View
0
Download
0
Category
Preview:
Citation preview
LTĐH & Bồi Dưỡng KT PT 75/14B Nguyễn Thị Minh Khai – Nha Trang Chuyên đề
LƯỢNG GIÁCPhần 1: CÔNG THỨC
1. Hệ thức LG cơ bản
2. Công thức LG thường gặp
Công thức cộng:
Công thức nhân:
Tích thành tổng: cosa.cosb = [cos(ab)+cos(a+b)]
sina.sinb = [cos(ab)cos(a+b)]
sina.cosb = [sin(ab)+sin(a+b)]
Tổng thành tích:
Công thức hạ bậc: cos2a = (1+cos2a)
sin2a = (1cos2a)
Biểu diễn các hàm số LG theo
Th.s Nguyễn Dương ĐT 0932528949 http://chuyentoannt.net1
LTĐH & Bồi Dưỡng KT PT 75/14B Nguyễn Thị Minh Khai – Nha Trang
3. Phương trìng LG cơ bản
* sinu=sinv * cosu=cosvu=v+k2
* tanu=tanv u=v+k * cotu=cotv u=v+k .4. Một số phương trình LG thường gặp1. Phương trình bậc nhất, bậc hai đối với một hàm số lượng giác:
a. Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác: để giải các phương trình này ta dùng các công thức LG để đưa phương trình về phương trình LG cơ bản.
b. Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác: là những phương trình có dạng a.sin2x+b.sinx+c=0 (hoặc a.cos2x+b.cosx+c=0, a.tan2x+b.tanx+c=0, a.cot2x+b.cotx+c=0) để giải các phương trình này ta đặt t bằng hàm số LG..2. Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx:Dạng: asinx+bcosx=c. Điều kiện để phương trình có nghiệm là .
C ách 1: Chia hai vế phương trình cho a rồi đặt , ta được: sinx+tancosx=
sinx + cosx= sin(x+ )= .
C ách 2: Chia hai vế phương trình cho , ta được:
Đặt: . Khi đó phương trình tương đương:
hay .
Cách 3: Đặt .
3. Phương trình thuần nhất bậc hai đối với sinx và cosx:Dạng: asin2x+bsinxcosx+ccos2x=0 (*).
Cách 1: + Kiểm tra nghiệm với .
+ Giả sử cosx0: chia hai vế phương trình cho cos2x ta được: atan2x+btanx+c=0.
Chú ý:
Cách 2: Áp dụng công thức hạ bậc.4. Phương trình đối xứng đối với sinx và cosx:Dạng: a(sinx cosx)+ bsinxcosx=c.Cách giải: Đặt t= sinx cosx. Điều kiện t .
Th.s Nguyễn Dương ĐT 0932528949 http://chuyentoannt.net2
LTĐH & Bồi Dưỡng KT PT 75/14B Nguyễn Thị Minh Khai – Nha Trang Phần 2: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC KHÔNG MẪU MỰC
Ph ươ ng pháp 1 : Dùng các công thức lượng giác đưa về phương trình dạng tích.Ví dụ 1. Giải phương tình: sin2x + sin23x = cos22x + cos24x (1).
Giải
Phương trình (1) tương đương với:
cos2x+cos4x+cos6x+cos8x = 0 2cos5xcosx+2cos5xcos3x = 0 2cos5x(cos3x+cosx) = 0 4cos5x.cos2x.cosx = 0
Ví dụ 2. Giải phương trình: cos6x+sin6x = 2 ( cos8x+sin8x) (2).GiảiTa có (2) cos6x(2cos2x1) = sin6x(12sin2x)
cos2x(sin6x–cos6x) = 0 cos2x(sin2x–cos2x)(1+sin2x.cos2x) = 0 cos2x = 0
Ví dụ 3: Giải phương trình: (3).GiảiTa có:
Ph ươ ng pháp 2 : Đặt ẩn phụ đưa phương trình lượng giác về phương trình đại số:
Ví dụ 4. Giải phương trình lượng giác: (4).
