Clasa a Xia Fisa Determinantul Unei Matrice Patratice

7/24/2019 Clasa a Xia Fisa Determinantul Unei Matrice Patratice

1/10

Determinantul unei matrice ptratice de ordin cel mult 3.

Determinanii se folosesc de obicei n algebr la rezolvarea de sisteme de ecuaii dar i n geometrie la determinarea ecuai ei

unei drepte, a coliniaritii a trei puncte i ariei unui triunghi. Evident c aplicaiile lor sunt multiple dar nu le voi explicita aici.

R. Determinanii se calculeaz doar n cazurile matricilor ptratice i sunt numere ( expresii algebrice) nu matrice.

Spre deosebire de matrice unde notarea matricei se face de regul cu paranteze rotunde notarea determinantului se face cu dou

bare drepte ( ca i modulul).

Determinantul de ordin 1.

Dac A este o matrice ptratic de ordin 1 , adic A=(a11)M1(C) atunci det(A)=| a11|= a11. ( adic este exact elementul matricei).

EXP. A=(5)M1(C) atunci det(A)=| 5|= 5; B=(4)M1(C) atunci det(B)=|4|= 4; C=( 2 )M1(C) atunci det(C)=| 2 |= 2 .

TEMA 1.Calculai urmtorii determinani : a)| 1|; b)| i|; c)| 3 3 |; d)31 ; e)| sinx|; f)|cos0|; g)| -ln1|; h)| lne|; i)| 4!|; j)| 22A |.


Dac A este o matrice ptratic de ordin 2 , adic A=

dc

baM2(C) atuncidet(A)=

dc

ba=adbc.

( adic,produsul elementelor de pe diagonala principal minusprodusul elementelor de pe diagonala secundar).

EXP. A=

51

32M2(C) atunci det(A)=

51

322531=7 ; B=

02

31M2(C) atunci det(B)=

02

31(1)03(2)=6 ;

C=

xy

yxM2(C) atunci det(C)=

xy

yxxxyy=x2y2; D=

31

62 M2(C) atunci det(D)= 31

62 2 3 6 1=0;

E=

21

12

ab

baM2(C) atunci det(E)=

21

12

ab

ba(a+2)(a2)(b1)(b+1)=a222( b212)= a24b2 +1= a2b23.

VIP.1. S se rezolve n R ecuaia

x1

120.

Rezolvare. Calculnd determinantul ecuaia devine 2x+1=02x= 1x=2

1 R.

VIP 2. S se determine mR pentru care determinantul matricei A=

xm

x 12M2(R)este nenul , xR.

Rezolvare.det(A)= mxxxm

x

2

12 2 . Condiia det(A)0 pentru xR, se mai scrie x2+2xm0 xR, ori aceasta revine la al

determina pe m astfel nct ecuaia s nu aib o soluie real, n consecin


2/10


Dac A este o matrice ptratic de ordin 3 , adic A=

ihg

fed

cba

M2(C) atunci

det(A)=

ihg

fed

cba

=aei + dhc + gbf ceg fha ibd. =aei + dhc + gbf (ceg + fha + ibd). sunt 6 produse

Determinantul de ordin trei poate fi calculat prin:

1. METODA LUI SARRUS.

fed

cba

ihg

fed

cba

=aei+dhc+gbfcegfhaibd=aei+dhc+gbf(ceg+fha+ibd).

Metoda: se scriu sub determinant primele dou rnduri ( fr a prelungi barele ce-l delimiteaz) apoi se fac produse de cte 3

termeni (cei unii n desen) . Cei care se afl pe diagonala principal sau pe o dreapt paralel cu diagonala principal sunt

precedai de (+), iar cei care se afl pe diagonala secundar sau pe o dreapt paralel cu diagonala secundar sunt precedai de ().

