Đề thi tóan cao cấp k15

ĐỀ SỐ 1, K15, THI NGÀY 24-12-2012

Câu 1.

Xét tính liên tục của hàm số sau tại tại 𝑥 = 0:

𝑓 𝑥 = ln cos2 𝑥

𝑥2 𝑘ℎ𝑖 𝑥 ≠ 0

0 𝑘ℎ𝑖 𝑥 = 0

.

Câu 2.

Tính các giới hạn sau:

𝑎) lim𝑥→0

arcsin𝑥 − 𝑥

𝑥2arctan𝑥; 𝑏) lim

𝑥→0 1 + 𝑥

1𝑥

𝑒

1𝑥

.

Câu 3.

Tính các tích phân sau:

𝑎) 8𝑥3 + 16𝑥

𝑥2 + 4 2𝑑𝑥 ; 𝑏)

cos3𝑥𝑑𝑥

sin 𝑥3

−𝜋4

−𝜋2

.

Câu 4.

Tính tích phân suy rộng 1

𝑥2 sin1

𝑥

∞2

𝜋

𝑑𝑥.

Câu 5.

Giải phương trình 𝑦′ + 𝑥𝑦 = 𝑒𝑥2𝑦3 .

Câu 6.

Giải phương trình sai phân 𝑥𝑛+4 − 3𝑥𝑛+3 + 3𝑥𝑛+2 − 3𝑥𝑛+1 + 2𝑥𝑛 = 5 ∙ 2𝑛+1 .

Câu 7.

Một doanh nghiệp cạnh tranh thuần túy sản xuất hai loại sản phẩm. Giả sử tổng chi phí kết hợp là

𝑇𝐶 = 3𝑄12 + 5𝑄2

2 + 7𝑄1𝑄2. Giá của các loại sản phẩm lần lượt là 230$ và 305$. Hãy tìm mức sản lượng

các loại sản phẩm để doanh nghiệp đạt lợi nhuận lớn nhất.

ĐÁP ÁN ĐỀ SỐ 1, NGÀY 24-12-2012

Câu 1 (1 điểm).

lim𝑥→0

𝑓 𝑥 = lim𝑥→0

ln cos2 𝑥

𝑥2= lim

𝑥→0

ln 1 − sin2 𝑥

𝑥2= lim

𝑥→0

− sin2 𝑥

𝑥2= −1 ≠ 𝑓 0 ,

nên 𝑓 gián đoạn tại 𝑥 = 0.

Câu 2 (1+1 điểm).

a) lim𝑥→0

arcsin 𝑥−𝑥

𝑥2arctan 𝑥= lim

𝑥→0

arcsin 𝑥−𝑥

𝑥3 =𝐿

lim𝑥→0

1

1−𝑥2−1

3𝑥2 = lim𝑥→0

1− 1−𝑥2

3𝑥2 1−𝑥2= lim

𝑥→0

1− 1−𝑥2

3𝑥2 1−𝑥2 1+ 1−𝑥2

= lim𝑥→0

1

3 1 − 𝑥2 1 + 1 − 𝑥2 =

1

6.

b) Đây là giới hạn dạng 1∞ , nên lim𝑥→0

1+𝑥

1𝑥

𝑒

1

𝑥

= lim𝑥→0

𝑒

1

𝑥 1+𝑥

1𝑥

𝑒−1

.

lim𝑥→0

1

𝑥 1 + 𝑥

1𝑥

𝑒− 1 = lim

𝑥→0

1 + 𝑥 1𝑥𝑒−1 − 1

𝑥= lim

𝑥→0

𝑒1𝑥

ln 1+𝑥 −1 − 1

𝑥

= lim𝑥→0

𝑒

1𝑥

𝑥−𝑥2

2+𝑜 𝑥2 −1

− 1

𝑥= lim

𝑥→0

𝑒−𝑥2

+𝑜 𝑥2

𝑥 − 1

−𝑥2 +

𝑜 𝑥2 𝑥

∙ lim𝑥→0

−𝑥2 +

𝑜 𝑥2 𝑥

𝑥

= 1 ∙ lim𝑥→0

−1

2+

𝑜 𝑥2

𝑥2 =−1

2.

