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Pedro Arteaga Cezón
Sesión 3. Conociendo los elementos geométricos básicos
Bibliografía
Segovia, I y Rico, L. (2011). Matemáticas para maestros de Educación Primaria. Madrid: Ediciones Pirámide.
Coriat, M. (2010). Educación matemática infantil. Departamento de didáctica de las matemáticas. Universidad de Granada.
Chamorro, M.C. (2006). Didáctica de las matemáticas para la educación infantil. Madrid. Pearson educación
Bibliografía
Clemens, S., O´Dafeer, P. y Cooney, T. (1989). Geometría con aplicaciones y solución de problemas. Wilmington. Addison-Wesley Iberoamericana, S.A.
Alsina, A. (2004). Cómo desarrollar el pensamiento matemático de 0 a 6 años. Ediciones Octaedro.
Aguilar, B., Ciudad, A., Láinez, M.C. y Tobaruela, A. (2010). Construir, jugar y compartir: Un enfoque constructivista de las matemáticas en la Educación Infantil. Jaén. Enfoques educativos S.L.
REAL DECRETO 1630/2006, de 29 de diciembre, por el que se establecen las enseñanzas mínimas del segundo ciclo de Educación infantil.
Área de conocimiento y experiencia: Conocimiento del entorno
Bloque 1. Medio físico: Elementos, relaciones y medida
Contenidos relacionados con “la geometría”:
“Situación de sí mismo y de los objetos en el espacio. Posiciones relativas. Realización de desplazamientos orientados. Identificación de formas planas y tridimensionales en elementos del entorno. Exploración de algunos cuerpos geométricos elementales”
REAL DECRETO 1630/2006, de 29 de diciembre, por el que se establecen las enseñanzas mínimas del segundo ciclo de Educación infantil.
Criterios de evaluación
“Se tendrá en cuenta, asimismo, el manejo de las nociones básicas espaciales (arriba, abajo; dentro, fuera; cerca, lejos…)” (p. 479)
“Discriminar objetos y elementos del entorno inmediato y actuar sobre ellos. Agrupar, clasificar y ordenar elementos y colecciones según semejanzas y diferencias ostensibles” (p.479)
Introducción: Espacio y Geometría
La Geometría estudia ciertas propiedades del espacio y elementos inmersos en él
La Geometría está presente en múltiples ámbitos de la vida cotidiana: producción industrial, arquitectura, topografía, etc…
La Geometría es un componente esencial en el arte y en el aula de infantil puede trabajarse a la vez que creatividad plástica
La Geometría está presente en la naturaleza
Introducción: Espacio y Geometría
Introducción: Orígenes de la Geometría
Libro “Historia de la matemática” de Carl B. Boyer
Orígenes difusos (no hay documentos de la época prehistórica): En el Neolítico hay dibujos y diseños que muestran interés por relaciones espaciales. Alfarería muestran dibujos con simetrías
Herodoto sostenía que se había originado en Egipto a partir de la necesidad de poner límites a las tierras después de la inundación anual del río Nilo
Geométras egipcios se les llamaba “tensadores de cuerdas”
Introducción: Orígenes de la Geometría
Libro “Historia de la matemática” de Carl B. Boyer
Papiro Ahmes (copiado por Ahmes en 1650 a.C.)
Es el papiro más
extenso de los que
contienen información
matemática de la
época con 30 cm de
alto y unos 6 metros de
largo
Introducción: Orígenes de la Geometría
Libro “Historia de la matemática” de Carl B. Boyer
Papiro Ahmes (copiado por Ahmes en 1650 a.C.)
Área de un triángulo isósceles y trapecio isósceles transformándolos en rectángulos
Introducción: Orígenes de la Geometría
Libro “Historia de la matemática” de Carl B. Boyer
Papiro Ahmes (copiado por Ahmes en 1650 a.C.)
Área de un triángulo isósceles y trapecio isósceles transformándolos en rectángulos
Introducción: Orígenes de la Geometría
Libro “Historia de la matemática” de Carl B. Boyer
Papiro Ahmes (copiado por Ahmes en 1650 a.C.)
Área de un triángulo isósceles y trapecio isósceles transformándolos en rectángulos
b
h
Introducción: Orígenes de la Geometría
Libro “Historia de la matemática” de Carl B. Boyer
Papiro Ahmes (copiado por Ahmes en 1650 a.C.)
