Curso de Métodos Numéricos. Sistemas de ecuaciones no...

Preview:

Click to see full reader

Citation preview

Curso de M etodos Num ericos.Sistemas de ecuaciones no lineales

Curso : Metodos Numericos en Ingenierıa

Profesor : Dr. Jose A. Otero Hernandez

Universidad : ITESM CEM

Fecha : Jueves, 24 de septiembre de 2014

INTRODUCCION METODO DE ITERACION DE PUNTO FIJO METODO DE NEWTON-RAPHSON

TOPICOS

1 INTRODUCCIONSistema de ecuaciones no lineales

2 METODO DE ITERACION DE PUNTO FIJOPresentacion del metodoPrograma MATLABCondicion de convergencia

3 METODO DE NEWTON-RAPHSONPresentacion del metodoPrograma MATLAB

INTRODUCCION METODO DE ITERACION DE PUNTO FIJO METODO DE NEWTON-RAPHSON

Topicos

1 INTRODUCCIONSistema de ecuaciones no lineales

2 METODO DE ITERACION DE PUNTO FIJOPresentacion del metodoPrograma MATLABCondicion de convergencia

3 METODO DE NEWTON-RAPHSONPresentacion del metodoPrograma MATLAB

INTRODUCCION METODO DE ITERACION DE PUNTO FIJO METODO DE NEWTON-RAPHSON

Sistema de ecuaciones no lineales

¿Que es un sistema de ecuaciones no lineales?

f1(x1, x2, ..., xn) = 0,f2(x1, x2, ..., xn) = 0,

...fn(x1, x2, ..., xn) = 0.

¿Que es un sistema de ecuaciones no lineales?

xi, i = 1, 2, . . . , n→ Incognitas

fi, i = 1, 2, . . . , n→ Funciones no lineales con respecto xi

Ejemplos

u(x, y) = x2 + x y − 10 = 0v(x, y) = y + 3x y2 − 57 = 0

INTRODUCCION METODO DE ITERACION DE PUNTO FIJO METODO DE NEWTON-RAPHSON

Sistema de ecuaciones no lineales

Soluci onSi xs = [xs

1, xs2, ..., x

sn], es la solucion del sistema de

ecuaciones

Entonces: fi(xs) = 0, para i = 1, 2, . . . , n

Soluci on exactaLos sistemas de ecuaciones no lineales no tienen solucionexacta o analıtica.

Soluciones numericas son necesarias

INTRODUCCION METODO DE ITERACION DE PUNTO FIJO METODO DE NEWTON-RAPHSON

Topicos

1 INTRODUCCIONSistema de ecuaciones no lineales

2 METODO DE ITERACION DE PUNTO FIJOPresentacion del metodoPrograma MATLABCondicion de convergencia

3 METODO DE NEWTON-RAPHSONPresentacion del metodoPrograma MATLAB

INTRODUCCION METODO DE ITERACION DE PUNTO FIJO METODO DE NEWTON-RAPHSON

Presentaci on del m etodo

Metodos de iteraci on de punto fijo

El metodo de iteracion de punto fijo estudiado anteriormentepuede modificarse para resolver un sistema de ecuaciones nolineales simultaneas.

INTRODUCCION METODO DE ITERACION DE PUNTO FIJO METODO DE NEWTON-RAPHSON

Presentaci on del m etodo

Ejemplos I

Busquemos la solucion del sistema de ecuaciones no lineales:

u(x, y) = x2 + x y − 10 = 0v(x, y) = y + 3x y2 − 57 = 0

Hallar la funcion gx(x, y):

gx (x, y) =10− x2

y

Hallar la funcion gy(x, y):

gy (x, y) = 57− 3xy2

INTRODUCCION METODO DE ITERACION DE PUNTO FIJO METODO DE NEWTON-RAPHSON

Presentaci on del m etodo

Algoritmo

xi+1 = gx (xi, yi)yi+1 = gy (xi+1, yi)

