Embed Size (px)
Citation preview
NỘI DUNG
- Định nghĩa và tính chất giới hạn
- Định nghĩa và tính chất hàm liên tục
- Giới hạn một bên và liên tục một bên
- Điểm gián đoạn có bước nhảy hữu hạn
- Giới hạn tại vô cùng
- Không tồn tại giới hạn
- Định lý giá trị trung gian
- Giới thiệu công cụ tính toán số
2
GIỚI HẠN, LIÊN TỤC
3
1. Đinh nghia
Ham số xac định trên tâp hơp cac số nguyên dương đươc goi la day sô vô han. Ki hiệu:
𝑥 ∶ 𝑁∗→ 𝑅
n → 𝑥(𝑛) Day số thương đươc viêt dưới dạng khai triển:
𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛, …
Trong đo :
xn = x(n), n ∈ 𝑁∗ la sô hang tông quat cua day
n la vị tri cua số hạng xn trong day
4
GIỚI HẠN CUA DAY SỐ
Vi du: Cho cac day số sau:
a/ {1} = 1, 1, 1, …, 1, …
b/ {(-1)n } = -1, 1, -1, …, (-1)n ,…
c/ 1
𝑛= 1,
1
2,1
3, … ,
1
𝑛, …
d/ {n2} = 1, 4, 9, …, n2, …
e/ 𝑛
𝑛:1=
1
2,2
3,3
4… ,
𝑛
𝑛:1, …
5
Day số 𝑥𝑛 goi la tăng nêu xn < xn+1 ,
∀𝑛 ∈ 𝑁∗
Day số 𝑥𝑛 goi la giam nêu xn > xn+1 ,
∀𝑛 ∈ 𝑁∗
Day số tăng hay giảm đươc goi la day sô đơn
điêu.
6
Day số 𝑥𝑛 goi la bi chăn trên nêu tồn tại số
M sao cho 𝑥𝑛 ≤ 𝑀,∀𝑛 ∈ 𝑁∗
Day số 𝑥𝑛 goi la bi chăn dươi nêu tồn tại số
m sao cho 𝑥𝑛 ≥ 𝑚,∀𝑛 ∈ 𝑁∗
Day số vưa bị chăn trên vưa bị chăn dưới goi
la day số bi chăn, tưc la tồn tại cac số m, M sao
cho :
𝑚 ≤ 𝑢𝑛 ≤ 𝑀,∀𝑛 ∈ 𝑁∗
7
Vi du
a/ Day 1
𝑛 la day giảm, bị chăn dưới bơi 0 va bị
chăn trên bơi 1, nên day bị chăn.
b/ Day {n2} la 2 day tăng, bị chăn dưới bơi 1
nhưng không bị chăn trên nên day không bị
chăn.
c/ Day {(-1)n } không tăng, không giảm va no bị
chăn dưới bơi -1 va bị chăn trên bơi 1.
8
2. Giới han cua day sô
Số a đươc goi la giới hạn cua day 𝑥𝑛 nêu
với moi số 휀 dương be tuy y cho trước, tồn tại
một số tư nhiên n0 sao cho với moi n > n0 thi
𝑥𝑛 − 𝑎 < 휀.
Ta viêt: lim𝑛→∞
𝑥𝑛 = 𝑎 hay 𝑥𝑛 → 𝑎 𝑘𝑖 𝑛 → ∞
Khi đo, day 𝑥𝑛 đươc goi la day hội tụ; Ngươc
lại ta goi day số đo phân ky
9
3. Tinh chât va cac phep toan vê giới han cua
day
Đinh ly 1
a/ Nêu một day số co giới hạn thi giới hạn đo la
duy nhất.
b/ Nêu một day số co giới hạn thi no bị chăn (la
điêu kiện cân cua day hội tụ)
10
Suy ra nêu một day không bị chăn thi no
không hội tụ.
Vi du:
Day {n2} = 1, 4, 9, …, n2, … bị chăn dưới bơi
1, không bị chăn trên nên day nay không co
giới hạn.
