Rupture et Plasticité

Plan du cours

Comportements non linéaires des matériaux solides : Amphi 1

Rupture fragile :

− Singularités de contrainte et ténacité des matériaux : Amphi 2− Analyse énergétique de la propagation d’une fissure : Amphi 3

Plasticité :

− Comportement élasto-plastique : Amphi 4− Dissipation plastique : Amphi 5− Structures élasto-plastiques standard : Amphi 6

Charges limites : Amphi 7

1

Principales conclusions de l’amphi 1

• Nécessité de traduire des transitions entre régimes de comportement.

• Présence nécessaire de défauts microscopiques (microfissures, dislocations)

• Matériaux fragiles sensibles au clivage. Critère de la contrainte normale maximale :

Sup

|n|= 1

σ(n)≤ σ0.

• Matériaux ductiles sensibles au cisaillement.

2

Mécanique linéaire de la Rupture

Amphis 2 et 3

Objectifs : en restant dans le cadre de l’élasticité linéaire ....

.... expliquer comment la présence de

micro-défauts fragilise un élément de

volume de matériau.

.... dimensionner une structure en

présence de fissures.

Comprendre la nature des forces qui permettent l’avancée des fissures.

3

Singularités de contrainte en élasticitéet ténacité des matériaux

I. Concentration de contrainte au voisinage d’un défaut de forme

elliptique.

II. Singularités de contrainte en fond d’entaille.

III. Singularités de contrainte à la pointe d’une fissure plane.

IV. Ténacité des matériaux.

V. Exemple

4

Cadre de travail : élasticité linéaire en H.P.P

Hypothèse des petites perturbations :

- Configuration actuelle = configuration initiale.

- Tenseur des déformations linéarisées.

Equations de compatibilité :

ε =12

(∇ξ+ T∇ξ

),

Evolution quasi-statique :

les termes d’accélération sont négligés.

Equations d’équilibre :

div(

σ)

+F = 0,

Matériau élastique linéaire :

homogène et isotrope.

Equations de comportement :

σ = C : ε,

Ω

ξ

T d

d

_

_

F_

Conditions aux limites :

T = σ.n = Td sur ST ,

ξ = ξd sur Sξ.

5

I. Concentrations de contrainte.

Essai de traction uniaxiale sur éprouvette pleine et sur éprouvette trouée.

Eprouvette pleinez

y

x

F

Szone utile

σ = σ∞ ey⊗ey, σ∞ = F/S

σ est uniforme, uniaxial, dans la

zone utile.

Eprouvette trouée

ab

σyyσmaxz

y

x

F

x

σ∝

σ = σxx ex⊗ex+σxy ex⊗sey+σyy ey⊗ey, σi j (x,y,z).

σ non uniforme, multiaxial, dans la zone utile.

Le champ de contrainte est perturbé par la présence du trou (condition de bord libre).

6

Exemples de concentration de contrainte

∝σ

∝σ

3σ

−σ

3σ

−σ ∝

∝

∝

∝

Trou circulaire

• Aux pôles :

σrr = 0, σθθ = Rσ∞.

• A l’équateur :

σrr = 0, σθθ =−σ∞.

R= 3.

∝σ

∝σ

Inclusion rigide circulaire

• Aux pôles :

σrr = R′σ∞, σθθ = νσrr .

• A l’équateur :

σrr =−R′σ∞, σθθ = νσrr .

R′ = (5+ν)/(3−ν)(1+ν).7

Rupture et décohésion de particules dans les composites à matricemétallique

Rupture de particule

Décohésion

8

Concentration de contrainte dans le cas des trous

• Contrainte normale maximale :

Sup

x∈ partie utile

Sup

|n|= 1

σ(x,n) = σyy(a,0) = R σ∞.

• Facteur de concentration de contrainte (dans une

plaque infinie, matériau homogène, isotrope) :

R=(

1+2ab

).

ab

σyyσmax

x

σ∝

• Lorsque le trou devient une fissure (rayon de courbure tend vers 0) :

b → 0, R → +∞.

• En règle générale, R est inversement proportionnel au rayon de courbure du défaut.

9

Nonlinéarité de l’amorçage et de la propagation d’une fissure

∝σ

∝σ

3σ

−σ

3σ

−σ ∝

∝

∝

∝

A configuration donnée , le problème

d’élasticité est linéaire,

σ∞→−σ∞, σ→−σ,

∝σ

∝σ

∝σ

∝σ

L’amorçage de la fissuration (puis la propaga-

tion), basé sur le critère (non symétrique) de la

contrainte normale maximale, rend le problème

non linéaire .