Algoritmo: Ejemplos I

xi+1 = 10−x2i

yi

yi+1 = 57− 3xi+1y2i

INTRODUCCION METODO DE ITERACION DE PUNTO FIJO METODO DE NEWTON-RAPHSON

Programa MATLAB

funct ion puntof i joSENv1 (Gx, Gy, x0 , y0 ,EE)% % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % %% puntof i joSENv1 : Nombre de l a func ion% Valores de entrada% Gx : func ion de entrada−>x=gx ( x , y )% Gy : func ion de entrada−>y=gy ( x , y )% x0 : Valor de i n i c i a l de x% y0 : Valor de i n i c i a l de y% EE : Er ro r Estimado% Valores de s a l i d a% Sal ida : Raiz x , EA x , Raiz y , EA y% IM : I t e r a c i o n Maxima% % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % %gx= i n l i n e (Gx, ’ x ’ , ’ y ’ ) ; gy= i n l i n e (Gy, ’ x ’ , ’ y ’ ) ;IM = 1 ; x ( IM ) =x0 ; y ( IM ) =y0 ;x ( IM+1)=gx ( x ( IM ) , y ( IM ) ) ; y ( IM+1)=gy ( x ( IM+1) , y ( IM ) ) ;EAx( IM+1)=abs ( ( x ( IM+1)−x ( IM ) ) / x ( IM+1) ) ∗100;EAy( IM+1)=abs ( ( y ( IM+1)−y ( IM ) ) / y ( IM+1) ) ∗100;while EAx( IM+1)>EE && EAy( IM+1)>EE

IM=IM+1;x ( IM+1)=gx ( x ( IM ) , y ( IM ) ) ; y ( IM+1)=gy ( x ( IM+1) , y ( IM ) ) ;EAx( IM+1)=abs ( ( x ( IM+1)−x ( IM ) ) / x ( IM+1) ) ∗100;EAy( IM+1)=abs ( ( y ( IM+1)−y ( IM ) ) / y ( IM+1) ) ∗100;

endSal1 =[ ’ I t e r a c i o n Maxima= ’ ,num2str ( IM ) ] ;Sal2 =[ x ( 2 : size ( x , 2 ) ) ’ EAx ( 2 : size ( x , 2 ) ) ’ y ( 2 : size ( y , 2 ) ) ’ EAy ( 2 : size ( y , 2 ) ) ’ ] ;disp ( ’ ’ )disp ( Sal1 )disp ( ’ ’ )disp ( ’ Raiz x EApro x Raiz y EApro y ’ )disp ( Sal2 )

INTRODUCCION METODO DE ITERACION DE PUNTO FIJO METODO DE NEWTON-RAPHSON

Programa MATLAB

>> puntof i joSENv1 ( ’ (10−x ˆ 2 ) / y ’ , ’57−3∗x∗y ˆ2 ’ , 1 .5 ,3 .5 ,0 .001 )

I t e r a c i o n Maxima=106

Raiz x EApro x Raiz y EApro y

1.0e+154 ∗

0.0000 0.0000 −0.0000 0.0000−0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

0.0000 0.0000 −0.0000 0.0000−0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

0.0000 0.0000 −0.0000 0.0000−0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .0 .0000 0.0000 −0.0066 0.0000−0.0000 0.0000 0.1976 0.0000

0.0000 0.0000 −5.9275 0.0000−0.0000 0.0000 I n f NaN

INTRODUCCION METODO DE ITERACION DE PUNTO FIJO METODO DE NEWTON-RAPHSON

Programa MATLAB

Ejemplos II

Busquemos la solucion del sistema de ecuaciones no lineales:

u(x, y) = x2 + x y − 10 = 0v(x, y) = y + 3x y2 − 57 = 0

Hallar la funcion gx(x, y):

gx (x, y) =√

10− xy

Hallar la funcion gy(x, y):

gy (x, y) =

√57− y

3x

INTRODUCCION METODO DE ITERACION DE PUNTO FIJO METODO DE NEWTON-RAPHSON

Programa MATLAB

Algoritmo

xi+1 =√

10− xiyi

yi+1 =√

57−yi

3xi+1

INTRODUCCION METODO DE ITERACION DE PUNTO FIJO METODO DE NEWTON-RAPHSON

Programa MATLAB

>> puntof i joSENv1 ( ’ (10−x∗y ) ˆ0 .5 ’ , ’ ((57−y ) / (3∗ x ) ) ˆ0 .5 ’ , 1 .5 ,3 .5 ,0 .001 )