11
Đinh ly 2
Nêu cac day số 𝑥𝑛 va 𝑦𝑛 đêu co giới hạn thi:
i/ lim𝑛→∞
𝑥𝑛 ± 𝑦𝑛 = lim𝑛→∞
𝑥𝑛 ± lim𝑛→∞𝑦𝑛
ii/ lim𝑛→∞
𝑥𝑛. 𝑦𝑛 = lim𝑛→∞
𝑥𝑛 . lim𝑛→∞𝑦𝑛
iii/ lim𝑛→∞
𝑥𝑛
𝑦𝑛
=lim𝑛→∞
𝑥𝑛
lim𝑛→∞
𝑦𝑛
(𝑣ơ 𝑖 lim𝑛→∞
𝑦𝑛 ≠ 0)
12
Chu y:
Trong tinh toan vê giới hạn, co khi ta găp cac
dạng vô định sau: 0
0,∞
∞, 0.∞,∞ −∞. Khi đo
ta phải dung cac phep biên đôi để khư cac
dạng vô định đo.
13
CHƢƠNG 1. HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐ Một sô kết quả giới han cần nhớ
1) lim ,nk k k
2) 1
lim =0 lim =nn n
n
xx
; lim = lim =n nn nx a x a .
3) 1
lim 0, 0n n
; 1
lim 0, 1nn
.
4) Nêu 1a thì lim 0n
na ; 1a thì lim n
na .
5) lim 1n
na ( 0a ); lim 1n
nn ;
1lim 1
n
ne
n.
14
7) Tính
limg n
nL f n
(dạng 1)
Ta áp dụng công thưc lim 1 .
lim nf n g ng n
nL f n e
6) Nêu 1, 1 thì ln
lim lim 0nn n
n n
n.
Một sô kết quả giới han cần nhớ
15
Câu 1. Tinh cac giới hạn sau:
a/ lim𝑛→∞
3𝑛;5
9𝑛:1 (dạng
∞
∞)
b/ lim𝑛→∞
3𝑛3:5𝑛;4
𝑛2:5 (dạng
∞
∞)
c/ lim𝑛→∞
3𝑛:4
𝑛2:5 (dạng
∞
∞)
d/ lim𝑛→∞
( 2𝑛 + 3 − 𝑛 − 1 ) (dạng ∞ −∞)
e/ lim𝑛→∞
𝑛2(𝑛 − 𝑛2 + 1) ( d𝑎 𝑛𝑔 ∞. 0)
16
f/ lim𝑛→∞
2𝑛
𝑛!
g/ lim𝑛→∞
1:22:32:⋯:𝑛2
𝑛3:5
h/ lim𝑛→∞
3𝑛2:𝑛;1
4𝑛2:2
3
i/ lim𝑛→∞
𝑛2− 𝑛33 + 𝑛
17
BÀI TÂP
1. Cac đinh nghia
Đinh nghia 1 ( Trên ngôn ngữ day)
Cho ham số xac định trong khoảng (a, b);
Ta noi ham f (x) co giới hạn la L ( hữu hạn )
khi x dân tới x0, 𝑥0 ∈ 𝑎, 𝑏 va viêt la
lim𝑥→𝑥
0
𝑓(𝑥) = L nêu với bất ky day *𝑥𝑛+ trong
(a, b)\*𝑥0+ ma 𝑥𝑛 → 𝑥0 thi lim𝑛→∞
𝑓(𝑥𝑛) = L
18
GIỚI HẠN CUA HÀM SỐ
Đinh nghia 2 (Trên ngôn ngữ 휀, 𝛿)
Cho ham số f(x) xac định trong khoảng (a,b);
Ta noi ham f (x) co giới hạn la L ( hữu hạn) khi
x dân tới x0 ( 𝑥0 ∈ 𝑎, 𝑏 ) nêu với bất ky
휀 > 0 𝑐𝑜 𝑡𝑟ươ 𝑐 𝑡𝑖 𝑚 đươ 𝑐 𝛿 > 0 𝑠𝑎𝑜 𝑐𝑜
𝑘𝑖 0 < 𝑥 − 𝑥0 < 𝛿 thi 𝑓 𝑥 − 𝐿 < 휀
19
GIỚI HẠN CUA HÀM SỐ
2. Tinh chât a/ Nêu f(x) co giới hạn khi 𝑥 → 𝑥0 thi giới hạn
đo la duy nhất.