10

Un V est il plus dangerereux qu’un U ?

11

II. Singularité de contrainte en fond d’entaille

r θ

ω

O

• Matériau élastique linéaire, homogène, isotrope.

• Géométrie plane. Déformations planes ou anti-planes. Lo-

calement, entaille d’ouverture 2(π−ω).

• Rappel : pour une entaille émoussée Sup σ(n) =R σ∞, R' 1/ρ, ρ rayon de courbure du défaut. Quand

ρ→ 0 contraintes singulières en fond d’entaille.

Quel que soit le corps considéré et le chargement appliqué, le champ de contrainte

solution du problème d’élasticité plane, linéaire, isotrope, posé sur un corps contenant

une entaille d’angle ω≥ π/2 est singulier en fond d’entaille :

σi j = rα fi j (θ)+σregi j (r,θ) avec α < 0, lim

r → 0

σregi j (r,θ) < ∞ .

L’exposant α < 0 ne dépend que de la géométrie de l’entaille ( ω). Il est indépendant de la

géométrie du corps, du chargement et des constantes élastiques (isotropes). En revanche

les fonctions fi j dépendent de la géométrie du corps et du chargement appliqué.

12

Visualisation d’une singularité de contrainte

Photoélasticimétrie : visualisation des différences entre contraintes principales.

c©J. Salençon.

13

• Lorsqu’il y a concentration de contrainte , la

contrainte s’élève mais reste finie.

• Lorsqu’il y a singularité de contrainte , la

contrainte devient (asymptotiquement) infinie. Im-

possible d’utiliser le critère de la contrainte nor-

male maximale (rupture dès application d’une

charge infinitésimale).

• La signification physique d’une contrainte infinie

peut être mise en doute (OK en dehors d’un tout

petit volume). Traduit une très grande concentration

de contrainte locale.

Pour arrêter la propagation de certaines

fissures : percer un trou !

14

Démonstration : On se limite au cas antiplan (plus simple).

• Le cas des déformations planes, un peu plus technique, est traité dans le poly.

• Déformations anti-planes :

ξ(x,y) = ξzez.

OO

ε(x,y) =12

∂ξz

∂x(ex⊗ez+ez⊗ex)+

12

∂ξz

∂y(ey⊗ez+ez⊗ey),

σ(x,y) = 2µε = µ∂ξz

∂x(ex⊗ez+ez⊗ex)+µ

∂ξz

∂y(ey⊗ez+ez⊗ey).

• Equations d’équilibre (forces de volume nulles) :

0 = 0 selon ex, 0 = 0 selon ey,∂σxz

∂x+

∂σyz

∂y= 0 selon ez.

15

• Matériau homogène (µ= constante) :

µ∂2ξz

∂x2 +µ∂2ξz

∂y2 = 0, ∆ξz(x,y) = 0. La fonction ξz est harmonique .

Application au problème de l’entaille.

r θ

ω

O

• Chercher une expression asymptotique de ξz quand r→ 0 :

ξz(r,θ) = rα+1g(θ) au voisinage de O.

• Comportement asymptotique des contraintes :

σrz = µ∂ξz

∂r= µ(α+1)rαg(θ), σθz = µ

1r

∂ξz

∂θ= µrαg′(θ).

• Conditions aux limites (n = eθ).

σrθ = σθθ = σθz = 0 pourθ = ±ω.

• Laplacien en coordonnées polaires :

∆ξ =∂2ξ∂r2 +

1r

∂ξz

∂r+

1

r2∂2ξz

∂θ2 = [(α+1)2g(θ)+g′′(θ)]rα−1.

16

• g est donc solution de l’équation différentielle :

g′′(θ)+(α+1)2g(θ) = 0.

Solution : g(θ) = Acos[(α+1)θ]+Bsin[(α+1)θ.]

• Conditions aux limites T = 0, θ =±ω, (σθz seule composante non nulle de T) :

σθz = µ1r

∂ξz

∂θ= µrαg′(θ), σθz = 0 pourθ = ±ω⇒ g′(±ω) = 0.

• Système à résoudre pour déterminer A,B : cos[(α+1)ω] −sin[(α+1)ω]

cos[(α+1)ω] sin[(α+1)ω]

A

B

=

0

0

.

