Clase 2 Aplicaciones Numéricas en Investigación de Operaciones

Aplicaciones Numéricas en Investigación de Operaciones2

Prof. Gonzalo Müller

gmullerb@mail.com

Postgrado de Investigación de Operaciones

Facultad de Ingeniería

Universidad Central de Venezuela

Clase anterior

� Pautas de curso.� Matlab

� Ambiente de trabajo Matlab� Funciones Matemáticas� Variables

Definición de nombre

Aplicaciones Numéricas en Investigación de Operaciones – Prof. Gonzalo Müller – Clase 2 – GM – 2

� Definición de nombre� Asignación

� Arreglos� acceder a un elemento o submatriz específica

� Operadores Aritméticos� por elemento entre matrices: .*, ./, .^

Clase anteriorClase anterior

� Definición de Funciones

� Encabezado

� Cuerpo

� Variable de Retorno

� Nombre del archivo y de función deben coincidir.

� ; se coloca al final de una instrucción para evitar lapresentación en pantalla del resultado.

Bits y BytesBits y Bytes

El computador solo es capaz de almacenar un conjunto de 0s y 1s.

Bits y Bytes

El computador sólo es capaz de almacenar un conjunto de 0s y 1s.

� Bit: es la localidad de almacenamiento más pequeña.

� Físicamente constituye un elemento biestable queesta encendido o apagado.

esta encendido o apagado.

� Es capaz de almacenar un 1 ó un 0.

Bit Almacena

Apagado 0

Encendido 1

Bits y Bytes

� Aislado sirve de poco por lo que se trabaja enforma conjunta.

Ejemplo: 2 bits puede representar 4 situaciones:

Bit 1 Bit 2 Almacena

Bits y BytesBits y Bytes

Ejemplo: 3 bits puede representar 8 situaciones:

Bit 1 Bit 2 Bit 3 Almacena

Bits y Bytes

� Byte: es un conjunto de 8 bits.

� En los computadores la localidad de menor tamañoes un byte.

LocalidadTamaño: 8 bits

Sistemas de Numeración

� El computador sólo es capaz de almacenar unconjunto de 0s y 1s, por lo tanto si se desea almacenarun valor como 524 es necesario realizar la conversióna 0s y 1s, lo que lleva a utilizar diferentes sistemas denumeración.

� Sistema Binario.

� Sistema numeración Decimal.

� Alfabeto: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

� Cardinalidad del alfabeto: 10

� Cada dígito tiene un valor relativo según la posiciónque ocupa.

que ocupa.

Ejemplo:

8 x 102 + 7 x 101 + 6 x 100 = 876

Posición 2 1 0Digito 8 7 6

� Sistema numeración Binario.

� Alfabeto: 0 1

� Cardinalidad del alfabeto: 2

� Cada dígito tiene un valor relativo según la posiciónque ocupa.

que ocupa.

� Notación : NÚMERO2

Sistemas de NumeraciónSistemas de Numeración

Ejemplo: Obtener la representación decimal de 1012:

Posición 2 1 0Digito 1 0 1

1 x 22 + 0 x 21 + 1 x 20 = 5

� En general, para obtener la representación decimal de un número:

∑−

*Dígitos

kk BaseDígitoNÚMERO

k BaseDígitoNÚMERO

Números

� Representación de los números:

� Punto fijo.

� Punto flotante.

Números

� Punto Fijo.

� Se especifica una cantidad de fija de dígitos antes ydespués del punto decimal.

0 1 2 3 4 5 0 012.345

punto decimal

Números

� Punto flotante: el punto decimal no esta fijo.

punto decimal

Números

� Punto flotante: el punto decimal no esta fijo.

punto decimal

Números

� Se rige según la norma IEEE 754.

� La forma como es almacenado un número realestaba basado en la notación científica:

5.67x1056

5.67→ mantisa

56→ exponente

Números

�Mantisa normalizada

0.1 ≤ Mantisa normalizada < 1

0.567x1057

0.567→ mantisa normalizada

57→ exponente

Números

� Solo sería necesario almacenar:

� Existe un ahorro en memoria:

Números

� En general:

Exponente Mantisa

s n bits m bits

� La Mantisa es un número binario.

