Matemática I

Semana 3Semana 3

Matemática I

Sistemas de ecuaciones lineales con dos variables

ModelamientoModelamiento

Sistemas de ecuaciones lineales con

tres variables

Modelamiento

Sistema de ecuaciones

Un sistema de ecuaciones es un conjunto de dos o más

ecuaciones con varias variables.

Una solución para el sistema es un juego de valores de las Una solución para el sistema es un juego de valores de las

variables que satisface todas las ecuaciones del sistema.

Un sistema de dos ecuaciones lineales con dos variables tiene

la forma:

Sistema de dos Ecuaciones Lineales con dos variables

la forma:

=+=+

222

111

cybxa

cybxa

Métodos de solución

• Método de Igualación

• Método de Sustitución• Método de Sustitución

• Método de Eliminación

Ejemplo del Método de Igualación

• Resolver:2 4

3 2 1

x y

x y

+ = − = −

Igualando: Sustituyendo:Despejando y:

4 2 3 1

2

y x

xy

= −+=

Igualando:

3 14 2

23 1 8 4

7 7

1

xx

x x

x

x

+ = −

+ = −=

=

Sustituyendo:

( ) 4 2 1

2

y

y

= −=

Despejando y:

( ){ }1, 2CS =

Ejemplo del Método de Sustitución

• Resolver:2 4

3 2 1

x y

x y

+ = − = −

Sustituyendo:Despejando y: Reemplazando:

( ){ }1, 2CS =

4 2y x= −

Sustituyendo:

( ) 4 2 1

2

y

y

= −=

Despejando y:

( )3 2 4 2 1

3 8 4 1

7 7

1

x x

x x

x

x

− − = −− + = −=

=

Reemplazando:

Ejemplo del Método de Eliminación

• Resolver:( )( )1

2

2 4 ...

3 2 1 ...

x y

x y

+ = − = −

Multiplicando Ec (1) por 2 y Sustituyendo en Ec. (1):

( ){ }1, 2CS =

Multiplicando Ec (1) por 2 y

sumándola con Ec. (2):

( )( )1*

2

4 2 8 ...

3 2 1 ...

7 = 7

1

x y

x y

x

x

+ =− = −

=

Sustituyendo en Ec. (1):

( )2 1 4

4 2

2

y

y

y

+ == −=

=−=+

3yx2

5y3x )a

=−=−

16y8x24

1y6x3 )c

4 5 1)

9 14 5

x yb

x y

+ = + =

Ejercicios: Resolver los sistemas de ecuaciones lineales con

dos incógnitas, combinando los tres métodos:

2 5 2x y+ =2 5 2) 1 5

12 2

x yd

x y

+ = + =

0,2 0,5 7,8)

1, 25 0,75 10

x ye

x y

+ = − =

280 325 1085)

120 415 4345

x yf

x y

− = + =

Soluciones:

( ){ }) 2, 1a CS = ( ){ }) 1, 1b CS = −11 1

) , 15 5

c CS =

2) 0,

5d CS

=

( ){ }e) 14, 10CS = ( ){ }) 12, 7f CS =

Ejercicios: Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones:

1)

2

x aya

ax y

+ = − =

2 5)

x my nc

nx y m

+ = − =

0)

1

ax byb

bx ay

+ = − =

x my a+ =

Resolución de sistemas de ecuaciones con coeficientes literales

) 1 1

0

x my ad

x ya m

+ = − =

10)

1

ap bqe

p q

+ = − =

Soluciones:

2 2

2 1 2) ,

1 1

a aa CS

a a

+ − = + + 2 2 2 2

) , b a

b CSa b a b

= − + +

2 25 2) ,

5 2 5 2

m n n mc CS

mn mn

+ − = + +

2

2 2) ,

a amd CS

m a m a

= + +

10 10e) ,

b aCS

a b a b

+ − = + +

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Sistemas de ecuaciones lineales con

dos variables

ModelamientoModelamientoSistemas de ecuaciones lineales con

tres variables

Modelamiento

1. PROBLEMA

Seis libras de café y 5 libras de azúcar costaron

$ 227. Si por 5 libras de café y 4 libras de

azúcar (a los mismos precios) se pagó $ 188.azúcar (a los mismos precios) se pagó $ 188.

Calcular el precio de una libra de café y una de

azúcar.

$ 32 una libra de café

$ 7 una libra de azúcar

2. PROBLEMAUna compañía paga a sus agentes de ventas con base

a un porcentaje de los primeros

$100 000 en ventas, más otro porcentaje sobre

cualquier cantidad que supere esos $100 000. Si uncualquier cantidad que supere esos $100 000. Si un

agente recibió $8 500 por ventas de

$175 000, y otro recibió $14 800 por ventas de

$280 000, encuentre los dos porcentajes.

Reciben 4% por ventas de hasta

$100 000 y 6% por ventas superiores.

3. PROBLEMA

Tengo el doble de monedas de 10 centavos en

mi bolso que de monedas de 25 centavos. Si

tuviera 4 monedas menos de 10 centavos y 3tuviera 4 monedas menos de 10 centavos y 3

monedas más de 25 centavos tendría $2,60.

¿Cuántas monedas de cada tipo tengo?

10 monedas de 10 cent.

5 monedas de 25 cent.

4. PROBLEMA

En una cierta cadena de tiendas se realiza la

siguiente oferta para grupos corporativos: Por cada 5

TV que compren, se regala 7 DVD, y por cada 4

computadoras compradas se regala 9 DVD. Si encomputadoras compradas se regala 9 DVD. Si en

cierta ocasión se regaló 261 DVD y el número de

computadoras que vendió la cadena era 2/3 del

número de TV que vendió ¿Cuántas computadoras

se vendió?