I t e r a c i o n Maxima=11

Raiz x EApro x Raiz y EApro y2.1794 31.1753 2.8605 22.35601.9405 12.3118 3.0496 6.19912.0205 3.9557 2.9834 2.21711.9930 1.3762 3.0057 0.74192.0024 0.4673 2.9981 0.25521.9992 0.1601 3.0007 0.08702.0003 0.0547 2.9998 0.02981.9999 0.0187 3.0001 0.01022.0000 0.0064 3.0000 0.00352.0000 0.0022 3.0000 0.00122.0000 0.0007 3.0000 0.0004

INTRODUCCION METODO DE ITERACION DE PUNTO FIJO METODO DE NEWTON-RAPHSON

Condici on de convergencia

Convergencia

∣∣∣∣∂gx

∂x

∣∣∣∣ +∣∣∣∣∂gx

∂y

∣∣∣∣ < 1∣∣∣∣∂gy

∂x

∣∣∣∣ +∣∣∣∣∂gy

∂y

∣∣∣∣ < 1

INTRODUCCION METODO DE ITERACION DE PUNTO FIJO METODO DE NEWTON-RAPHSON

Topicos

1 INTRODUCCIONSistema de ecuaciones no lineales

2 METODO DE ITERACION DE PUNTO FIJOPresentacion del metodoPrograma MATLABCondicion de convergencia

3 METODO DE NEWTON-RAPHSONPresentacion del metodoPrograma MATLAB

INTRODUCCION METODO DE ITERACION DE PUNTO FIJO METODO DE NEWTON-RAPHSON

Presentaci on del m etodo

Metodos de Newton-Raphson

El metodo de Newton-Raphson estudiado anteriormente puedemodificarse para resolver un sistema de ecuaciones no linealessimultaneas.

INTRODUCCION METODO DE ITERACION DE PUNTO FIJO METODO DE NEWTON-RAPHSON

Presentaci on del m etodo

Serie de Taylor de multiples variables

ui+1 = ui + (xi+1 − xi)∂ui

∂x+ (yi+1 − yi)

∂ui

∂y

vi+1 = vi + (xi+1 − xi)∂vi

∂x+ (yi+1 − yi)

∂vi

∂y

Considerando ui+1 = vi+1 = 0, para las raıces aproximadas,llegamos a un sistema de ecuaciones para determinar xi+1 yyi+1:

Serie de Taylor de multiples variables

xi+1∂ui

∂x+ yi+1

∂ui

∂y= −ui + xi

∂ui

∂x+ yi

∂ui

∂y

xi+1∂vi

∂x+ yi+1

∂vi

∂y= −vi + xi

∂vi

∂x+ yi

∂vi

∂y

INTRODUCCION METODO DE ITERACION DE PUNTO FIJO METODO DE NEWTON-RAPHSON

Presentaci on del m etodo

Formula de Newton-Raphson

xi+1 = xi −ui

∂vi∂y − vi

∂ui∂y

∂ui∂x

∂vi∂y −

∂ui∂y

∂vi∂x

yi+1 = yi −vi

∂ui∂x − ui

∂vi∂x

∂ui∂x

∂vi∂y −

∂ui∂y

∂vi∂x

INTRODUCCION METODO DE ITERACION DE PUNTO FIJO METODO DE NEWTON-RAPHSON

Programa MATLAB

funct ion newtonraphsonSENv1 (U, V, x0 , y0 ,EE)% % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % %% newtonraphsonSENv1 : Nombre de l a func ion% Valores de entrada% U, V : func iones U y V% x0 : Valor de i n i c i a l de x , y0 : Valor de i n i c i a l de y0 , EE : Er ro r Estimado% Valores de s a l i d a% Sal ida : IM : I t e r a c i o n Maxima , Raiz y Er ro r Aproximado% % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % %u= i n l i n e (U, ’ x ’ , ’ y ’ ) ; v= i n l i n e (V, ’ x ’ , ’ y ’ ) ; syms x yd i f f u x = d i f f (U, x ) ; d i f f u y = d i f f (U, y ) ; d i f f v x = d i f f (V, x ) ; d i f f v y = d i f f (V, y ) ;dux= i n l i n e ( d i f f u x , ’ x ’ , ’ y ’ ) ; duy= i n l i n e ( d i f f u y , ’ x ’ , ’ y ’ ) ; dvx= i n l i n e ( d i f f v x , ’ x ’ , ’ y ’ ) ;dvy= i n l i n e ( d i f f v y , ’ x ’ , ’ y ’ ) ; IM = 1 ; rx ( IM ) =x0 ; ry ( IM ) =y0 ;rx ( IM+1)= rx ( IM )−(u ( rx ( IM ) , ry ( IM ) )∗dvy ( rx ( IM ) , ry ( IM ) )−v ( rx ( IM ) , ry ( IM ) ) ∗ . . .

duy ( rx ( IM ) , ry ( IM ) ) ) / ( dux ( rx ( IM ) , ry ( IM ) )∗dvy ( rx ( IM ) , ry ( IM ) ) − . . .duy ( rx ( IM ) , ry ( IM ) )∗dvx ( rx ( IM ) , ry ( IM ) ) ) ;

ry ( IM+1)= ry ( IM )−(v ( rx ( IM ) , ry ( IM ) )∗dux ( rx ( IM ) , ry ( IM ) )−u ( rx ( IM ) , ry ( IM ) ) ∗ . . .dvx ( rx ( IM ) , ry ( IM ) ) ) / ( dux ( rx ( IM ) , ry ( IM ) )∗dvy ( rx ( IM ) , ry ( IM ) ) − . . .duy ( rx ( IM ) , ry ( IM ) )∗dvx ( rx ( IM ) , ry ( IM ) ) ) ;

EAx( IM+1)=abs ( ( rx ( IM+1)−rx ( IM ) ) / rx ( IM+1) ) ∗100;EAy( IM+1)=abs ( ( ry ( IM+1)−ry ( IM ) ) / ry ( IM+1) ) ∗100;while ( EAx( IM+1)>EE) && (EAy( IM+1)>EE)

IM=IM+1;rx ( IM+1)= rx ( IM )−(u ( rx ( IM ) , ry ( IM ) )∗dvy ( rx ( IM ) , ry ( IM ) )−v ( rx ( IM ) , ry ( IM ) ) . . .

∗duy ( rx ( IM ) , ry ( IM ) ) ) / ( dux ( rx ( IM ) , ry ( IM ) )∗dvy ( rx ( IM ) , ry ( IM ) ) − . . .duy ( rx ( IM ) , ry ( IM ) )∗dvx ( rx ( IM ) , ry ( IM ) ) ) ;

ry ( IM+1)= ry ( IM )−(v ( rx ( IM ) , ry ( IM ) )∗dux ( rx ( IM ) , ry ( IM ) )−u ( rx ( IM ) , ry ( IM ) ) . . .∗dvx ( rx ( IM ) , ry ( IM ) ) ) / ( dux ( rx ( IM ) , ry ( IM ) )∗dvy ( rx ( IM ) , ry ( IM ) ) − . . .duy ( rx ( IM ) , ry ( IM ) )∗dvx ( rx ( IM ) , ry ( IM ) ) ) ;

EAx( IM+1)=abs ( ( rx ( IM+1)−rx ( IM ) ) / rx ( IM+1) ) ∗100;EAy( IM+1)=abs ( ( ry ( IM+1)−ry ( IM ) ) / ry ( IM+1) ) ∗100;

end

Sal ida1 =[ ’ I t e r a c i o n Maxima= ’ ,num2str ( IM ) ] ;Sal ida2 =[ rx ( 2 : size ( rx , 2 ) ) ’ EAx ( 2 : size ( rx , 2 ) ) ’ r y ( 2 : size ( ry , 2 ) ) ’ . . .