� El Exponente es un número entero sin signo.

� La Base es 2, no 10:

(-1)Signo x 1.Mantisa x 2 Exponente – Bias

Números

� Real de 4 bytes, Precisión Sencilla:

� En el exponente se puede almacenar:

Exponente Mantisa

s 8 bits 23 bits

0 … 255 (1 … 254)

� 6 cifras significativas.

� 16777216 puntos en el rango.

(-1)Signo x 1.Mantisa x 2 Exponente – 127

Números

� El mayor número que se puede representar:

1.11111111...12 x 2 127

3.4028234663852886 x 10 38

� En número más pequeño que se puede representar:

1.17549435 x 10 -38

� La separación entre un número y otro:

1.1920929 x 10 -7

Números

� Real de 8 bytes , Precisión Doble:

Exponente Mantisa

s 11 bits 52 bits

� En el exponente se puede almacenar:

0 … 2047(1 … 2046)

� 15 cifras significativas.

� 9007199254740992 puntos en el rango.

(-1)Signo x 1.Mantisa x 2 Exponente – 1023

Números

� El mayor número que se puede representar:

1.11111111...12 x 2 1023

1.7976931348623158 x 10 308

� En número más pequeño que se puede representar:

2.2250738585072014 x 10 -308

� La separación entre un número y otro:

2.2204460492503131 x 10 -16

NúmerosNúmeros

Real de 4 Byte

03.4028234663852886 x 10 38-3.4028234663852886 x 10 38

1.17549435 x 10-38- ∞ ∞

1.1920929 x 10-7

Dos número consecutivos de subconjunto finito

Real de 8 Byte

01.7976931348623158 x 10 308-1.7976931348623158 x 10 308

2.2250738585072014 x 10-308- ∞ ∞

2.2204460492503131 x 10-16

Dos número consecutivos de subconjunto finito

Números

� Un número que no puede ser representado se redondea, esto quiere decir:

0.d d d … d Si 0 ≤ d ≤ 4

0.d1 d2 d3 … dt Si 0 ≤ dt+1 ≤ 4

0.d1 d2 d3 … dt + 10-t Si dt+1 ≥ 5n =

0.d1 d2 d3 … dt Si dt+1 = 0

0.d1 d2 d3 … dt + 2-t Si dt+1 = 1n =

NúmerosNúmeros

n = 0.d1 d2 d3 … dt dt+1 dt+2 dt+3 dt+4 dt+5

información perdida

1.234567

1.234568

Son iguales

1.23457

Limitaciones computacionales

� El conjunto de número que se puede representar en el computador es finito.

� Esto ocasiona problemas:

� Al ingresar los datos de entrada.

� Al representar resultados intermedios resultados

� Al representar resultados intermedios resultadosde las operaciones matemáticas.

� Aunque los datos de entrada pertenezcan alconjunto de números, el resultado de las operacionespuede no pertenecer.

Limitaciones computacionalesLimitaciones computacionales

Ejemplo:

a = 7.35e+210

b = 9.01e+201

c = a*b

who lista las variables definidas

Ejemplo:

a = 7.35e+210

b = 9.01e+201

c = a*b Overflow Error: Número más grande de lo que puede ser representado

who lista las variables definidas

representado

Ejemplo:

a = 7.35e-210

b = 9.01e-201

c = a*b

whos lista las variables definidas, sus tipos y sus tamaños

Ejemplo:

a = 7.35e-210

b = 9.01e-201

c = a*b Underflow Error: Número más pequeño de lo que puede ser representado

whos lista las variables definidas, sus tipos y sus tamaños

representado

Ejemplo:

c = 0.5 – 0.1 – 0.1 - 0.1 – 0.1 – 0.1

Ejemplo:

c = 0.5 – 0.1 – 0.1 - 0.1 – 0.1 – 0.1

Debería ser 0!

Ejemplo:

c = 0.5 – 0.1 – 0.1 - 0.1 – 0.1 – 0.1

Debería ser 0!

La representación binaria de 0.1

0.000110011001100110011001100110011...

Requiere un número infinito de dígitos por lo tanto el computador trabaja con un aproximación de 0.1.

Errores

� Establecer la certeza de los resultados obtenidos.