EXP:

540

132654

540

132

=2(4)6+051+43(5)1(4)4(5)52630= 48+060+16+50+0=66108= 42

132

321213

132

321

=132+213+321333111222= 6+6+62718= 1836= 18;

654

321987

654

321

=159+483+726357681924= 45+96+841054872= 225225=0.

2. METODA TRIUNGHIULUI.

ihg

fed

cba

termenii cu (+) sunt dai de elementele diagonalei principale, respectiv de cte un triunghi cu baza paralel cu

diagonala principal ,iar vrful n partea cealalt a diagonalei principale;

ihg

fed

cba

termenii cu () sunt dai de elementele diagonalei secundare, respectiv de cte un triunghi cu baza paralel cu

diagonala secundar ,iar vrful n partea cealalt a diagonalei secundare.

EXP:

150

124

231=121+452+031( 220+151+134)=4217=25.

110322

231

=121+2(1)2+0(3)3[ (2)20+3(1)1+1(3)2]=24+0(036)= 2+9=7.

dintre care3 precedate de (+) i 3 precedate de


3/10

Proprietile determinanilor ( de orice ordin)

P1. Determinantul unei matrici ptratice este egal cu determinantul matricei transpuse. det (A) =det(TA).

Deciproprietile determinanilor care au loc pentru linii au loci pentru coloanei viceversa.

EXP:

150

124

231=121+452+031( 220+151+134)=4217=25; atunci determinantul matricei transpuse este

112

523

041=121+310 + 245(022+511+143)=4217=25 produsele sunt aceleai,diferdoar ordinea termenilor.

dc

ba= adbc=

db

ca

P2. Dac ntr-un determinant toate elementele unei linii sau coloane sunt nule, atunci determinantul este nul.

EXP:

zyx

cba

000 =a0z+0yc+xb0c0x0yazb0.=0 toateprodusele coninpe 0 , deci sunt toate nule.

P3. Dac ntr-un determinant schimbm ntre ele dou unei linii sau dou coloane , atunci determinantul i schimb semnul.

EXP:47

52=2457=835=27, schimbnd ntre ele C2(coloana 2)cu C1(coloana 1) obinem

74

255724=358=27.

seschimbntre ele produsele precedate de + cu produsele precedate de

P4.Dac ntr-un determinant cel puin dou linii sau dou coloane identice , atunci determinantul este nul.

EXP:31

261114

261LL

112 + 462+161( 211+161+264)=0 produsele precedate de + coincid cu produsele precedate de

32

992

773

441CC

179 + 394+247( 472+791+943)=0 produsele precedate de + coincid cu produsele precedate de

P5. Dac toate elementele unei linii ( sau ale unei coloane ) ale unui determinant sunt nmulite cu un numr kC ,atunci valoareadeterminantului o multipl de k ori .

EXP:41

62=2416=82=2.nmulimC2cu 7obinem

281

422=228421=5642=14=72, adic determinantuls-a mrit de 7 ori.

41

62=2416=82=2. nmulim L2 cu 5 obinem

205

62

=2(20) 6(5)= 40+30=10 = (5)2, adic determinantul s-a

multiplicat de (5) ori.

R. ntr-un determinant putem da factor comun pe linii i pe colane ( ne uureaz calculul)

EXP: 0

112

153

112

1054

101020

52515

448

, pt c n determinantul nou aprut L1=L3 ( vezi P4)

0

7107

3253

848

3

21107

9253

2448

, pt c n determinantul nou aprut C1=C3 ( vezi P4)

difer doar ordinea termenilor produsului, dar nmulireanumerelor complexe este comutativ

am dat factor comun 4 pe L1, 5 pe L2 i 10 pe L3

am dat factor comun pe 3 pe C3


4/10

P6. Dac elementele a dou linii (coloane ) ale unui determinant sunt proporionale atunci, determinantul este nul.Dou linii sunt proporionale dac raportul termenilor si este acelai , adic o linie se obine din cealalt prin nmulirea ( mprirea) cuacelai numr nenul. Prin darea factorului comun se obin 2 linii( coloane) identice i se aplic P4.

