View
219
Download
0
Category
Preview:
Citation preview
7/24/2019 Clasa a Xia Fisa Determinantul Unei Matrice Patratice
1/10
Determinantul unei matrice ptratice de ordin cel mult 3.
Determinanii se folosesc de obicei n algebr la rezolvarea de sisteme de ecuaii dar i n geometrie la determinarea ecuai ei
unei drepte, a coliniaritii a trei puncte i ariei unui triunghi. Evident c aplicaiile lor sunt multiple dar nu le voi explicita aici.
R. Determinanii se calculeaz doar n cazurile matricilor ptratice i sunt numere ( expresii algebrice) nu matrice.
Spre deosebire de matrice unde notarea matricei se face de regul cu paranteze rotunde notarea determinantului se face cu dou
bare drepte ( ca i modulul).
Determinantul de ordin 1.
Dac A este o matrice ptratic de ordin 1 , adic A=(a11)M1(C) atunci det(A)=| a11|= a11. ( adic este exact elementul matricei).
EXP. A=(5)M1(C) atunci det(A)=| 5|= 5; B=(4)M1(C) atunci det(B)=|4|= 4; C=( 2 )M1(C) atunci det(C)=| 2 |= 2 .
TEMA 1.Calculai urmtorii determinani : a)| 1|; b)| i|; c)| 3 3 |; d)31 ; e)| sinx|; f)|cos0|; g)| -ln1|; h)| lne|; i)| 4!|; j)| 22A |.
Determinantul de ordin 2.
Dac A este o matrice ptratic de ordin 2 , adic A=
dc
baM2(C) atuncidet(A)=
dc
ba=adbc.
( adic,produsul elementelor de pe diagonala principal minusprodusul elementelor de pe diagonala secundar).
EXP. A=
51
32M2(C) atunci det(A)=
51
322531=7 ; B=
02
31M2(C) atunci det(B)=
02
31(1)03(2)=6 ;
C=
xy
yxM2(C) atunci det(C)=
xy
yxxxyy=x2y2; D=
31
62 M2(C) atunci det(D)= 31
62 2 3 6 1=0;
E=
21
12
ab
baM2(C) atunci det(E)=
21
12
ab
ba(a+2)(a2)(b1)(b+1)=a222( b212)= a24b2 +1= a2b23.
VIP.1. S se rezolve n R ecuaia
x1
120.
Rezolvare. Calculnd determinantul ecuaia devine 2x+1=02x= 1x=2
1 R.
VIP 2. S se determine mR pentru care determinantul matricei A=
xm
x 12M2(R)este nenul , xR.
Rezolvare.det(A)= mxxxm
x
2
12 2 . Condiia det(A)0 pentru xR, se mai scrie x2+2xm0 xR, ori aceasta revine la al
determina pe m astfel nct ecuaia s nu aib o soluie real, n consecin
7/24/2019 Clasa a Xia Fisa Determinantul Unei Matrice Patratice
2/10
Determinantul de ordin 3.
Dac A este o matrice ptratic de ordin 3 , adic A=
ihg
fed
cba
M2(C) atunci
det(A)=
ihg
fed
cba
=aei + dhc + gbf ceg fha ibd. =aei + dhc + gbf (ceg + fha + ibd). sunt 6 produse
Determinantul de ordin trei poate fi calculat prin:
1. METODA LUI SARRUS.
fed
cba
ihg
fed
cba
=aei+dhc+gbfcegfhaibd=aei+dhc+gbf(ceg+fha+ibd).
Metoda: se scriu sub determinant primele dou rnduri ( fr a prelungi barele ce-l delimiteaz) apoi se fac produse de cte 3
termeni (cei unii n desen) . Cei care se afl pe diagonala principal sau pe o dreapt paralel cu diagonala principal sunt
precedai de (+), iar cei care se afl pe diagonala secundar sau pe o dreapt paralel cu diagonala secundar sunt precedai de ().