GiảiTa có (4)
Th.s Nguyễn Dương ĐT 0932528949 http://chuyentoannt.net3
LTĐH & Bồi Dưỡng KT PT 75/14B Nguyễn Thị Minh Khai – Nha Trang
Đặt cos22x = t, với t[0; 1], ta có
Vì t[0;1], nên
cos4x = 0
Ví dụ 5. Giải phương trình lương giác: 2sin3x – cos2x + cosx = 0 (5)Giải
Ta có (5) 2(1 cos2x)sinx + 2 – 2 cos2x + cosx – 1 = 0 (1 cosx )[2(1 + cosx)sinx + 2(1 + cosx) 1] = 0 (1 – cosx)(2sinx+ 2cosx + 2sinxcosx+1) = 0
Giải (*): Đặt sinx + cosx = t, điều kiện , khi đó phương trình (*) trở thành:
2t + t2 – 1 + 1 = 0 t2 + 2t = 0
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: ;
Phương pháp 3: Quy phương trình lượng giác về việc giải hệ phương trình lượng giác bằng cách đánh giá, so sánh, sử dụng bất đẳng thức.Ví dụ 6. Giải phương trình: (6).
GiảiĐiều kiện: x ≥ 0Do nên , mà |cosx| ≤ 1.
Do đó
(Vì k, n Z). Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 0.Phương pháp 4: Sử dụng tính chất hàm số.
Ví dụ 7: (ĐH Sư phạm 2) Giải phương trình: .
Giải
Đặt . Dễ thấy f(x) = f(x), , do đó f(x) là hàm số chẵn vì vậy trước hết ta chỉ xét
với x ≥ 0.Ta có: f’(x)=sinx+x, f”(x) = cosx+1, x≥0 f’(x) là hàm đồng biến, do đó f’(x)≥f’(0), với x≥0 f(x) đồng biến với x≥0 .Mặt khác ta thấy f(0)=0, do đó x=0 là nghiệm duy nhất của phương trình.
Ví dụ 8: (ĐH Bách Khoa) Với n là số tự nhiên bất kì lớn hơn 2, tìm x thuộc khoảng thoả mãn
phương trình: .Giải
Đặt f(x) = sinnx + cosnx, ta có : f’(x) = ncosx.sinn-1x – nsinx.cosn-1x. = nsinx.cosx(sinn-2x – cosn-2x)
Th.s Nguyễn Dương ĐT 0932528949 http://chuyentoannt.net4
LTĐH & Bồi Dưỡng KT PT 75/14B Nguyễn Thị Minh Khai – Nha Trang
Lập bảng biến thiên của f(x) trên khoảng , ta có minf(x) = f =
Vậy x = là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho.
BÀI TẬPGiải các ph ươ ng trình sau :
1. cos3x+cos2x+2sinx–2 = 0 (Học Viện Ngân Hàng) ĐS:
2. tanx.sin2x2sin2x=3(cos2x+sinx.cosx) (ĐH Mỏ Địa Chất)
HD: Chia hai vế cho sin2x ĐS:
3. 2sin3x(1/sinx)=2cos3x+ (1/cosx) (ĐH Thương Mại)
ĐS:
4. |sinxcosx| + |sinx+cosx|=2 (ĐH Quốc Gia Hà Nội) ĐS: .
5. 4(sin3xcos2x)=5(sinx1) (ĐH Luật Hà Nội)
ĐS: với .
6. sinx4sin3x+cosx =0 (ĐH Y Hà Nội) ĐS: .
7. ; (Học Viện BCVT) ĐS:
8. sin3x.cos3x+cos3x.sin3x=sin34x
HD: sin2x.sinx.cos3x+cos2x. cosx.sin3x=sin34x ĐS: .
9. ĐS:
10.