EXP: Vezi cele dou exemple anterioare. n determinantul

21107

9253

2448 C1 este proporional cu C3 deoarece3

1

21

7

9

3

24

8 adic

C1=31

C3 sau invers, 37

21

3

9

8

24 adic C3=3C1 .

P7. Dac elementele unei coloane (linii) ale unui determinant sunt sume de cte doi termeni atunci , determinantul se scrie ca osum de doi determinani dup regula:

izhg

fyed

cxba

ihg

fed

cba

+

izg

fyd

cxa

.

EXP:

9110

459

7613

9191

4545

7676

911

455

766

919

454

767

0+0=0, cei doi determinani au dou coloane identice (vezi P4)

P8. Dac ntr-un determinant se adun (scade) la elementele unei linii (coloane ) elementele altei linii (respectiv coloane) nmuliteeventual cu un acelai numr atunci valoarea determinantului nu se schimb. (metod des folosit la determinani de ordin4)

Exp :106

117=7066=4. Dac la L1 adugm L2(1), adic L1L2 avem

21

106

117 LL

106

11=106=4;

21

9110

459

7613CC

0

919

454

767

;221

913

4526

3624CC

404

919

454

363

4

9136

4516

3612

P9. Dac o linie (coloan) a unui determinant este o combinaie liniar de celelalte linii ( coloane), atunci determinantul este nul.Def. O linie este o combinaie liniar de celelalte linii dac ea se poate scrie ca o sum de celelalte linii evental acestea fiind nmulite

cu un numr complex. EXP: L3= 2L1+4L2 sau L2=5L133L3 sau L1=(-4)L2+(-2)L3 etc.

9138

4526

3624

=0 deoarece C1=2C2+4C3 ( vezi ultimul exp) ;

9110

459

7613

0 deoarece C1= C2+C3.

Definiie. O matrice ptratic se numete triunghiular dac toate elementele de sub diagonala principal , sau de deasupradiagonalei principale sunt nule.

P10. Determinantul unei matrice triunghiulare este egal cu produsul elementelor de pe diagonala principal.

cba

0= ac;

zyx 0 =xz; iea

i

fe

cba

00

0 ; iea

ihg

ed

a

0

00

P11. det(In)=1, unde In= matricea unitate ( are numai 1 pe diagonala principalin rest 0) --se folosete (P10)

P12.DacA iB sunt doumatriceptraticede acelaiordin atunci det(AB)=det(A)det(B)

determinantul se distribuie la nmulirea matricilorptratice

P13.DacA este o matriceptratic atunci det(An)=[det(A)]n, nN*

P13 este o consecin a lui P12 n

orindeorinde

n AAAAAAAAAA )det()det(...)det()det()det()...det()det( ;

P14.DacA este o matriceptraticde ordin n atunci det(kA)=kn det(A), nN*se d k factor comun pe fiecare linie sau coloan

se poate folosi descompunerea unui determinant dupelementele unei linii sau ale unei coloane

identice identice


5/10

Descompunerea unui determinant dup elementele unei linii sau ale unei coloane .

Metoda se folosete n general pentru a calcula determinani de ordin 3 ( mai mult de la 4 n sus) i ea nu face altceva dect s

transforme determinantul de ordin 3 nsuma a 3 determinai de ordin 2 , determinantul de ordin 4 n suma a 4 determinai de ordin 3;

determinantul de ordin 5 n suma a 5 determinai de ordin 4;. ; determinantul de ordin n n suma a n determinai de ordin n1 etc.

Def.Fie dun determinant de ordin n de forma

nnnn

n

aaa

aaa

aaa

d

...

............... ...

...

21

212221

11211

. Se noteaz cudijdeterminantul de ordin n1 care

se obine din determinantul d prin eliminarea liniei i i a coloanei j i se numeteminorul elementului aij .