EXP:
540
132654
540
132
=2(4)6+051+43(5)1(4)4(5)52630= 48+060+16+50+0=66108= 42
132
321213
132
321
=132+213+321333111222= 6+6+62718= 1836= 18;
654
321987
654
321
=159+483+726357681924= 45+96+841054872= 225225=0.
2. METODA TRIUNGHIULUI.
ihg
fed
cba
termenii cu (+) sunt dai de elementele diagonalei principale, respectiv de cte un triunghi cu baza paralel cu
diagonala principal ,iar vrful n partea cealalt a diagonalei principale;
ihg
fed
cba
termenii cu () sunt dai de elementele diagonalei secundare, respectiv de cte un triunghi cu baza paralel cu
diagonala secundar ,iar vrful n partea cealalt a diagonalei secundare.
EXP:
150
124
231=121+452+031( 220+151+134)=4217=25.
110322
231
=121+2(1)2+0(3)3[ (2)20+3(1)1+1(3)2]=24+0(036)= 2+9=7.
dintre care3 precedate de (+) i 3 precedate de
7/24/2019 Clasa a Xia Fisa Determinantul Unei Matrice Patratice
3/10
Proprietile determinanilor ( de orice ordin)
P1. Determinantul unei matrici ptratice este egal cu determinantul matricei transpuse. det (A) =det(TA).
Deciproprietile determinanilor care au loc pentru linii au loci pentru coloanei viceversa.
EXP:
150
124
231=121+452+031( 220+151+134)=4217=25; atunci determinantul matricei transpuse este
112
523
041=121+310 + 245(022+511+143)=4217=25 produsele sunt aceleai,diferdoar ordinea termenilor.
dc
ba= adbc=
db
ca
P2. Dac ntr-un determinant toate elementele unei linii sau coloane sunt nule, atunci determinantul este nul.
EXP:
zyx
cba
000 =a0z+0yc+xb0c0x0yazb0.=0 toateprodusele coninpe 0 , deci sunt toate nule.
P3. Dac ntr-un determinant schimbm ntre ele dou unei linii sau dou coloane , atunci determinantul i schimb semnul.
EXP:47
52=2457=835=27, schimbnd ntre ele C2(coloana 2)cu C1(coloana 1) obinem
74
255724=358=27.
seschimbntre ele produsele precedate de + cu produsele precedate de
P4.Dac ntr-un determinant cel puin dou linii sau dou coloane identice , atunci determinantul este nul.
EXP:31
261114
261LL
112 + 462+161( 211+161+264)=0 produsele precedate de + coincid cu produsele precedate de
32
992
773
441CC
179 + 394+247( 472+791+943)=0 produsele precedate de + coincid cu produsele precedate de
P5. Dac toate elementele unei linii ( sau ale unei coloane ) ale unui determinant sunt nmulite cu un numr kC ,atunci valoareadeterminantului o multipl de k ori .
EXP:41
62=2416=82=2.nmulimC2cu 7obinem
281
422=228421=5642=14=72, adic determinantuls-a mrit de 7 ori.
41
62=2416=82=2. nmulim L2 cu 5 obinem
205
62
=2(20) 6(5)= 40+30=10 = (5)2, adic determinantul s-a
multiplicat de (5) ori.
R. ntr-un determinant putem da factor comun pe linii i pe colane ( ne uureaz calculul)
EXP: 0
112
153
112
1054
101020
52515
448
, pt c n determinantul nou aprut L1=L3 ( vezi P4)
0
7107
3253
848
3
21107
9253
2448
, pt c n determinantul nou aprut C1=C3 ( vezi P4)
difer doar ordinea termenilor produsului, dar nmulireanumerelor complexe este comutativ
am dat factor comun 4 pe L1, 5 pe L2 i 10 pe L3
am dat factor comun pe 3 pe C3
7/24/2019 Clasa a Xia Fisa Determinantul Unei Matrice Patratice
4/10
P6. Dac elementele a dou linii (coloane ) ale unui determinant sunt proporionale atunci, determinantul este nul.Dou linii sunt proporionale dac raportul termenilor si este acelai , adic o linie se obine din cealalt prin nmulirea ( mprirea) cuacelai numr nenul. Prin darea factorului comun se obin 2 linii( coloane) identice i se aplic P4.