Área de un triángulo isósceles y trapecio isósceles transformándolos en rectángulos
Introducción: Orígenes de la Geometría
Libro “Historia de la matemática” de Carl B. Boyer
Papiro Ahmes (copiado por Ahmes en 1650 a.C.)
Área de un triángulo isósceles y trapecio isósceles transformándolos en rectángulos
Introducción: Orígenes de la Geometría
Libro “Historia de la matemática” de Carl B. Boyer
Papiro Ahmes (copiado por Ahmes en 1650 a.C.)
Área de un triángulo isósceles y trapecio isósceles transformándolos en rectángulos
A(Triángulo) = A(Rectángulo) =
(1/2*b)*h
¿Área trapecio
isósceles?
ELEMENTOS GEOMÉTRICOS BÁSICOS: RECORDATORIO
Elementos geométricos básicos
Geometría: Rama de la matemática que se ocupa del estudio
detallado de las figuras geométricas y sus características, en el plano y en el espacio.
¿Cuáles son las componentes elementales de las figuras geométricas? ¿Elementos básicos/fundamentales de la Geometría?
Punto Recta Plano
¿Ejemplos de la vida real que asociemos con estos elementos?
Elementos geométricos básicos: punto Punto, recta y plano, son los elementos fundamentales de la
Geometría ya que no se definen a partir de otros elementos
PUNTO
Idea o abstracción, no tiene dimensiones (longitud, anchura…)
Se utiliza para dar una posición en el espacio
Se representa por medio de una marca lo más pequeña que se pueda dibujar
Se nombran con letras mayúsculas al lado de las marcas
¿Objetos que sugieren que sugieren la idea de punto?
A
X
B
Elementos geométricos básicos: punto
Estrellas:
constelaciones
Objetos que sugieren la idea de punto:
http://www.allthesky.com/constellations/zodiac.html
Elementos geométricos básicos: recta
RECTA
Una recta también es una abstracción, tiene longitud ilimitada, no tiene grosor y no tiene extremos, continua
Se considera que dos puntos determinan una única recta
Tres o más puntos pueden determinar una o varias rectas
Una recta tiene infinitos puntos
Se nombran con consonantes minúsculas
A
B
Elementos geométricos básicos: recta
RECTA
Una recta también es una abstracción, tiene longitud ilimitada, no tiene grosor y no tiene extremos, continua
Se considera que dos puntos determinan una única recta
Tres o más puntos pueden determinar una o varias rectas
Una recta tiene infinitos puntos
Se nombran con consonantes minúsculas
A
B
r
Elementos geométricos básicos: recta
RECTA
En ocasiones para representar una recta utilizamos flechas que nos indican que son ilimitadas
¿Objetos que sugieren la idea de recta?
A
B
r
Elementos geométricos básicos: recta ¿Objetos que sugieren la idea de recta?
Línea del Horizonte
Elementos geométricos básicos: plano PLANO
Idea o abstracción, es ilimitado y continuo. Tiene dos dimensiones
Representamos los planos mediante superficies como la que se muestra en el figura
Un plano está formado por infinitos puntos
Tres puntos no colineales determinan un plano , por lo tanto una recta y un punto exterior a ella determinan un plano
¿Objetos reales que evocan planos?
α
A
B
C
Relaciones entre objetos geométricos
Intersección de dos rectas
Rectas paralelas son rectas que están en el mismo plano y no se corta n
r
s
V
Modelo
físico
r
s Modelo
físico
GEOMETRÍA PLANA
Líneas curvas y rectas
Una línea es un conjunto infinito de puntos en plano o espacio
Línea recta
Línea curva
Actividad propuesta Alsina, A. (2004). Cómo
desarrollar el pensamiento matemático de 0 a 6 años. Ediciones Octaedro.
Concepto de línea:
Hacer líneas en una bandeja con serrín, arena, serpentinas, plastilina, etc..
Hacer filas como un tren, regar con un botijo, caminar sobre una cuerda, etc (relacionado con psicomotricidad)
Actividades gráficas (dibujar en un papel, laberintos,etc)
Línea recta y línea curva:
Caminar hacia alguien, estirar trozos de lana,
Actividad (3-4 años)
Distintos materiales (regadera, tiza, …) dejar rastros que otros tendrán que seguir. Distinguir entre líneas rectas y curvas.