Giới hạn phải tìm bằng 𝑒−1

2 .

Cách khác:

lim𝑥→0

ln 1 + 𝑥

1𝑥

𝑒

1𝑥

= lim𝑥→0

1

𝑥

ln 1 + 𝑥

𝑥− 1 = lim

𝑥→0

ln 1 + 𝑥 − 𝑥

𝑥2

=𝐿

lim𝑥→0

11 + 𝑥 − 1

2𝑥= lim

𝑥→0

−1

2 1 + 𝑥 =

−1

2.

Câu 3 (1+1 điểm).

𝑎) 8𝑥3 + 16𝑥

𝑥2 + 4 2𝑑𝑥 =

4𝑥2 + 8

𝑥2 + 4 2𝑑 𝑥2 + 4 =

𝑡=𝑥2+4

4𝑡 − 8 𝑑𝑡

𝑡2

= 4

𝑡−

8

𝑡2 = 4 ln 𝑡 +

8

𝑡+ 𝐶 = 4 ln 𝑥2 + 4 +

8

𝑥2 + 4+ 𝐶.

𝑏) cos3𝑥𝑑𝑥

sin𝑥3

−𝜋4

−𝜋2

= 1 − sin2𝑥 𝑑 sin𝑥

sin𝑥3

−𝜋4

−𝜋2

=𝑡= sin 𝑥

3

1 − 𝑡6 𝑑𝑡3

𝑡

−1

26

−1

= 3 𝑡 − 𝑡7 𝑑𝑡

−1

26

−1

= 3 𝑡2

2−

𝑡8

8 |−1

−1

26

= 3 1

23

1

2−

1

16 −

1

2−

1

8 =

21

16 23 −

9

8.

Câu 4 (1 điểm).

1

𝑥2sin

1

𝑥

∞

2𝜋

𝑑𝑥 =𝑡=

1𝑥− sin 𝑡 𝑑𝑡

0

𝜋2

= sin 𝑡 𝑑𝑡

𝜋2

0

= − cos𝜋

2+ cos 0 = 1.

Câu 5 (1 điểm).

Giả sử 𝑦 ≠ 0. Ta có: 𝑦′ + 𝑥𝑦 = 𝑒𝑥2𝑦3 ⟺ 𝑦′𝑦−3 + 𝑥𝑦−2 = 𝑒𝑥2

. Thay 𝑧 = 𝑦−2 ⟹ 𝑧′ = −2𝑦′𝑦−3, ta có phương trình vi phân tuyến tính:

1

−2𝑧′ + 𝑥𝑧 = 𝑒𝑥2

⟺ 𝑧′ − 2𝑥𝑧 = −2𝑒𝑥2.

Phương trình này có nghiệm tổng quát là

𝑧 = −2𝑒𝑥2𝑒−2 𝑥𝑑𝑥 𝑑𝑥 + 𝐶 𝑒2 𝑥𝑑𝑥 = −2 𝑑𝑥 + 𝐶 𝑒𝑥2

= −2𝑥 + 𝐶 𝑒𝑥2.

. Tích phân tổng quát của phương trình đã cho là

𝑦2 −2𝑥 + 𝐶 𝑒𝑥2− 1 = 0. (0,5 điểm)

Dễ thấy 𝑦 ≡ 0 cũng là một nghiệm của phương trình đã cho. (0,5 điểm)

Câu 6 (1,5 điểm).

Phương trình đặc trưng

4 - 3

3 + 3

2 - 3 + 2 = 0 ( - 1)( - 2)(

2 + 1) = 0

có tập nghiệm {1; 2; 𝑖; −𝑖}. (0,5 điểm)

Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất tương ứng là

𝑥 𝑛 = 𝐶1 + 𝐶22𝑛 + 𝐶3 cos𝑛𝜋

2+ 𝐶4 sin

𝑛𝜋

2. (0,5 điểm)

Một nghiệm riêng 𝑥𝑛∗ của xn+4 – 3xn+3 + 3xn+2 – 3xn+1 + 2xn = 102

n có dạng 𝑥𝑛

∗ = 𝐴𝑛2𝑛 . Thay vào

phương trình đã cho rồi giản ước cho 2n ta có

A[(n+4)24 – 3(n+3)2

3 + 3(n+3)2

2 – 3(n+1)2 + 2n] = 10.