b/ Nêu lim𝑥→𝑥
0
𝑓 𝑥 = 𝑎 , lim𝑥→𝑥
0
𝑔 𝑥 = 𝑏 thi
i/ lim𝑥→𝑥
0
𝐶. 𝑓 𝑥 = 𝐶. 𝑎 (C la hăng sô)
ii/ lim𝑥→𝑥
0
𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥) = a ±𝑏
iii/ lim𝑥→𝑥
0
𝑓 𝑥 . 𝑔(𝑥) = a . 𝑏
iv/ lim𝑥→𝑥
0
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)=
𝑎
𝑏 (𝑣ơ 𝑖 𝑏 ≠ 0)
20
Vi du: Tinh cac giới hạn sau:
a/ lim𝑥→1
(2𝑥 + 5)
b/ lim𝑥→;1
(2𝑥2− 5𝑥 + 1)
c/ lim𝑥→1
𝑥:1
𝑥2;1
d/ lim𝑥→1
𝑥;1
𝑥2;3𝑥:2
Chương 1. Hàm số,
giới hạn, liên tục
21
Vi du: Tinh cac giới hạn sau:
e/ lim𝑥→;1
𝑥:1
𝑥2;1
f/ lim𝑥→2
𝑥3;8
𝑥;2
g/ lim𝑥→
𝜋
2
𝑠𝑖𝑛𝑥
3𝑥2:𝑥;1
22
Đinh ly ( Nguyên ly giới hạn kep)
Cho 3 day số 𝑓 𝑥 , 𝑔 𝑥 𝑣𝑎 h(x). Giả sư trên
miên xac định ta co:
𝑓(𝑥) ≤ 𝑔(𝑥) ≤h(x)
Va lim𝑥→𝑥
0
𝑓(𝑥) = lim𝑥→𝑥
0
(𝑥) = 𝑎
Khi đo lim𝑥→𝑥
0
𝑔(𝑥) = 𝑎
23
Một sô giới han đăc biêt:
24
x 0
sinx1 lim = 1
x)
x
1
x x 0
13) lim 1+ = e lim 1+ x = e
xxhay
x 0
tanx2 lim = 1
x)
x 0
e 14 lim = 1
x
x
)
x 0
15 lim = 1
x
ln( x ))
25
( Dạng )
Ta co:
1
3
x
x + 2lim
x -1
x
a /
3 3
x x
x + 2 3lim lim 1+
x -1 1
x x
x
Vi du. Tim giới hạn sau
26
Đăt: x-1 = 3t. Khi đo:
3 3 4
x t
34
t t
3 3
3 1lim 1+ lim 1+
1
1 1lim 1+ lim 1+
1
x t
t
x t
.t t
e . e
Vi du. Tim giới hạn sau
27
x
3 + xb / lim
x
x
x x
3 + x 3lim lim 1+
x
x x
x
( Dạng )
Ta co:
1
28
3
x t
3
3
t
3 1lim 1+ lim 1+
1lim 1+
x t
t
x t
et
Đăt: x = 3t. Khi đo:
29
2
2
3
2x
x +1lim
x - 2
x
c / ( ÐS :e )
Vi du. Tim giới hạn sau
x
+ 2lim
1
xx
d /x
3. Giới han một phia
Giới hạn trai:
Giới hạn phải:
30
0x
0
lim 0
0
xf x L , , x D :
x x f x L
0x
0
lim 0
0
xf x L , , x D :
x x f x L
Đinh ly:
Giới hạn tồn tại khi va chi khi tồn
tại giới hạn trai, giới hạn phải va
31
0x
limx
f x L
0 0x x
lim limx x
f x f x L
Vi du: Tinh cac giới hạn sau
32
x 1
1lim
1b /
x
1
x 0lim xc / e
1
x 0lim xd / e
x 1
1lim
1a /
x
1x 0
1lim
1 x
e /e
1
x 0
1lim
1 x
f /e
Đinh nghia 1:
Một ham sô f(x) đươc goi la vô cung be
(VCB) khi 𝑥 → 𝑥0 nêu lim𝑥→𝑥0
𝑓(𝑥) = 0
Vi du:
33
2
1
2
xa / la VCB khi x
x
2b / cos x , cot x la VCB khi x
2 3 0c / f x x sin x la VCB khi x
ĐẠI LƢỢNG VÔ CÙNG BÉ – VÔ CÙNG LỚN
Đinh nghia 2:
Một ham sô f(x) đươc goi la vô cung lơn
(VCL) khi 𝑥 → 𝑥0 nêu lim𝑥→𝑥0
| 𝑓(𝑥) | = +∞
* Nêu f(x) la VCB khi 𝑥 → 𝑥0 thi 1
𝑓(𝑥) la môt
VCL, va ngươc lai.