� Básicamente dos factores afectan ésta certeza:

� errores de redondeo

� errores de aproximación.

Errores

� Errores de redondeo:

� Debido a la representación de valores con elconjunto finito de números que maneja elcomputador.

� Omnipresente

� Siempre existirá una incertidumbre en el últimodigito decimal obtenido

Errores

� Errores de truncamiento:

� Error obtenido como resultado de la discretizaciónde un problema real.

� Método que obtiene soluciones aproximadas per separa un problema real.

para un problema real.

� Esta diferencia entre la solución aproximada y la realse conoce como error de truncamiento.

Ejemplo: el calculo de una integral definida.

� No se debe confundir con el truncamiento que seproduce en el redondeo.

Errores

� Estos errores se propagan a medida que se realizan operaciones

� Errores pequeños al comienzo se propagan y seconvierte errores muy grandes a medida que serealizan operaciones

realizan operaciones

error error error ...

Errores

� Recomendación:

� Utilizar la precisión adecuada que garantice lacantidad de dígitos que requiere el problema.

� De igual manera se debe tener cuidado al presentarlos resultados colocar la cantidad adecuada de

los resultados colocar la cantidad adecuada dedecimales, ya que se pueden establecer conclusioneserradas.

Inevitablemente siempre habrá un error presente

sin importar cuantas precauciones se tomen

Errores

� En líneas generales siempre :

� Se expresará un resultado con una precisión igual omenor a la menor de las precisiones de los númerosutilizados.

� Sin la precisión obtenida en el resultado es menorque la precisión de los números utilizados elresultado es exacto.

#.# Exacto!

Números en Matlab

� Matlab representa los números de las 2 maneras:

� Punto Fijo.

� Punto Flotante.

Para construir una constante en punto flotante:

9.88426x10-45→ 9.88426E-45 ó 9.88426e-45

MENM: Punto Fijo

N: Entero con o sin signo

Números en Matlab

� Mantisa:

� 0 ≤ M < 10

� Contiene p dígitos conoce precisión.

� Exponente:

� min ≤ N ≤ max

Números en Matlab

� Generalmente Matlab presenta la información con 7 cifras significativas, punto fijo:

� 3 dígitos antes del punto decimal.

� 4 dígitos después del punto decimal.

###.####

� En caso de que se superen los 3 dígitos lo presenta con punto flotante con:

� 4 dígitos después del punto decimal.

#.####e###

Números en Matlab

� Se puede llamar a la función format para cambiar la presentación de la información

format tipo

short 3 y 4

long 3 y 14

short e 1 y 4 + exponente

long e 1 y 14 + exponente

bank * y 2

+ +, – y 0

Gráficas

� Matlab permite graficar curvas y superficies en 2D y 3D.

Las principales funciones para graficar son:

� plot

� plot3

� surf

� mesh

Gráficas de Líneas

� plot: Realiza graficas de curvas en 2D.

Se puede emplear de diferentes maneras:

plot(Y)

produce un gráfico de líneas tal que:

x índice del elemento de Y

y elemento de Y

Gráficas de LíneasGráficas de Líneas

plot(X,Y)

produce un gráfico de líneas tal que:

x elemento de X

y elemento de Y

plot(X1,Y1, X2, Y2,..., XN, YN)

produce N gráficos de líneas en una misma imagen tal que:

x elemento de X1

y elemento de Y1

x elemento de XN

y elemento de YN

plot3(X1,Y1,Z1,..., XN, YN, ZN)

produce N gráficos de líneas 3D en una misma imagen tal que:

x elemento de X1

y elemento de Y1

z elemento de Z1

x elemento de XN

y elemento de YN

z elemento de ZN

� Es posible establecer colores y estilos diferentes a los por defecto.

� Luego de cada curva se indica el estilo y color.

plot(X1,Y1,‘estilocolor1’,

...,XN,YN,‘estilocolorN’)

� Estilo y color es una combinación de:

color+estilo+marcador

� colores, estilos y marcadores:color estilo marcador

mangenta

amarillo

blanco

Gráficas 3D

� En graficas 3D, la superficie se levanta sobre una malla de puntos en plano X-Y:

Gráficas 3D

� meshgrid: define la malla de puntos.