EXP: Vezi cele dou exemple anterioare. n determinantul
21107
9253
2448 C1 este proporional cu C3 deoarece3
1
21
7
9
3
24
8 adic
C1=31
C3 sau invers, 37
21
3
9
8
24 adic C3=3C1 .
P7. Dac elementele unei coloane (linii) ale unui determinant sunt sume de cte doi termeni atunci , determinantul se scrie ca osum de doi determinani dup regula:
izhg
fyed
cxba
ihg
fed
cba
+
izg
fyd
cxa
.
EXP:
9110
459
7613
9191
4545
7676
911
455
766
919
454
767
0+0=0, cei doi determinani au dou coloane identice (vezi P4)
P8. Dac ntr-un determinant se adun (scade) la elementele unei linii (coloane ) elementele altei linii (respectiv coloane) nmuliteeventual cu un acelai numr atunci valoarea determinantului nu se schimb. (metod des folosit la determinani de ordin4)
Exp :106
117=7066=4. Dac la L1 adugm L2(1), adic L1L2 avem
21
106
117 LL
106
11=106=4;
21
9110
459
7613CC
0
919
454
767
;221
913
4526
3624CC
404
919
454
363
4
9136
4516
3612
P9. Dac o linie (coloan) a unui determinant este o combinaie liniar de celelalte linii ( coloane), atunci determinantul este nul.Def. O linie este o combinaie liniar de celelalte linii dac ea se poate scrie ca o sum de celelalte linii evental acestea fiind nmulite
cu un numr complex. EXP: L3= 2L1+4L2 sau L2=5L133L3 sau L1=(-4)L2+(-2)L3 etc.
9138
4526
3624
=0 deoarece C1=2C2+4C3 ( vezi ultimul exp) ;
9110
459
7613
0 deoarece C1= C2+C3.
Definiie. O matrice ptratic se numete triunghiular dac toate elementele de sub diagonala principal , sau de deasupradiagonalei principale sunt nule.
P10. Determinantul unei matrice triunghiulare este egal cu produsul elementelor de pe diagonala principal.
cba
0= ac;
zyx 0 =xz; iea
i
fe
cba
00
0 ; iea
ihg
ed
a
0
00
P11. det(In)=1, unde In= matricea unitate ( are numai 1 pe diagonala principalin rest 0) --se folosete (P10)
P12.DacA iB sunt doumatriceptraticede acelaiordin atunci det(AB)=det(A)det(B)
determinantul se distribuie la nmulirea matricilorptratice
P13.DacA este o matriceptratic atunci det(An)=[det(A)]n, nN*
P13 este o consecin a lui P12 n
orindeorinde
n AAAAAAAAAA )det()det(...)det()det()det()...det()det( ;
P14.DacA este o matriceptraticde ordin n atunci det(kA)=kn det(A), nN*se d k factor comun pe fiecare linie sau coloan
se poate folosi descompunerea unui determinant dupelementele unei linii sau ale unei coloane
identice identice
7/24/2019 Clasa a Xia Fisa Determinantul Unei Matrice Patratice
5/10
Descompunerea unui determinant dup elementele unei linii sau ale unei coloane .
Metoda se folosete n general pentru a calcula determinani de ordin 3 ( mai mult de la 4 n sus) i ea nu face altceva dect s
transforme determinantul de ordin 3 nsuma a 3 determinai de ordin 2 , determinantul de ordin 4 n suma a 4 determinai de ordin 3;
determinantul de ordin 5 n suma a 5 determinai de ordin 4;. ; determinantul de ordin n n suma a n determinai de ordin n1 etc.
Def.Fie dun determinant de ordin n de forma
nnnn
n
aaa
aaa
aaa
d
...
............... ...
...
21
212221
11211
. Se noteaz cudijdeterminantul de ordin n1 care
se obine din determinantul d prin eliminarea liniei i i a coloanei j i se numeteminorul elementului aij .