34
Tinh chât
1/ Nêu 𝑓1(𝑥), 𝑓2(𝑥) la hai VCB khi 𝑥 → 𝑥0 thi
𝑓1(𝑥) ± 𝑓2(𝑥) , 𝑓1 𝑥 . 𝑓2(𝑥) cung la những VCB khi
𝑥 → 𝑥0.
2/ Nêu 𝑓1(𝑥), 𝑓2(𝑥) la hai VCL cung dấu khi 𝑥 → 𝑥0 thi
𝑓1 𝑥 + 𝑓2(𝑥) cung la VCL khi 𝑥 → 𝑥0. Tich cua 2
VCL khi 𝑥 → 𝑥0 cung la một VCL khi 𝑥 → 𝑥0
35
So sanh cac vô cung be
Đinh nghia 3: Gia sư α 𝑥 , 𝛽 𝑥 − 𝑉𝐶𝐵 𝑘𝑖
𝑥 → 𝑥0 𝑣𝑎 lim𝑥→𝑥0
𝛼 𝑥
𝛽 𝑥= 𝐿.
1/ Nêu L = 0 thi α 𝑥 la VCB bâc cao hơn 𝛽 𝑥
2/ Nêu 𝐿 = ∞ thi α 𝑥 la VCB bâc thấp hơn 𝛽 𝑥
3/ Nêu 𝐿 = 𝐴 thi α 𝑥 va 𝛽 𝑥 𝑙𝑎 𝑎𝑖 𝑉𝐶𝐵 cung bâc
4/ Nêu không tồn tại giới hạn, thi không thê so sanh
hai VCB α 𝑥 v𝑎 𝛽 𝑥
36
Đinh nghia 4: Gia sư α 𝑥 , 𝛽 𝑥 − 𝑉𝐶𝐵 𝑘𝑖
𝑥 → 𝑥0 𝑣𝑎 lim𝑥→𝑥0
𝛼 𝑥
𝛽 𝑥= 1
Khi đo ta noi α 𝑥 v𝑎 𝛽 𝑥 la hai VCB tương
đương.
37
Cac VCB thƣơng găp khi 𝒙 → 𝟎
38
2
1
2 1 1
13 1 1
4 1 5 1
6 1 1 7 1
8 12
m
m
x x
/ sin x ~ arcsin x ~ tan x ~ arctan x ~ x
x/ x ~
m
x/ ln x ln x ~
m m
/ e ~ x / a ~ ( x )ln a
/ x ~ x / ln x ~ x
x/ cos x ~
Qui tăc thay thế tƣơng đƣơng cac VCB
Giả sư 𝛼 𝑥 ~𝛼′(𝑥) 𝑣𝑎 𝛽 𝑥 ~𝛽′ 𝑥 𝑘𝑖
𝑥 → 𝑎, 𝑣𝑎 𝑛ê 𝑢 𝑡ô 𝑛 𝑡𝑎 𝑖:
Thi
39
x a x a
( x ) '( x )lim lim
( x ) '( x )
x a
'( x )lim
'( x )
Qui tăc ngăt bo cac VCB bâc cao
Giả sư 𝛼 𝑥 𝑣𝑎 𝛽 𝑥 𝑙𝑎 𝑐𝑎 𝑐 𝑉𝐶𝐵 𝑘𝑖
𝑥 → 𝑎, 𝑣𝑎 𝛽 𝑥 la VCB bâc cao hơn 𝛼 𝑥 thi
𝑘𝑖 𝑥 → 𝑎, 𝛼 𝑥 + 𝛽 𝑥 ~𝛼 𝑥
40
Vi du:
Tinh cac giới hạn sau:
41
2 2
0
2
3x
sin x arcsin x arctan xa / lim
x
3 3 5
0
1 4
x
cos x sin x sin x x xb / lim
x
Vi du:
Tinh cac giới hạn sau:
42
30
x
tan x sin xc / lim
x
0
1
4 1xx
ln xd / lim
43
Tính giới hạn
44
So sanh cac vô cung lớn
Đinh nghia 5: Giả sư α 𝑥 , 𝛽 𝑥 − 𝑉𝐶𝐿 𝑘𝑖
𝑥 → 𝑥0 𝑣𝑎 lim𝑥→𝑥0
𝛼 𝑥
𝛽 𝑥= 𝐿.
