Das Prinzip der Inklusion und Exklusion

Philipp Kranen

Extremal Combinatorics

Philipp Kranen Das Prinzip der Inklusion und Exklusion

Gliederung

• Einleitung• Inklusion und Exklusion• Bonferroni-Ungleichungen• Erweiterungen• Zusammenfassung

Einleitung

• Prinzip der Inklusion und Exklusion• Siebformel• Das Sieb des Eratosthenes

• Verbindet die Kardinalität einer Vereinigung von Mengen mit der Kardinalität von Schnittmengen einiger dieser Mengen (letztere sind oft leichter zu Bestimmen)

• Bsp.: 2 Mengen A und B| A U B | = | A | + | B | - | A ∩ B |

Einleitung

• Bsp.: 3 Mengen

|A U B U C| = |A| + |B| + |C| - |A∩B|- |A∩B|- |A∩B| + |A∩B∩C|

Einleitung

• Bsp.: 3 Mengen

|A U B U C| = |A| + |B| + |C| - |A∩B|- |A∩B|- |A∩B| + |A∩B∩C|

• Allgemein: Siebformel

Einleitung

• Name „Inklusion und Exklusion“• Überschätzen, falls k ungerade• Unterschätzen, falls k gerade

• Bonferroni-Ungleichungen• Zunächst entdeckt von Ch. Jordan• Später auch von Bonferroni• Heute: Diverse Erweiterungen und

Verbesserungen der Ungleichungen

Übersicht

• Einleitung• Inklusion und Exklusion

• Das Prinzip• Anwendungen

• Bonferroni-Ungleichungen• Erweiterungen• Zusammenfassung

Inklusion und Exklusion: Das Prinzip

• Schreibweise►

• Schreibweise

• Satz 1:

• Beweis

• Satz 2:►

• Satz 2:

• Beweis

• Satz 2:

• Beweis

• Resultat

• Alternative Schreibweise

Inklusion und Exklusion: Anwendungen

• Wieviele Zahlen ≤ 1000 sind durch 3, 5 oder 7 teilbar? Lösung (Satz 2):

• Wieviele Zahlen < 1000 sind durch 3, 5 oder 7 teilbar? Lösung (Satz 2):

• Wieviele Elemente gehören zu allen Ai aber zu keinem Anderen? (Spezialfall: Satz 1)

• Wieviele Elemente gehören zu allen Ai , i є I aber zu keinem Anderen? (Spezialfall: Satz 1)

• Derangement-Zahlen• Derangement = Permutation ohne Fixpunkt• Wie groß ist die Anzahl der Derangements?

Übersicht

• Einleitung• Inklusion und Exklusion• Bonferroni-Ungleichungen• Erweiterungen• Zusammenfassung

Bonferroni-Ungleichungen

• Die Ungleichungen

• Beweis

Übersicht

• Einleitung• Inklusion und Exklusion• Bonferroni Ungleichungen• Erweiterungen

• Inklusion und Exklusion• Bonferroni-Ungleichungen• Anwendungen

• Zusammenfassung

Erweiterungen: Inklusion und Exklusion

• 5 Mengen → 2 - 1 = 31 Schnittmengen• |U A | = |A | + |A | + |A |+ |A |+ | A |

- |A ∩ A | - |A ∩ A | - |A ∩ A | - |A ∩ A |• 9 statt 31 Terme

i 1 2 3 4 5

1 2 2 3 3 4 4 5

• Verwendung von „Messfunktionen“

Erweiterungen: Bonferroni-Ungleichungen

Erweiterungen: Anwendungen

• µ beispielsweise ein Maß für die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses• Wahrscheinlichkeitstheorie• Verläßlichkeitsanalyse

Übersicht

• Einleitung• Inklusion und Exklusion• Bonferroni Ungleichungen• Erweiterungen• Zusammenfassung ►

Zusammenfassung

• Berechnung der Kardinalität m.H.v. Kardinalitäten von Schnittmengen

• Näherung mit Hilfe der Bonferroni-Ungleichungen• Exakter durch erweiterte Gleichungen

• Einsatz von „Messfunktionen“• Bsp.: Wahrscheinlichkeiten

Fragen

Weitere Anwendungsbeispiele

• Platziere 3 Paare um einen runden Tisch. Wieviele Möglichkeiten gibt es, dass• keiner neben seinem Partner sitzt?• sich keine zwei Frauen gegenüber sitzen?

• Insgesamt gibt es 5! Möglichkeiten, die 6 Personen um den Tisch zu platzieren.

… keiner neben seinem Partner sitzt?

… sich keine zwei Frauen gegenüber sitzen?

• Graphfärbung mit r Farben

• A sei nxn Matrix mit Aij є {-1, 0, 1} und Aii = 0. Dann gilt det(A) ≠ 0.

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