HD: Chia hai vế cho cos3x ĐS: x = ,
11. 2sinx(1+cos2x)+sin2x=1+2cosx
HD: Đưa về cung x đặt thừa số ĐS:
12. sin2x+cos2x=1+sinx–3cosx (1).Giải
(1) 2sinxcosx+2cos2x–1=1+sinx–3cosx.2cos2x+(2sinxcosx+3cosx)–sinx–2=0.2cos2x+(2sinx+3)cosx–(sinx+2)=0.
Đặt t=cosx, ĐK , ta được: 2t2+(2sinx+3)t–(sinx+2)=0. =(2sinx+3)2+3.2.(sinx+2)=(2sinx+5)2.
…(biết giải)
Th.s Nguyễn Dương ĐT 0932528949 http://chuyentoannt.net5
LTĐH & Bồi Dưỡng KT PT 75/14B Nguyễn Thị Minh Khai – Nha Trang 13. 2sinx+cotx=2sin2x+1.HD: Tương tự câu a ta có phương trình 2(1–2cosx)sin2x–sinx+cosx=0.Đặt t=sinx, ĐK .2(1–2cosx)t2–t+cosx=0 … =(4cosx–1)2.14. 1+sinx+cosx+sin2x+2cos2x=0.HD: (1+ sin2x)+(sinx+cosx)+2cos2x=0.(sinx+cosx)2+(sinx+cosx)+2(cos2x–sin2x)=0.(sinx+cosx)2+(sinx+cosx)+2(sinx+cosx)(sinx–cosx)=0. Đặt thừa số, giải tiếp …
15. Giải phương trình lượng giác:
Giải
Điều kiện:
Từ (1) ta có:
So với điều kiện, ta được họ nghiệm của phương trình đã cho là
16. Giải phương trình:
Giải
(1)
Điều kiện:
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
17. Giải phương trình: .
Giải
Pt (cosx
(1–sin2x)(cosx–sinx) = 0 sin2x = 1 hoặc tanx = 1.18. Giải phương trình: .Giải
Th.s Nguyễn Dương ĐT 0932528949 http://chuyentoannt.net6
LTĐH & Bồi Dưỡng KT PT 75/14B Nguyễn Thị Minh Khai – Nha Trang
19. Giải phương trình: cosx=8sin3
Giải
cosx=8sin3 cosx =
(3)Ta thấy cosx = 0 không là nghiêm (3)
20. Giải phương trình lượng giác:
Giải
Điều kiện:
Từ (1) ta có:
So với điều kiện, ta được họ nghiệm của phương trình đã cho là
21. Giải phương trình: GiảiPhương trình (cosx–sinx)2 – 4(cosx–sinx) – 5 = 0
22. Giải phương trình: 2cos3x + sinx + cosx = 0Giải
sin sinx + cos cosx = – cos3x.
Th.s Nguyễn Dương ĐT 0932528949 http://chuyentoannt.net7
LTĐH & Bồi Dưỡng KT PT 75/14B Nguyễn Thị Minh Khai – Nha Trang
cos cos
x = (kZ)
23. Giải phương trình cos3xcos3x – sin3xsin3x =
Giải
Ta có: cos3xcos3x – sin3xsin3x = cos3x(cos3x + 3cosx) – sin3x(3sinx – sin3x) =
.
24. Định m để phương trình sau có nghiệm
GiảiTa có:* ;
*
*
Do đó phương trình đã cho tương đương:
Đặt (điều kiện: ).
Khi đó . Phương trình (1) trở thành: (2) với
Đây là phuơng trình hoành độ giao điểm của 2 đường (là đường song song với Ox và cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2 – 2m và (P): với .
xy’ +y
Trong đoạn , hàm số đạt giá trị nhỏ nhất là tại và đạt giá trị lớn
nhất là tại .Do đó yêu cầu của bài toán thỏa mãn khi và chỉ khi
.
o0o
Th.s Nguyễn Dương ĐT 0932528949 http://chuyentoannt.net8
LTĐH & Bồi Dưỡng KT PT 75/14B Nguyễn Thị Minh Khai – Nha Trang PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
TRONG CÁC ĐỀ THI ĐẠI HỌC TỪ 2002 ĐẾN 2009KHỐI A
1. Tìm nghiệm thuộc khoảng (0;2) của phương trình: (Khối A_2002).
Giải
ĐS: .