1/ Nêu L = 0 thi α 𝑥 la VCL bâc thấp hơn 𝛽 𝑥
2/ Nêu 𝐿 = ∞ thi α 𝑥 la VCL bâc cao hơn 𝛽 𝑥
3/ Nêu 𝐿 = 𝐴 thi α 𝑥 va 𝛽 𝑥 𝑙𝑎 𝑎𝑖 𝑉𝐶𝐿 cung bâc
4/ Nê 𝑢 𝐿 = 1 thi 𝑥 v𝑎 𝛽 𝑥 la hai VCL tương
đương.
45
Qui tăc thay thế tƣơng đƣơng cac VCL
Giả sư 𝛼 𝑥 ~𝛼′(𝑥) 𝑣𝑎 𝛽 𝑥 ~𝛽′ 𝑥 𝑘𝑖
𝑥 → 𝑎, 𝑣𝑎 𝑛ê 𝑢 𝑡ô 𝑛 𝑡𝑎 𝑖:
Thi
46
x a x a
( x ) '( x )lim lim
( x ) '( x )
x a
'( x )lim
'( x )
Qui tăc ngăt bo cac VCL
Giả sư 𝛼 𝑥 𝑣𝑎 𝛽 𝑥 𝑙𝑎 𝑐𝑎 𝑐 𝑉𝐶𝐿 𝑘𝑖
𝑥 → 𝑎, 𝑣𝑎 𝛽 𝑥 la VCL bâc thấp hơn 𝛼 𝑥 thi
𝑘𝑖 𝑥 → 𝑎, 𝛼 𝑥 + 𝛽 𝑥 ~𝛼 𝑥
47
Vi du:
Tinh cac giới hạn sau:
48
3
3 2
5 2 6
2 2 3x
x x xa / lim
x x x
2 4
3 1x
x xb / lim
x
Vi du
Tim giới hạn sau
lim𝑥→0
𝑥 𝑠𝑖𝑛1
𝑥
49
Bai tâp:
Tinh cac giới hạn sau:
50
2
11 1
x
xa / lim ÐS :
x
31
2 254
26 3x
xb / lim ÐS :
x
1
2
01 x
xc / lim x ÐS : e
1. Đinh nghia
Đinh nghia 1
𝑓 la một ham sô xac định trong khoảng (𝑎, 𝑏), 𝑥0 la một điểm thuộc (𝑎, 𝑏). Ngươi ta noi răng ham sô 𝑓 liên tục tại 𝑥0 nêu:
• Nêu ham sô không liên tục tại 𝑥0, ta noi ham sô đo gian đoạn tại 𝑥0
51
HÀM SỐ LIÊN TỤC
0
0x xlim f x f x
Đinh nghia 2
Ham sô 𝑓 liên tục trong khoảng mơ (𝑎, 𝑏) nêu
no liên tục tại moi điểm cua khoảng đo.
Ham sô 𝑓 đươc goi la liên tục trong khoảng
đong ,𝑎, 𝑏- nêu no liên tục trong khoảng (𝑎, 𝑏) va liên tục phải tại 𝑎 va liên tục trai tại 𝑏.
52
2. Cac phep toan vê ham sô liên tuc
Đinh ly 1.
Nêu 𝑓 va 𝑔 la hai ham sô liên tục tại 𝑥0 thi :
a/ 𝑓 + 𝑔 liên tục tại 𝑥0
b/ 𝑓. 𝑔 liên tục tại 𝑥0
c/ 𝑓/𝑔 liên tục tại 𝑥0 nêu 𝑔(𝑥0 ) ≠ 0
53
2. Cac phep toan vê ham sô liên tuc
Đinh ly 2.
Nêu ham sô 𝑢 = 𝜑(𝑥) liên tục tại 𝑥0 , ham
𝑦 = 𝑓(𝑢) liên tục tại 𝑢0 = 𝜑(𝑥0) thi ham sô
hơp 𝑦 = 𝑓𝑜𝜑 𝑥 = 𝑓 𝜑 𝑥 liên tục tại 𝑥0
Đinh ly 3.
Nêu ham sô f(x) liên tục trên đoạn [a,b] thi no bị
chăn trong đoạn đo, tưc la tồn tại hai sô m va M
sao cho: 𝑚 ≤ 𝑓 𝑥 ≤ 𝑀 ∀𝑥 ∈ ,𝑎, 𝑏-
54
2. Cac phep toan vê ham sô liên tuc
Đinh ly 4.