Figuras y cuerpos geométricos básicos
POLIGONALES
Dos segmentos son consecutivos cuando tienen un extremo común
Una línea poligonal es un conjunto finito ordenado de segmentos consecutivos. Los vértices de una línea poligonal son los distintos extremos de los segmentos que la componen
A
B
C
A
B
C
D
E
F
Figuras y cuerpos geométricos básicos
POLIGONALES
¿Se trata o no de líneas poligonales?
Figuras y cuerpos geométricos básicos
POLIGONALES
¿Se trata o no de líneas poligonales?
SI
SI
SI
SI SI
SI
SI
SI
Figuras y cuerpos geométricos básicos
TIPOS DE POLIGONALES
¿Clasificar las siguientes poligonales?
SI
SI
SI
SI SI
SI
SI
SI
Figuras y cuerpos geométricos básicos
TIPOS DE POLIGONALES
¿Clasificar las siguientes poligonales?
Líneas
poligonales
cerradas y
simples
Líneas
poligonales
cerradas y
no simples
Líneas
poligonales
abierta y
no simple
Líneas
poligonales
abierta y simple
Polígonos simples
Un polígono simple es la región del plano delimitada por una línea poligonal cerrada y simple
Polígonos simples: Elementos
Elementos de un polígono
• Vértices del polígono • Lados • Ángulos interiores
Clasificación polígonos simples
Los polígonos simples se pueden clasificar por:
Número de lados: triángulo, cuadrilátero, etc…
Longitud de los lados: Regulares, No regulares.
Fijándonos en los ángulos interiores: Mayores de 180º o menores de 180º (convexos, cóncavos)
Polígonos simples: clasificados por número de lados
Número de lados del polígono Nombre del polígono
3 Triángulo
4 Cuadrilátero
5 Pentágono
6 Hexágono
7 Heptágono
8 Octógono
9 Nonágono
10 Decágono
11 Eneágono
12 Dodecágono
Clasificados por longitud de los lados: Polígonos regulares y no regulares
POLÍGONOS REGULARES: polígonos que tienen todos sus lados iguales y todos sus ángulos interiores iguales
¿Cuadrilátero regular? ¿Triángulo regular?
Polígonos regulares y no regulares
POLÍGONOS REGULARES: polígonos que tienen todos sus lados iguales y todos sus ángulos interiores iguales
¿Cuadrilátero regular? ¿Triángulo regular?
CUADRADADO
TRIÁNGULO
EQUILÁTERO
POLÍGONOS IRREGULARES: no cumplen las anteriores condiciones
Clasificados por ángulos interiores: Polígono Convexo
Polígono convexo: Dados cualquier P y Q puntos contenidos en la figura, el segmento que los une también está contenido en la figura
Los ángulos interiores son menores de 180º
Polígono cóncavo: El que no es convexo, es decir podemos encontrar dos puntos P y Q del polígono tal que el segmento que los une no esté contenido en el polígono
Clasificados por ángulos interiores: Polígono Convexo
Polígono convexo: Dados cualquier P y Q puntos contenidos en la figura, el segmento que los une también está contenido en la figura
Los ángulos interiores son menores de 180º
Polígono cóncavo: El que no es convexo, es decir podemos encontrar dos puntos P y Q del polígono tal que el segmento que los une no esté contenido en el polígono Tiene algún ángulo interior mayor de 180º
P
Q
P
Q
Convexo Convexo
Polígonos simples: TRIÁNGULOS
Triángulo: Polígono simple ¿Clasificación de los triángulos?
3 rectas que
se cortan
Polígonos simples: Cuadriláteros
Clasificación de cuadriláteros CONVEXOS
Clasificación cuadriláteros convexos
¿Cuáles de estos cuadriláteros son convexos?
¿Cómo clasificar estos cuadriláteros convexos?
C
Buscar características comunes que cumplan determinadas de estas figuras
A
B
C D
E
F
G H
¿Cómo clasificar estos cuadriláteros convexos?
