CHƢƠNG 1. - bai-giang.webnode.vn. HÀM SỐ... · HÀM SỐ, GII HẠN, LIÊN TỤC. NI DUNG -...

GV: ThS. PHẠM THỊ YẾN ANH

Email: ptyenanh80@gmail.com

CHƢƠNG 1.

HÀM SỐ, GIỚI HẠN, LIÊN TỤC

NỘI DUNG

- Định nghĩa và tính chất giới hạn

- Định nghĩa và tính chất hàm liên tục

- Giới hạn một bên và liên tục một bên

- Điểm gián đoạn có bước nhảy hữu hạn

- Giới hạn tại vô cùng

- Không tồn tại giới hạn

- Định lý giá trị trung gian

- Giới thiệu công cụ tính toán số

2

GIỚI HẠN, LIÊN TỤC

3

1. Đinh nghia

Ham số xac định trên tâp hơp cac số nguyên dương đươc goi la day sô vô han. Ki hiệu:

𝑥 ∶ 𝑁∗→ 𝑅

n → 𝑥(𝑛) Day số thương đươc viêt dưới dạng khai triển:

𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛, …

Trong đo :

xn = x(n), n ∈ 𝑁∗ la sô hang tông quat cua day

n la vị tri cua số hạng xn trong day

4

GIỚI HẠN CUA DAY SỐ

Vi du: Cho cac day số sau:

a/ {1} = 1, 1, 1, …, 1, …

b/ {(-1)n } = -1, 1, -1, …, (-1)n ,…

c/ 1

𝑛= 1,

1

2,1

3, … ,

1

𝑛, …

d/ {n2} = 1, 4, 9, …, n2, …

e/ 𝑛

𝑛:1=

1

2,2

3,3

4… ,

𝑛

𝑛:1, …

5

Day số 𝑥𝑛 goi la tăng nêu xn < xn+1 ,

∀𝑛 ∈ 𝑁∗

Day số 𝑥𝑛 goi la giam nêu xn > xn+1 ,

∀𝑛 ∈ 𝑁∗

Day số tăng hay giảm đươc goi la day sô đơn

điêu.

6

Day số 𝑥𝑛 goi la bi chăn trên nêu tồn tại số

M sao cho 𝑥𝑛 ≤ 𝑀,∀𝑛 ∈ 𝑁∗

Day số 𝑥𝑛 goi la bi chăn dươi nêu tồn tại số

m sao cho 𝑥𝑛 ≥ 𝑚,∀𝑛 ∈ 𝑁∗

Day số vưa bị chăn trên vưa bị chăn dưới goi

la day số bi chăn, tưc la tồn tại cac số m, M sao

cho :

𝑚 ≤ 𝑢𝑛 ≤ 𝑀,∀𝑛 ∈ 𝑁∗

7

Vi du

a/ Day 1

𝑛 la day giảm, bị chăn dưới bơi 0 va bị

chăn trên bơi 1, nên day bị chăn.

b/ Day {n2} la 2 day tăng, bị chăn dưới bơi 1

nhưng không bị chăn trên nên day không bị

chăn.

c/ Day {(-1)n } không tăng, không giảm va no bị

chăn dưới bơi -1 va bị chăn trên bơi 1.

8

2. Giới han cua day sô

Số a đươc goi la giới hạn cua day 𝑥𝑛 nêu

với moi số 휀 dương be tuy y cho trước, tồn tại

một số tư nhiên n0 sao cho với moi n > n0 thi

𝑥𝑛 − 𝑎 < 휀.

Ta viêt: lim𝑛→∞

𝑥𝑛 = 𝑎 hay 𝑥𝑛 → 𝑎 𝑘𝑕𝑖 𝑛 → ∞

Khi đo, day 𝑥𝑛 đươc goi la day hội tụ; Ngươc

lại ta goi day số đo phân ky

9

3. Tinh chât va cac phep toan vê giới han cua

day

Đinh ly 1

a/ Nêu một day số co giới hạn thi giới hạn đo la

duy nhất.

b/ Nêu một day số co giới hạn thi no bị chăn (la

điêu kiện cân cua day hội tụ)

10

Suy ra nêu một day không bị chăn thi no

không hội tụ.

Vi du:

Day {n2} = 1, 4, 9, …, n2, … bị chăn dưới bơi

1, không bị chăn trên nên day nay không co

giới hạn.