Se vendió 60 computadoras.

M : Monto capital final.

C : Capital inicial

I : Interés

INTERÉS

I

M

I = C i t

i : Tasa relación de la ganancia y capital por

cada periodo de tiempo.

t : Tiempo.

C

ObservaciónObservaciónObservaciónObservación::::

El tiempo y la tasa de interés, deben

M = C + I

El tiempo y la tasa de interés, deben

estar siempre expresados en las

mismas unidades de tiempo.

5. PROBLEMA

Un hombre invierte al 8% el doble de lo que

destina al 5%. El interés total anualdestina al 5%. El interés total anual

obtenido por las dos inversiones es de

$840. ¿Cuánto invirtió a cada tasa?

$8 000 al 8%$4 000 al 5%

6. PROBLEMA

Una ONG debe repartir leche entre ciertacantidad de niños de comedores populares.Si la ONG reparte la leche en envases de 5klitros, sobrarán mk litros de leche, pero si elreparto se hace en envases de 6k litros,entonces faltará leche para n niños. ¿Acuántos niños debe repartir leche la ONG?

(m + 6n) niños

7. PROBLEMA (Resuelto)La empresa W.H. se dedica a la fabricación de bebidas

refrescantes. Dicha empresa ha anunciado que su naranjada

tiene “saborizante natural”, aunque contiene sólo 10% de

jugo de naranja. De acuerdo con una nueva norma de

INDECOPI, para que una bebida se llame natural debe tener

por lo menos 20% de jugo de fruta. ¿Cuánto de jugo naturalpor lo menos 20% de jugo de fruta. ¿Cuánto de jugo natural

puro debe mezclar la empresa con bebida de naranja ya

preparada para tener 1800 litros de bebida que cumpla con

la nueva norma?

200 litros de jugo natural

Solución: x: Cantidad de jugo natural puro.

y: Cantidad de bebida ya preparada.

1800=+ yx

1800.20,010,0 =+ yx

Restando la primera menos la segunda ecuación:

200 litros de jugo natural

1600;200 == yx

Restando la primera menos la segunda ecuación:

360180090,0 −=y 1600=→ y

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Sistemas de ecuaciones lineales con

dos variables

ModelamientoModelamiento

Sistemas de ecuaciones lineales con tres variables

Modelamiento

Ejercicios: Resolver los sistemas de ecuaciones lineales con

tres incógnitas:

=−=+−=++

523

1342

832

)

zy

zyx

zyx

a

=++ 623 xxx =++ 6zyx

=+−=+

=−

66

143

103

)

xz

zy

yx

b

Respuestas:

( ){ }1;2;1..) −=SCd

=−+−=+−

=++

52

442

623

)

321

321

321

xxx

xxx

xxx

d

=++−=+−=++

62

932

6

)

zyx

zyx

zyx

c

( ){ }3;2;1..) =SCc

( ){ }1;1;9..) −=SCa

−=21

;1;3..) SCb

Ejercicios: Resolver los sistemas de ecuaciones lineales con

tres incógnitas:

−=+−=++

1

2

) azyax

azyx

e

Respuesta:

( )

+=++−=+−

2123

1)

azayx

azyaxe

( ){ }1;;1.. −= aaSC

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Sistemas de ecuaciones lineales con

dos variables

ModelamientoModelamiento

Sistemas de ecuaciones lineales con

tres variables

Modelamiento

1. PROBLEMA

Un cajero automático contiene 95 billetes entre

denominaciones de $10, $20 y $50, haciendo un

total de $2000. Si el número de billetes de $10 es

el doble que el número de billetes de $20.el doble que el número de billetes de $20.

¿Cuántos billetes hay de cada tipo?

50 billetes de $10, 25 billetes de $20 y 20 billetes de $50.

2. PROBLEMA Una fábrica elabora tres productos A, B y C los que produce entres máquinas. El tiempo requerido, en horas, para procesar unaunidad de cada producto por las tres máquinas está indicado en lasiguiente tabla.

Máquina / producto A B C

I 3 1 2

II 1 2 4

Se dispone de la máquina I por 850 horas, de la máquina II por 1200 horas y de la III 550 horas.

¿Cuántas unidades de cada producto deberían producirse con lafinalidad de emplear las máquinas todo el tiempo disponible?

II 1 2 4

III 2 1 1

100 unidades de A, 150 unidades de B y 200 unidades de C.

3. PROBLEMA

Una compañía de artículos electrodomésticos produce tresmodelos de cocina: A, B y C. Estos electrodomésticos puedenser entregados por camión, camioneta o vagoneta. Un camióntiene capacidad para 2 cajas del modelo A, 1 del modelo B y 3del modelo C. Una camioneta tiene capacidad para 1 caja delmodelo A, 3 cajas del modelo B y 2 cajas del modelo C. Unamodelo A, 3 cajas del modelo B y 2 cajas del modelo C. Unavagoneta tiene capacidad para 1 caja del modelo A, 3 cajas delmodelo B y 1 caja del modelo C.

Si deben entregarse 15 cajas del modelo A, 20 cajas del modeloB y 22 del modelo C, ¿cuántos vehículos de cada tipo debenusarse de manera que operen a capacidad plena?

5 camiones, 2 camionetas y 3 vagonetas.

4. PROBLEMA

Un equipo obtiene 3 puntos por victoria, 1 punto

por empate y no obtiene puntos en caso de

derrota. Un equipo lleva jugados 22 partidos y ha

obtenido 19 puntos, perdiendo el triple deobtenido 19 puntos, perdiendo el triple de

partidos de los que ganó. ¿Cuántos partidos

ganó, empató y perdió?

Ganó 3 partidos, empató 10partidos y perdió 9 partidos.