Numrulij
ji
ij d )1( se numetecomplementul algebric al elementului aijn determinantul d.
Pentru determinantul ddat mai sus avem urmtorul rezultat :
n
n
nnndadadaaaad 1
1121
211211
11111112121111 )1(...)1()1(...
ceea ce nseamn
descompunerea determinantului ddup linia 1; sau
n
n
nnn dadadaaaad 22
22222
222112
212222222121 )1(...)1()1(...
ceea ce nseamn
descompunerea determinantului ddup linia 2; sau
n
nn
nnn
n
nn
n
nnnnnnnnndadadaaaad 22
221
112211 )1(...)1()1(...
ceea ce nseamn
descompunerea determinantului ddup linia n. n mod absolut asemntor se face descompunerea determinantului ddup coloane.
EXP.1. a)d =41
23 d11=|4| (am eliminat linia 1 i coloana 1) ; d12=|1| (am eliminat linia 1 i coloana 2)
d21=|2| (am eliminat linia 2 i coloana 1) ; d22=|3| (am eliminat linia 2 i coloana 2)
b)
910
324
567
d11=91
32 (am eliminat linia 1 i coloana 1); d23=
10
67 (am eliminat linia 2 i coloana 3) etc.
ij
ji
ij da )1(
c ) descompunerea determinantului d =2221
1211
aa
aadup Exemplu : d =
41
23
- elementele primei linii 122112111111 )1()1( dadad , 10212|1|)1(2|4|)1(3 2111 d
- elem celei de a 2-a linii 2222
222112
21 )1()1( dadad , 10122|3|)1(4|2|)1(1 2212 d
- elementele primei coloane 2112
211111
11 )1()1( dadad , 10212|2|)1(1|4|)1(3 1211 d
- elem celei de a 2-a col 2222
221221
12 )1()1( dadad , 10122|3|)1(4|1|)1(2 2221 d
d) descompunerea determinantului d =12
49dup
- elementele primei linii: 189|2|)1(4|1|)1(9 2111 d
- elem celei de a 2-a linii, 198|9|)1(1|4|)1(2 2212 d
- elementele primei coloane, 189|4|)1(2|1|)1(9 1211 d
- elem celei de a 2-a col, 198|9|)1(1|2|)1(4 2221 d .
R. Rezultatul descompunerii unui determinant dup elementele oricrei linii sau coloane este acelai.
elementul eliminat
linia eliminat coloana eliminat
determinantul obinut dinddupeliminarea liniei i i a coloanei j
7/24/2019 Clasa a Xia Fisa Determinantul Unei Matrice Patratice
6/10
e) descompunerea determinantului d=
910
324
567
dup :
- elementele primei linii: 914536615710
24)1(5
90
34)1(6
91
32)1(7 312111 d
- elementele liniei L3: 91)10(91180
24
67)1(9
34
57)1(1
32
56)1(0 312313 d
-elementele coloanei C2: 911163236634
57)1(1
90
57)1(2
90
34)1(6 232221 d .a.m.d.
f) descompunerea determinantului d=
416
024
067
dup ultima coloan
40)10(40024
67)1(4
16
67)1(0
16
24)1(0 333231 nrnrd ;
g) descompunerea determinantului d=
34116
001
4587
dup L2
22300)223()1(1116
87)1(0
346
457)1(0
3411
458)1(1 322212 nrnrd .
Din ultimele dou exemple se vede c cel mai avantajos este s descompunem un determinant duplinia/coloana care are cele mai multe zerouri. n caz c nu avem zerouri putem s le formm folosind
proprietile determinanilor, ca n exemplul urmtor
142
311
600
1512
349
6612221
32
CC
CC1226
42
11)1(6 31
2. Folosind proprietile determinanilor, s se demonstreze egalitatea:
cbacc
bbacb
cbaaa
22
22
22
=(a+b+c)3.