EAy ( 2 : size ( ry , 2 ) ) ’ ] ;disp ( ’ ’ )disp ( Sal ida1 )disp ( ’ ’ )disp ( ’ Raiz x EApro x Raiz y EApro y ’ )disp ( Sal ida2 )

INTRODUCCION METODO DE ITERACION DE PUNTO FIJO METODO DE NEWTON-RAPHSON

Programa MATLAB

Sal ida1 =[ ’ I t e r a c i o n Maxima= ’ ,num2str ( IM ) ] ;Sal ida2 =[ rx ( 2 : size ( rx , 2 ) ) ’ EAx ( 2 : size ( rx , 2 ) ) ’ r y ( 2 : size ( ry , 2 ) ) ’ . . .

EAy ( 2 : size ( ry , 2 ) ) ’ ] ;disp ( ’ ’ )disp ( Sal ida1 )disp ( ’ ’ )disp ( ’ Raiz x EApro x Raiz y EApro y ’ )disp ( Sal ida2 )

INTRODUCCION METODO DE ITERACION DE PUNTO FIJO METODO DE NEWTON-RAPHSON

Programa MATLAB

>> newtonraphsonSENv1 ( ’ x ˆ2+x∗y−10 ’ , ’ y+3∗x∗yˆ2−57 ’ , 1 .5 ,3 .5 ,0 .001 )

I t e r a c i o n Maxima=4

Raiz x EApro x Raiz y EApro y2.0360 26.3272 2.8439 23.07151.9987 1.8676 3.0023 5.27642.0000 0.0650 3.0000 0.07632.0000 0.0000 3.0000 0.0000

INTRODUCCION METODO DE ITERACION DE PUNTO FIJO METODO DE NEWTON-RAPHSON

Programa MATLAB

funct ion newtonraphsonSENv2 (U, Ux , Uy , V, Vx , Vy , x0 , y0 ,EE)% % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % %% newtonraphsonSENv2 : Nombre de l a func ion% Valores de entrada% U, Ux , Uy : func iones U, dU / dx , dU / dy% V , Vx , Vy : func iones V , dV / dx , dV / dy% x0 : Valor de i n i c i a l de x , y0 : Valor de i n i c i a l de y0 , EE : Er ro r Estimado% Valores de s a l i d a% Sal ida : IM : I t e r a c i o n Maxima , Raiz y Er ro r Aproximado% % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % %u= i n l i n e (U, ’ x ’ , ’ y ’ ) ; dux= i n l i n e (Ux , ’ x ’ , ’ y ’ ) ; duy= i n l i n e (Uy , ’ x ’ , ’ y ’ ) ;v= i n l i n e (V, ’ x ’ , ’ y ’ ) ; dvx= i n l i n e ( Vx , ’ x ’ , ’ y ’ ) ; dvy= i n l i n e ( Vy , ’ x ’ , ’ y ’ ) ;IM = 1 ; rx ( IM ) =x0 ; ry ( IM ) =y0 ;rx ( IM+1)= rx ( IM )−(u ( rx ( IM ) , ry ( IM ) )∗dvy ( rx ( IM ) , ry ( IM ) )−v ( rx ( IM ) , ry ( IM ) ) ∗ . . .

duy ( rx ( IM ) , ry ( IM ) ) ) / ( dux ( rx ( IM ) , ry ( IM ) )∗dvy ( rx ( IM ) , ry ( IM ) ) − . . .duy ( rx ( IM ) , ry ( IM ) )∗dvx ( rx ( IM ) , ry ( IM ) ) ) ;

ry ( IM+1)= ry ( IM )−(v ( rx ( IM ) , ry ( IM ) )∗dux ( rx ( IM ) , ry ( IM ) )−u ( rx ( IM ) , ry ( IM ) ) ∗ . . .dvx ( rx ( IM ) , ry ( IM ) ) ) / ( dux ( rx ( IM ) , ry ( IM ) )∗dvy ( rx ( IM ) , ry ( IM ) ) − . . .duy ( rx ( IM ) , ry ( IM ) )∗dvx ( rx ( IM ) , ry ( IM ) ) ) ;