C
A
B
C D
E
F
G H
Clase 1: tienen los lados
paralelos dos a dos
Clase 2: Tienen dos lados
paralelos
Clase 3: Ninguno de sus
lados es paralelo
Clase 1 Clase 2
Clase 3
Clasificación de cuadriláteros convexos
Cuadriláteros convexos
Paralelogramos Trapecios Trapezoides
Rectángulo
Rombo
Romboide
Cuadrado
Clasifica los siguientes cuadriláteros
Circunferencia: región del plano que equidista de un punto fijo llamado centro
Círculo: conjunto de todos los puntos del plano que se encuentran comprendidos en una circunferencia
Circunferencia y Círculo
Práctica del Tangram
El tangram chino es un material manipulativo que puede utilizarse en el aula de Infantil, que promueve las siguientes habilidades relacionadas con las matemáticas:
Orientación espacial
Reconocimiento formas geométricas
Coordinación visomotora
Razonamiento lógico espacial, etc…
Componer y descomponer figuras
Curiosidades:
http://www.superjocs.com/super-juegos/juego/tangram-animal/
http://www.youtube.com/watch?v=7wWQWUWHr5U
http://www.youtube.com/watch?v=OInI2tbUe7s
http://redescolar.ilce.edu.mx/redescolar/act_permanentes/mate/imagina/mate3z.htm
http://www.youtube.com/watch?v=6f8Y2knmvqo
Trabajo en el aula de Educación Infantil
Aprender matemáticas es construir matemáticas (Luisa Ruiz Higueras, 2005)
Muy importante el uso de contexto de la vida real en el trabajo con matemáticas
Trabajo en el aula de Educación Infantil
Hipótesis fundamentales sobre las que se apoya esta teoría:
1. El aprendizaje se apoya en la acción, pero no sólo entendida como manipulación
2. La adquisición, organización e integración de los conocimientos del alumno pasa por estados transitorios de equilibrio y desequilibrio, en el curso de los cuales los conocimientos anteriores se ponen en duda
3. Se conoce en contra de conocimientos anteriores
4. Los conflictos cognitivos entre miembros de un mismo grupo social pueden facilitar la adquisición de conocimientos
Trabajar formas geométricas en E. Infantil
Identificar:
Propiedades geométricas de formas en una dimensión (línea recta y curva, cerrada y abierta, continua y discontinua)
Trabajar formas geométricas en E. Infantil
Identificar:
Propiedades geométricas de formas en dos dimensiones (lados rectos o curvados, número de lados, número de vértices, superficie curva, etc…)
Ejemplos disponibles en Internet
Taller de Geometría de Mequé Edo
Exposición de arte Ángel Alsina Adaptaciones
Jugar con cojines
MOVIMIENTOS EN EL PLANO Y TESELACIONES
Movimientos rígidos en el plano
Traslación : Una traslación es el movimiento rígido en el que todos los puntos del plano se mueven en la misma dirección y la misma distancia.
A´ A
Movimientos rígidos en el plano
El giro o rotación es otro de los movimientos rígidos básicos. Consiste en girar todos los puntos del plano alrededor de un punto fijo (centro del giro) un cierto ángulo que será el ángulo de giro.
http://nlvm.usu.edu/en/nav/frames_asid_207_g_1_t_3.html?open=activities&from=category_g_1_t_3.html
Movimientos rígidos en el plano
Simetría axial: La
simetría o reflexión sobre un espejo es el movimiento rígido del plano que se produce fijando una recta r del plano y hallando para cada punto P otro punto P’ de tal manera que la recta r es mediatriz del segmento PP’. Esto quiere decir que r es perpendicular a PP’ y que pasa por el punto medio del segmento PP’.
http://nlvm.usu.edu/en/nav/frames_asid_206_g_1_t_3.html?open=activities&fro
m=category_g_1_t_3.html
Eje de
simetría
Imagen en
un espejo
Actividad Simetría
Mediante doblado de papel y un sólo corte recto con tijeras obtén las figuras siguientes:
Figuras simétricas
¿Cuáles de estos dibujos tienen eje de simetría? ¿Cuál es dicho eje?