� Dados el rango de X y de Y en 2 vectores

� Construye dos matrices, una con filas iguales para Xy otra con columnas iguales para Y que define lamalla.

malla.[XS,YS] = meshgrid(X, Y)

Gráficas 3D

� meshgrid: define la malla de puntos.

� Dados el rango de X y de Y en 2 vectores

� Construye dos matrices, una con filas iguales para Xy otra con columnas iguales para Y que define lamalla.

malla.[XS,YS] = meshgrid(X, Y)

Gráficas 3D

� mesh: Realiza graficas 3D como una malla de líneas que definen la superficie.

mesh(X,Y,Z)

� surf: Realiza graficas 3D como una malla de cuadriláteros coloreados que definen la superficie.

surf(X,Y,Z)

Gráficas

� En general para graficar en 2D y en 3D, es necesario:

1. Definir el dominio de la función

� Se define el vector (2D) o las matrices (3D) con losvalores del domino en orden.

Gráficas

2. Definir el rango de la función

� Se define un vector (2D) o matriz (3D) con losvalores del rango en orden.

� Cada elemento del vector de dominio tendrá sucorrespondencia en el vector o matriz de rango.

Gráficas

� Se define un vector (2D) o matriz (3D) con losvalores del rango en orden.

� Cada elemento del vector de dominio tendrá sucorrespondencia en el vector o matriz de rango.

3. Graficar utilizando la función adecuada.

GráficasGráficas

Ejemplo: Realizar grafica 2D.

1. Definir el vector de valores de x.X = –3:0.5:3

2. Definir el vector de valores de y.

-3 -2 -1 0 1 2 3-1

Y = sin(X)

3. Graficar.

plot(X, Y)

clf limpia la ventana de gráfica

GráficasGráficas

1. Definir el vector de valores de x.X = –3:0.5:3

-3 -2 -1 0 1 2 3-1

Y = sin(X)

Y1 = cos(X)

3. Graficar.plot(X, Y, X, Y1)

plot permite colocar más de una gráfica

GráficasGráficas

1. Definir las matrices de la malla.x = –3:0.5:3

y = –3:0.25:3

[X,Y] = meshgrid(x, y)

2. Definir el vector de valores de z.Z = sen(X) + cos(Y)

3. Graficar.

mesh(X,Y,Z)

GráficasGráficas

1. Definir las matrices de la malla.

[X,Y] = meshgrid(–3:0.5:3, –3:0.25:3)

2. Definir el vector de valores de z.

Z = sen(X) + cos(Y)

3. Graficar.

surf(X,Y,Z)

clc limpia la ventana de comandos

Ajustando la Gráfica

� axis: ajusta los ejes a un rango dado

axis([xmin xmax ymin ymax]) Ajusta eje en 2Daxis([xmin xmax ymin ymax

zmin zmax])Ajusta eje en 3D

axis auto Auto ajusta

� grid: muestra u oculta malla.

grid on/off

axis auto Auto ajustaaxis equal Marcas de ejes igualesaxis square Ejes del mismo tamaño

Documentando la Gráfica

� xlabel: coloca un titulo en el eje x

xlabel(‘titulo’)

� ylabel: coloca un titulo en el eje y

ylabel(‘titulo’)

� zlabel: coloca un titulo en el eje z

zlabel(‘titulo’)

� title: coloca el titulo principal de la gráfica

title(‘titulo’)

� legend: agrega una leyenda a la gráfica

legend(‘leyenda1’, ..., ‘leyendaN’)

Construir la siguiente gráfica en Matlab:

1/x-sen(x)*xy 3=

Tramo 1

Tramo 2

Tramo 3

La función text permite agregar un texto ala gráfica en un posición especifica X, Y

Tramo 1

Tramo 4

La trayectoria de una partícula en el espacio estadescrita por las siguientes ecuaciones:

y = t * cos(t)y = t * cos(t)

z = e0.2t

construir una gráfica en Matlab de la trayectoriadescrita por la partícula hasta un tiempo de 4π

22 y+x=z

2 222 22 yx)/yxsen(z ++=

Gráficas

� scatter: gráfica de conjunto de puntos en el plano X-Y.

scatter(X,Y)