Nêu ham sô 𝑓(𝑥) liên tục trên đoạn ,𝑎, 𝑏- va 𝑓(𝑎) = 𝐴, 𝑓(𝑏) = 𝐵 thi moi điểm 𝐶 thuộc ,𝐴, 𝐵- , luôn tồn tại một 𝑥0 ∈ ,𝑎, 𝑏- sao cho 𝑓(𝑥0 ) = 𝐶
Hê qua:
Nêu ham sô 𝑓(𝑥) liên tục trên đoạn ,𝑎, 𝑏- va 𝑓(𝑎). 𝑓(𝑏) < 0 thi tồn tại it nhất một 𝑥0 thuộc ,𝑎, 𝑏- sao cho 𝑓(𝑥0 ) = 0
55
2. Cac phep toan vê ham sô liên tuc
Đinh ly 5.
Moi ham số sơ cấp đêu liên tục trên miên xac
định cua no.
56
• Đinh ly
Ham số ( )f x liên tục tại 0x nêu
0 0
0lim ( ) lim ( ) ( ).x x x x
f x f x f x
4.3. Ham sô liên tuc một phia
• Đinh nghia
Ham số ( )f x đươc goi la liên tuc trai (phai) tại 0x nêu
0
0lim ( ) ( )x x
f x f x (0
0lim ( ) ( )x x
f x f x ).
57
Phân loai điêm gian đoan
Cho 𝑥0 la điểm gian đoạn cua đô thi ham sô 𝑦 = 𝑓(𝑥).
1/ Điêm gian đoan loai 1:
Giới hạn phải va giới hạn trai tồn tại va hữu hạn thi :
• 𝑥0 la bước nhảy nêu
Với bước nhảy:
• x0 la điểm khư đươc
58
0f x 0
f x
0 0f x f x
0 0h f x f x
0 0 0f x f x f x
2/ Điêm gian đoan loai 2:
Nêu một trong 2 giới hạn (trai hoăc phải)
không tồn tại hoăc tồn tại nhưng băng vô
cung.
59
O x
y( )C
0x
Vi du: Xét tính liên tục cua hàm số
60
22 21
1
5 1
x xkhi x
a / h x x
khi x
61
Ta có: Tâp xác định cua hàm số là R
• Nêu 𝑥 ≠ 1, thì 𝑥 =2𝑥2;2𝑥
𝑥;1 liên tục trên
(−∞; 1) ∪ (1;+∞)
• Nêu 𝑥 = 1 thì (1) = 5
Vây hàm số (𝑥) liên tục trên
(−∞; 1) ∪ (1;+∞) và gián đoạn tại 𝑥 = 1
2
1 1
2 22 1
1x x
x xlim f ( x ) lim h( )
x
b/ Hàm số 𝑓(𝑥) =1
𝑥
Ta có hàm số không xác định tại 𝑥 = 0
Vây hàm số không liên tục tại 𝑥 = 0;
𝑥 = 0 là điểm gián đoạn loại 2
62
0 0
1 1
x x
lim , limx x
c/ Hàm số 𝑓 𝑥 = −𝑥 + 4, 𝑥 ≤ 2𝑥 − 1, 𝑥 > 2
Xác định tại moi 𝑥 ∈ 𝑅, nhưng
𝑓(2) = 𝑓 (−2 + 4) = 2 ≠ 𝑓 2 − 1 = 1,
Vây 𝑥 = 2 là điểm gián đoạn loại 1,
với bước nhảy cua hàm 𝑓 tại 𝑥 = 2 băng |2 − 1| = 1
63
Ta có đồ thị hàm số:
64
Tại x0= 4 ta có:
lim𝑥→4
𝑓(𝑥)= lim𝑥→4
𝑥 − 1
= 3 = f(4)
Vây f(x) liên tục tại x0=4
Vi du: Tim điêm gian đoan cua ham sô :
65
4 2
1 2
x ,xa / f x
x ,x
2
10
1 0
,xc / f x x
,x
2 22
2
1 2
x xx
b / f x x
x
66
Tính giới hạn
BÀI TÂP
67
Tính giới hạn
68
69
70
Tính giới hạn
71
HÀM SỐ LIÊN TỤC
72
Xét tính liên tục của hàm số
73
Xét tính liên tục của hàm số