321
2222
22LLL
cbaccbbacb
cbaaa
cbaccbbacb
cbacbacba
2222
=(a+b+c)
12
13
2222
111CC
CC
cbaccbbacb
(a+b+c)
02
001
cbac
cbacbaacb
=(a+b+c)1(1) 110cba
cbacba
=
= (a+b+c) ))((0 cbacba =(a+b+c) 3 .
3. S se scrie determinantul sub form de produs12
132
2
2
1
1
1LL
LL
cc
bb
aa
0
0
1
22
22
2
acac
abab
aa
=1(1) 31acac
abab
22
22
=
=acacac
ababab
))((
))((=(b-a)(c-a)
1
1
ac
ab
= (ba)(ca)(b+aca)=(b-a)(c-a)(b-c).
7/24/2019 Clasa a Xia Fisa Determinantul Unei Matrice Patratice
7/10
3333
2222
3333
2222
1111
0000 1111
dcba
dcba
dcba
dcba
dcba
dcba
dcba
Iat cum se calculeaz un determinant de ordin 4
515
1001
0101
0011
0001
5
2111
1211
1121
1111
5
2115
1215
1125
1115
2111
1211
1121
111213
12
14
4321
cc
cc
cc
cccc
( am aplicat P10)
Determinantul Vandermonde
Determinantul Vandermonde este un determinant de forma :
1|1||| 0 a ; ;11
11
00
baba
ba
222222
111
000 111
cba
cba
cba
cba
cba
; etc.
abba
11
))()((
111
222
abbcac
cba
cba
))()()()()((
1111
3333
2222 abbcaccdbdad
dcba
dcba
dcba
Exp
))()(())()((
01
))((
11
))((
))(())((
001111
12
222222222
12
13222
abbcacbcacabbcabacabacabacab
acacabab
acab
acab
acab
acaba
acaba
cba
cba
CC
CC
CC
Demonstraie la P10
ieaieaih
ea
ihg
ed
a
||)1(0
)1(0
001111 adicprodusul elementelor de pe diagonala principal
TEMA 3 Calculai determinanii Vandermonde (folosind P3 pentru ai aduce la forma unui determinant Vandermonde)
a)
222
111
zyx
zyx; b)
222
111
cba
cba; c)
1694
432
111; d)
49259
111
753; e)
64278
1694
432; f)
769
658
547
256
256
256; g)
111
648136
896; h)
49136
111
716; i)
96436
27512216
386;
a)
2
2
2
1
1
1
cc
bb
aa; b)
2
2
2
1
1
1
cc
bb
aa; c)
1641
421
111; d)
1255
111
193; e)
242322
242322
242322
555
444
222; f)
1416
177
1662
2
; g)
151
64536
856; h)
1614
111
913; i)
1256427
25169
1086.
.160)8(2040
22
)1()2(10140200
122
10
131
222
111
)1(110
3211
1310
2220
1110
10
3211
2141
1431
4321
10
32110
21410
14310
43210
3214
2143
1432
4321
32
31
32
4142
41
23
4321
CC
CC
LL
LL
LL
cccc
-obligatoriu prima linie/coloan trebuie s fie formatdoar din 1-pentru calculul lor se urmrete doar a doua linie-se pleac de la ultimul termen al liniei ise scade pernd n fiecare parantez din ultimul termen
termenii precedeni lui, la fel se procedeaz i cuantepenultimul .a.m.d. pn se termin toi termenii- determinanii Vandermonde se calculeaz folosinddescompunerea unui determinant dup elementeleunei linii/coloane ( vezi exemplul dat)
7/24/2019 Clasa a Xia Fisa Determinantul Unei Matrice Patratice
8/10
Relaia Hamilton-Cayley ( doar pentru matriceptraticede ordin 2)
Dac )(2 CMdc
baA
atunci are loc relaiaA
2(a+d)A+(adbc)I2=O2 sau A
2Tr(A)A+det(A)I2=O2
A2=(a+d)A(adbc)I2 sau A2=Tr(A)Adet(A)I2
Exp : 1. Se d matricea
42
63A .S se calculeze A
2019.