Numrulij

ji

ij d )1( se numetecomplementul algebric al elementului aijn determinantul d.

Pentru determinantul ddat mai sus avem urmtorul rezultat :

n

n

nnndadadaaaad 1

1121

211211

11111112121111 )1(...)1()1(...

ceea ce nseamn

descompunerea determinantului ddup linia 1; sau

n

n

nnn dadadaaaad 22

22222

222112

212222222121 )1(...)1()1(...

ceea ce nseamn

descompunerea determinantului ddup linia 2; sau

n

nn

nnn

n

nn

n

nnnnnnnnndadadaaaad 22

221

112211 )1(...)1()1(...

ceea ce nseamn

descompunerea determinantului ddup linia n. n mod absolut asemntor se face descompunerea determinantului ddup coloane.

EXP.1. a)d =41

23 d11=|4| (am eliminat linia 1 i coloana 1) ; d12=|1| (am eliminat linia 1 i coloana 2)

d21=|2| (am eliminat linia 2 i coloana 1) ; d22=|3| (am eliminat linia 2 i coloana 2)

b)

910

324

567

d11=91

32 (am eliminat linia 1 i coloana 1); d23=

10

67 (am eliminat linia 2 i coloana 3) etc.

ij

ji

ij da )1(

c ) descompunerea determinantului d =2221

1211

aa

aadup Exemplu : d =

41

23

- elementele primei linii 122112111111 )1()1( dadad , 10212|1|)1(2|4|)1(3 2111 d

- elem celei de a 2-a linii 2222

222112

21 )1()1( dadad , 10122|3|)1(4|2|)1(1 2212 d

- elementele primei coloane 2112

211111

11 )1()1( dadad , 10212|2|)1(1|4|)1(3 1211 d

- elem celei de a 2-a col 2222

221221

12 )1()1( dadad , 10122|3|)1(4|1|)1(2 2221 d

d) descompunerea determinantului d =12

49dup

- elementele primei linii: 189|2|)1(4|1|)1(9 2111 d

- elem celei de a 2-a linii, 198|9|)1(1|4|)1(2 2212 d

- elementele primei coloane, 189|4|)1(2|1|)1(9 1211 d

- elem celei de a 2-a col, 198|9|)1(1|2|)1(4 2221 d .

R. Rezultatul descompunerii unui determinant dup elementele oricrei linii sau coloane este acelai.

elementul eliminat

linia eliminat coloana eliminat

determinantul obinut dinddupeliminarea liniei i i a coloanei j


6/10

e) descompunerea determinantului d=

910

324

567

dup :

- elementele primei linii: 914536615710

24)1(5

90

34)1(6

91

32)1(7 312111 d

- elementele liniei L3: 91)10(91180

24

67)1(9

34

57)1(1

32

56)1(0 312313 d

-elementele coloanei C2: 911163236634

57)1(1

90

57)1(2

90

34)1(6 232221 d .a.m.d.

f) descompunerea determinantului d=

416

024

067

dup ultima coloan

40)10(40024

67)1(4

16

67)1(0

16

24)1(0 333231 nrnrd ;

g) descompunerea determinantului d=

34116

001

4587

dup L2

22300)223()1(1116

87)1(0

346

457)1(0

3411

458)1(1 322212 nrnrd .

Din ultimele dou exemple se vede c cel mai avantajos este s descompunem un determinant duplinia/coloana care are cele mai multe zerouri. n caz c nu avem zerouri putem s le formm folosind

proprietile determinanilor, ca n exemplul urmtor

142

311

600

1512

349

6612221

32

CC

CC1226

42

11)1(6 31

2. Folosind proprietile determinanilor, s se demonstreze egalitatea:

cbacc

bbacb

cbaaa

22

22

22

=(a+b+c)3.