11

Đinh ly 2

Nêu cac day số 𝑥𝑛 va 𝑦𝑛 đêu co giới hạn thi:

i/ lim𝑛→∞

𝑥𝑛 ± 𝑦𝑛 = lim𝑛→∞

𝑥𝑛 ± lim𝑛→∞𝑦𝑛

ii/ lim𝑛→∞

𝑥𝑛. 𝑦𝑛 = lim𝑛→∞

𝑥𝑛 . lim𝑛→∞𝑦𝑛

iii/ lim𝑛→∞

𝑥𝑛

𝑦𝑛

=lim𝑛→∞

𝑥𝑛

lim𝑛→∞

𝑦𝑛

(𝑣ơ 𝑖 lim𝑛→∞

𝑦𝑛 ≠ 0)

12

Chu y:

Trong tinh toan vê giới hạn, co khi ta găp cac

dạng vô định sau: 0

0,∞

∞, 0.∞,∞ −∞. Khi đo

ta phải dung cac phep biên đôi để khư cac

dạng vô định đo.

13

CHƢƠNG 1. HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐ Một sô kết quả giới han cần nhớ

1) lim ,nk k k

2) 1

lim =0 lim =nn n

n

xx

; lim = lim =n nn nx a x a .

3) 1

lim 0, 0n n

; 1

lim 0, 1nn

.

4) Nêu 1a thì lim 0n

na ; 1a thì lim n

na .

5) lim 1n

na ( 0a ); lim 1n

nn ;

1lim 1

n

ne

n.

14

7) Tính

limg n

nL f n

(dạng 1)

Ta áp dụng công thưc lim 1 .

lim nf n g ng n

nL f n e

6) Nêu 1, 1 thì ln

lim lim 0nn n

n n

n.

Một sô kết quả giới han cần nhớ

15

Câu 1. Tinh cac giới hạn sau:

a/ lim𝑛→∞

3𝑛;5

9𝑛:1 (dạng

∞

∞)

b/ lim𝑛→∞

3𝑛3:5𝑛;4

𝑛2:5 (dạng

∞

∞)

c/ lim𝑛→∞

3𝑛:4

𝑛2:5 (dạng

∞

∞)

d/ lim𝑛→∞

( 2𝑛 + 3 − 𝑛 − 1 ) (dạng ∞ −∞)

e/ lim𝑛→∞

𝑛2(𝑛 − 𝑛2 + 1) ( d𝑎 𝑛𝑔 ∞. 0)

16

f/ lim𝑛→∞

2𝑛

𝑛!

g/ lim𝑛→∞

1:22:32:⋯:𝑛2

𝑛3:5

h/ lim𝑛→∞

3𝑛2:𝑛;1

4𝑛2:2

3

i/ lim𝑛→∞

𝑛2− 𝑛33 + 𝑛

17

BÀI TÂP

1. Cac đinh nghia

Đinh nghia 1 ( Trên ngôn ngữ day)

Cho ham số xac định trong khoảng (a, b);

Ta noi ham f (x) co giới hạn la L ( hữu hạn )

khi x dân tới x0, 𝑥0 ∈ 𝑎, 𝑏 va viêt la

lim𝑥→𝑥

0

𝑓(𝑥) = L nêu với bất ky day *𝑥𝑛+ trong

(a, b)\*𝑥0+ ma 𝑥𝑛 → 𝑥0 thi lim𝑛→∞

𝑓(𝑥𝑛) = L

18

GIỚI HẠN CUA HÀM SỐ

Đinh nghia 2 (Trên ngôn ngữ 휀, 𝛿)

Cho ham số f(x) xac định trong khoảng (a,b);

Ta noi ham f (x) co giới hạn la L ( hữu hạn) khi

x dân tới x0 ( 𝑥0 ∈ 𝑎, 𝑏 ) nêu với bất ky

휀 > 0 𝑐𝑕𝑜 𝑡𝑟ươ 𝑐 𝑡𝑖 𝑚 đươ 𝑐 𝛿 > 0 𝑠𝑎𝑜 𝑐𝑕𝑜

𝑘𝑕𝑖 0 < 𝑥 − 𝑥0 < 𝛿 thi 𝑓 𝑥 − 𝐿 < 휀

19

GIỚI HẠN CUA HÀM SỐ

2. Tinh chât a/ Nêu f(x) co giới hạn khi 𝑥 → 𝑥0 thi giới hạn

đo la duy nhất.

