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POLITECNICO DI MILANO _____________________. Controllo GMV (Generalized Minimun Variance). Identificazione dei Modelli e Analisi dei Dati Prof. S. Bittanti. Controllo GMV (Generalized Minimun Variance). J = E[(P(z)y(t + k) + Q(z)u(t) - y º(t))²]. Esempi e teoria : - PowerPoint PPT Presentation
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Controllo GMV(Generalized Minimun Variance)
Identificazione dei Modelli e Analisi dei Dati
Prof. S. Bittanti
POLITECNICO DI MILANO_____________________
Controllo GMV(Generalized Minimun Variance)
Esempi e teoria: Progetto a modello di riferimento (Q(z) =
0) Progetto a controllo penalizzato (P(z) = 1)
J = E[(P(z)y(t + k) + Q(z)u(t) - yº(t))²]
Prof. S. Bittanti
Controllo GMV(Generalized Minimun Variance)
Identificazione dei Modelli e Analisi dei Dati
Prof. S. Bittanti
ESEMPI
POLITECNICO DI MILANO_____________________
Controllo GMV 4
Contenuti Esempio 1
(sistema a sfasamento minimo)
Analisi del sistema da controllare Progetto a modello di riferimento Progetto a controllo penalizzato
Controllo GMV 5
Contenuti Esempio 2
(sistema a sfasamento non minimo) Analisi del sistema da controllare Progetto a controllo penalizzato
Controllo GMV 6
Contenuti Esempio 3
(sistema complesso a sfasamento non minimo)
Analisi del sistema da controllare Progetto a controllo penalizzato
Controllo GMV(Generalized Minimun Variance)
Identificazione dei Modelli e Analisi dei Dati
Prof. S. Bittanti
ESEMPIO 1
POLITECNICO DI MILANO_____________________
Controllo GMV 8
Esempio 1: Sistema da controllare
equazione nel dominio del tempo: y(t) = 0,8y(t – 1) +
+ u(t – 2) + 1,28u(t – 3) + 0,81u(t – 4) + e(t) + 0,6e(t – 1)
e∼WN(0,2)>>> Modello ARMAX (1,1,4)
rappresentazione operatoriale:A(z)y(t) = B(z)u(t-k) + C(z)e(t)
conA(z) = 1 – 0,8z⁻¹B(z) = 1 + 1,28z⁻¹ + 0,81z⁻² k = 2C(z) = 1 + 0,6z⁻¹
Controllo GMV 9
Caratteristiche del sistema Guadagno:
B(1) / A(1) = 15,45 Zeri di A(z): poli del sistema
z = 0,8 Zeri di B(z):
z = -0,64 ± 0.63i Zeri di C(z):
z = -0,6
Controllo GMV 10
Posizione delle singolarità nel piano complesso
A(z) x
B(z) •
C(z) ∎
Controllo GMV 11
Simulazione in a.a.:risposta a gradino Andamento dell’uscita y(t) con 2 = 0
Controllo GMV 12
Progetto a modello di riferimento Sistema da controllare:
A(z)y(t) = B(z)u(t-k) + C(z)e(t) e∼WN(0,2)
Caratteristiche del sistema di controllo Q(z) = 0 P(z) a scelta del progettista
Cifra di merito J = E[ (P(z)y(t+k) - y°(t))²]
Controllo GMV 13
Progetto a modello di riferimento Polinomi del controllore
F(z) = F˜(z) G(z) = PD(z)B(z)E(z) H(z) = C(z)PD(z)
E(z) e F˜(z) dalla eq. Diofantea PN(z)C(z) = PD(z)A(z)E(z) + z-kF˜(z)
(lunga divisione di PNC per PDA per k passi)
Controllo GMV 14
Scelta del modello di riferimento M(z) = (Sistema con n poli in e guadagno 1)
Risposta a gradino Tempo di assestamento al 90% (la tabella indica il numero di passi necessari perché
il sistema con fdt è M(z) raggiunga il 90% della risposta a scalino, in funzione di e di n)