� hist: histograma.

hist(Y,N)

N: tamaño del grupo

� stem: gráfica de errores.

stem(X,Y)

X: posición X

Y: tamaño del error

Gráficas

� stairs: gráfica de errores continua.

stairs(X,Y)

X: posición X

Y: tamaño del error

� bar, barh: gráfica de barras.

bar(X,Y)

X: posición X

Y: alto de la barra

Gráficas

� pie: gráfica de torta.

pie(X)

X: datos

� scatter3: gráfica de conjunto de puntos en el plano X-Y-Z.

scatter3(X,Y,Z)

� pie3: gráfica de torta.

pie(X)

X: datos

Gráficas Múltiples

� Matlab permite presentar múltiples gráficas en una misma imagen, esto se logra con el comando subplot.

� subplot: divide la imagen en una matriz de imágenes independientes y establece cual es la subventana activa

subplot(m,n,a)

m: cantidad de filas.

n: cantidad de columnas.

a: número de la subventana activa.

1 ≤ a ≤ m*n

1 2 ... n

n+1 n+2 ... ...

... ... ... m*n

� Uso de subplot:

1. Se selecciona la subventana a utilizar:subplot(m,n,a1)

� Uso de subplot:

2. Se realizan todas las operaciones gráficas de esa subventana.

subventana....

� Uso de subplot:

subventana....

3. Se selecciona la siguiente subventanasubplot(m,n,a2)

� Uso de subplot:

subventana....

� Uso de subplot:

subventana....

... ...

� Uso de subplot:

Subventana1

subventana....

... ...

� Uso de subplot:

subventana....

... ...

Subventana2

� Uso de subplot:

subventana....

... ...

más Subventanas

La trayectoria de una partícula en el espacio estadescrita por las siguientes ecuaciones:

y = t * cos(t)y = t * cos(t)

z = e0.2t

Construir una gráfica en Matlab de la trayectoriadescrita por la partícula hasta un tiempo de 4π , en elespacio, en el plano x, en el plano y en el plano z.

Gráficas de una función

� fplot: gráfica una función dada en un rango específico.fplot(funcion,rango)

funcion: función a graficar

� Texto con la función o funciones separadas por

� Texto con la función o funciones separadas porcomas

‘[funcion1(x), funcion2(x), …]’

rango: vector con lo limites del intervalo de x a graficar.

[xmin xmax]

Debe ser x Debe ser x

Gráficas de una funciónGráficas de una función

Ejemplo:

X = [-3 3];

fplot(‘sin(x)’, X);

fplot(‘[sin(x), cos(x)]’, X);

Apuntador a una función

� Matlab ofrece otro tipo de dato:

function_handle

Contiene toda la información para encontrar yejecutar una función.

� Su principal utilidad es pasar como parámetros

� Su principal utilidad es pasar como parámetrosfunciones.

� Un function_handle consiste del carácter arrobaseguido del nombre de la función (Sólo el nombre):

@funcion

Apuntador a una funciónApuntador a una función

Ejemplo:

fplot también recibe un function_handle comoparámetro para la función.

X = [-3 3];

fplot(@sin, X);

Construir una función en Matlab para evaluar:

y = x3*sen(x) – 1/x

� Utilizar la función fplot con un function_handlepara graficar la función en para valores de x entre0.5 y 5.

Resumen

� Bits y Bytes

� Sistemas de Numeración

� Sistema Binario de Numeración

� Números:

� Punto Fijo.

� Punto flotante

� Precisión Sencilla

� Precisión Doble

� Redondeo

Resumen

� Limitaciones computacionales

� Overflow Error

� Underflow Error

� Errores

� de redondeo

� de truncamiento(discretización de un problema real)

� Números en Matlab

Resumen

� Gráficas de Línea: plot, plot3

� Gráficas 3D: surf, mesh, meshgrid

� Ajustando la gráfica: axis, grid.

� Documentando la gráfica: *label, title, legend.

� Otras gráficas: scatter, hist, stem, stairs, bar, pie, scatter3

� Gráficas Múltiples: subplot

� Gráfica de una función: fplot

� Apuntador a función: function_handle

Clase 2 Aplicaciones Numéricas en Investigación de Operaciones

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