Rezolvare : 7AO7AI07AA0det;743)(
)det(Tr(A)AA22
22
AATr
A. Atunci
AAA
2
7A
223 777A7A7AAA ;
AAA 32
7A
22234 777A7AA7AA
AAA
43
7A
23345 777A7AA7AA
AAA20182017
7A
22017201720182019 777A7AA7AA .
2. Se d matricea
32
43A .S se calculeze A2019.
Rezolvare :22
22
I)1(0A1det;0)3(3)(
)det(Tr(A)AAIA
AATr
A
. Atunci
AIA AAA 223 ; 2
234 AAA IAAA
AIA AAA 245 ; 2
256 AAA IAAA .a.m.d .
Observm c
parnrestenI
imparnrestenAAn
,
,
2
, deci A2019=A.
TEMA 4 1. S se calculeze determinanii :
a)
110
411
321; b)
234
111
322; c)
1694
430
100; d)
009
011
753; e)
567
498
321; f)
769
658
547
666
666
666; g)
111
111
111
; h)
abc
bab
cba
; i)
383238
91216
1086; j)
xzy
yxz
zyx.
2. tiind c este rdcin cubic a unitiiadic 3=1 (31=0(1)( 2++1)=0) s se calculeze determinanii:
a)
2
2
1
1
111; b)
22
21
; c)
2
2
2
1
1
1
; d)
10
11
10
; e)
386
572
94
.
3.Folosind proprietile determinanilor s se calculeze determinanii :
a)
2200
490
321; b)
5344
0711
002
; c)
1632
432
132; d)
174793
14106
753; e)
987
654
321; f)
463
72134
8126
; g)
218
876
612
; h)
ccc
bbb
aaa
21
21
21
; i)
ccc
bbb
aaa
543
432
32.
4.Rezolvai n R ecuaiile :
a)0
00
520
381
2
x
x; b)
0
11
11
11
x
x
x; c)
0
110
432
132
x
x; d)
0
38
246
753
xxx
xxx
xxx; e)
0
130
142
31
xx
xxx
xx.
5.Dacx1+x2+x3=0calculai determinanii :a)
213
132
321
xxx
xxx
xxx; b)
213
132
321
32
32
32
xxx
xxx
xxx; c)
213
132
321
xxx
xxx
xxx
; d)
312
123
231
xxx
xxx
xxx; e)
61
53
112
2113
1332
3221
xxxx
xxxx
xxxx.
6. Se d matricea
25
12A .S se calculeze A2;A19;A20;A201 ; A2019.
7. Se d matricea
105
42B .S se calculeze B2;B19;B20;B201 ; B2019.
8. S se determine produsul rdcinilor ecuaiei0
11
1112
x
mxxm, pentru m=3.
9. Artai c pentru orice numr real x avem :0
51
131
111
153321
321
222
xxx
xxxd.
7/24/2019 Clasa a Xia Fisa Determinantul Unei Matrice Patratice
9/10
Aplicaiiale determinanilor n geometrie
1. Ecuaia unei drepte
Ecuaia dreptei determinat de punctele );();;(BBAA yxByxA este 0
1
1
1
:
BB
AAAB
yx
yx
yx
d
Aplicaie : S se determine ecuaia dreptei care trece prin puncteleA(4,1),B(1,2).
Soluie: 0
121
114
1
:
yx
dABx+8+y12x4y=0x3y+7=0 |(-1)x+3y7=0 , aadar dAB: x+3y7=0
2. Coliniaritatea a trei puncte n plan
Punctele );();;();;(CCBBAA yxCyxByxA sunt trei puncte coliniare daci numai dac 0
1
1
1
CC
BB
AA
yx
yx
yx
Aplicaie: S se verifice dac puncteleA(4,1),B(1,9),C(2,3)sunt puncte coliniare.
Soluie: );();;();;(CCBBAA
yxCyxByxA sunt coliniare 0
1
1
1
CC
BB
AA
yx
yx
yx
132
191
114
=036+3+2+18+1+12=00=0 adevarat.
Aadar, puncteleA,B,Csunt coliniare.