Cho n = 0 A = 1 𝑥𝑛∗ = 𝑛2𝑛 .

Vậy nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là

𝑥𝑛 = 𝑥 𝑛 + 𝑥𝑛∗ = 𝐶1 + 𝐶22𝑛 + 𝐶3 cos

𝑛𝜋

2+ 𝐶4 sin

𝑛𝜋

2+ 𝑛2𝑛 . (0,5 điểm).

Câu 7 (1,5 điểm).

Hàm lợi nhuận của sản phẩm là

Π 𝑄1;𝑄1 = 230𝑄1 + 305𝑄2 − 3𝑄12 − 5𝑄2

2 − 7𝑄1𝑄2 . (0,5 điểm)

Π𝑄1

′ = 230 − 6𝑄1 − 7𝑄2

Π𝑄2

′ = 305 − 7𝑄1 − 10𝑄2

Giải hệ:

230 − 6𝑄1 − 7𝑄2 = 0

305 − 7𝑄1 − 10𝑄2 = 0 ,

ta có 𝑄1 = 15; 𝑄2 = 20.

Π𝑄12

" = −6, Π𝑄22

" = −10, Π𝑄1𝑄2

" = −7 ⟹ 𝐷 = Π𝑄12

"Π𝑄2

2" − Π𝑄1𝑄2

" 2

= 11. (0,5 điểm)

𝐷 > 0, Π𝑄12

" < 0 ⟹ Π đạt cực đại tại 𝑄1 = 15,𝑄2 = 20 và tại đó 𝜋 = 4775. (0,5 điểm)

ĐỀ SỐ 2, K15, THI NGÀY 24-12-2012

Câu 1.

Hàm cầu của một loại sản phẩm độc quyền là 𝑃 = 600 − 2𝑄 $ và tổng chi phí là 𝐶 = 0,2𝑄2 + 28𝑄 +

200 &. Tìm mức sản xuất 𝑄 để lợi nhuận tối đa, tìm mức giá 𝑃 và lợi nhuận khi đó.

Nếu chính quyền đặt thuế 22 $ cho mỗi đơn vị sản phẩm thì lợi nhuận tối đa đạt được với mức giá bao

nhiêu?

Câu 2.

Tính các giới hạn sau:

𝑎) lim𝑥→0

cos 𝑥𝑒𝑥 − cos 𝑥𝑒−𝑥

𝑥3; 𝑏) lim

𝑥→+∞ 𝑥 + 2𝑥

1𝑥 .

Câu 3.

Tìm cực trị của hàm số

𝑧 𝑥, 𝑦 = 2𝑥 − 𝑥2 2𝑦 − 𝑦2 (𝑥 > 0; 𝑦 > 0).

Câu 4.

Tính các tích phân sau:

𝑎) 𝑑𝑥

𝑥 𝑥2 − 1; 𝑏)

𝑑𝑥

2 cos 𝑥 + 3

𝜋2

0

.

Câu 5.

Xét sự hội tụ và tính tích phân suy rộng sau (nếu hội tụ)

𝑑𝑥

𝑥2 + 1 2

∞

0

.

Câu 6.

Giải phương trình 𝑦′ + 2𝑥𝑦 = 2𝑥3𝑦3 .

Câu 7.

Giải phương trình 𝑦𝑡+2 + 4𝑦𝑡+1 + 3𝑦𝑡 = 16.

ĐÁP ÁN ĐỀ SỐ 2, NGÀY 24-12-2012

Câu 1 (1 điểm).

Hàm lợi nhuận của sản phẩm là

𝜋 𝑄 = 𝑇𝑅 − 𝐶 = 𝑃 ∙ 𝑄 − 0,2𝑄2 + 28𝑄 + 200 = −2,2𝑄2 + 572𝑄 − 200.

Do 𝜋 𝑄 = −2,2 𝑄 − 130 2 + 36980 ≤ 𝜋 130 = 36980, nên với 𝑄 = 130 ta có lợi nhuận tối đa. Khi

đó, 𝑃 = 600 − 2 ∙ 130 = 340. (0,5 điểm)

Khi tính cả thuế, ta có 𝜋 𝑄 = −2,2𝑄2 + 572𝑄 − 200 − 22𝑄 = −2,2𝑄2 + 550𝑄 − 200.