b/ Nêu lim𝑥→𝑥

0

𝑓 𝑥 = 𝑎 , lim𝑥→𝑥

0

𝑔 𝑥 = 𝑏 thi

i/ lim𝑥→𝑥

0

𝐶. 𝑓 𝑥 = 𝐶. 𝑎 (C la hăng sô)

ii/ lim𝑥→𝑥

0

𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥) = a ±𝑏

iii/ lim𝑥→𝑥

0

𝑓 𝑥 . 𝑔(𝑥) = a . 𝑏

iv/ lim𝑥→𝑥

0

𝑓(𝑥)

𝑔(𝑥)=

𝑎

𝑏 (𝑣ơ 𝑖 𝑏 ≠ 0)

20

Vi du: Tinh cac giới hạn sau:

a/ lim𝑥→1

(2𝑥 + 5)

b/ lim𝑥→;1

(2𝑥2− 5𝑥 + 1)

c/ lim𝑥→1

𝑥:1

𝑥2;1

d/ lim𝑥→1

𝑥;1

𝑥2;3𝑥:2

Chương 1. Hàm số,

giới hạn, liên tục

21

Vi du: Tinh cac giới hạn sau:

e/ lim𝑥→;1

𝑥:1

𝑥2;1

f/ lim𝑥→2

𝑥3;8

𝑥;2

g/ lim𝑥→

𝜋

2

𝑠𝑖𝑛𝑥

3𝑥2:𝑥;1

22

Đinh ly ( Nguyên ly giới hạn kep)

Cho 3 day số 𝑓 𝑥 , 𝑔 𝑥 𝑣𝑎 h(x). Giả sư trên

miên xac định ta co:

𝑓(𝑥) ≤ 𝑔(𝑥) ≤h(x)

Va lim𝑥→𝑥

0

𝑓(𝑥) = lim𝑥→𝑥

0

𝑕(𝑥) = 𝑎

Khi đo lim𝑥→𝑥

0

𝑔(𝑥) = 𝑎

23

Một sô giới han đăc biêt:

24

x 0

sinx1 lim = 1

x)

x

1

x x 0

13) lim 1+ = e lim 1+ x = e

xxhay

x 0

tanx2 lim = 1

x)

x 0

e 14 lim = 1

x

x

)

x 0

15 lim = 1

x

ln( x ))

25

( Dạng )

Ta co:

1

3

x

x + 2lim

x -1

x

a /

3 3

x x

x + 2 3lim lim 1+

x -1 1

x x

x

Vi du. Tim giới hạn sau

26

Đăt: x-1 = 3t. Khi đo:

3 3 4

x t

34

t t

3 3

3 1lim 1+ lim 1+

1

1 1lim 1+ lim 1+

1

x t

t

x t

.t t

e . e

Vi du. Tim giới hạn sau

27

x

3 + xb / lim

x

x

x x

3 + x 3lim lim 1+

x

x x

x

( Dạng )

Ta co:

1

28

3

x t

3

3

t

3 1lim 1+ lim 1+

1lim 1+

x t

t

x t

et

Đăt: x = 3t. Khi đo:

29

2

2

3

2x

x +1lim

x - 2

x

c / ( ÐS :e )

Vi du. Tim giới hạn sau

x

+ 2lim

1

xx

d /x

3. Giới han một phia

Giới hạn trai:

Giới hạn phải:

30

0x

0

lim 0

0

xf x L , , x D :

x x f x L

0x

0

lim 0

0

xf x L , , x D :

x x f x L

Đinh ly:

Giới hạn tồn tại khi va chi khi tồn

tại giới hạn trai, giới hạn phải va

31

0x

limx

f x L

0 0x x

lim limx x

f x f x L

Vi du: Tinh cac giới hạn sau

32

x 1

1lim

1b /

x

1

x 0lim xc / e

1

x 0lim xd / e

x 1

1lim

1a /

x

1x 0

1lim

1 x

e /e

1

x 0

1lim

1 x

f /e

Đinh nghia 1:

Một ham sô f(x) đươc goi la vô cung be

(VCB) khi 𝑥 → 𝑥0 nêu lim𝑥→𝑥0

𝑓(𝑥) = 0

Vi du:

33

2

1

2

xa / la VCB khi x

x

2b / cos x , cot x la VCB khi x

2 3 0c / f x x sin x la VCB khi x

ĐẠI LƢỢNG VÔ CÙNG BÉ – VÔ CÙNG LỚN

Đinh nghia 2:

Một ham sô f(x) đươc goi la vô cung lơn

(VCL) khi 𝑥 → 𝑥0 nêu lim𝑥→𝑥0

| 𝑓(𝑥) | = +∞

* Nêu f(x) la VCB khi 𝑥 → 𝑥0 thi 1

𝑓(𝑥) la môt

VCL, va ngươc lai.