Il existe une solution non nulle si et seulement si le déterminant du système est nul.

cos[(α+1)ω]sin[(α+1)ω] = 0,

α =π

2ω+

kπω−1 ou bien α =

kπω−1.

17

• ∃ solutions α conduisant à des contraintes singulières ?

σ∼ ∇ξ∼ rαF(θ) singulier si α < 0.

• Solutions α conduisant à une énergie élastique finie :ZΩ

12

σ : S: σ dΩ < ∞ ⇒Z

r2α rdr < ∞ ⇒ α >−1.

Solutions singulières d’énergie finie si −1 < α < 0.

• La plus petite solution dans cet intervalle (donc la plus singulière) est :

k = 0, α =π

2ω−1 , (rappel ω > π/2 donc α < 0).

• Nous avons montré que certaines solutions singulières peuvent exister . On montre (plus

difficile) que toutes les solutions sont de la forme :

σ = rαF(θ)+σreg, σreg < +∞.

18

Singularités de contraintes dans les composites

Même pour des bords très réguliers ! (voir exposé de B. Chemoul.)

F

4

321

x

σ yy

y

Bor

d lib

re

z

Traction dans la direction z

• Couches de raideurs différentes.

• Bord libre.

• Etat de contrainte triaxial.

• Singularité de contrainte selon Oy au

voisinage du point triple.

• Dépend de la séquence d’empilement.19

III. Singularités de contrainte en pointe de fissure

← Entaille : ω = 3π/4.

Fissure : ω = π. →

En déformations anti-planes :

α =π

2ω−1 =−1/2.

Même singularité en déformations

planes et en 3d.

Le champ de contrainte présente une singularité en r−1/2 en fond de fissure :

σi j ∼fi j (θ)√

rau voisinage de r = 0, (ξi ∼ gi

√r).

où les fonctions fi j dépendent de la géométrie du corps considéré et du chargement

appliqué.

20

Mode antiplan : mode III

Le mode de rupture étudié plus haut est appelé mode III (anti-plan : déchirement d’une feuille de

papier) :

Mode III

x

y

z

σrz ∼KIII√2πr

sin

(θ2

),

σθz ∼KIII√2πr

cos

(θ2

),

ξz ∼2KIII

µ

√r

2πsin

(θ2

).

Autres σi j et ξi nuls.

Discontinuité de déplacement :

[[ξ ]] = ξ(r,+π)−ξ(r,−π) =4KIII

µ

√r

2πez.

Mode III : mode de cisaillement anti-plan.

21

Modes plans de rupture : modes I et II

ξr ∼KI

4µ

√r

2π

[(5−8ν)cos

(θ2

)−cos

(3θ2

)]+

KII

4µ

√r

2π

[(−5+8ν)sin

(θ2

)+3sin

(3θ2

)],

ξθ ∼ KI

4µ

√r

2π

[(−7+8ν)sin

(θ2

)+sin

(3θ2

)]+

KII

4µ

√r

2π

[(−7+8ν)cos

(θ2

)+3cos

(3θ2

)].

où KI et KII dépendent de la géométrie du corps et du chargement appliqué.

Discontinuité de déplacement :

[[ξ ]] = ξ(r,+π)−ξ(r,−π)∼ 4(1−ν)KIµ

√r

2πey +

4(1−ν)KIIµ

√r

2πex.

Mode I Mode II

x

y

z

Superposition de 2 modes :

• Mode I pur (KII = 0) : mode d’ouver-

ture.

• Mode II pur : (KI = 0) : mode de ci-

saillement plan.

22

Nature de la singularité de contrainte

r

σ ij

y

x

rθ

σrr ∼KI

4√

2πr

[5cos

(θ2

)−cos

(3θ2

)]+

KII

4√

2πr

[−5sin

(θ2

)+3sin

(3θ2

)],

σθθ ∼KI

4√

2πr

[3cos

(θ2

)+cos

(3θ2

)]+

KII

4√

2πr

[−3sin

(θ2

)−3sin

(3θ2

)],

σrθ ∼KI

4√

2πr

[sin

(θ2

)+sin

(3θ2

)]+

KII

4√

2πr

[cos

(θ2

)+3cos

(3θ2

)].

23

Facteurs d’intensité des contraintes KI, KII , KIII .

Comment mesurer l’intensité d’une contrainte infinie ?

• L’exposant r−1/2 est universel : identique pour toutes les fissures, quelle que soit leur forme.