321

2222

22LLL

cbaccbbacb

cbaaa

cbaccbbacb

cbacbacba

2222

=(a+b+c)

12

13

2222

111CC

CC

cbaccbbacb

(a+b+c)

02

001

cbac

cbacbaacb

=(a+b+c)1(1) 110cba

cbacba

=

= (a+b+c) ))((0 cbacba =(a+b+c) 3 .

3. S se scrie determinantul sub form de produs12

132

2

2

1

1

1LL

LL

cc

bb

aa

0

0

1

22

22

2

acac

abab

aa

=1(1) 31acac

abab

22

22

=

=acacac

ababab

))((

))((=(b-a)(c-a)

1

1

ac

ab

= (ba)(ca)(b+aca)=(b-a)(c-a)(b-c).


7/10

3333

2222

3333

2222

1111

0000 1111

dcba

dcba

dcba

dcba

dcba

dcba

dcba

Iat cum se calculeaz un determinant de ordin 4

515

1001

0101

0011

0001

5

2111

1211

1121

1111

5

2115

1215

1125

1115

2111

1211

1121

111213

12

14

4321

cc

cc

cc

cccc

( am aplicat P10)

Determinantul Vandermonde

Determinantul Vandermonde este un determinant de forma :

1|1||| 0 a ; ;11

11

00

baba

ba

222222

111

000 111

cba

cba

cba

cba

cba

; etc.

abba

11

))()((

111

222

abbcac

cba

cba

))()()()()((

1111

3333

2222 abbcaccdbdad

dcba

dcba

dcba

Exp

))()(())()((

01

))((

11

))((

))(())((

001111

12

222222222

12

13222

abbcacbcacabbcabacabacabacab

acacabab

acab

acab

acab

acaba

acaba

cba

cba

CC

CC

CC

Demonstraie la P10

ieaieaih

ea

ihg

ed

a

||)1(0

)1(0

001111 adicprodusul elementelor de pe diagonala principal

TEMA 3 Calculai determinanii Vandermonde (folosind P3 pentru ai aduce la forma unui determinant Vandermonde)

a)

222

111

zyx

zyx; b)

222

111

cba

cba; c)

1694

432

111; d)

49259

111

753; e)

64278

1694

432; f)

769

658

547

256

256

256; g)

111

648136

896; h)

49136

111

716; i)

96436

27512216

386;

a)

2

2

2

1

1

1

cc

bb

aa; b)

2

2

2

1

1

1

cc

bb

aa; c)

1641

421

111; d)

1255

111

193; e)

242322

242322

242322

555

444

222; f)

1416

177

1662

2

; g)

151

64536

856; h)

1614

111

913; i)

1256427

25169

1086.

.160)8(2040

22

)1()2(10140200

122

10

131

222

111

)1(110

3211

1310

2220

1110

10

3211

2141

1431

4321

10

32110

21410

14310

43210

3214

2143

1432

4321

32

31

32

4142

41

23

4321

CC

CC

LL

LL

LL

cccc

-obligatoriu prima linie/coloan trebuie s fie formatdoar din 1-pentru calculul lor se urmrete doar a doua linie-se pleac de la ultimul termen al liniei ise scade pernd n fiecare parantez din ultimul termen

termenii precedeni lui, la fel se procedeaz i cuantepenultimul .a.m.d. pn se termin toi termenii- determinanii Vandermonde se calculeaz folosinddescompunerea unui determinant dup elementeleunei linii/coloane ( vezi exemplul dat)


8/10

Relaia Hamilton-Cayley ( doar pentru matriceptraticede ordin 2)

Dac )(2 CMdc

baA

atunci are loc relaiaA

2(a+d)A+(adbc)I2=O2 sau A

2Tr(A)A+det(A)I2=O2

A2=(a+d)A(adbc)I2 sau A2=Tr(A)Adet(A)I2

Exp : 1. Se d matricea

42

63A .S se calculeze A

2019.