34

Tinh chât

1/ Nêu 𝑓1(𝑥), 𝑓2(𝑥) la hai VCB khi 𝑥 → 𝑥0 thi

𝑓1(𝑥) ± 𝑓2(𝑥) , 𝑓1 𝑥 . 𝑓2(𝑥) cung la những VCB khi

𝑥 → 𝑥0.

2/ Nêu 𝑓1(𝑥), 𝑓2(𝑥) la hai VCL cung dấu khi 𝑥 → 𝑥0 thi

𝑓1 𝑥 + 𝑓2(𝑥) cung la VCL khi 𝑥 → 𝑥0. Tich cua 2

VCL khi 𝑥 → 𝑥0 cung la một VCL khi 𝑥 → 𝑥0

35

So sanh cac vô cung be

Đinh nghia 3: Gia sư α 𝑥 , 𝛽 𝑥 − 𝑉𝐶𝐵 𝑘𝑕𝑖

𝑥 → 𝑥0 𝑣𝑎 lim𝑥→𝑥0

𝛼 𝑥

𝛽 𝑥= 𝐿.

1/ Nêu L = 0 thi α 𝑥 la VCB bâc cao hơn 𝛽 𝑥

2/ Nêu 𝐿 = ∞ thi α 𝑥 la VCB bâc thấp hơn 𝛽 𝑥

3/ Nêu 𝐿 = 𝐴 thi α 𝑥 va 𝛽 𝑥 𝑙𝑎 𝑕𝑎𝑖 𝑉𝐶𝐵 cung bâc

4/ Nêu không tồn tại giới hạn, thi không thê so sanh

hai VCB α 𝑥 v𝑎 𝛽 𝑥

36

Đinh nghia 4: Gia sư α 𝑥 , 𝛽 𝑥 − 𝑉𝐶𝐵 𝑘𝑕𝑖

𝑥 → 𝑥0 𝑣𝑎 lim𝑥→𝑥0

𝛼 𝑥

𝛽 𝑥= 1

Khi đo ta noi α 𝑥 v𝑎 𝛽 𝑥 la hai VCB tương

đương.

37

Cac VCB thƣơng găp khi 𝒙 → 𝟎

38

2

1

2 1 1

13 1 1

4 1 5 1

6 1 1 7 1

8 12

m

m

x x

/ sin x ~ arcsin x ~ tan x ~ arctan x ~ x

x/ x ~

m

x/ ln x ln x ~

m m

/ e ~ x / a ~ ( x )ln a

/ x ~ x / ln x ~ x

x/ cos x ~

Qui tăc thay thế tƣơng đƣơng cac VCB

Giả sư 𝛼 𝑥 ~𝛼′(𝑥) 𝑣𝑎 𝛽 𝑥 ~𝛽′ 𝑥 𝑘𝑕𝑖

𝑥 → 𝑎, 𝑣𝑎 𝑛ê 𝑢 𝑡ô 𝑛 𝑡𝑎 𝑖:

Thi

39

x a x a

( x ) '( x )lim lim

( x ) '( x )

x a

'( x )lim

'( x )

Qui tăc ngăt bo cac VCB bâc cao

Giả sư 𝛼 𝑥 𝑣𝑎 𝛽 𝑥 𝑙𝑎 𝑐𝑎 𝑐 𝑉𝐶𝐵 𝑘𝑕𝑖

𝑥 → 𝑎, 𝑣𝑎 𝛽 𝑥 la VCB bâc cao hơn 𝛼 𝑥 thi

𝑘𝑕𝑖 𝑥 → 𝑎, 𝛼 𝑥 + 𝛽 𝑥 ~𝛼 𝑥

40

Vi du:

Tinh cac giới hạn sau:

41

2 2

0

2

3x

sin x arcsin x arctan xa / lim

x

3 3 5

0

1 4

x

cos x sin x sin x x xb / lim

x

Vi du:

Tinh cac giới hạn sau:

42

30

x

tan x sin xc / lim

x

0

1

4 1xx

ln xd / lim

43

Tính giới hạn

44

So sanh cac vô cung lớn

Đinh nghia 5: Giả sư α 𝑥 , 𝛽 𝑥 − 𝑉𝐶𝐿 𝑘𝑕𝑖

𝑥 → 𝑥0 𝑣𝑎 lim𝑥→𝑥0

𝛼 𝑥

𝛽 𝑥= 𝐿.