• L’intensité de la singularité peut être mesurée par les facteurs d’intensité des contraintes KI,

KII , KIII qui dépendent du chargement et de la géométrie de l’éprouvette.

• Analyse dimensionnelle

σ ∼ K√r⇒ K se mesure en MPa

√m.

En général K est relié à une contrainte σ liées aux efforts appliqués et à une longueur ` liée à

la taille de la fissure :

K = σ√

π` f (`,géométrie structure).

• Il faut savoir mesurer (pas facile de mesurer une singularité) ou calculer ces facteurs pour

chaque géométrie et type de chargement : analytiquement (rarement), numériquement (souvent).

• Il existe des catalogues Handbooks of stress intensity factors regroupant les cas connus.

24

Exemples courants

α

σ

mn_ _

0

Fissure de longueur ` dans un milieu infini.

σ = σey⊗ey.

Vecteur contrainte qui agirait sur le plan de la fissure en l’absence

de fissure :

T = σcos2α n+σcosα sinα m.

Facteurs d’intensité de contrainte (résultat exact) :

KI = σcos2α√

π`

2, KII = σcosα sinα

√π`

2.

2

σ

σ

Fissure semi–circulaire débouchante peu pro-

fonde dans une plaque infinie :

KI = σ√

1.2π` (approché).

25

M2h

2L

(b épaisseur du barreau)

Barreau en flexion pure :

PourLh

> 4 : KI = f

(`

2h

)σ√

π`, σ =3M

2bh2,

f (m) = 1.122−1.4m+7.33m2....(approché).

Eprouvette normalisée CT (Compact Tensile) :

e

h

P

φ

bd

c

Données géométriques : φ = d =b4, e=

b2,

h = 1.2 b, c = 0.275b,

Pour 0.3 <`

b< 0.7 : KI =

P√

`

bef

(`

b

),

f (m)' 29.6−185.5m+

655.7m2−1017m3+638,9m4, m= `/h.

26

IV. Ténacité des matériaux

Comment prédire la propagation des fissures ? Application du critère de la

contrainte normale maximale impossible en présence de fissures.

Théorie d’Irwin (1957) . Hypothèses :

• H1 : Le mode I (ouverture) est le plus dangereux dans les matériaux fragiles.

• H2 : Il existe une valeur critique de KI, appelée ténacité et notée KIc, telle que :

KI < KIc ⇒ ˙= 0 : fissure fixe, KI = KIc ⇒ ˙> 0 : avancée de la fissure.

• H3. Cette ténacité KIc est une caractéristique du matériau indépendante de la géométrie

de l’éprouvette.

Il s’agit (une fois encore) d’une loi à seuil . Elle porte sur le facteur d’intensité des contraintes

en mode I et non plus sur les contraintes.

Alliage d’aluminium KIc ' 30MPa√

mAlliage de titane KIc ' 100MPa

√m

Acier trempé KIc ' 120MPa√

m

Polymère KIc ' 3MPa√

mBois KIc ' 2MPa

√m

Béton KIc ' 1MPa√

m

27

Application du critère au dimensionnement (1) : charge maximale

Soit une structure dont on sait qu’elle contient une fissure de géométrie donnée, ou dont on

craint qu’elle contienne une certaine forme de fissure.

1ère étape : Déterminer le KI de la fissure :

KI = σ√

π` f (`,géométrie structure),

où σ s’exprime en fonction du chargement appliqué.

2ème étape : Appliquer le critère du KIc. Deux types de problèmes se posent :

• 1er type de problème : A longueur ` de fissure donnée, déterminer le chargement maximal

admissible, pour respecter la tenue aux défauts :

KI < KIc ⇒ σ < σc =KIc√

π` f (`).

Tout chargement au-dessus de σc met la structure en danger de rupture par propagation

de la fissure.

28

Application du critère (2) : taille critique des défauts

• 2nd type de problème : A chargement σ donné (charge de service), déterminer la longueur

maximale des fissures acceptables :

σ√

π` f (`) < KIc ⇒ `≤ `c, avec `c f 2(`c) =1π

(KIcσ

)2.

`c est la taille critique des défauts (de géométrie donnée) admissibles dans la structure.

• Autre interprétation de la ténacité : mesure la tolérance aux défauts.

• Une structure contenant des défauts de taille supérieure à la taille critique est potentiellement

dangereuse.

• Très grande importance des moyens de contrôle non destructif : Si on ne sait pas détecter

(à temps) les défauts de taille critique, la structure est dangereuse.