Do 𝜋 𝑄 = −2,2 𝑄 − 125 2 + 34175 ≤ 𝜋 125 = 34175, nên với 𝑄 = 125 ta có lợi nhuận tối đa. Khi

đó, 𝑃 = 600 − 2 ∙ 125 = 350. (0,5 điểm)

Câu 2 (1+1 điểm).

1) lim𝑥→0

cos 𝑥𝑒𝑥 −cos 𝑥𝑒−𝑥

𝑥3 = lim𝑥→0

−2 sin 𝑥𝑒𝑥+𝑒−𝑥

2 sin 𝑥

𝑒𝑥−𝑒−𝑥

2

𝑥3 = lim𝑥→0

−2𝑥𝑒𝑥 +𝑒−𝑥

2𝑥𝑒𝑥−𝑒−𝑥

2

𝑥3

=−1

2lim𝑥→0

𝑒2𝑥 − 𝑒−2𝑥

𝑥=

−1

2lim𝑥→0

𝑒4𝑥 − 1

𝑥lim𝑥→0

1

𝑒2𝑥=

−4

2= −2.

2) lim𝑥→+∞

𝑥 + 2𝑥 1

𝑥 = lim𝑥→+∞

𝑒ln 𝑥+2𝑥

𝑥 =𝐿

lim𝑥→+∞

𝑒1+2𝑥 ln 2

𝑥+2𝑥 =𝐿

lim𝑥→+∞

𝑒2𝑥 ln 2 2

1+2𝑥 ln 2 = lim𝑥→+∞

𝑒

ln 2 21

2𝑥+ln 2= 𝑒ln 2 = 2.

Câu 3 (1,5 điểm).

𝑧𝑥′ = 2 − 2𝑥 2𝑦 − 𝑦2 ; 𝑧𝑥

′ = 2𝑥 − 𝑥2 2 − 2𝑦 (𝑥 > 0; 𝑦 > 0).

𝑧(𝑥; 𝑦) có hai điểm dừng là 𝑀1 1; 1 ; 𝑀2 2; 2 .

𝑧𝑥2′′ = −2 2𝑦 − 𝑦2 ; 𝑧𝑦2

′′ = −2 2𝑥 − 𝑥2 ; 𝑧𝑥𝑦′′ = 2 − 2𝑥 2 − 2𝑦 .

𝐷 𝑥; 𝑦 = 𝑧𝑥2′′ 𝑧𝑦2

′′ − 𝑧𝑥𝑦′′

2= 4 2𝑥 − 𝑥2 2𝑦 − 𝑦2 − 2 − 2𝑥 2 2 − 2𝑦 2 . (0,5 điểm)

𝐷 1; 1 = 4 > 0; 𝑧𝑥2′′ = −2 < 0 ⟹ hàm số đạt cực đại tại 𝑀1 1; 1 ; 𝑧 1; 1 = 1. (0,5 điểm)

𝐷 2; 2 = −16 < 0 ⟹ hàm số không đạt cực trị tại 𝑀2 2; 2 . (0,5 điểm)

Câu 4 (1+1 điểm).

𝑎) 𝑑𝑥

𝑥 𝑥2 − 1=

𝑥𝑑𝑥

𝑥2 𝑥2 − 1=

𝑡= 𝑥2−1

𝑡𝑑𝑡

𝑡2 + 1 𝑡=

𝑑𝑡

𝑡2 + 1

= arctan𝑡 + 𝐶 = arctan 𝑥2 − 1 + 𝐶.

𝑏) 𝑑𝑥

2 cos𝑥 + 3

𝜋2

0

=𝑡=tan

𝑥2

21 + 𝑡2

21 − 𝑡2

1 + 𝑡2 + 3𝑑𝑡

1

0

= 2 𝑑𝑡

𝑡2 + 5𝑑𝑡

1

0

=2

5arctan

𝑡

5|01 =

2

5arctan

1

5.

Câu 5 (1 điểm).