1/ Nêu L = 0 thi α 𝑥 la VCL bâc thấp hơn 𝛽 𝑥

2/ Nêu 𝐿 = ∞ thi α 𝑥 la VCL bâc cao hơn 𝛽 𝑥

3/ Nêu 𝐿 = 𝐴 thi α 𝑥 va 𝛽 𝑥 𝑙𝑎 𝑕𝑎𝑖 𝑉𝐶𝐿 cung bâc

4/ Nê 𝑢 𝐿 = 1 thi 𝑥 v𝑎 𝛽 𝑥 la hai VCL tương

đương.

45

Qui tăc thay thế tƣơng đƣơng cac VCL

Giả sư 𝛼 𝑥 ~𝛼′(𝑥) 𝑣𝑎 𝛽 𝑥 ~𝛽′ 𝑥 𝑘𝑕𝑖

𝑥 → 𝑎, 𝑣𝑎 𝑛ê 𝑢 𝑡ô 𝑛 𝑡𝑎 𝑖:

Thi

46

x a x a

( x ) '( x )lim lim

( x ) '( x )

x a

'( x )lim

'( x )

Qui tăc ngăt bo cac VCL

Giả sư 𝛼 𝑥 𝑣𝑎 𝛽 𝑥 𝑙𝑎 𝑐𝑎 𝑐 𝑉𝐶𝐿 𝑘𝑕𝑖

𝑥 → 𝑎, 𝑣𝑎 𝛽 𝑥 la VCL bâc thấp hơn 𝛼 𝑥 thi

𝑘𝑕𝑖 𝑥 → 𝑎, 𝛼 𝑥 + 𝛽 𝑥 ~𝛼 𝑥

47

Vi du:

Tinh cac giới hạn sau:

48

3

3 2

5 2 6

2 2 3x

x x xa / lim

x x x

2 4

3 1x

x xb / lim

x

Vi du

Tim giới hạn sau

lim𝑥→0

𝑥 𝑠𝑖𝑛1

𝑥

49

Bai tâp:

Tinh cac giới hạn sau:

50

2

11 1

x

xa / lim ÐS :

x

31

2 254

26 3x

xb / lim ÐS :

x

1

2

01 x

xc / lim x ÐS : e

1. Đinh nghia

Đinh nghia 1

𝑓 la một ham sô xac định trong khoảng (𝑎, 𝑏), 𝑥0 la một điểm thuộc (𝑎, 𝑏). Ngươi ta noi răng ham sô 𝑓 liên tục tại 𝑥0 nêu:

• Nêu ham sô không liên tục tại 𝑥0, ta noi ham sô đo gian đoạn tại 𝑥0

51

HÀM SỐ LIÊN TỤC

0

0x xlim f x f x

Đinh nghia 2

Ham sô 𝑓 liên tục trong khoảng mơ (𝑎, 𝑏) nêu

no liên tục tại moi điểm cua khoảng đo.

Ham sô 𝑓 đươc goi la liên tục trong khoảng

đong ,𝑎, 𝑏- nêu no liên tục trong khoảng (𝑎, 𝑏) va liên tục phải tại 𝑎 va liên tục trai tại 𝑏.

52

2. Cac phep toan vê ham sô liên tuc

Đinh ly 1.

Nêu 𝑓 va 𝑔 la hai ham sô liên tục tại 𝑥0 thi :

a/ 𝑓 + 𝑔 liên tục tại 𝑥0

b/ 𝑓. 𝑔 liên tục tại 𝑥0

c/ 𝑓/𝑔 liên tục tại 𝑥0 nêu 𝑔(𝑥0 ) ≠ 0

53

2. Cac phep toan vê ham sô liên tuc

Đinh ly 2.

Nêu ham sô 𝑢 = 𝜑(𝑥) liên tục tại 𝑥0 , ham

𝑦 = 𝑓(𝑢) liên tục tại 𝑢0 = 𝜑(𝑥0) thi ham sô

hơp 𝑦 = 𝑓𝑜𝜑 𝑥 = 𝑓 𝜑 𝑥 liên tục tại 𝑥0

Đinh ly 3.

Nêu ham sô f(x) liên tục trên đoạn [a,b] thi no bị

chăn trong đoạn đo, tưc la tồn tại hai sô m va M

sao cho: 𝑚 ≤ 𝑓 𝑥 ≤ 𝑀 ∀𝑥 ∈ ,𝑎, 𝑏-

54

2. Cac phep toan vê ham sô liên tuc

Đinh ly 4.