Ex : Taille critique des défauts sous charge de service : 5mm, fissures détectables 1cm : struc-

ture dangereuse , une fissure de 7mm pourra conduire à une rupture brutale et n’aura pas été

détectée avant la mise sous charge.

29

V. Exemple : réservoir sous pression

Objectif : dimensionner un réservoir.

• Longue série d’accidents sur réservoir à poudre de la NASA après la guerre.

• Remarquer la fissure parallèle à l’axe du réservoir.

30

Le problème à résoudre

R

pression pH

• Pression interne pmax= 50 MPa.

• Choix entre plusieurs nuances d’acier caractérisées

par leur contrainte ultime σu et leur ténacité.

• Contrainte ultime : contrainte maximale supportable

par le matériau sans défaut : σeq ≤ σu.

• Ténacité : caractérise la tolérance aux défauts de

l’acier.

• Données :

nuance A : σu = 1250MPa, KIc = 90 MPa√

m,

nuance B : σu = 900 MPa, KIc = 120MPa√

m,

nuance C : σu = 650 MPa, KIc = 190MPa√

m.

31

Sensibilité aux défauts

σ

σ

θθ

zz • Défauts dangereux (car difficilement visibles) : fissures

débouchant sur la face interne.

• Le système de contrôle non destructif ne détecte que les fis-

sures d’un diamètre supérieur à 1cm.

• R `∼ e : on peut assimiler le cylindre à une plaque infinie :

KI = 1.1σ√

π`

où σ est la contrainte normale d’ouverture de la fissure.

Question posée : Quelle est la nuance d’acier qui supporte la contrainte appliquée, qui

tolère les défauts d’une taille inférieure à la limite de détection et qui conduit à l’épaisseur

minimale du réservoir.

32

Estimation des contraintes dans le réservoir

Directions principales de contrainte : er ,eθ,ez.

Equilibre de la moitié supérieure du réservoir : coupe horizontale :

Résultante efforts pression sur 1/2 réservoir − 2πReσzzez = 0.

Résultante des efforts de pression sur surface fermée = 0.⇒ Résultante efforts pression sur 1/2

réservoir + Résultante efforts pression sur section droite = 0

⇒ Résultante efforts pression sur 1/2 réservoir = πR2pez, ⇒ σzz =pR2e

.

33

De même équilibre d’un 1/2 réservoir (coupe verticale) :

σθθ =pRe

.

Par ailleurs σrr ∼ p.Donc, si e R :

σθθ > σzz σrr .

Les fissures parallèles à l’axe du réservoir sont les plus dangereuses (cf photo intro).

Dimensionnement vis-à-vis des défauts

Cas le plus défavorable : fissure verticale de rayon ` :

KI = 1.1σ√

π` = 1.1pRe

√π`,

où σ = σθθ. L’épaisseur edoit être telle qu’en appliquant le critère du KIc les fissures de longueur

` < 0.5cmne se propagent pas :

e≥ eR = pR1.1√

π`

KIc.

nuance A : e= 15.3 cm, nuance B : e= 11.5 cm, nuance C : e= 7.3 cm.

34

Dimensionnement vis-à-vis de la contrainte ultime

σ =pRe

eθ⊗eθ +pR2e

ez⊗ez, s=−pR2e

er⊗er +pR2e

eθ⊗eθ,

σeq = (32(s2

rr +s2θθ +s2

zz))1/2 =

√3

2pRe

.

L’épaisseur minimale eu trouvée en imposant σeq ≤ σu :

e≥ eu = pR

√3

2σu.

Pour la pression de service imposée, les épaisseurs nécessaires sont alors :

nuance A : e= 6.9 cm, nuance B : e= 9.6 cm, nuance C : e= 13.3 cm.

Récapitulation

KIc (MPa√

m) σu (MPa) eR (cm) eu (cm)

A 90 1250 15.3 6.9

B 120 900 11.5 9.6

C 190 650 7.3 13.3

⇒ Le meilleur choix est la nuance B avec épaisseur 11.5cm.

35

Conclusion

• Concentration de contrainte sur des défauts de faible rayon de courbure.

• Singularité de contrainte en pointe d’entaille ou de fissure.

• Nouvelle propriété matériau : ténacité . Critère de propagation des défauts de type "loi à

seuil".

• Taille critique de défauts.

• Théorie efficace qui permet effectivement le dimensionnement des structures.

• Cependant cette théorie est basée sur le caractère infini des contraintes en pointe de fissure.

HPP ?

36