Rezolvare : 7AO7AI07AA0det;743)(

)det(Tr(A)AA22

22

AATr

A. Atunci

AAA

2

7A

223 777A7A7AAA ;

AAA 32

7A

22234 777A7AA7AA

AAA

43

7A

23345 777A7AA7AA

AAA20182017

7A

22017201720182019 777A7AA7AA .

2. Se d matricea

32

43A .S se calculeze A2019.

Rezolvare :22

22

I)1(0A1det;0)3(3)(

)det(Tr(A)AAIA

AATr

A

. Atunci

AIA AAA 223 ; 2

234 AAA IAAA

AIA AAA 245 ; 2

256 AAA IAAA .a.m.d .

Observm c

parnrestenI

imparnrestenAAn

,

,

2

, deci A2019=A.

TEMA 4 1. S se calculeze determinanii :

a)

110

411

321; b)

234

111

322; c)

1694

430

100; d)

009

011

753; e)

567

498

321; f)

769

658

547

666

666

666; g)

111

111

111

; h)

abc

bab

cba

; i)

383238

91216

1086; j)

xzy

yxz

zyx.

2. tiind c este rdcin cubic a unitiiadic 3=1 (31=0(1)( 2++1)=0) s se calculeze determinanii:

a)

2

2

1

1

111; b)

22

21

; c)

2

2

2

1

1

1

; d)

10

11

10

; e)

386

572

94

.

3.Folosind proprietile determinanilor s se calculeze determinanii :

a)

2200

490

321; b)

5344

0711

002

; c)

1632

432

132; d)

174793

14106

753; e)

987

654

321; f)

463

72134

8126

; g)

218

876

612

; h)

ccc

bbb

aaa

21

21

21

; i)

ccc

bbb

aaa

543

432

32.

4.Rezolvai n R ecuaiile :

a)0

00

520

381

2

x

x; b)

0

11

11

11

x

x

x; c)

0

110

432

132

x

x; d)

0

38

246

753

xxx

xxx

xxx; e)

0

130

142

31

xx

xxx

xx.

5.Dacx1+x2+x3=0calculai determinanii :a)

213

132

321

xxx

xxx

xxx; b)

213

132

321

32

32

32

xxx

xxx

xxx; c)

213

132

321

xxx

xxx

xxx

; d)

312

123

231

xxx

xxx

xxx; e)

61

53

112

2113

1332

3221

xxxx

xxxx

xxxx.

6. Se d matricea

25

12A .S se calculeze A2;A19;A20;A201 ; A2019.

7. Se d matricea

105

42B .S se calculeze B2;B19;B20;B201 ; B2019.

8. S se determine produsul rdcinilor ecuaiei0

11

1112

x

mxxm, pentru m=3.

9. Artai c pentru orice numr real x avem :0

51

131

111

153321

321

222

xxx

xxxd.


9/10

Aplicaiiale determinanilor n geometrie

1. Ecuaia unei drepte

Ecuaia dreptei determinat de punctele );();;(BBAA yxByxA este 0

1

1

1

:

BB

AAAB

yx

yx

yx

d

Aplicaie : S se determine ecuaia dreptei care trece prin puncteleA(4,1),B(1,2).

Soluie: 0

121

114

1

:

yx

dABx+8+y12x4y=0x3y+7=0 |(-1)x+3y7=0 , aadar dAB: x+3y7=0

2. Coliniaritatea a trei puncte n plan

Punctele );();;();;(CCBBAA yxCyxByxA sunt trei puncte coliniare daci numai dac 0

1

1

1

CC

BB

AA

yx

yx

yx

Aplicaie: S se verifice dac puncteleA(4,1),B(1,9),C(2,3)sunt puncte coliniare.

Soluie: );();;();;(CCBBAA

yxCyxByxA sunt coliniare 0

1

1

1

CC

BB

AA

yx

yx

yx

132

191

114

=036+3+2+18+1+12=00=0 adevarat.

Aadar, puncteleA,B,Csunt coliniare.

