductile (métaux, sols argileux,…)
M
mSchéma
élastique
(parfaitement)
plastique
lm 3/8
lm /3
Q
q
Charge extrême=
Charge limite
12
Cas de la rupture fragile (béton en traction, bois, verre,…)
M
mSchéma
élastique
fragile
Q
q
charge extrême>
charge limite=
limite d’élasticité
lm 3/8
12
Les chargements «potentiellement supportables», qui appartiennent au domaine
K, ne sont pas nécessairement atteints au cours d’un trajet de chargement, hormis si
le critère de résistance des matériaux est un critère de plasticité parfaite avec
règle d’écoulement plastique associée.
A contrario, les chargements situés à l’extérieur de K ne sont pas supportables.
Les résultats obtenus par l’approche Calcul à la Rupture sont d’autant plus fiables
que le comportement des matériaux est ductile.
Il n’est en revanche pas recommandé d’utiliser cette approche dans le cas de
matériaux fragiles, sauf à adopter des coefficients de sécurité importants, qui
peuvent entrainer un surdimensionnement de l’ouvrage.
Plasticité / Analyse Limite / Calcul à la Rupture: quelques commentaires
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L’approche
cinématique par l’extérieur
du Calcul à la Rupture
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U
0 R
Statique
du point matériel P
3ˆ RU
U .
Puissance virtuelledes efforts extérieurs
: vitesse
virtuelleU
(aucune restriction)
( )ˆ( )e U P
R des efforts
appliqués
Résultante
«Dualisation»
de l’équilibre
Principe des Puissances Virtuelles(point matériel)
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qQve
ˆ)ˆ( P
Puissance virtuelle
des efforts extérieurs
Q
)(ˆ xvix
QM s.a. ˆ c.a. ˆ qv
)ˆ(vdP
l
x
xv
xxM2
0
d
)(" ˆ
)(ˆ)(
Puissance virtuelle
de déformationtaux de
courbure virtuelle
x
Principe des Puissances Virtuelles: cas des poutres droites fléchies
ˆ ˆ( )q v x l
ˆi
ˆ( )i i
i
M x
ˆ ˆ[ ']( )
ˆ ˆ'( ) '( )
i i
i i
v x
v x v x
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)ˆ( vrmP
l
i
iid xMxxxMv
2
0
ˆ)(d)(ˆ)()ˆ( P
;
, ( )
M QQ K M
x M x m
S.A. équilibre
critère
équilibre «dualisé»!ˆ ˆ ˆ ˆ, ( ) ( )dv Qq v v P
ˆ ; ˆsup mmMM
ˆ ( ) ≤
ii mmMM ˆ
; ˆ
sup
ˆ ( ) i
Puissance Résistante Maximale
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)ˆ(vrmP
Approche cinématique par l’extérieur
ˆ ˆ ˆ ( ) ( )d
M QQq v v
S.A.PQ K
, ( )x M x m
K Q0
ˆ, 0ˆrm qq
P
QChargement
extrême
00
Q
xAO
Mise en œuvre de l’ approche cinématique
lxllxq
lxlxqxv
2 )/2(ˆ
0 /ˆ
)(ˆ
lmQ /3
ˆ)ˆ( qQve
P l
rmxv
2
0
d ˆ)ˆ( P /ˆ 3 lqm
0ˆ q
0ˆ
)ˆ()ˆ(AO
0ˆ ˆ ˆ'(0 ) '(0 )
ˆ / 0
ˆ ˆ ˆ'( ) '( )
ˆ 2 / 0
O
A
v v
q l
v l v l
q l
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Généralisation(poutres droites, homogènes, charges concentrées)
Diagrammes
de momentsS.A.:
affines «par morceaux»
n=13Sections
Potentiellement
Critiques
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Pour déterminer les chargements extrêmes, il suffit
d ’explorer les mouvements virtuels («mécanismes»)
mettant en jeu des discontinuités de taux de rotation («rotules»)
localisées aux seules Sections Potentiellement Critiques
r = n - k mécanismes indépendants
ˆˆ( , 1... )i i n Mécanismes :
nombre
de S.P.C.
degré d ’hyperstaticité(nombre de Mi indépendants)
dimension de
l’espace des
mécanismes
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Approche cinématique par l’extérieur
mM i
mM i
0ˆ *i
0ˆ *
i
ˆ( ) ˆ, 0ˆ
rm iQ qq
P
Majorant
ˆ
ˆ ˆ( ) ( )
Minˆ ˆ
i
rm i rm iQq q
P PMinimisation
Mécanisme
optimal ˆi
règle
d’écoulement
plastique
ˆ p
i i
Poutre
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n – k = r
Y
2 1Mécanisme
de «poutre»1
01/04/2021
25
r = n - k13 67
mécanismes
indépendants
Retour sur l’exemple du portique à deux étages
Inconnues hyperstatiques
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3 mécanismes de «poutre»
01/04/2021 27
2 mécanismes de «panneau»
01/04/2021 28
2 mécanismes de «nœud»
3
1 2 3
1
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, 2i i
i
Ql M M M M
P.P.V.1 2 3 2Ql M M M
Remarques complémentaires
A chaque mécanisme indépendant est associée par le P.P.V.
une relation entre moments
1
ˆ ˆ
2
ˆ ˆ 2
3
ˆ ˆ
Q
ˆl
+
A chaque mécanisme indépendant est associée par le P.P.V.
une relation entre moments → r relations
L’utilisation de mécanismes avec rotules peut être étendue…
• …aux chargements répartis • …aux poutres courbes (arcs)
rotule
«mobile»
0
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