EAx( IM+1)=abs ( ( rx ( IM+1)−rx ( IM ) ) / rx ( IM+1) ) ∗100;EAy( IM+1)=abs ( ( ry ( IM+1)−ry ( IM ) ) / ry ( IM+1) ) ∗100;while ( EAx( IM+1)>EE) && (EAy( IM+1)>EE)

IM=IM+1;rx ( IM+1)= rx ( IM )−(u ( rx ( IM ) , ry ( IM ) )∗dvy ( rx ( IM ) , ry ( IM ) )−v ( rx ( IM ) , ry ( IM ) ) . . .

∗duy ( rx ( IM ) , ry ( IM ) ) ) / ( dux ( rx ( IM ) , ry ( IM ) )∗dvy ( rx ( IM ) , ry ( IM ) ) − . . .duy ( rx ( IM ) , ry ( IM ) )∗dvx ( rx ( IM ) , ry ( IM ) ) ) ;

ry ( IM+1)= ry ( IM )−(v ( rx ( IM ) , ry ( IM ) )∗dux ( rx ( IM ) , ry ( IM ) )−u ( rx ( IM ) , ry ( IM ) ) . . .∗dvx ( rx ( IM ) , ry ( IM ) ) ) / ( dux ( rx ( IM ) , ry ( IM ) )∗dvy ( rx ( IM ) , ry ( IM ) ) − . . .duy ( rx ( IM ) , ry ( IM ) )∗dvx ( rx ( IM ) , ry ( IM ) ) ) ;

EAx( IM+1)=abs ( ( rx ( IM+1)−rx ( IM ) ) / rx ( IM+1) ) ∗100;EAy( IM+1)=abs ( ( ry ( IM+1)−ry ( IM ) ) / ry ( IM+1) ) ∗100;

end

Sal ida1 =[ ’ I t e r a c i o n Maxima= ’ ,num2str ( IM ) ] ;Sal ida2 =[ rx ( 2 : size ( rx , 2 ) ) ’ EAx ( 2 : size ( rx , 2 ) ) ’ r y ( 2 : size ( ry , 2 ) ) ’ . . .

EAy ( 2 : size ( ry , 2 ) ) ’ ] ;disp ( ’ ’ )disp ( Sal ida1 )disp ( ’ ’ )disp ( ’ Raiz x EApro x Raiz y EApro y ’ )disp ( Sal ida2 )

INTRODUCCION METODO DE ITERACION DE PUNTO FIJO METODO DE NEWTON-RAPHSON

Programa MATLAB

Sal ida1 =[ ’ I t e r a c i o n Maxima= ’ ,num2str ( IM ) ] ;Sal ida2 =[ rx ( 2 : size ( rx , 2 ) ) ’ EAx ( 2 : size ( rx , 2 ) ) ’ r y ( 2 : size ( ry , 2 ) ) ’ . . .

EAy ( 2 : size ( ry , 2 ) ) ’ ] ;disp ( ’ ’ )disp ( Sal ida1 )disp ( ’ ’ )disp ( ’ Raiz x EApro x Raiz y EApro y ’ )disp ( Sal ida2 )

INTRODUCCION METODO DE ITERACION DE PUNTO FIJO METODO DE NEWTON-RAPHSON

Programa MATLAB

>>U = ’ x ˆ2+x∗y−10 ’ ; Ux = ’2∗x+y ’ ; Uy = ’ x ’ ;>>V = ’ y+3∗x∗yˆ2−57 ’ ; Vx = ’3∗y ˆ2 ’ ; Vy = ’ 1+6∗x∗y ’ ;

>> newtonraphsonSENv2 (U, Ux , Uy , V, Vx , Vy , 1 . 5 , 3 . 5 , 0 . 0 0 1 )

