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Círculos de M e N constante
Escrevendo T(jω) como: T(jω) = M(ω) ejΦ(ω)
T(s) = _______
1+G(s)
G(s) T(jω) =
_______
1+G(jω)
G(jω)
E G(jω) como: G(jω) = a(ω) + b(ω)j
Temos: M(ω) ejΦ(ω) = _____________
1+ a(ω) + b(ω)j
a(ω) + b(ω)j
Omitindo ω da notação: M ejΦ = ________
1+ a + bj
a + bj
Elevando ao quadrado:
M = ________
1+ a + bj
a + bj ____________
(1+a)2 + b2
= a2 + b2
M2 = _____________
1+2a +a2 + b2
a2 + b2
a2 + b2 = M2+2aM2 +M2a2 + M2b2
(1- M2)a2 + (1- M2)b2 -2aM2 = M2
Matemágica: dividindo por (1- M2) e somando ____
1-M2
M2
( ) 2
a2 + b2 - + = +
____
1-M2
M2
____
1-M2
2aM2
____
1-M2
M2
( ) 2
____
1-M2
M2
( ) 2
( )
a2 + b2 - + = +
____
1-M2
M2
____
1-M2
2aM2
____
1-M2
M2
( ) 2
____
1-M2
M2
( ) 2
a - + b2 = + ________
(1-M2)2
(1-M2)M2
______
(1-M2)2
M4
____
1-M2
M2
( ) 2
a - + b2 = ____
1-M2
M2
( ) 2
____
1-M2
M
2
Para um determinado valor de M, esta é a equação de uma
circunferência de raio M/(1-M)2 e centro em (M2/(1-M2), 0) no
plano complexo.
(a - ca)2 + (b - cb)2 = r2
Para cada valor de M temos uma circunferência diferente.
Φ = - = atan - atan 1+ a + bj
a + bj
1+
__
a
b
a2 + b2 + a = b/N
Somando 1/22 + (1/2N)2 para completar os quadrados:
a + + b - =
___
2N
1
__
2
1
( ) ( )
2 _____
4N2
N2+1
2
____
1+a
b
tan(Φ) =
__
a
b
____
1+a
b
______
a(1+a)
b2
-
____________
= ________
a2+b2+a
b
= N
a2 + a + 1/22 + b2 - b/N + (1/2N)2 = 1/22 + (1/2N)2
Uma circunferência para cada valor de N, ou de Φ.
Carta de Nichols
Diagrama de Nichols-Black
No diagrama polar as curvas de M e de N constante
são simples circunferências; o problema reside no
fato de alterações no ganho de G(s) se refletirem de
maneira complicada em G(jω).
Usando o diagrama de módulo em dB versus fase,
alterações no ganho de G(s) se refletem em uma
simples translação de G(jω) no eixo vertical.
As curvas de M e de N constante no entanto deixam
de ser circunferências.
A carta de Nichols, ou diagrama de
Nichols-Black nada mais é do que os
círculos de M e N constante desenhados
no diagrama de |G(jω)| em dB versus
G(jω) ao invés de no diagrama polar.
Nela podemos traçar a resposta em
frequência de G(s) e obter a resposta em
frequência de T(s).
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