𝐼 = 𝑑𝑥

𝑥2 + 1=

𝑥

𝑥2 + 1− 𝑥𝑑

1

𝑥2 + 1=

𝑥

𝑥2 + 1+ 2

𝑥2

𝑥2 + 1 2𝑑𝑥

=𝑥

𝑥2 + 1+ 2

𝑥2 + 1 − 1

𝑥2 + 1 2𝑑𝑥 =

𝑥

𝑥2 + 1+ 2𝐼 − 2

𝑑𝑥

𝑥2 + 1 2

⟹ 𝑑𝑥

𝑥2 + 1 2=

𝑥

2 𝑥2 + 1 +

1

2𝐼 =

𝑥

2 𝑥2 + 1 +

1

2arctan𝑥 + 𝐶. (0,5 điểm)

𝑑𝑥

𝑥2 + 1 2

∞

0

= lim𝑡⟶∞

𝑑𝑥

𝑥2 + 1 2

𝑡

0

= lim𝑡⟶∞

𝑡

2 𝑡2 + 1 +

1

2arctan𝑡 = 0 +

1

2

𝜋

2=

𝜋

4. (0,5 điểm)

Cách khác:

𝑑𝑥

𝑥2 + 1 2

∞

0

=𝑥=tan 𝑡

1

tan2𝑡 + 1 2

𝜋2

0

𝑑 tan 𝑡 = cos2 𝑡

𝜋2

0

𝑑𝑡

1 + cos 2𝑡

2

𝜋2

0

𝑑𝑡 = 𝑡

2+

sin 2𝑡

4 |0

𝜋2 =

𝜋

4.

Câu 6 (1 điểm).

Giả sử 𝑦 ≠ 0. Ta có: 𝑦′ + 2𝑥𝑦 = 2𝑥3𝑦3 ⟺ 𝑦′𝑦−3 + 2𝑥𝑦−2 = 2𝑥3 .

Thay 𝑧 = 𝑦−2 ⟹ 𝑧′ = −2𝑦′𝑦−3, ta có phương trình vi phân tuyến tính:

1

−2𝑧′ + 2𝑥𝑧 = 2𝑥3 ⟺ 𝑧′ − 4𝑥𝑧 = −4𝑥3.

Phương trình này có nghiệm tổng quát là

𝑧 = −4𝑥3𝑒−4 𝑥𝑑𝑥 𝑑𝑥 + 𝐶 𝑒4 𝑥𝑑𝑥 = −4𝑥3𝑒−2𝑥2𝑑𝑥 + 𝐶 𝑒2𝑥2

= 𝑥2 𝑑𝑒−2𝑥2+ 𝐶 𝑒2𝑥2

= 𝑥2𝑒−2𝑥2− 𝑒−2𝑥2

𝑑𝑥2 + 𝐶 𝑒2𝑥2

= 𝑥2𝑒−2𝑥2+

𝑒−2𝑥2

2+ 𝐶 𝑒2𝑥2

= 𝑥2 +1

2+ 𝐶𝑒2𝑥2

.

Tích phân tổng quát của phương trình đã cho là

𝑦2 𝑥2 +1

2+ 𝐶𝑒2𝑥2

− 1 = 0. (0,5 điểm)

Dễ thấy 𝑦 ≡ 0 cũng là một nghiệm của phương trình đã cho. (0,5 điểm)

Câu 7 (1,5 điểm).

Phương trình đặc trưng 𝑘2 + 4𝑘 + 3 = 0 có các nghiệm là −1; −3.

Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất tương ứng là

𝑦 𝑡 = 𝐶1 −1 𝑡 + 𝐶2 −3 𝑡 . (0,5 điểm)

Một nghiệm riêng của phương trình 𝑦𝑡+2 + 4𝑦𝑡+1 + 3𝑦𝑡 = 16 có dạng 𝑦𝑡∗ = 𝐴.

Thay vào phương trình này, ta có: 𝐴 + 4𝐴 + 3𝐴 = 16 ⟺ 𝐴 = 2. (0,5 điểm)

Nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là 𝑦𝑡 = 𝑦 𝑡 + 𝑦𝑡∗ = 𝐶1 −1 𝑡 + 𝐶2 −3 𝑡 + 2. (0,5 điểm)