(1 - )ⁿ(1 - z⁻¹)ⁿ
Controllo GMV 15
Scelta del modello di riferimento
n = 1 n = 2 n = 30.1 1 2 20.2 2 3 30.3 2 3 40.4 3 4 50.5 4 6 70.6 5 8 100.7 7 11 140.8 11 17 23
0.85 15 28 320.9 22 37 50
0.95 45 76 1310.99 230 387 500
Controllo GMV 16
Scelta del modello di riferimento Modello di riferimento: sistema del
secondo ordine, con guadagno unitario e con 2 poli coincidenti (n = 2)
M(z) =
Tempo di assestamento al 90% Scelta: = 0.4 ⇒ sono necessari 4 passi per raggiungere la
soglia del 90%
(1 - )²(1 - z⁻¹)²
Controllo GMV 17
Determinazione di P(z) Il modello di riferimento è quindi:
M(z) =
P(z) = M(z)⁻¹
P(z) = 2.78 – 2.22z⁻¹ + 0.44z⁻²
(1 - 0.4)²(1 – 0.4z⁻¹)²
Controllo GMV 18
Calcolo dei polinomi del controllore Effettuare 2 passi della lunga divisione
E(z) = 1 + 2,68z⁻¹ + 2,60z⁻² +1,13z⁻³ F˜(z) = 1,12
Si ottengono così: F(z) = 0,44 + 0,27z⁻¹ G(z) = 2,77 + 5,22z⁻¹ + 4,38z⁻² + 1,35z⁻³ H(z) = 1 + 0,6z⁻¹
Controllo GMV 19
Schema a blocchi del sistema di controllo
H(z)
F(z)
1 / G(z) 1 / A(z)z⁻ B(z)
C(z)
yº(t) + u(t)
e(t)
y(t)
- +
+
C
S
k
Polinomio caratteristico (z) = B(z)C(z)PN(z)
Controllo GMV 20
Simulazione in a.c.:risposta a gradino Andamento dell’uscita y(t) con 2 = 0
Controllo GMV 21
Simulazione in a.c.:risposta a gradino
Andamento dell’ingresso u(t) con 2 = 0
Funz. Trasfer. da yo a u:
P(z)A(z)/B(z)
Controllo GMV 22
Progetto a controllo penalizzato Sistema da controllare:
A(z)y(t) = B(z)u(t-k) + C(z)e(t) e∼WN(0,2) 2 = 0
Caratteristiche del sistema di controllo P(z) = 1 Q(z) a scelta del progettista
Cifra di merito J = E[(y(t + k) + Q(z)u(t) - yº(t))²]
Controllo GMV 23
Progetto a controllo penalizzato Polinomi del controllore
F(z) = F˜(z)QD(z) G(z) = B(z)QD(z)E(z) + C(z)QN(z) H(z) = C(z)QD(z)
E(z) e F˜(z) dalla eq. Diofantea C(z) = A(z)E(z) + z-kF˜(z)
(lunga divisione di C per A per k passi)
Controllo GMV 24
Progetto a controllo penalizzato Funzione di trasferimento da y° a y
S(z) =
Polinomio caratteristico (z) = C(z)(B(z)QD(z) + A(z)QN(z))
z⁻
1 + Q(z)A(z)B(z)
k
Controllo GMV 25
Progetto a controllo penalizzato Polinomio caratteristico
(z) = C(z)(B(z)QD(z) + A(z)QN(z)) Poli del sistema di controllo
Poli fissi: zeri di C(z) Poli mobili: zeri di B(z)QD(z) +
A(z)QN(z) La stabilità del sistema di controllo
dipende dai poli mobili
Controllo GMV 26
Scelta di Q(z) Scelte tipiche di Q(z) sono:
Q(z) = costante
Q(z) = (1 - z⁻¹)
Q(z) = 1 - z⁻¹1 – z⁻¹
Controllo GMV 27
Scelta di Q(z)
Scelta: Q(z) =
Poli mobili: B(z) + A(z) = 0 = 0 : zeri di B(z) → ∞ : zeri di A(z)
Controllo GMV 28
Andamento dei poli mobili Luogo delle radici di B(z) + A(z)
= 0 ≃ 8,57
→ ∞
Controllo GMV 29
Simulazione in a.c.:risposta a gradino ( = 1) Andamento dell’uscita y(t) con 2 = 0
Controllo GMV 30
Simulazione in a.c.:risposta a gradino ( = 1) Andamento dell’ingresso u(t) con 2
= 0
Controllo GMV 31
Simulazione in a.c.:risposta a gradino ( = 8,57) Andamento dell’uscita y(t) con 2 = 0
Controllo GMV 32
Simulazione in a.c.:risposta a gradino ( = 8,57) Andamento dell’ingresso u(t) con 2
