UNIVERSIDAD PEDAGÓGICA NACIONALFRANCISCO MORAZÁN

CNC-383 FÍSICA MODERNA II

DENSIDAD DE PROBABILIDAD

Presentado por: Kenia Auristela Martínez María Lourdes Monzón

Catedrático: Armando Euceda, Ph.D.

Julio del 2008

2

FUNCIÓN GAUSSIANA

Kenia Martínez y Lourdes Monzón

34.1%

34.1%

Campana de Gauss ó una Gaussiana

Ψ(x)

x

Ψ(x)=

13.6 % 13.6%

3

Considere la distribución Gaussiana normalizada

donde A, a y λ son constantes.

Debemos saber ¿Qué significa ρ(x)?

ψ(x): función de onda (estado) Ψ*(x): complejo conjugado de ψ(x)

Por definición ρ(x) = ψ*(x) ψ(x) = ψ(x) ²

Kenia Martínez y Lourdes Monzón

4

1.- Encuentre el valor de A

Sabemos que

Entonces tenemos

Kenia Martínez y Lourdes Monzón

5

Ahora calculamos la integral:

Recordemos que :

haciendo u = x – a , du = dx

Por lo tanto

Kenia Martínez y Lourdes Monzón

ver normalización de la función

6

2.- Encontrar el valor esperado de x ², es decir ‹x²›

Por definición el “Valor esperado de x2 es

Por lo tanto

Haciendo cambio de variable u= (x – a) du = dx sea x= (u+a) por lo tanto x2 = ( u +a )2 = u2 +2au

+a2

Cuando x es+∞, u también es + ∞ y cuando x es –∞u también es – ∞

dxxxx )(22

Kenia Martínez y Lourdes Monzón

7

Por lo tanto al sustituir tenemos que:

Separando las integrales tenemos:

Tomando la primera Integral :

se resuelve utilizando el truco de Feynman

Kenia Martínez y Lourdes Monzón

solución del truco de Feynman

8

Tomando la segunda integral es una función impar por lo tanto su integral es

cero.

Sabemos que la solución de la integral:

siendo a constante es:

Además conocemos el valor de

Kenia Martínez y Lourdes Monzón

ver normalización de la función

9

Por lo tanto al resolver la integral aplicamos loAnterior:

0

Continuando con la solución de nuestra integral

Kenia Martínez y Lourdes Monzón

10

Sustituyendo los valores de las integrales que conocemos tenemos:

Por lo que el valor esperado para esta distribución

es:

Kenia Martínez y Lourdes Monzón

11

GRACIAS

UNIVERSIDAD PEDAGÓGICA NACIONAL FRANCISCO MORAZÁN

SOLUCIÓN DE LA INTEGRAL APLICANDO EL TRUCO DE FEYNMAN Presentado por : Kenia Auristela Martínez M.

María Lourdes Monzón.

Física Moderna II

Catedrático: Armando Euceda Ph. D.

Agosto del 2008

Para poder resolver la integral de la forma:

Sabemos la solución de la integral

Se aplica el truco de Feynman, agregando a ambos lados

de la integral el siguiente operador:

dxe x2

udeu u

22

dxe x2

Resolvemos encontrando la derivada parcial en el lado derecho de la ecuación

2

11

2

1

2

3

2

12

dxe x

Al encontrar el diferencial en el lado derecho de la expresión obtenemos:

2

3

1

2

32

32

12

dxe x

2

1

Por lo tanto la solución de la integral es:

2122

dxex x

GRACIAS

Presentado por : Kenia Auristela Martínez

María Lourdes Monzón

Física Moderna II

Catedrático: Armando Euceda Ph. D

Agosto del 2008

NORMALIZACIÓN DE UNA

FUNCIÓN GAUSSIANA

Kenia Martínez20

Dada la función Gaussiana

1.- Normalizar la función

2.- Encontrar el valor de A Para esto debemos saber que:

1)(2dxx

2

)( xAex

2

)()(* xAexx

Kenia Martínez21

222)()(* xeAxx

2222 xeA

1222 dxeA x

22 12

Adxe x

Kenia Martínez22

Tomando una función genéricaDonde

Consideramos dos integrales

,

Luego

2

dxeI x2

1

dyeI y2

2

dxdyeIII yx )(21

2 22

Kenia Martínez23

Hacemos la conversión a coordenadasPolares

diferencial de área

cosrx rseny

-2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 x

-2

-1.5

-1

-0.5

0.5

1

1.5

y

O

s

dsdr

rdθθ

222 yxr

r

s

rs

rdds

drdsda

rdrdda

Kenia Martínez24

Para resolver la integral

Sea

Luego:

0

2

0

)(2 222

rdrdedxdyeI ryx

ru rdrdu 2r

dudr

2

0

2

0

2

2

r

durdeI u

0

2

0 2

dud

eu

Kenia Martínez25

0

2

0

2

2

1

dudeI u

2

0 02

1dued u

Como 2ru Entonces integramos hacia -

∞

020

2

2

1 ueI

0022

1ee

122

12

I

I

Como 22

I

Kenia Martínez26

Luego

Al sustituir

Entonces

La función queda normalizada

2

2

dxe x

22 1

2

2

Adxe x

2

2

12 A 4

1

2

A

24

1

2)( xex

1)(

2

dxx

¡¡MUCHAS GRACIAS!!

Kenia Martínez27