En cuales de los siguientes dibujos la línea dibujada no es un eje de simetría
Figuras simétricas en la naturaleza
Movimientos rígidos en el plano
Recursos on-line: Tess
SIMETRÍA ROTACIÓN
TRANSLACIÓN
Rosetones, Frisos y Mosaicos
Los rosetones, frisos y mosaicos constituyen la principal manifestación de simetría, tanto en la naturaleza como en la obra humana
Rosetones
Se gira una figura en torno a un punto O un determinado ángulo α=360º/n donde n indica las veces que se repite la figura mínima que giro
Rosetones, Frisos y Mosaicos
Frisos
Los frisos o cenefas son bandas ornamentales que se obtienen mediante repetición de una figura base a lo largo de una franja rectangular (traslación)
Teselaciones
Con frecuencia en el diseño se emplea un concepto geométrico llamado teselado
Teselado es un conjunto de polígonos dispuestos de manera que no se sobreponen unos a otros ni quedan separaciones entre ellos por lo que permiten cubrir el plano
Teselaciones
Más ejemplos de teselaciones
Mosaicos de la
Alhambra
Teselaciones o Mosaicos
Mosaicos/ Teselaciones
Un mosaico o teselado plano es un cubrimiento de una superficie plana mediante repetición de algún motivo inicial en el que no existen huecos ni solapamientos
Teselaciones o Mosaicos
Página web dónde trabajar teselaciones: http://nlvm.usu.edu/en/nav/frames_asid_163_g_1_t_3.html?open=activities&
from=category_g_1_t_3.html
Teselaciones o Mosaicos
Composición de movimientos
Ejercicios con el Polydron
1. Realiza una serie primeramente utilizando únicamente el criterio del color, otra que tenga en cuenta sólo la forma y por último otra que tenga en cuenta tanto color como forma . Ejemplo:
Ejercicios con el Polydron
1. ¿Con qué polígonos regulares es posible hacer una teselación del plano? Utilizar el polydron para realizar teselaciones.
2. Inventa teselaciones utilizando dos o más polígonos regulares distintos
3. ¿Alguna actividad para el aula de infantial a realizar con el Polydron?
GEOMETRÍA EN EL ESPACIO
Poliedros
Algunos tipos
de poliedros
Poliedros regulares Pirámides
Primas
Poliedros regulares con Polydron
Poliedros regulares convexos
(realizados grupo E de Educación
Infantil curso 2011-12)
Poliedros regulares convexos
CUBO
Las caras son cuadrados En cada vértice el número de caras que inciden son 3 Tiene seis caras (hexaedro regular)
Poliedros regulares convexos
Tetraedro regular
Las caras son triángulos equiláteros En cada vértice el número de caras que inciden son 3 Tiene cuatro caras
Poliedros regulares convexos
Octaedro regular
Las caras son triángulos equiláteros En cada vértice el número de caras que inciden son 4 Tiene ocho caras
Polígonos regulares convexos
Icosaedro regular
Las caras son triángulos equiláteros En cada vértice el número de caras que inciden son 5 Tiene 20 caras
Poliedros regulares convexos
Dodecaedro regular
Las caras son pentágonos regulares En cada vértice el número de caras que inciden son 3 Tiene 12 caras
Prismas y Pirámides regulares
Prisma: Poliedro limitado por dos polígonos regulares congruentes situados en planos paralelos y que se unen por rectángulos
Prisma pentagonal
Pirámide: Tienen una cara que es un polígono regular (base) y el resto de caras son triángulos equiláteros o isósceles iguales que tienen un vértice en común llamado vértice de la pirámide Pirámide pentagonal
Prismas y Pirámides regulares
Sólidos de revolución simples
Cuerpo de revolución: cuerpo que se obtiene al hacer girar una figura plana alrededor de un eje ¿Ejes de giro y figuras que hay que hacer girar para obtener cilindro, esfera y cono?
Cilindro
Esfera
Cono
86
radio
eje
gir
o
altu
ra
EJE GIRO
GENERATRIZ
RADIO
BASE
Sólidos de revolución simples: Cono
Se obtiene al hacer girar un triángulo rectángulo sobre uno de sus catetos
Poliedros regulares convexos: Desarrollos planos
Desarrollo plano del cubo
Ejercicios con el
Polydron
35 hexaminós
¿Cuáles de
ellos son
desarrollos
planos del
cubo?
Trabajar formas geométricas en E. Infantil
Objetos tridimensionales:
Psicomotricidad: cilindros grandes, pelotas, colchones, etc…
Comparar superficies planas y curvas
Tumbarse encima de los distintos materiales: ¿cómo se queda tu cuerpo?
¿Ruedan? ¿No ruedan?
MATERIALES Y RECURSOS
Geoplano
Construye todos los triángulos posibles en un geoplano cuadrado ¿Algún tipo puedes no representarlo?
Geoplanos virtuales:
http://nlvm.usu.edu/es/nav/frames_asid_279_g_4_t_3.html?open=activities
Papiroflexia
Polydron
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