2. Giải phương trình: (Khối A_2003)
Giải
ĐS:
3. Giải phương trình: (Khối A_2005)Giải
Th.s Nguyễn Dương ĐT 0932528949 http://chuyentoannt.net9
LTĐH & Bồi Dưỡng KT PT 75/14B Nguyễn Thị Minh Khai – Nha Trang
ĐS:
4. Giải phương trình: (Khối A_2006)
Giải
ĐS:
5. Giải phương trình: (Khối A_2007)Giải
ĐS:
6. (Khối A_2008)
Giải
Th.s Nguyễn Dương ĐT 0932528949 http://chuyentoannt.net10
LTĐH & Bồi Dưỡng KT PT 75/14B Nguyễn Thị Minh Khai – Nha Trang
ĐS:
7. Giải phương trình: . (Khối A_2009)
Giải
ĐS:
KHỐI B8. Giải phương trình (Khối B_2002)Giải
ĐS:
9. Giải phương trình (Khối B_2003)
Giải
Th.s Nguyễn Dương ĐT 0932528949 http://chuyentoannt.net11
LTĐH & Bồi Dưỡng KT PT 75/14B Nguyễn Thị Minh Khai – Nha Trang
ĐS:
10. Giải phương trình (Khối B_2004)Giải
ĐS:
11. Giải phương trình (Khối B_2005)Giải
ĐS:
12. Giải phương trình: (Khối B_2006)
Giải
Th.s Nguyễn Dương ĐT 0932528949 http://chuyentoannt.net12
LTĐH & Bồi Dưỡng KT PT 75/14B Nguyễn Thị Minh Khai – Nha Trang
ĐS:
13. Giải phương trình: (Khối B_2007)Giải
ĐS:
14. Giải phương trình (Khối B_2008)Giải
ĐS:
15. Giải phương trình: . (Khối B_2009)Giải
ĐS:
Th.s Nguyễn Dương ĐT 0932528949 http://chuyentoannt.net13
LTĐH & Bồi Dưỡng KT PT 75/14B Nguyễn Thị Minh Khai – Nha Trang KHỐI D16. Tìm x[0;14] cos3x4cos2x+3cosx4=0 (Khối D_2002)Giải
ĐS:
17. (Khối D_2003)
Giải
ĐS:
18. Giải phương trình (Khối D_2004)Giải
ĐS:
19. Giải phương trình: (Khối D_2005)
Giải
Th.s Nguyễn Dương ĐT 0932528949 http://chuyentoannt.net14
LTĐH & Bồi Dưỡng KT PT 75/14B Nguyễn Thị Minh Khai – Nha Trang
ĐS:
20. Giải phương trình: cos3x+cos2xcosx1=0 (Khối D_2006)Giải
ĐS:
21. Giải phương trình (Khối D_2007)
Giải
ĐS:
22. Giải phương trình (CĐ_A_B_D_2008)Giải
Th.s Nguyễn Dương ĐT 0932528949 http://chuyentoannt.net15
LTĐH & Bồi Dưỡng KT PT 75/14B Nguyễn Thị Minh Khai – Nha Trang
ĐS:
23. Giải phương trình 2sinx(1+cos2x)+sin2x=1+2cosx (Khối D_2008)Giải
ĐS:
24. Giải phương trình (1+2sinx)2cosx=1+sinx+cosx (CĐ_A_B_D_2009)Giải
ĐS:
25. Giải phương trình (Khối D_2009)Giải
ĐS:
Hết
Th.s Nguyễn Dương ĐT 0932528949 http://chuyentoannt.net16
Recommended