3. Aria unei suprafee triunghiulare
Aria suprafeei triunghiulare (ABC) cu vrfurile );();;();;(CCBBAA yxCyxByxA este dat de formula:
2
||ABCA unde
1
1
1
CC
BB
AA
yx
yx
yx
.
Aplicaie : S se calculeze aria triunghiului determinat de punctele A(1,1);B(3,0);C(2,2).
Soluie : 3
122
103 111
1
11
CC
BB
AA
yx
yx
yx
, deci23
23
2|| ABCA
Aplicaie:Bacalaureat 2009 Varianta 77
1. n reperul cartezian xOy se consider punctele A(2,1); B(1,2) i Cn(n,n) cu n .a. S se scrie ecuaia dreptei C2C4;b.S se arate c oricare ar fi nZ* punctele O,Cn, Cn+1sunt coliniare;
c.S se calculeze aria triungliului ABC 3 .
Rezolvare:
a) C2(2;2) i C4(4;4)
0
144
122
1
0
1
1
1
:
424
2242
yx
yx
yx
yx
d
CC
CCCC2x8+4y +8+4x2y=02x+2y=0 |:2.x+y=0, deci 0:
42yxd CC ;
b) O(0;0); Cn(n;n) i Cn+1(n+1;n1), atunci, punctele O; Cni Cn+1 sunt coliniare
0
1
1
1
11
CnCn
CnCn
OO
yx
yx
yx
0
111
1
100
nn
nn 0
111
1
100
nn
nn 0=0 adevarat O; Cn i Cn+1 sunt coliniare ()nZ*;
c) C3(3; 3) ,23ABCA ,
1
1
1
33 CC
BB
AA
yx
yx
yx
=
133
121
112
= 43+366+1=3, deci23
3ABCA .
7/24/2019 Clasa a Xia Fisa Determinantul Unei Matrice Patratice
10/10
TESTE DE EVALUARE
TESTUL 1
1. S se calculeze determinanii
14
581
. (1p) ;
479
368
257
2 ; (1p)
bac
cabcab111
111(1p).
2. Rezolvai n Recuaiile: 02423 xx (1p) i 0
31
3113
x
xx
(1p)
3. Se dau punctele A(7;2), B(5;3), C(3;4) D(3;1). Se cere:a) S se arate c punctele A, B, C sunt coliniare; (1p)b) S se calculeze aria triunghiului ABD; (1p)c) S se scrie ecuaia dreptei AB; (1p)
4. S se determine m R pentru care punctele A(m,m+2); B(m, 3) ;C(1,3 )sunt coliniare .(1p)
TESTUL 2
1. S se calculeze determinanii
78
461
. (1p);
147
258369
2 ; (1p)
cba
abcabc
cba
111
(1p).
2. Rezolvai n Recuaiile: 022
93
x
(1p) i 0
41
41
14
x
x
x
(1p)
3. Se dau punctele A(6;2), B(4;3), C(2;4) D(2;2). Se cere:a) S se arate cpunctele A, B, C sunt coliniare. (1p)b) S se calculeze aria triunghiului BCD. (1p)
c)
S se scrie ecuaia dreptei BD. (1p)4. S se determine m R pentru care punctele A(8;m+5), B(m; 3) ,C(1;1 ) nusunt coliniare. (1p)
TESTUL3
1. S se calculeze determinanii
94
251
. (1p) ;
158
369
4710
2 (1p) ;
bac
cabcab111
222(1p).
2. Rezolvai ecuaiile: 0
4)1ln(2
!2ln
x
x(1p) i 0
231
312
123
x
x
x(1p)
3. Se dau punctele A(8;2), B(6;3), C(4;4) D(4;1). Se cere:a) S se arate c punctele A, B, C sunt coliniare. (1p)b) S se calculeze aria triunghiului ACD. (1p)c) S se scrie ecuaia dreptei CD. (1p)
4. S se determine m R pentru care aria triunghiului determinat de punctele A(m;m+3), B(m; 2); C(1;1 ) este egal cu 2. (1p)
Recommended