= 0
Controllo GMV 33
Guadagno del sistema di controllo
S(1) =
≠ 0 ⇒ errore a transitorio esaurito
non nullo
1
1 + A(1)B(1)
Controllo GMV 34
Scelta di Q(z)
Scelta: Q(z) = (1 - z⁻¹)
Poli mobili: B(z) + (1 - z⁻¹)A(z) = 0 = 0 : zeri di B(z) → ∞ : zeri di (1 - z⁻¹)A(z)
Controllo GMV 35
Andamento dei poli mobili
Luogo delle radici di B(z) + (1 - z⁻¹)A(z)
= 0 → ∞
Controllo GMV 36
Guadagno del sistema di controllo
S(z) =
valutato per z = 1 vale 1 In questo caso è garantito un
guadagno unitario per il sistema di controllo
1
1 + (1 - z⁻¹)
A(z)B(z)
Controllo GMV 37
Simulazione in a.c.:risposta a gradino ( = 1) Andamento dell’uscita y(t) con 2 = 0
Controllo GMV 38
Simulazione in a.c.:risposta a gradino ( = 1) Andamento dell’ingresso u(t) con 2
= 0
Controllo GMV 39
Simulazione in a.c.:risposta a gradino ( = 50) Andamento dell’uscita y(t) con 2 = 0
Controllo GMV 40
Simulazione in a.c.:risposta a gradino ( = 50) Andamento dell’ingresso u(t) con 2
= 0
Controllo GMV 41
Scelta di Q(z)
Scelta: Q(z) = (1 - z⁻¹) / (1 – 0.9z⁻¹)
Poli mobili: = 0 : zeri di (1 – 0.9z⁻¹)B(z) → ∞ : zeri di (1 - z⁻¹)A(z)
Controllo GMV 42
Andamento dei poli mobili
Luogo delle radici di (1 – 0.9z⁻¹)B(z) + (1 - z⁻¹)A(z)
→ ∞
= 0
Controllo GMV 43
Simulazione in a.c.:risposta a gradino ( = 1) Andamento dell’uscita y(t) con 2 = 0
Controllo GMV 44
Simulazione in a.c.:risposta a gradino ( = 1) Andamento dell’ingresso u(t) con 2
= 0
Controllo GMV 45
Simulazione in a.c.:risposta a gradino ( = 7,3) Andamento dell’uscita y(t) con 2 = 0
Controllo GMV 46
Simulazione in a.c.:risposta a gradino ( = 7,3) Andamento dell’ingresso u(t) con 2
= 0
Controllo GMV 47
Scelta di Q(z)
Scelta: Q(z) = (1 - z⁻¹) / (1 – 0.8z⁻¹)
Poli mobili: = 0 : zeri di (1 – 0.8z⁻¹)B(z) → ∞ : zeri di (1 - z⁻¹)A(z)
Controllo GMV 48
Andamento dei poli mobili
Luogo delle radici di (1 – 0.8z⁻¹)B(z) + (1 - z⁻¹)A(z)
= 0
→ ∞
Controllo GMV 49
Simulazione in a.c.:risposta a gradino ( = 6,1) Andamento dell’uscita y(t) con 2 = 0
Controllo GMV 50
Simulazione in a.c.:risposta a gradino ( = 6,1) Andamento dell’ingresso u(t) con 2
= 0
Controllo GMV 51
Simulazione in a.c.:risposta a gradino ( = 6,1) Andamento dell’uscita y(t) con 2=
10-4
Controllo GMV 52
Simulazione in a.c.:risposta a gradino ( = 6,1) Andamento dell’ingresso u(t) con 2=
10-4
Controllo GMV(Generalized Minimun Variance)
Identificazione dei Modelli e Analisi dei Dati
Prof. S. Bittanti
ESEMPIO 2
POLITECNICO DI MILANO_____________________
Controllo GMV 54
Esempio 2:sistema a sfasamento non minimo Modello ARMAX (1,2,3)
A(z) = 1 - 0,5z⁻² B(z) = 1 – 2z⁻¹ + 2z⁻² + z⁻³ k =
1 C(z) = 1 – 1,4z⁻¹ + 0,7z⁻²(rappresentazione operatoriale): A(z)y(t) = B(z)u(t-k) + C(z)e(t)
Controllo GMV 55
Caratteristiche del sistema Guadagno
B(1) / A(1) = 4 Zeri di A(z): poli del sistema
z = 0,71 z = -0,71
Zeri di B(z): z = -0,35 z = 1,18 ± 1,20i
Zeri di C(z): z = 0,70 ± 0,46i
Controllo GMV 56
Posizione delle singolarità nel piano complesso
A(z) x
B(z) •
C(z) ∎
Controllo GMV 57