I t e r a c i o n Maxima=4

Raiz x EApro x Raiz y EApro y2.0360 26.3272 2.8439 23.07151.9987 1.8676 3.0023 5.27642.0000 0.0650 3.0000 0.07632.0000 0.0000 3.0000 0.0000

Recommended

Sistemas de ecuaciones - riera.wikispaces.comriera.wikispaces.com/file/view/4esoA Bru 06 Sistemas de ecuaciones... · 6 Sistemas de ecuaciones 1. Sistemas lineales. Resolución gráfica
Documents
Sistemas de ecuaciones de tres ecuaciones
Documents
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES - Academia Cartagena99€¦ · SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 4 Introducción Los sistemas de ecuaciones lineales
Documents
5 Sistemas de ecuaciones - sanvicentepaul.essanvicentepaul.es/.../MATEMATICAS_A_SOLUCIONARIO... · 18 Unidad 5 | Sistemas de ecuaciones 5 Sistemas de ecuaciones ACTIVIDADES INICIALES
Documents
Unidad 7 Sistemas de ecuaciones - soydeciencias.com · Unidad 7 Sistemas de ecuaciones Unidad 7│Sistemas de ecuaciones 2.º ESO Problemas con sistemas de ecuaciones 1. El abuelo
Documents
Ecuaciones e inecuaciones. Sistemas de ecuaciones e
Documents
TEMA 3: ECUACIONES Y SISTEMAS · 2019-12-16 · TEMA 3: ECUACIONES Y SISTEMAS . TEMA 3: ECUACIONES Y SISTEMAS . TEMA 3: ECUACIONES Y SISTEMAS . TEMA 3: ECUACIONES Y SISTEMAS . f)
Documents
Programacion MATLAB:´ Derivacion e integraci´ on ...metodosnumericoscem.weebly.com/.../5/9/7/25971049/mn_161_clas… · 4 Integrando con MATLAB 5 Solucion de ecuaciones diferenciales
Documents
Curso de Métodos Numéricos. Ecuaciones diferenciales ...metodosnumericoscem.weebly.com/.../mn_clase22_ecuaciones_difere… · Curso de Metodos Num´ ericos.´ Ecuaciones diferenciales
Documents
Ecuaciones e inecuaciones. Sistemas de ecuaciones..pdf
Documents
Sistemas de Ecuaciones y Matrices - netlizama.usach.clnetlizama.usach.cl/avcapituloVII.pdf · Sistemas de Ecuaciones y Matrices 0.1 Sistemas de ecuaciones Consideremos las gr´aficas
Documents
Sistemas de Ecuaciones
Documents
Programacion MATLAB:´ Ecuaciones, polinomios, …metodosnumericoscem.weebly.com/uploads/2/5/9/7/25971049/...beamer-tu-logo Ra´ıces de ecuaciones y polinomiosAjuste de curvas: regresion
Documents
Programacion MATLAB:´ Ecuaciones, polinomios, regresion e ...metodosnumericoscem.weebly.com/uploads/2/5/9/7/25971049/mn_163_clase7_matlab.pdfRa´ıces de ecuaciones y polinomiosAjuste
Documents
Sistemas de ecuaciones no lineales - Métodos …metodosnumericoscem.weebly.com/uploads/2/5/...12_sol_sis_ecuaci… · Sistemas de ecuaciones no lineales ... El metodo de Newton-Raphson
Documents
Ecuaciones y sistemas
Documents
Sistemas ecuaciones naudy
Documents
Curso de Métodos Numéricos. Sistema de ecuaciones …metodosnumericoscem.weebly.com/uploads/2/5/9/7/25971049/mn_173_clase15_sistema_de...beamer-tu-logo Ecuaciones algebraicas lineales
Documents
5.sistemas ecuaciones
Documents
Unidad 3 Ecuaciones y sistemas Ecuaciones … · Unidad 3. Ecuaciones y sistemas. Unidad 3 │ Ecuaciones y sistemas Matemáticas 4.º ESO . Ecuaciones exponenciales y logarítmicas
Documents