Nêu ham sô 𝑓(𝑥) liên tục trên đoạn ,𝑎, 𝑏- va 𝑓(𝑎) = 𝐴, 𝑓(𝑏) = 𝐵 thi moi điểm 𝐶 thuộc ,𝐴, 𝐵- , luôn tồn tại một 𝑥0 ∈ ,𝑎, 𝑏- sao cho 𝑓(𝑥0 ) = 𝐶

Hê qua:

Nêu ham sô 𝑓(𝑥) liên tục trên đoạn ,𝑎, 𝑏- va 𝑓(𝑎). 𝑓(𝑏) < 0 thi tồn tại it nhất một 𝑥0 thuộc ,𝑎, 𝑏- sao cho 𝑓(𝑥0 ) = 0

55

2. Cac phep toan vê ham sô liên tuc

Đinh ly 5.

Moi ham số sơ cấp đêu liên tục trên miên xac

định cua no.

56

• Đinh ly

Ham số ( )f x liên tục tại 0x nêu

0 0

0lim ( ) lim ( ) ( ).x x x x

f x f x f x

4.3. Ham sô liên tuc một phia

• Đinh nghia

Ham số ( )f x đươc goi la liên tuc trai (phai) tại 0x nêu

0

0lim ( ) ( )x x

f x f x (0

0lim ( ) ( )x x

f x f x ).

57

Phân loai điêm gian đoan

Cho 𝑥0 la điểm gian đoạn cua đô thi ham sô 𝑦 = 𝑓(𝑥).

1/ Điêm gian đoan loai 1:

Giới hạn phải va giới hạn trai tồn tại va hữu hạn thi :

• 𝑥0 la bước nhảy nêu

Với bước nhảy:

• x0 la điểm khư đươc

58

0f x 0

f x

0 0f x f x

0 0h f x f x

0 0 0f x f x f x

2/ Điêm gian đoan loai 2:

Nêu một trong 2 giới hạn (trai hoăc phải)

không tồn tại hoăc tồn tại nhưng băng vô

cung.

59

O x

y( )C

0x

Vi du: Xét tính liên tục cua hàm số

60

22 21

1

5 1

x xkhi x

a / h x x

khi x

61

Ta có: Tâp xác định cua hàm số là R

• Nêu 𝑥 ≠ 1, thì 𝑕 𝑥 =2𝑥2;2𝑥

𝑥;1 liên tục trên

(−∞; 1) ∪ (1;+∞)

• Nêu 𝑥 = 1 thì 𝑕(1) = 5

Vây hàm số 𝑕(𝑥) liên tục trên

(−∞; 1) ∪ (1;+∞) và gián đoạn tại 𝑥 = 1

2

1 1

2 22 1

1x x

x xlim f ( x ) lim h( )

x

b/ Hàm số 𝑓(𝑥) =1

𝑥

Ta có hàm số không xác định tại 𝑥 = 0

Vây hàm số không liên tục tại 𝑥 = 0;

𝑥 = 0 là điểm gián đoạn loại 2

62

0 0

1 1

x x

lim , limx x

c/ Hàm số 𝑓 𝑥 = −𝑥 + 4, 𝑥 ≤ 2𝑥 − 1, 𝑥 > 2

Xác định tại moi 𝑥 ∈ 𝑅, nhưng

𝑓(2) = 𝑓 (−2 + 4) = 2 ≠ 𝑓 2 − 1 = 1,

Vây 𝑥 = 2 là điểm gián đoạn loại 1,

với bước nhảy cua hàm 𝑓 tại 𝑥 = 2 băng |2 − 1| = 1

63

Ta có đồ thị hàm số:

64

Tại x0= 4 ta có:

lim𝑥→4

𝑓(𝑥)= lim𝑥→4

𝑥 − 1

= 3 = f(4)

Vây f(x) liên tục tại x0=4

Vi du: Tim điêm gian đoan cua ham sô :

65

4 2

1 2

x ,xa / f x

x ,x

2

10

1 0

,xc / f x x

,x

2 22

2

1 2

x xx

b / f x x

x

66

Tính giới hạn

BÀI TÂP

67

Tính giới hạn

68

69

70

Tính giới hạn

71

HÀM SỐ LIÊN TỤC

72

Xét tính liên tục của hàm số

73

Xét tính liên tục của hàm số