Simulazione in a.a.:risposta a gradino Andamento dell’uscita y(t) con 2 = 0
Controllo GMV 58
Scelta di Q(z)
Scelta: Q(z) = (1 - z⁻¹) / (1 – 0,5z⁻¹)
Poli mobili: = 0 : zeri di (1 – 0.5z⁻¹)B(z) → ∞ : zeri di (1 - z⁻¹)A(z)
Controllo GMV 59
Andamento dei poli mobili Luogo delle radici di (1 – 0.5z⁻¹)B(z) + (1 -
z⁻¹)A(z)
→ ∞
Controllo GMV 60
Simulazione in a.c.:risposta a gradino ( = 1,5) Andamento dell’uscita y(t) con 2 = 0
Controllo GMV 61
Simulazione in a.c.:risposta a gradino ( = 1,5) Andamento dell’ingresso u(t) con 2
= 0
Controllo GMV 62
Simulazione in a.c.:risposta a gradino ( = 2,1) Andamento dell’uscita y(t) con 2 = 0
Controllo GMV 63
Simulazione in a.c.:risposta a gradino ( = 2,1) Andamento dell’ingresso u(t) con 2
= 0
Controllo GMV 64
Simulazione in a.c.:risposta a gradino ( = 19) Andamento dell’uscita y(t) con 2 = 0
Controllo GMV 65
Simulazione in a.c.:risposta a gradino ( = 19) Andamento dell’ingresso u(t) con 2
= 0
Controllo GMV 66
Simulazione in a.c.:risposta a gradino ( = 19) Andamento dell’uscita y(t) con 2=
10-4
Controllo GMV 67
Simulazione in a.c.:risposta a gradino ( = 19) Andamento dell’ingresso u(t) con 2=
10-4
Controllo GMV(Generalized Minimun Variance)
Identificazione dei Modelli e Analisi dei Dati
Prof. S. Bittanti
ESEMPIO 3
POLITECNICO DI MILANO_____________________
Controllo GMV 69
Esempio 3:sistema complesso a sfasamento non minimo L’esempio viene costruito a partire
dalle singolarità desiderate dei polinomi A(z) B(z) C(z)
Si impone sfasamento non minimo (zeri esterni alla regione di stabilità) e comportamento oscillante (poli con parte reale negativa vicini al bordo della regione di stabilità)
Controllo GMV 70
Singolarità Zeri di A(z): poli del sistema
z = - 0,95 ± 0,1i z = -0,5 ± 0,6i
Zeri di B(z): z = 1 ± i z = 0,2 ± 0,6i
Zeri di C(z): z = -0,7
Controllo GMV 71
Modello ARMAX Modello ARMAX (4,1,4)
A(z) = 1 + 2,9z⁻¹ + 3,422z-2 + 2,072z-3 + 0,557z-4
B(z) = 1 – 2,4z-1 + 3,2z-2 – 1,6z-3 + 0,8z-4
C(z) = 1 + 0,7z⁻¹ ritardo ingresso/uscita: k = 1
Equazione nel dominio del tempo y(t) = -2,9y(t-1) - 3,422y(t-2) - 2,072y(t-3) - 0,557y(t-4) +
+ u(t-1) - 2,4u(t-2) + 3,2u(t-3) - 1,6u(t-4) + 0,8u(t-5) ++ e(t) + 0,7e(t-1)
e∼WN(0,2) 2 = 0
Controllo GMV 72
Posizione delle singolarità nel piano complesso
A(z) x
B(z) •
C(z) ∎
Controllo GMV 73
Simulazione in a.a.:risposta a gradino
Andamento dell’uscita y(t) con 2=0
Controllo GMV 74
Scelta di Q(z)
Scelta: Q(z) = (1 - z⁻¹)/(1 + 0,3z-1)
Poli mobili: = 0 : zeri di (1 + 0,3z-1)B(z) → ∞ : zeri di (1 - z⁻¹)A(z)
Controllo GMV 75
Andamento dei poli mobili Luogo delle radici di (1 + 0,3z-1)B(z) + (1 - z⁻¹)A(z)
→ ∞
= 0
Controllo GMV 76
Simulazione in a.c.:risposta a gradino ( = 30) Andamento dell’uscita y(t) con 2 = 0
Controllo GMV 77
Simulazione in a.c.:risposta a gradino ( = 30) Andamento dell’ingresso u(t) con 2
= 0
Controllo GMV(Generalized Minimun Variance)
Identificazione dei Modelli e Analisi dei Dati
Prof. S. Bittanti
POLITECNICO DI MILANO_____________________
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