Cuadratura gaussiana-deducción

INTEGRACIÓN NUMÉRICA CON PUNTOS DE BASE EQUIDISTANTE

Diana Lizbeth Buenfil LeónJessica Sharlin Landeros Juárez

Ricardo José Lara CastellanosNayla Berenice Muñoz Euan

Daniela Pérez Yáñez

CUADRATURA DE GAUSSIntroducción

Cuadratura de gauss con dos puntos

CUADRATURA GAUSSIANA

Los siguientes gráficos muestran como se integra usando el trapezoide uniendo el punto A de coordenadas (a,f(a)) con el punto B de coordenadas (b,f(b)) con h=(b-a)

Deducción de la técnica Gaussiana

Consideremos la figura a seguir donde se desea encontrar la integral de la función mostrada entre los limites -1 y 1 si los limites fueran diferentes se hace un cambio de variable con la finalidad de pasar a -1 y +1 , los puntos C y D se seleccionan sobre la curva y se forma el trapezoide , E,F, G y H .

“Polinomios de Legendre”

Es un conjunto {P0(x), P1(x),...,Pn (x),... } que tienen las siguientes propiedades:

Debemos decir que todos estos polinomios tienen raíces distintas y se encuentran en el intervalo [-1,1] y se ubican simétricamente con respecto al origen y lo mas importante son los nodos que se utilizan para resolver nuestro problema.

Debemos tener en cuenta los nodos que son necesarios para generar una formula de integración numérica que sea exacta en los polinomios de grado menor o igual a 2n-1 son las raíces del polinomio de Legendre de grado n. En donde los coeficientes apropiados para evaluar las funciones en cada nodo son dado de la siguiente manera:

Para la comodidad debemos decir que tanto las raíces de los polinomios de Legendre como los coeficientes se encuentran

tabulados. 

EJEMPLO

Instrumentación computacional de la Cuadratura de Gauss

Instrumentación computacional de la cuadratura de

Gauss.

function s= cgauss(f, a, b) t1= -(b-a)/2*1/sqrt(3)+(b+a)/2; t2= (b-a)/2*1/sqrt(3)+(b+a)/2; s = (b-a)/2*(f(t1)+f(t2));

Para mejorar la precisión de esta fórmula se la puede aplicar mas de una vez dividiendo el intervalo de integración en sub-intervalos.

Ejemplo: use la función cgauss para calcular

>> syms x>> f=x*exp (x)>> s=cgauss (inline(f),1,2) s = 7.3832

Ejemplo: aplique dos veces la cuadratura de Gauss en el ejemplo anterior.

En cada sub-intervalo se le aplica la fórmula de la Cuadratura de Gauss:>> syms x>> f= x*exp (x);>> s= cgauss(inline(f),1,1.5)+ cgauss(inline(f),1,1.5,2) s = 7.3886 Se puede dividir el intervalo en

más sub-intervalos para obtener mayor precisión.

Instrumentación extendida de la Cuadratura de Gauss

function t=cgaussm(f, a, b, m)

h=(b-a)/m;

t=0;

x=a;

for i=1:m

a=x+(i-1)*h;

b=x+i*h;

s=cgauss(f,a,b);

t=t+s;

end

m es la cantidad de sub-intervalos

Ejemplo: aplicar sucesivamente la Cuadratura de Gauss incrementando el número de sub-intervalos, hasta que la respuesta tenga 4 decimales exactos.

>> syms x

>> f=x*exp (x);

>> s=cgaussm (inline(f), 1,2,1)

s=

7.3833

>> s=cgaussm(inline(f), 1,2,2)

s=

7.3887

>> s=cgaussm(inline(f), 1,2,3)

s=

7.3890

>> s=cgaussm(inline(f), 1,2,4)

s=

7.3890

En el último calculo se han usado 4 sub-intervalos. El valor obtenido tiene 4 decimales fijos. Para obtener fórmulas de cuadratura de Gauss con más puntos no es practico usar el método de coeficiente indeterminados.

Bibliografía

http://es.slideshare.net/KikePrieto1/an-23-integracionnumericasegundaparte#