3. Aria unei suprafee triunghiulare

Aria suprafeei triunghiulare (ABC) cu vrfurile );();;();;(CCBBAA yxCyxByxA este dat de formula:

2

||ABCA unde

1

1

1

CC

BB

AA

yx

yx

yx

.

Aplicaie : S se calculeze aria triunghiului determinat de punctele A(1,1);B(3,0);C(2,2).

Soluie : 3

122

103 111

1

11

CC

BB

AA

yx

yx

yx

, deci23

23

2|| ABCA

Aplicaie:Bacalaureat 2009 Varianta 77

1. n reperul cartezian xOy se consider punctele A(2,1); B(1,2) i Cn(n,n) cu n .a. S se scrie ecuaia dreptei C2C4;b.S se arate c oricare ar fi nZ* punctele O,Cn, Cn+1sunt coliniare;

c.S se calculeze aria triungliului ABC 3 .

Rezolvare:

a) C2(2;2) i C4(4;4)

0

144

122

1

0

1

1

1

:

424

2242

yx

yx

yx

yx

d

CC

CCCC2x8+4y +8+4x2y=02x+2y=0 |:2.x+y=0, deci 0:

42yxd CC ;

b) O(0;0); Cn(n;n) i Cn+1(n+1;n1), atunci, punctele O; Cni Cn+1 sunt coliniare

0

1

1

1

11

CnCn

CnCn

OO

yx

yx

yx

0

111

1

100

nn

nn 0

111

1

100

nn

nn 0=0 adevarat O; Cn i Cn+1 sunt coliniare ()nZ*;

c) C3(3; 3) ,23ABCA ,

1

1

1

33 CC

BB

AA

yx

yx

yx

=

133

121

112

= 43+366+1=3, deci23

3ABCA .


10/10

TESTE DE EVALUARE

TESTUL 1

1. S se calculeze determinanii

14

581

. (1p) ;

479

368

257

2 ; (1p)

bac

cabcab111

111(1p).

2. Rezolvai n Recuaiile: 02423 xx (1p) i 0

31

3113

x

xx

(1p)

3. Se dau punctele A(7;2), B(5;3), C(3;4) D(3;1). Se cere:a) S se arate c punctele A, B, C sunt coliniare; (1p)b) S se calculeze aria triunghiului ABD; (1p)c) S se scrie ecuaia dreptei AB; (1p)

4. S se determine m R pentru care punctele A(m,m+2); B(m, 3) ;C(1,3 )sunt coliniare .(1p)

TESTUL 2


78

461

. (1p);

147

258369

2 ; (1p)

cba

abcabc

cba

111

(1p).

2. Rezolvai n Recuaiile: 022

93

x

(1p) i 0

41

41

14

x

x

x

(1p)

3. Se dau punctele A(6;2), B(4;3), C(2;4) D(2;2). Se cere:a) S se arate cpunctele A, B, C sunt coliniare. (1p)b) S se calculeze aria triunghiului BCD. (1p)

c)

S se scrie ecuaia dreptei BD. (1p)4. S se determine m R pentru care punctele A(8;m+5), B(m; 3) ,C(1;1 ) nusunt coliniare. (1p)

TESTUL3


94

251

. (1p) ;

158

369

4710

2 (1p) ;

bac

cabcab111

222(1p).

2. Rezolvai ecuaiile: 0

4)1ln(2

!2ln

x

x(1p) i 0

231

312

123

x

x

x(1p)

3. Se dau punctele A(8;2), B(6;3), C(4;4) D(4;1). Se cere:a) S se arate c punctele A, B, C sunt coliniare. (1p)b) S se calculeze aria triunghiului ACD. (1p)c) S se scrie ecuaia dreptei CD. (1p)

4. S se determine m R pentru care aria triunghiului determinat de punctele A(m;m+3), B(m; 2); C(1;1 ) este egal cu 2. (1p)

Documents

Clasa a Xia Fisa Determinantul Unei Matrice Patratice