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Comparación de dos poblaciones
Estadística para administradores
Comparando dos poblaciones
•Frecuentemente el investigador está interesado en comparar dos poblaciones:
•El material A es más resistente que el B•El descenso de peso con la dieta A es menor que con la B•El porcentaje de hombres que cruzan en rojo es mayor al de mujeres•Los ingresos familiares de la ciudad A son más variables que los de la B
21 xx 21 xx 2 µ
21 xx 21 xx 2 µ
21 xx 21 xx 2 p
21 xx 21 xx 2
Comparando dos poblaciones
•Para llevar a cabo esta comparación, el investigador necesita muestrear
•Las muestras pueden ser:•dependientes•independientes
Ejemplo
• Un investigador cree que los fumadores tienden a fumar más durante los períodos de stress.
• Para comprobarlo debe elegir entre dos metodologías:– Encuestar a un grupo de fumadores en condiciones
normales y a otro grupo de fumadores bajo stress
– Encuestar a un grupo de fumadores en condiciones normales y al mismo grupo cuando está bajo stress
Ejemplo
• Interroga a cada individuo con respecto a la cantidad de cigarrillos diarios fumados
m. indep m. dep
Sin stress Con stress Individuo Sin stress Con stress15 20 1 15 2045 31 2 45 3150 50 3 50 5016 30 4 16 3056 72 5 56 72
Muestras dependientes o pareadas
• Cada observación en una muestra está directamente relacionada con otra observación en la otra muestra
• Cada individuo es observado dos veces• Las dos muestras difieren solo en el factor
que interesa comparar• Las dos muestras deben ser del mismo
tamaño
Muestras independientes
• Cada observación en una muestra no está relacionada con ninguna observación en la otra muestra
• Cada individuo es observado una vez• Las dos muestras pueden difieren en varios
factores, no solo en el que interesa comparar• Las dos muestras no necesariamente son del
mismo tamaño
Muestras dependientes vs independientes
• Se desea determinar si los sueldos percibidos por gerentes mujeres son inferiores a los de hombres en el mismo puesto.
• Se debe elegir entre dos comerciales de galletitas para niños. A un grupo de niños panelistas se les exhiben los dos comerciales y deben asignarle un puntaje a cada uno
Comparando dos promedios
¿los sueldos percibidos por gerentes mujeres son inferiores a los de hombres en el mismo puesto?
•Ho:
•H1:
Una muestra aleatoria de tamaño n1 extraída de la población 1 con media µ1 y desvío std 1
Una muestra aleatoria de tamaño n2 extraída la población 2 con media µ2 y desvío std 2
Comparando dos promedios con muestras independientes
•Comparamos dos promedios haciendo inferencia sobre -, la diferencia entre los dos promedios poblacionales.
•Si los dos promedios poblaciones son iguales, entonces 1-= 0.•El mejor estimador de 1-es la diferencia entre los dos promedios muestrales,
21 xx 21 xx
DistribuciDistribucióónn muestralmuestralde de
21 xx
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.SE as
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.SE is ofdeviation standard The 2.
means. population the
in difference the, is ofmean The 1.
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21
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n
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nnxx
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La media de la diferencia entrees
las medias poblacionales
El desvío estándar (ES) de es
Si la población original sigue una distribución normal o si el tamaño de las muestras es lo suficientemente grande,
sigue una distribución normal
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2121
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µµxxZ
21 xx
Comparando dos promedios con muestras independientes
Sueldo de los gerentes (miles de $)
Hombres Mujeres
Tamaño de la muestra 35 27
Promedio muestral 3.5 2.6
Desvío std poblacional 1.3 1.8
Comparando dos promedios con conocidos
•Ho:•H1:
•CR:
Comparando las varianzas o desvíos estándar de dos poblaciones
¿Las dos máquinas dispensadoras son igualmente variables?
•Ho:•H1:
•CR:
DistribuciDistribucióónn muestralmuestralde sde s22
11/s/s2222
.SE as
estimated becan SE and normal,ely approximat is of
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.SE is ofdeviation standard The 2.
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n
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1. El cociente s21/s2
2 estima el cociente 21/ 2
2
2. Si las poblaciones originales siguen una distribuciónnormal, el cociente …. Seguirá una distribución conocidacomo F de Fisher-Snedecor con n1 y n2 grados de libertad
Comparando dos promedios con muestras independientes y desvíos
poblacionales desconocidos• Para poder comparar los promedios es necesario
determinar si las varianzas de las dos poblaciones son iguales o no.
• Por ello deben compararse previamente las varianzas de las dos poblaciones (Prueba F)
• Si las varianzas no difieren se calcula una varianza amalgamada s2
a “promediando” las varianzas de las dos muestras
2
11S
21
2221
212
a
nn
nSnS
Comparando dos promedios con muestras independientes y desvíos
poblacionales desconocidos
• Si se concluye que las poblaciones poseen varianzas iguales se calcula una varianza amalgamada s2
a “promediando” las varianzas de las dos muestras
• Si se concluye que las poblaciones poseen varianzas distintas no es correcto amalgamar las varianzas muestrales
2
11S
21
2221
212
a
nn
nSnS
Comparación de dos promedios con desvíos poblacionales desconocidos y supuestamente
iguales
221
21
2121
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muestral tt
nnS
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Comparación de dos promedios con desvíos poblacionales desconocidos y supuestamente
distintos
2
2
2
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1
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2
22
1
21
2
22
1
21
2121
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nS
nS
nS
nS
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nS
nS
µµxxt GLcritmuestral
Comparando dos proporciones•En ciertos casos estamos interesados en comparar la proporción de “éxito” en dos poblaciones independientes.
•La proporción de semillas que germinan siendo tratadas o no con un funguicida.•El porcentaje de hombres y de mujeres que votan a determinado candidato.
•Para efectuar esta comparación se requiere
Una muestra aleatoria de tamaño n1 extraída de la población 1 con parámetro p1
Una muestra aleatoria de tamaño n2 extraída de la población 2 con parámetro p2
Comparando dos proporciones
•Comparamos las dos proporciones haciendo inferencia sobre p-p, la diferencia entre las dos proporciones poblacionales.
•Si las dos proporciones poblacionales son iguales, entonces p1-p= 0.•El mejor estimador de p1-pes la diferencia entre las dos proporciones muestrales,
2
2
1
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Copyright ©2003 Brooks/ColeA division of Thomson Learning, Inc.
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qp
n
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pp
n
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qppp
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La media de es la diferencia entre
las proporciones poblacionales
El desvío estándar (ES) de es
donde
3. Si el tamaño de las muestras es lo suficientemente grande,
sigue una distribución normal
21
2121
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ppppZ muestral
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DistribuciDistribucióónn muestralmuestralde de 21 ˆˆ pp
Ejemplo¿Es efectiva la aspirina?
• Se registró la presencia de infartos (incidencia) durante 5 años:
Grupo Infarto No infarto n Incidencia
Placebo 239 10795 11034 0.0217
Aspirina 139 10898 11037 0.0126
Ejemplo• Ho:• H1:
• CR:
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